河南省实验中学2018-2019学年高一下学期期中考试 数学 Word版含答案

河南省实验中学2018——2019学年下期期中试卷
高一 数学
（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.︒
600sin =( )
A ．
2 B ．2- C ．12 D ．12
- 2.若α是第一象限角，则
2
α
终边在 ( ) A ．第一象限 B.第二象限 C.第一象限或第三象限 D.第一象限或第四象限 3.已知D 是△ABC 边AB 上的中点，则向量CD =（ ） A. 21+
- B.21- C.1
2
BC BA -- D.12BC BA +
4.已知2a =，3b =，a 与b 的夹角为60︒，则2a b -=（ ）
A B ．23 C ．13 D. 5.若1sin()33x π
+
=，则cos(2)3
x π
-=（ ）
A ．79-
B ．7
9
C ．3
D ．3-
6.要得到函数sin(2)3
y x π
=+的图象，只需将函数sin y x =的图象（ ）
A ．先向左平移
3π
平移，再横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B ．先向左平移6π个单位，再横坐标缩短为原来的1
2
，纵坐标保持不变.
C ．先横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，再向左平移3
π
个单位.
D ．先横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变，再向左平移6
π
个单位.
7.函数24)cos(lg )(x x x f -+=π的定义域为（ ）
A.⎥⎦⎤ ⎝⎛2,23
B.⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1,2
121,41
C. 113,,2222⎛⎫⎛⎤-
⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ D.31132,,,22222⎡
⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪ ⎢⎥⎣
⎭⎝⎭⎝⎦
8.已知⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∈22ππβα，、，且0433x tan ,tan 2
=++x 是方程βα的两个根，则βα+的
值为（ ） A ．
3
23
π
π
-
或 B. 3
2π
-
C. 3
23
π
π
或
-
D. 3
π
-
9.已知点G 为ABC ∆三条中线的交点，过点G 作直线与两边AB 、AC 分别交于M 、N 两点，且
AM xAB =，AN y AC =，,x y R ∈，则11
x y
+=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 10.已知函数()tan cos f x x x =，则下列说法正确的是( ) A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的值域为[-1,1]
C ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减 D ．()f x 的图象关于,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
中心对称 11.已知点O 是ABC ∆内部一点，并且满足230OA OB OC ++=，BOC ∆的面积为1S ，
ABC ∆的面积为2S ,则
1
2
S S =（ ） A ．
16 B ．13 C ．23 D ．34
12.已知函数ππ()sin()(0,),24f x x+x ωϕωϕ=>≤=-为()f x 的零点，π
4
x =为()
y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π
(
,)1836
单调，则ω的最大值为( ) A. 7 B ．9 C ．11 D ．13
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，请把答案填在题中横线上）． 13.已知扇形AOB 周长为3，当扇形面积最大时，扇形的圆心角α为 ．
14.已知向量(2,0)a =，(1,4)b =.若向量ka b +与2a b +的夹角为锐角，则实数k 的取值范围为 ．
15.()
=-+︒
︒︒10
sin 210cos 4110tan 32 ．
16.已知边长为2的正方形ABCD 的顶点A 、B 分别在两条互相垂直的射线OP 、OQ 上滑动，则
C D O ⋅O 的最大值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共70分). 17.(本小题满分10分） 已知
sin cos 2sin cos αα
αα
+=-，计算下列各式的值．
(1)2cos 2sin cos 1ααα--；
(2)
()()()()()11sin 2cos cos cos 225cos sin 3sin sin 2πππαπαααππααππαα⎛⎫⎛⎫
-+-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎛⎫
---+ ⎪
⎝⎭
.
18.(本小题满分12分）
已知a 、b 、c 是在同一平面内的三个向量，其中(1,2)a = (1)若25c =，且c ∥a ，求c 坐标；
(2)若5
2
b =
，且(2)a b +⊥(2)a b -，求a 与b 的夹角θ.
19.(本小题满分12分）
已知函数())12
f x x π
=
+
(1) 已知角α的顶点与原点O 重合，始边与
x 轴的非负半轴重合，它的终边过点，求
()f α的值；(2)若(0,)2
π
β∈
，()f β=sin 2β的值.
20.(本小题满分12分）
设平面向量2
13sin ,cos 2a x x ⎛
⎫
=--
⎪⎝
⎭
， ()cos ,1b x =，函数()f x a b =⋅. (1)求()f x 的最小正周期，并求出()f x 的单调递减区间； (2)若方程()210f x m +-=在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
内无实数根，求实数m 的取值范围.
21. (本小题满分12分）
为了及时向群众宣传“十九大”党和国家“乡村振兴”战略，需要寻找一个宣讲站，让群众能在最短的时间内到宣讲站．设有三个乡镇，分别位于一个矩形MNPQ 的两个顶点M 、N 及P 、
Q 的中点S 处，MN =，NP =，现要在该矩形的区域内（含边界），且与M 、N 等距离的一点O 处设一个宣讲站，记O 点到三个乡镇的距离之和为()L km ．
（1）设OMN x ∠=()rad ，将L 表示为x 的函数；
（2）试利用（1）的函数关系式确定宣讲站O 的位置，使宣讲站O 到三个乡镇的距离之和()L km 最小．
22.(本小题满分12分） 已知向量(cos ,
3cos ),(sin ,cos )a x x b x x ωωωω==（其中01ω<≤），记
3
()f x a b =⋅-
，且满足()()f x f x π+=. （1）求函数()y f x =的解析式；
（2）若关于x 的方程2
3[()]()10f x m f x ⋅+⋅-=在5[,
]1212ππ-上有三个不相等的实数根，求
实数m 的取值范围。

河南省实验中学2018——2019学年下期期中试卷
参考答案
一、选择题：
1-6 B C A C A D 7-12 D B C D A B
二、填空题：
13. 2 14.911(,)(,)222
-+∞ 15. 4 16. 8
三、解答题： 17.【解析】
由题易得： tan 3α=
(1)原式22222222cos 2sin cos 12sin cos sin 2tan tan 3
sin cos sin cos tan 12
ααααααααααααα------=
===-+++5分
(2)原式=
()()()sin cos sin sin tan 3
cos sin sin cos ααααααααα
---=-=--- 10分
18.【解析】 (1)设(,)c x y =
∵25c =|，且c ∥a ，
∴22
20
20y x x y -=⎧⎨+=⎩
2分
解得24x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩，
4分 故(2,4)c =或(2,4)c =--． 6分
(2)∵(2)a b +⊥(2)a b -，
∴22(2)(2)2320a b a b a a b b +⋅-=+⋅-=，
∴5
253204a b ⨯+⋅-⨯=，
整理得5
2a b ⋅=-
8分 ∴cos 1a b a b
θ⋅=
=-，
10分
又∵θ∈[0，π]，
∴θ=π．
12分
19.【解析】
(1)∵角α的终边过点， ∴2()3
k k Z π
απ=
+∈． 2分
∴11()))2()3124622222
f ππππα=
+=+=-=
5分
(2)∵())12
f π
ββ=+
=
，
∴cos()12
π
β+
=
6分 ∴21
cos 2()2cos ()1012
12
4
π
π
ββ+=+
-=
>． 8分
又(0,
)2
π
β∈，2(,)662π
ππ
β+
∈，
∴sin(2)6
4π
β+
=
10分
∴111sin 2sin(2)6642428
π
πββ-=+-=-⨯=.12分
20.【解析】
(1)由题意得()2
11
3sin cos cos cos222
f x a b x x x x x =⋅=-⋅+-
=+ sin 26x π⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭.
2分 ∴()f x 的最小正周期为π． 3分
由222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+∈，
得,6
3
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈．
5分
∴函数()f x 的单调递减区间为,6
3k k π
πππ⎡
⎤
-
+
⎢⎥⎣
⎦
， k Z ∈． 6分
(2) 由()210f x m +-=可得：21=sin 26m x π⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭
∵02
x π
<<
∴526
6
6
x π
π
π-
<-
<
∴令52(,)6
66
t x π
ππ
=-
∈-
,则1
sin (,1]2t ∈-.
8分
只需直线21y m =-与sin ,(5,)66
y t t ππ
-=∈图象没有交点即可. 由图象可知：1
212
m -≤-
或者211m -> 10分
解得：1
4m ≤
或1>m
故m 的取值范围为()∞+⎥⎦
⎤ ⎝
⎛
∞，
，—141 12分
21.【解析】
（1）延长SO 交NN 于点T ，
由题设可知MT =NT =
1
2
MN = OM=ON ，OS=OT
在直角三角形OTM 中，OM OT x ==， 3分
2cos cos L OM ON OS x x x x
=++=⨯
+=-+ ，5分
故：
)4
L x x π
=-+≤≤ 6分
(2)由(1)可得：
L x =
+=+ 7分
令2sin (0)cos 4
x t x x π
-=
≤≤，
则2cos sin ),(tan 0)t x x x t φφ=++=>
8分
则
sin()1x φ+=
≤，
解得：t ≤（舍）或t ≥. 10分
故：当t =时，,[0,]3
64
x π
π
π
φ=
=
∈，L 取最小值， 11分
即宣讲站位置O 满足：,10,5)6
x OM ON km SO km π
=
===时
可使得三个乡镇到宣讲站的距离之和最小． 12分
22. [解析]
（1） 2
()sin cos 2
f x x x x ωωω=-
1sin 222x x ωω=sin(2)3
x πω=+ 2分
由()()f x f x π+=，得π是函数()f x 的一个周期， 所以，()f x 的最小正周期22T π
πω
=
≤，解得1ω≥ 3分 又由已知01ω<≤，得1ω= 4分
因此，()sin(2)3
f x x π
=+
5分
（2） 由512
12x π
π-
≤≤
，得72636
x πππ≤+≤ 故：1sin(2)123
x π
-≤+≤
因此函数()y f x =的值域为1
[,1]2
-.
7分
设()sin(2)3
t f x x π
==+
，
要使关于x 的方程2
3[()]()10f x mf x ⋅+-=在5[,
]1212ππ-
上有三个不相等的实数根，当
且仅当关于t 的方程2
310t mt +-=在1[,1)2和11[,)22
-上分别有一个实数根，或有一个实数根为1，另一实数根在区间1[,1)2
上. 8分
令2
()31g t t mt =+-
①当关于t 的方程2310t mt +-=在1(,1)2和11[,)22
-上分别有一个实数根时，
1()021
()02
(1)0g g g ⎧-≥⎪⎪
⎪<⎨
⎪>⎪⎪⎩
解得 122m -<≤-
②当方程2
310t mt +-=的一个根是12时，12
m =， 另一个根为211
[,)322
-
∉-，不满足条件；
③当方程2
310t mt +-=的一个根是1时，2m =-， 另一个根为11[,1)32
-∉，不满足条件；
因此，满足条件的实数m 的取值范围是1(2,]2
--
12分。