高中数学 高三一轮第二章第6课时 对数与对数函数(教案)

1。

对数的概念
如果a（a>0,a≠1）的b次幂等于N,即a b＝N,那么数b 叫作以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中__a__叫作对数的底数,__N__叫作真数。

2。

对数的性质与运算法则
（1）对数的运算法则
如果a〉0且a≠1,M〉0，N〉0，那么
①log a（MN)＝log a M＋log a N；
②log a错误!a M－log a N；
③log a M n＝n log a M（n∈R）；
④log am M n＝错误!log a M(m，n∈R,且m≠0).
（2）对数的性质
①a log a N＝__N__;②log a a N ＝__N__(a>0且a≠1）。

(3)对数的重要公式
①换底公式：log b N＝错误!(a，b均大于零且不等于1）；
②log a b＝
1
log b a，推广log a
b·log b c·log c d＝log a d。

3.对数函数的图像与性质
a>10〈a〈1
图
像
性质
(1)定义域：(0，＋∞)
（2)值域：R （3）过定点(1,0)，即x
＝1时，y＝0（4)当x>1
时,y>0
当0〈x<1
时，y<0
（5）当x〉
1时，y〈0
当0〈x〈1
时，y>0
4.反函数
指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图像关于直线__y＝x__对称.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×")
(1)若MN〉0，则log a（MN）＝log a M＋log a N.（×)（2)log a x·log a y＝log a（x＋y).（×）
3x都是对数函数。

( ×) (3）函数y＝log2x及y＝log1
3
(4）对数函数y＝log a x（a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数。

( ×）
（5）函数y＝ln错误!与y＝ln（1＋x）－ln(1－x)的定义域相同.（√）
（6)对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图像过定点（1,0）,且过点（a，1），错误!,函数图像只在第一、四象限。

( √)
1.（2015·湖南)设函数f(x)＝ln（1＋x)－ln(1－x)，则
f(x）是( ）
A.奇函数,且在(0，1)上是增函数
B。

奇函数，且在(0,1)上是减函数
C。

偶函数,且在（0,1）上是增函数
D。

偶函数,且在（0，1）上是减函数
答案A
解析易知函数定义域为（－1，1)，f（－x)＝ln（1－x)－ln(1＋x)＝－f(x），故函数f（x）为奇函数,又f(x）＝ln错误!＝ln错误!，由复合函数单调性判断方法知，f（x）在(0,1)上是增函数，故选A。

2.设a＝log1
3错误!，b＝log1
3
错误!，c＝log3错误!，则a，b,c
的大小关系是（）
A.a<b〈c B。

c〈b<a C。

b<a〈c D.b〈c〈a 答案B
解析∵a＝log1
3错误!＝log32，b＝log1
3
错误!＝log3错误!，c
＝log3错误!.log3x是定义域上的增函数,2〉错误!〉错误!，
∴c<b<a,故选B.
3.函数f（x）＝lg（|x｜－1)的大致图像是（)
答案B
解析由函数f（x）＝lg（|x｜－1)的定义域为(－∞，－1)∪（1，＋∞)，值域为R.又当x>1时，函数单调递增,所以只有选项B正确。

4.已知x,y，z都是大于1的正数，m〉0,且log x m＝24，log y m＝40,log xyz m＝12，则log z m的值为( )
A。

错误!B。

60
C.错误!
D.错误!
答案B
解析由已知得log m(xyz）＝log m x＋log m y＋log m z＝错误!,而log m x＝错误!，log m y＝错误!，故log m z＝错误!－log m x－
log m y＝错误!－错误!－错误!＝错误!，即log z m＝60.
5.(教材改编）若log a错误!<1（a〉0，且a≠1)，则实数a 的取值范围是________________.
答案错误!∪(1，＋∞）
解析当0<a〈1时,log a 3
4
〈log a a＝1，
∴0<a<错误!；当a〉1时，log a错误!<log a a＝1，∴a〉1.
∴实数a的取值范围是错误!∪（1，＋∞)。

题型一对数式的运算
例1 (1)设2a＝5b＝m,且错误!＋错误!＝2，则m等于( ）A。

错误!B。

10
C。

20 D.100
（2）lg错误!＋lg错误!的值是________。

答案（1）A (2）1
解析(1)∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m,
∴错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝log m2＋log m5＝log m10＝2。

∴m ＝错误!。

（2)原式＝lg 错误!＝lg 10＝1。

思维升华 在对数运算中,要熟练掌握对数的定义,灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算。

(1）计算:错误!＝________.
（2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝________. 答案 (1)1 （2）12
解析 （1）原式
＝错误!
＝
1－2log 63＋log 632＋1－log 631＋log 63log 64
＝错误!
＝错误!＝错误!＝错误!＝1。

(2）∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3，
∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12。

题型二对数函数的图像及应用
例2 (1)函数y＝2log4(1－x)的图像大致是( ）
(2)当0〈x≤错误!时，4x<log a x，则a的取值范围是（) A。

错误!B。

错误!
C。

（1，错误!）D。

（错误!，2）
答案(1)C （2）B
解析(1）函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞,1），排除A、B；
又函数y＝2log4(1－x）在定义域内单调递减，排除D。

选C.
（2)方法一构造函数f（x）＝4x和g(x)＝log a x，当a〉1时不满足条件，当0〈a〈1时，画出两个函数在错误!上的图像，
可知f 错误!〈g 错误!,
即2〈log a 错误!，
则a 〉错误!，所以a 的取值范围为错误!。

方法二 ∵0<x ≤错误!，∴1<4x ≤2，
∴log a x 〉4x >1，
∴0<a 〈1，排除选项C ，D;取a ＝12
， x ＝错误!，则有41
2＝2,log 12错误!＝1,
显然4x <log a x 不成立，排除选项A.
思维升华 应用对数型函数的图像可求解的问题
(1）对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数,在求解其单调性（单调区间）、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想。

（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解。

（1）已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝a x与函数g(x）＝－log b x的图像可能是（)
(2)已知函数f(x）＝错误!若a，b，c互不相等,且f（a)＝f(b）＝f(c）,则abc的取值范围是（）
A。

（1,10) B。

(5,6）
C.（10，12）D。

（20，24）
答案（1）B (2）C
解析（1）∵lg a＋lg b＝0，∴ab＝1，
∵g（x）＝－log b x的定义域是(0，＋∞)，故排除A。

若a〉1，则0〈b<1，
此时f(x)＝a x是增函数，g（x)＝－log b x是增函数.故选B。

(2）方法一不妨设a<b〈c,取特例，如取f（a）＝f(b）＝f（c)＝错误!，则易得a＝1210 ，b＝1210，c＝11,从而abc ＝11，故选C。

方法二作出f（x）的大致图像（图略)。

由图像知，
要使f(a)＝f（b）＝f(c），不妨设a<b<c，则－lg a＝lg b ＝－错误!c＋6，∴lg a＋lg b＝0,∴ab＝1,∴abc＝c。

由图知10<c〈12，
∴abc∈(10,12）。

题型三对数函数的性质及应用
命题点1 比较对数值的大小
例3 设a＝log36，b＝log510，c＝log714,则( )
A.c>b>a
B.b〉c〉a
C.a〉c〉b D。

a〉b〉c
答案D
解析由对数运算法则得a＝log36＝1＋log32，b＝1＋log52，c＝1＋log72，由对数函数图像得log32〉log52>log72，所以a>b〉c,故选D。

命题点2 解对数不等式
例4 若log a(a2＋1)<log a2a<0,则a的取值范围是（）A.(0,1) B.(0，错误!)
C.(错误!，1) D。

（0，1)∪（1，＋∞）
答案C
解析由题意得a〉0，故必有a2＋1>2a，
又log a（a2＋1)<log a2a〈0，所以0<a<1，
同时2a〉1，所以a>错误!。

综上，a∈(错误!，1）.
命题点3 和对数函数有关的复合函数
例5 已知函数f(x）＝log a(3－ax）。

(1）当x∈［0，2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a 的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x）在区间[1,2］上为减函数，并且最大值为1?如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由。

解(1）∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax,
则t（x）＝3－ax为减函数，
x∈［0，2］时，t(x)的最小值为3－2a，
当x∈［0，2]时，f(x)恒有意义,
即x∈[0,2］时，3－ax〉0恒成立.
∴3－2a>0.∴a〈错误!。

又a 〉0且a ≠1,∴a ∈（0,1)∪⎝ ⎛）1，32。

(2)t （x ）＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x ）为减函数。

∵f （x )在区间[1,2］上为减函数,∴y ＝log a t 为增函数， ∴a 〉1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ,f (x ）最大值为f (1)＝log a (3－a ），∴错误!即错误!
故不存在这样的实数a ，使得函数f （x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.
思维升华 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件。

(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则（ )
A.a 〉c >b
B.b 〉c 〉a
C.c 〉b >a D 。

c 〉a >b
(2）若f （x ）＝lg(x 2－2ax ＋1＋a ）在区间（－∞，1］上递减，则a 的取值范围为( ）
A。

［1，2）B。

［1,2］
C。

[1,＋∞） D.[2,＋∞）
（3）设函数f（x)＝错误!若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是（）
A.（－1,0)∪（0,1）
B.(－∞,－1)∪(1，＋∞）
C.（－1，0）∪(1,＋∞）D。

（－∞,－1）∪(0,1）答案(1)D (2)A (3)C
解析(1）∵错误!〈2<3，1<2〈错误!，3>2，
∴log3错误!<log32〈log33,
log51<log52〈log5错误!，log23〉log22,
∴错误!〈a〈1,0<b〈错误!，c〉1，∴c>a〉b.
（2)令函数g(x）＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在（－∞，1］上递减，则有错误!即错误!
解得1≤a〈2，即a∈[1,2），故选A.
(3)由题意可得错误!或错误!
解得a〉1或－1<a<0。

2。

比较指数式、对数式的大小
典例 (1）设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0。

30.2，则a ，b ,c 的大小关系是（ )
A.c 〈b <a
B 。

a 〈b <c
C 。

b <a 〈c
D.a 〈c 〈b (2）设a ＝log 2π，b ＝log 1
2π，c ＝π－2,则( )
A 。

a 〉b 〉c
B.b >a 〉c C 。

a 〉c 〉b
D 。

c 〉b 〉a (3)已知a ＝2log 3.45，b ＝4log 3.65,c ＝3log 0.31()5,则（ )
A.a 〉b >c
B.b >a 〉c C 。

a >c >b D 。

c 〉a >b
思维点拨 （1)可根据幂函数y ＝x 0。

5的单调性或比商法确定a ，b 的大小关系,然后利用中间值比较a ，c 大小.(2）a ,b 均为对数式，可化为同底,再利用中间变量和c 比较.（3)化为同底的指数式.
解析 （1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性,
可得0。

30。

5〈0。

50.5<10。

5＝1,即b <a 〈1；
根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30。

2>log 0。

30.3＝1，即c >1。

所以b 〈a <c .
(2）∵a ＝log 2π〉log 22＝1，b ＝log 12π＝log 2错误!<log 21＝0，
0<c ＝错误!<1,∴b 〈c 〈a .
（3）3
3310
log log 0.3log 0.331()55.5c -===
方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2x ，y ＝
log 3x ,y ＝log 4x 的图像，如图所示.
由图像知：
log 23.4>log 3错误!〉log 43.6.
方法二 ∵log 3错误!〉log 33＝1，且错误!〈3.4，
∴log 3错误!〈log 33.4<log 23.4。

∵log 43.6<log 44＝1，log 3错误!>1，
∴log 43。

6<log 3错误!。

∴log 23.4〉log 3错误!>log 43。

6. 由于y ＝5x 为增函数，∴32410
log log 3.4log 3.63555>>.
即324log 0.3log 3.4log 3.615()55>>，故a 〉c 〉b .
答案 （1)C (2)C （3)C
温馨提醒 （1）比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法。

（2）解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同,而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.
[方法与技巧]
1。

对数值取正、负值的规律
当a 〉1且b 〉1或0<a 〈1且0〈b 〈1时，log a b 〉0； 当a >1且0<b 〈1或0〈a <1且b >1时，log a b 〈0。

2.对数函数的定义域及单调性
在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞)。

对数函数的单调性和
a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时,要按0〈a〈1和a〉1进行分类讨论。

3.比较幂、对数大小有两种常用方法：（1）数形结合；(2）找中间量结合函数单调性.
4。

多个对数函数图像比较底数大小的问题，可通过比较图像与直线y＝1交点的横坐标进行判定。

［失误与防范]
1。

在运算性质log a Mα＝αlog a M中,要特别注意条件,在无M＞0的条件下应为log a Mα＝αlog a｜M｜（α∈N＋，且α为偶数)。

2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.
A组专项基础训练
（时间：40分钟）
1.若函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是（)
答案B
解析由题图可知y＝log a x的图像过点（3，1)，∴log a3＝1，即a＝3.
A项，y＝3－x＝(错误!)x在R上为减函数，错误；
B项,y＝x3符合;
C项,y＝(－x)3＝－x3在R上为减函数，错误；
D项,y＝log3(－x)在（－∞，0)上为减函数，错误。

2。

函数y＝ln
1
|2x－3|的图像为（）
答案A
解析易知2x－3≠0,即x≠错误!,排除C、D.当x〉错误!时，函数为减函数,当x〈错误!时,函数为增函数，所以选A。

3.已知b〉0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是( )
A.d＝ac B。

a＝cd
C。

c＝ad D。

d＝a＋c
答案B
解析log5b＝a，lg b＝c，两式相除得错误!＝错误!，log510＝错误!。

∵5d＝10，∴log510＝d，∴d＝错误!，cd＝a.故选B.
4。

设f（x)＝lg错误!是奇函数,则使f(x)〈0的x的取值范围是（）
A.(－1，0）
B.（0,1)
C.（－∞，0)
D.(－∞，0）∪(1，＋∞）答案A
解析由f(x）是奇函数可得a＝－1，
∴f（x）＝lg错误!，定义域为(－1，1）.
由f(x)<0,可得0〈错误!〈1，∴－1<x〈0.
5.定义在R 上的函数f （x )满足f (－x ）＝－f （x )，f (x －2）＝f （x ＋2)，且x ∈(－1,0）时，f (x ）＝2x ＋错误!，则f (log 220)等于（ )
A.1
B 。

错误! C.－1
D 。

－错误! 答案 C
解析 由f (x －2）＝f (x ＋2），得f （x ）＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4）＝－f (4－log 220)＝－f (log 2错误!）＝24log 51(2)5
-+＝－1. 6.（2015·安徽)lg 错误!＋2lg 2－错误!－1＝________。

答案 －1
解析 lg 错误!＋2lg 2－错误!－1＝lg 错误!＋lg 22－2
＝lg 错误!－2＝1－2＝－1.
7。

已知函数f (x )＝错误!则f （log 23）的值为________. 答案 错误!
解析 由题意知f （log 23)＝f （1＋log 23)＝f （log 26）＝2log 61()2
＝错误!。

8.（2015·福建)若函数f（x）＝错误!（a＞0，且a≠1)的值域是[4,＋∞)，则实数a的取值范围是________________________________________。

答案(1,2］
解析由题意f（x）的图像如下图，则错误!∴1＜a≤2.
9.已知函数y＝log1
2
（x2－ax＋a）在区间（－∞，2）上是增函数，求a的取值范围。

解函数y＝log1
2（x2－ax＋a）是由函数y＝log1
2
t和t
＝x2－ax＋a复合而成。

因为函数y＝log1
2
t在区间（0，＋∞)上单调递减,
而函数t＝x2－ax＋a在区间（－∞，错误!)上单调递减,又因为函数y＝log1
2
(x2－ax＋a)在区间(－∞，2）上是增函数，
所以错误!解得错误!
即2错误!≤a≤2（错误!＋1).
10。

设f(x）＝log a（1＋x）＋log a（3－x)（a>0，a≠1)，且f（1)＝2。

（1）求a的值及f(x）的定义域；
（2)求f(x）在区间［0，错误!］上的最大值.
解（1)∵f（1)＝2，
∴log a4＝2(a>0，a≠1),
∴a＝2.
由错误!得x∈（－1,3)，
∴函数f（x）的定义域为（－1，3）。

(2)f(x）＝log2（1＋x）＋log2（3－x）
＝log2（1＋x）(3－x)＝log2［－（x－1）2＋4］，
∴当x∈(－1，1]时，f（x）是增函数;
当x∈(1,3）时，f（x）是减函数，
故函数f(x)在［0,错误!]上的最大值是f(1）＝log24＝2.
B组专项能力提升
（时间：20分钟）
11.（2015·陕西）设f（x）＝ln x,0＜a＜b，若p＝f（错误!)，q＝f错误!，r＝错误!(f（a)＋f(b）），则下列关系式中正确的
是（）
A。

q＝r＜p B.p＝r<q
C。

q＝r〉p D.p＝r＞q
答案B
解析∵0＜a＜b，∴错误!＞错误!，
又∵f（x）＝ln x在（0，＋∞)上为增函数，
∴f错误!＞f（错误!)，即q＞p.
又r＝错误!（f（a）＋f（b)）＝错误!（ln a＋ln b）＝ln错误!＝p，
故p＝r＜q.选B。

12。

设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f（x)，且当x≥1时，f(x)＝ln x，则有( ）
A。

f（错误!）<f(2）〈f（错误!)
B。

f（错误!）<f（2）<f（错误!）
C.f（1
2
）<f（错误!)<f（2）
D.f(2）<f（错误!）<f(错误!）答案C
解析 由f （2－x )＝f (x ）知f （x ）的图像关于直线x ＝2－x ＋x 2
＝1对称， 又当x ≥1时，f （x ）＝ln x ，
所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大,
∵|2－1|>|错误!－1|>｜错误!－1|，
∴f （错误!)〈f （错误!)〈f (2）。

13。

若函数f (x )＝lg(－x 2＋8x －7)在区间（m ,m ＋1)上是增函数，则m 的取值范围是__________.
答案 ［1，3］
解析 由题意得错误!解得1≤m ≤3，
所以答案应填[1,3］.
14.已知函数f (x )＝ln 错误!,若f (a )＋f (b ）＝0,且0〈a 〈b <1，则ab 的取值范围是________.
答案 错误!
解析 由题意可知ln 错误!＋ln 错误!＝0，
即ln 错误!＝0，从而错误!×错误!＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a ）＝－a 2＋a ＝－错误!2＋错误!，
又0〈a<b<1，
∴0<a<错误!，故0〈－错误!2＋错误!〈错误!。

15。

设x∈[2,8]时，函数f(x）＝错误!log a（ax）·log a（a2x)
（a〉0，且a≠1）的最大值是1,最小值是－1
8
，求a的
值.
解由题意知f(x)＝错误!（log a x＋1）（log a x＋2)
＝错误!(log错误!x＋3log a x＋2)＝错误!(log a x＋错误!)2－错误!.当f（x)取最小值－错误!时,log a x＝－错误!。

又∵x∈[2,8],∴a∈(0，1).
∵f（x）是关于log a x的二次函数，
∴函数f(x）的最大值必在x＝2或x＝8时取得。

若错误!(log a2＋错误!）2－错误!＝1，
则a＝132-，
此时f(x)取得最小值时，x＝1332
(2)
--
＝错误!∉[2,8]，舍去.
若错误!（log a8＋错误!）2－错误!＝1,则a＝错误!，
此时f（x）取得最小值时，x＝321()
2
-＝2错误!∈[2,8]，
符合题意，∴a＝错误!.。