贵州省贵阳市清镇第四中学高一数学理联考试题含解析

贵州省贵阳市清镇第四中学高一数学理联考试题含解
析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如下图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()
A．AC B．BD C．A1D D．A1D1
参考答案：
B
2. 若点（，2）在直线l：ax+y+1=0上，则直线l的倾斜角为（）
A．30° B．45° C．60° D．120°
参考答案：
C
【分析】设直线l的倾斜角为θ∈[0°，180°）．由点（，2）在直线l：ax+y+1=0上，代入可得a+2+1=0，解得a．利用tanθ=﹣a，即可得出．
【解答】解：设直线l的倾斜角为θ∈[0°，180°）．
∵点（，2）在直线l：ax+y+1=0上，∴ a+2+1=0，解得a=﹣．
∴tanθ=﹣a=．
则直线l的倾斜角θ=60°．
故选：C．
3. 函数是（）
A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数
参考答案：
D
4. 大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第20项为（）
A. 200
B. 180
C. 128
D. 162
参考答案：
A
【分析】
由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：，即可得出．
【详解】由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，
可得偶数项的通项公式：，则此数列第20项＝2×102＝200．
故选：A．
【点睛】本题考查了数列递推关系、通项公式、归纳法，属于基础题．
5. 已知函数f(x)和g(x)均为R上的奇函数，且h(x)＝af(x)＋bg(x)＋2，，则
的值为()
A．－2 B．－8 C．－6 D．6
参考答案：
A
6. 下列函数中，既是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递增的函数是（）
A．B． C. D．
参考答案：
D
A. 是奇函数，故不满足题意；
B. 是增函数，且为奇函数，故不满足条件；
C. 是偶函数但是为减函数，故得到不满足条件；
D. ，是偶函数且为增函数，满足条件。

7. （4分）为了研究性格和血型的关系，抽查80人实验，血型和性格情况如下：O型或A 型者是内向型的有18人，外向型的有22人，B型或AB型是内向型的有12人，是外向型的有28人，则有多大的把握认为性格与血型有关系（）
参考数据：
P（K2≥k0）0.5 0.10 0.010 0.001
k0 0.455 2.706 6.635 10.828
参考答案：
A．99.9% B．99%
C．没有充分的证据显示有关D．1%
【答案】
【解析】
考点：独立性检验．
专题：计算题；概率与统计．
分析：求出值查表，根据选项可得答案．
解答：∵K2=≈1.92＜2.706，
又∵P（K2≥2.706）=0.10；
故没有充分的证据显示有关．
故选C．
点评：本题考查了独立性检验，属于基础题．
8. 下列说法正确的是
A． B．
C． D．
参考答案：
C
9. 已知函数，则函数的定义域为（）A．(－1,1] B．(－1,1) C．[－1,1) D．[－1,1]
参考答案：
A
10. 已知正数.，则的最小值为（）
A.6
B.5
C.
D.
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 的值为．
参考答案：
略
12. 若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是．
参考答案：
6
【考点】基本不等式．
【分析】根据基本不等式和指数运算可直接得到答案．
【解答】解：∵a+b=2
∴3a+3b≥2=2=6
当且仅当a=b=1时等号成立
故答案为：6
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，应用基本不等式时要注意“一正、二定、三相等”，为要满足的条件．
13. 在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，若△ABC有两解，则x的取值范围是__________．
参考答案：
【分析】
利用正弦定理得到，再根据有两解得到，计算得到答案.
【详解】由正弦定理得：
若△ABC有两解：
故答案为
【点睛】本题考查了正弦定理，△ABC有两解，意在考查学生的计算能力.
14. 设二次函数对任意实数，都存在，使得，则
的最
大值是．
参考答案：
15. 圆x2+y2+4x-4y-1=0的半径为__________。

参考答案：
3
16. 若的面积为，则角=__________.
参考答案：
略
17. 已知，则= ．
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分16分）
设为数列的前项之积，满足．
(1)设，证明数列是等差数列，并求和；
(2)设求证：．
参考答案：
(1)∵，
∴…………………………………2分
∴，
∵∴. ………………4分
∵∴，∴，
∴，
∴数列是以2为首项，以1为公差的等差数列，
∴，…………………6分
∴，
∴…………………………… 8分(2)，
∵
……………………………11分
∴……………………………12分
当时，
，……………………………14分
当时，，…………………15分
∴.………………………………16分
19. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知∠A=45°，a=6．
（1）若∠C=105°，求b；
（2）求△ABC面积的最大值．
参考答案：
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）利用和差公式与正弦定理即可得出．
（2）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bcsinA，利用基本不等式的性质可得：36≥2bc﹣2bc×，进而得出．
【解答】解：（1）sin105°=sin75°=sin（30°+45°）=+=．
由正弦定理可得： =，∴c==．
（2）a2=b2+c2﹣2bcsinA，
∴36≥2bc﹣2bc×，解得bc≤′18（2+）．当且仅当b=c=3时取等号．∴S△ABC=sinA≤×=9（1+）．
∴△ABC面积的最大值是9（1+）．
20. （13分）已知函数f（x）=是奇函数，且f（2）=．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并用定义加以证明．
参考答案：
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）根据函数奇偶性的性质和条件建立方程关系即可求实数a，b的值；（2）根据函数单调性的定义即可证明函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性．
【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．
∴=﹣，
因此b=﹣b，
即b=0．
又f（2）=，
∴=，∴a=2；
（2）由（1）知f（x）==+，f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数，
证明：设x1＜x2≤﹣1，则f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）（1﹣）=（x1﹣
x2）?．
∵x1＜x2≤﹣1，
∴x1﹣x2＜0，x1x2＞1．
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的证明，根据相应的定义是解决本题的关键．
21. 已知函数．
（1）求证函数f(x)在(0,+∞)上是单调减函数．
（2）求函数f(x)在[1,3]上的值域．
参考答案：
（1）证明见解析（2）
【分析】
(1)直接用定义法证明函数的单调性.
(2)利用（1）的单调性结论可求函数在上的值域
【详解】（1）证明：任取，且
则
由，且，则，
所以
所以
所以函数在上是单调减函数．
（2）由（1）可得函数在上单调减函数
所以，即
所以函数在上的值域为：.
【点睛】本题考查利用定义法证明函数的单调性和结合函数单调性求函数的值域.属于基础题.
22. (14分)已知函数，函数
(1)若，求的解析式；
(2)若有最大值9，求的值，并求出的值域；
(3)已知, 若函数在区间内有且只有一个零点，试确定实数
的取值范围．
参考答案：
（1）∵，∴的对称轴为，…………2分
即，即.
∴所求. …………4分
（2）由已知：有最大值9
又为减函数，∴有最小值-2…………6分
∴解得………………8分
∴函数的值域为(0,9 ] ……………………9分。