计算机控制系统 第四章 最小拍控制与纯滞后补偿

Z
根据题意，输入信号为单位速度输入，即r (t ) = t ，则有：
Φ e ( z ) = (1 − z −1 ) 2
代入式（4-12）求出最小拍控制器为
5.435(1 − 0.5 z −1 )(1 − 0.368z −1 ) D( z ) = (1 − z −1 )(1 + 0.718z −1 )
s ( 0 .5 s + 1)
位速度输入时的最小拍控制器。 解：根据图4-1可求出系统广义被控对象脉冲传递函数
1 − e −Ts 2 ] G( z) = Z[ ⋅ s s (0.5s + 1) 4 = Z [(1 − e −Ts ) 2 ] s ( s + 2) 4 4e −Ts = Z[ 2 ] − Z[ 2 ] s ( s + 2) s ( s + 2) 2 1 1 2 1 1 = Z[ 2 − + ] − Z [e −Ts ( 2 − + )] s s s+2 s s s+2 e − 2T z −1 (1 − z −1 + e 2T z −1 ) = (1 − z −1 )(1 − e − 2T z −1 )
对最小拍控制系统设计的要求是： （1）调节时间最短，即系统跟踪输入信号所需的采样周期数 最少； （2）在采样点处无静差，即对特定的参考输入信号，在达到 稳态后，系统在采样点能精确实现对输入信号的跟踪； （3）设计出来的数字控制器必须是物理上可以实现的； （4）闭环系统必须是稳定的。
一、最小拍闭环脉冲传递函数的确定 首先根据对控制系统性能指标的要求和其他约束条件， Φ (z 构造系统的闭环脉冲传递函数 。) 最小拍控制系统的设计要求是对特定的参考输入信号， 在系统达到稳态后，系统在采样点处静差为零。根据此约束条 件可以构造出系统的误差脉冲传递函数 Φ e (z )。典型计算机控制 系统结构图如图4-1所示。
D( z )G ( z ) Φ( z ) = 1 + D( z )G ( z ) 由此可以得到数字控制器为
D( z ) =
或
（4-10）
Φ( z ) G ( z )[1 − Φ ( z )]
1 − Φe ( z) Φ e ( z )G ( z )
（4-11） （4-12）
D( z ) =
例4-1 设最小拍控制系统如图4-1所示，被控对象的传递 2 函数 G ( s ) = ,采样周期 T = 0.5s ，试设计在单
T 2 z −1 (1 + z −1 ) R( z ) = 2(1 − z −1 )3
(T为采样周期)
1 r (t ) = t 2 2
R( z ) =
A( z ) (1 − z −1 ) m
(4-3)
A 式中， (z ) 是不包括 (1 − z −1 ) 的 z −1 多项式。 m 为正整数，对于不同的输入， 只是m 不同而已，一般只讨论 m = 1,2,3 的情况。
将式（4-3）代入式（4-2），得
E ( z) = Φe ( z) A( z ) (1 − z −1 ) m
(4-4)
利用Z变换的终值定理可以求出稳态误差为
k →∞
lim e(k ) = lim(1 − z −1 ) E ( z )
z →1
= lim(1 − z −1 )Φ e ( z )
z →1
Φ(z )
G (z )
r (t )
R (z ) e * (t ) E (z )
Y (z )
D(z )
u * (t ) U (z )
1− e s
−Ts
y (t )
图4-1 典型计算机控制系统结构图
由离散控制理论，最少拍控制系统的误差脉冲传递函数
Φe ( z) = E ( z) = 1 − Φ( z ) R( z ) 1 = 1 + D( z )G ( z )
二、Smith补偿控制原理 补偿控制原理 针对纯滞后系统闭环特征方程含的影响系统控制品质的纯 滞后问题，1957年Smith提出了一种预估补偿控制方案，即在 PID反馈控制基础上，引入一个预估补偿环节，使闭环特征方 程不含有纯滞后项，以提高控制质量。 如果能把图4-5中假想的变量B测量出来，那么就可以按 照图4-6所示的那样，把B点信号反馈到控制器，这样就把纯 滞后环节移到控制回路外边。
第四章 最小拍控制与纯滞后补偿
• 第一节 最小拍控制系统设计 • 第二节 Smith纯滞后补偿控制算法 纯滞后补偿控制算法 • 第三节 Dahlin算法 算法
第一节 最小拍控制系统设计
在自动调节系统中，当偏差存在时，总是希望能尽快地 消除偏差，使输出跟随输入变化，或者是在有限的几个采样 周期内即可达到平衡。通常，在数字控制过程中一个采样周 期称为一拍。最小拍控制是指系统在典型输入信号（如阶跃 信号、速度信号、加速度信号等）作用下，经过最少个采样 周期使系统输出的稳态误差为零。因此，最小拍控制实际上 是时间最优控制。
(4-1)
系统输出的偏差为: E ( z ) = Φ e ( z ) R( z ) 一般控制系统有三种典型输入形式：
r （1）单位阶跃输入： (t ) = 1
R( z ) = 1 1− 1 − z −1
(4-2)
（2）单位速度输入：r (t ) = t （3）单位加速度输入： 它们都可以表示为：
Tz −1 R( z ) = (1 − z −1 ) 2
Φ( z ) = 1 − Φ e ( z ) = 1 − (1 − z −1 ) m
（4-9）
对于三种典型输入信号下，最小拍控制系统的 汇总于表4-1中。
Φ e (z )和 Φ (z )
二、最小拍控制器 D (z )的确定 由离散控制系统理论，可以求出图4-1所示的计算机控 制系统的闭环脉冲传递函数为：
c (kT )
T
2T
3T
4T
5T
6T
kT
图4-2 单位速度输入时最小拍控制系统输出响应曲线图
Z 当输入为单位阶跃信号时，系统输出序列的 变换为
Y ( z ) = R ( z )Φ ( z ) = ( 2 z −1 − z − 2 ) 1 = 2 z −1 + z − 2 + z −3 + z − 4 + L −1 1− z
A( z ) (1 − z −1 ) m
(4-5)
（4-7）
由最小拍控制系统的时间最短约束条件来确定 F(z) 的形 式。当取 F(z) ＝1，不仅可以简化数字控制器，降低控制器阶 数,而且还可以使E (z ) 的项数最少，调节时间最短。由式（4-6） Φ e (z ) 得 为 Φ e ( z ) = (1 − z −1 ) m （4-8） 那么期望的闭环脉冲传递函数 Φ ( z ) 为
5.435(1 − 0.5z −1)(1 − 0.368z −1 ) D( z) = (1 − z −1)(1 + 0.718z −1)
下面对设计出来的最小拍控制器进行分析与校验。 系统闭环脉冲传递函数为 −1 −2
Φ( z ) = 2 z − z
当输入为单位速度信号时，系统输出序列的 变换为
Tz−1 Y ( z) = R( z)Φ( z) = (2z −1 − z −2 ) (1 − z −1 )2 = 2Tz−2 + 3Tz−3 + 4Tz−4 + 5Tz−5 + L
y 即 (0) = 0, y (1) = 2, y (2) = y (3) = L = 1 。其输出的响应曲线如图43所示
图4-3 单位阶跃输入时最小拍控制系统输出响应曲线图
由图可见，按单位速度输入所设计的最小拍系统，当 y 输入变为单位阶跃信号时，经过两个采样周期，(k ) = r (k ) 。 但当 k = 1时，系统输出响应将有100%超调量。 z 当输入为单位加速度信号时，系统输出序列的 变换为
y (0) = 0, y (1) = 0, y (2) = T 2 , y (3) = 3.5T 2 , y (4) = 7T 2 ,L
图4-4 单位加速度输入时最小拍控制系统输出响应曲线图
第二节 Simth纯滞后补偿控制算法 纯滞后补偿控制算法
一、纯滞后对系统控制品质的影响 常规控制系统的结构框图如图4-5所示。被控对象含有 纯滞后特性，其传递函数为
下面对设计出来的最小拍控制器进行分析与校验。 系统闭环脉冲传递函数为
Φ( z ) = 2 z −1 − z −2
当输入为单位速度信号时，系统输出序列的变换为
Tz −1 Y ( z ) = R ( z )Φ ( z ) = ( 2 z − z ) (1 − z −1 ) 2
−1 −2
= 2Tz − 2 + 3Tz − 3 + 4Tz − 4 + 5Tz − 5 + L
（4-25）
系统的特征方程为
1 + D( s )G p ( s)e
−τs
=0
（4-26）
这是一个复变数 s 的超越方程，方程的根也就是系统 τ 闭环特征根，将受到纯滞后时间 的影响。通过对系统的 τ 频域分析可知， 的增加不利于闭环系统的稳定性，使闭 环系统的控制品质下降。因此，在进行控制系统设计时， 为了提高系统的控制品质，应设法努力减小处于闭环回路 中的纯滞后。除了选择合适的被控变量来减小对象的纯滞 后外，在控制方案上，也应该采用各种补偿的方法来减小 或补偿纯滞后造成的不利影响。
由于 A(z)不包括 (1−z−1) 的因子，因此稳态误差为零的条件是 Φ e (z ) m 含有 (1 − z − 1 ) ，则可为下列形式 （4-6） Φ e ( z ) = (1 − z −1 ) m F ( z ) 式中 F (z ) 为 z −1 的有限多项式，即
F ( z ) = 1 + f1 z −1 + f 2 z −2 + L + f n z − n
3T 即 y (0) = 0, y (1) = 0, y (2) = 2T , y (3) = ,L 输出响应如图4-2所示。 从图中可以看出，当系统为单位速度输入时，经过两拍以 后，输出量完全等于输入采样值，即 y ( k ) = r (k )。但在各采 样点之间还存在着一定的误差，即存在着一定的波纹。
将 T = 0.5s 代入，有
根据题意，输入信号为单位速度输入，即 r (t ) = t ，则有：
Φ e ( z ) = (1 − z − 1 ) 2
0.368z −1(1 + 0.718z −1 ) G( z) = (1 − z −1 )(1 − 0.368z −1 )
代入式（4-12）求出最小拍控制器为
N (s )
E (s )
−
R(s ) +
E (s ) D(s )
U (s ) +
+
G p (s)
B
Y (s)
e −τs
图4-6 反馈回路的理想结构示意图
由图4-6可以得出闭环传递函数为
Φ( z ) = D( s)G p ( s)e −τs 1 + D( s)G p ( s)
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（4-27）
由上式可见，由于反馈信号B没有延迟，闭环特征方 程中不含有纯滞后项，所以系统的响应将会大大地改善。 但是由于B点信号是一个不可测(假想)的信号，所以这种 B ( ) 方案是无法实现的。 为了实现上面的方案，假设构造了一个过程的模型， 并按图4-7所示那样把控制量U (s)加到该模型上去。在图 4-7中，如果模型是精确的，那么虽然假想的过程变量 B 是得不到的，但能够得到模型中的 B m 。如果不存在建模误 E B 差和负荷扰动，那么 m就会等于B ， m ( s ) = Y ( s) − Ym ( s) = 0， 可将 B m点信号作为反馈信号。
T 2 z −1 (1 + z −1 ) Y ( z ) = Φ ( z ) R( z ) = (2 z − z ) 2(1 − z −1 ) 3
−1 −2
= T 2 z − 2 + 3.5T 2 z −3 + 7T 2 z − 4 + 11.5T 2 z −5 + L
即 。 2 ,L 此时，输入序列为 r (0) = 0, r (1) = 0.5T 2 , r (2) = 2T 2 , r (3) = 4.5T 2 , r (4) = 8T。 可见，输出响应与输入之间始终存在偏差，如图4-4所示
Y (s) G (s) = = G U (s)
N (s )
R (s )
+
−
p
( s ) e −τs
G 式中， p (s )为被控对象不含纯滞后特性的传递函数。
E (s )
U (s )
+
+
Y (s)
图4-5 有纯滞后的常规反馈控制结构图
系统的闭环传递函数（不考虑扰动时）为
D( s)G p ( s)e −τs Y ( s) Φ(s) = = R( s) 1 + D( s)G p ( s)e −τs