【全国百强校】广东省汕头市金山中学2015年高一数学暑假作业——必修二立体几何练习(word版,带解析汇报)

金山中学高一数学暑假作业——立体几何
一、选择题
1．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）
（A
（B
（C
（D
【答案】B
由题意知，该等腰直角三角形的斜边长为
，所得旋转体为同底等
高的全等圆锥，所以，其体积为2
1
,
33
π⨯⨯=，故选B.
2．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是（）
A．
1
2
B
．
2
C
D
．
【答案】C
试题分析：由斜二测直观图还原原图形如图，
因为边O′B′在x′轴上，所以，在原图形中对应的边应在x轴上，
且长度不变，
O′A′在y′轴上，所以，在原图形中对应的边应在y轴上，且长度
增大到2倍，
因为O′
B′=1，所以 O ′ A ′ =，则OA= 2
S △ABO
3．设一个球的表面积为
1
S，它的内接正方体的表面积为
2
S，则1
2
S
S
的值等于（）A．
2
π
B．
6
π
C．
6
π
D
．
π
2
【答案】
D
试题解析：设球的半径为R,则球的表面积2
1
4
S R
π
=
设内接正方体的棱长为a，则
2
3
R a
=⇒=
即正方体的表面积为
222
2
4
668
3
S a R R
==⨯=
∴
2
1
2
2
4
82
S R
S R
ππ
==
4．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）
（A
）1（B
）2（C
）1+（D
） 【答案】B
【解析】由题意，该四面体的直观图如下，,ABD BCD ∆∆是等腰直角三角形，,ABC ACD ∆∆是等边三角形，
则
11
3
1,6022BCD ABD ABC ACD S S S S ∆∆∆∆======
，
所
以
四
面
体
的
表
面积212232
B
C
D A
B
D A C
A
C
D
S S
S
S S
∆∆
∆
∆=
+
++=⨯+
⨯=+
，故选B.
5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是
A ．2
B ．92
C ．3
2
D ．3
【答案】D
试题分析：由三视图可知该几何体是四棱锥，底面积()32212
1
=+=
S ，高x h =，33
1
===x Sh V ，故答案为D.
6．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （ ） A ．283π-
B ．83π-
C ．82π-
D ．23
π 【答案】A
试题分析：从三视图可知，该几何体为正方体中间挖去一个圆
侧视图
俯视图
x
锥所得的几何体，其体积为3212212833
V p
p =-
创?-． 7．如图，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =，有一
只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（ ）
A
C
D
【答案】B
试题分析：在圆锥侧面的展开图中
，
，所
以，所以
1V V 23
π
'∠A B =∠A A =
，由余弦定理得：
222221
C V VC 2V VC cos V 3123172
A =A +-A⋅⋅∠A
B =+-⨯⨯⨯
=
，所以C A =
，故选B ．
8．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为
2的等腰直角三角形,侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ）
A
．．4 C
．
． 【答案】C
试题分析：如图，该几何体是正方体中的NBCQ ，正方体的棱长为2，四面体NBCQ 的四
个面的面积分别为2,
9．半径为R 的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r 的可能最大值为（ ）． A
R B
R C
R D
A
V C
B
Q
P
N
M
D
C
B
A
【答案】C
试题分析：四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为r 2，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，该正四面体的高为
r r r 36233242
2
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-，该正四面体的外接球半径为x ，则
2
22
332362⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=r x x ， 解得r x 26=
，r r R +=∴26，R r 6
36
+=∴，故答案为C ． 10．已知矩形ABCD ，F E 、分别是BC 、AD 的中点，且22BC AB ==，现沿EF 将平面
ABEF 折起，使平面ABEF ⊥平面EFDC ，则三棱锥A FEC -的外接球的体积为（ ）
A
B
C
D
． 【答案】B
题分析：如图易得三棱锥A FEC -外接球的直径为AC ，而
322=+=FC AF AC ，故外接球的体积为
ππ2
3
23343
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛． 11．设长方体的长、宽、高分别为2,,a a a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．23a π B ．26a π C ．212a π D ．224a π
【答案】B ．
试题分析：因为长方体的长、宽、高分别为2,,a a a ，则长方体的体对角线为a a a a 64222=++，
则长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，，即a R 62=，a R 2
6
=
，则该球的表面积2264a R S ππ==． 12．三棱锥ABC S -的顶点都在同一球面上，且4,22=====SC BC SB AC SA ， 则该球的体积为（ ） A ．
π3256 B ．π3
32
C ．π16
D ．π64 【答案】B
试题分析：取SC 中点D 连结,AD BD ，由4,22=====SC BC SB AC SA
，可知
,SB BC SA AC ⊥⊥
DA DB DC DS ∴=== ，外接球的半径为2，球的体积为
π3
32 13．球的体积与其表面积的数值相等，则球的表面积等于（ ） A B ．4 C ．16 D ．
36 【答案】D
试题分析：设球的半径为R ,则可得
324
43
R R ππ=,解得3R =.所以此球的表面积为24336S ππ=⨯=.故D 正确.
14．已知四面体A BCD -满足下列条件： （1）有一个面是边长为1的等边三角形； （2）有两个面是等腰直角三角形．
那么四面体A BCD -的体积的取值集合是（ ） A
．1{,
}212 B
．1
{6 C
．{}1224
D ．1
{,
}
61224 【答案】C
试题分析：在下图1中，113412
V
=
⨯=．在下图2中，ACD ∆是边长为1的正三角形，其余三个面都是等腰直角三角形，
其直角边为
2
，211()322224V =⨯⨯⨯
=．在
下图3中，ACD ∆，BCD ∆
是边长为1的正三角形，其余两个面都是等腰直角三角形，其
斜边AB
=21132V =⨯⨯=．由此可知选C ．注，算出前面两个即可确
定应选C ．
图1
D
图2
D
图3
B
D
二、填空题
15．若正三棱柱的所有棱长均为a
，且其体积为
a = ． 【答案】4
【解析】2
3644a a a ==⇒= 16．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小
为 ．
【答案】3π
【解析】由题意得：
1:(2)222
rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒
母线与轴的夹角为3π
17．某空间几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则其体积是 cm 3
, 其侧视图的面积
是 cm 2
．
【答案】4；
125
． 试题分析：由图可知几何体是底面为直角三角形高为2的三棱锥，所以其体积为
11
342432
V =⨯⨯⨯⨯=，
由俯视图可得侧视图的底边长为3412
=
55⨯，所以侧视图的面积为112122255
S =⨯⨯=．
18．已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是________.
【答案】试题分析：如图，正三棱柱111ABC A B C -中，1,D D 分别是11,AB A B 的中点，则当面11CC D D
与侧面平行时，左视图面积最小，且面积为2S ==
19．棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则
y
x 1
1+的最小值为 ．
【答案】
5
10
2 试题分析：由图可知，根据三视图得到三棱锥OABC 如图，
OC=2，AC=y ，BC=1，在OAC Rt ∆中，24y OA -=，2225y BC OA x -=+=，
即522=+y x ，由于xy y x 22
2≥+，故2
5≤
xy ，2
10
≤
xy ，由题， 5102211≥≥+xy
y x ；
20．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的3
16
，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_______ 【答案】
13
试题分析：设球半径是R ，圆锥底面圆半径是r ，则223
416
r R ππ=
⨯
，∴2r R =，小
圆锥的高为1h R ==1
2R ，则大圆锥的高为213222h R R R =-=，所以
121
3
h h =． 21．一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为 1，则球的表面积为 . 【答案】4π
试题分析：由题意可得：
⎪⎩
⎪⎨⎧⨯⨯=⨯⨯⨯=球圆锥球圆锥
r r r r 22
23413
1ππ，所以1=球r ，所以球的表面积为4π. 22．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为 . 【答案】6π
试题分析：由题意得22,2r h ==，所以圆柱的表面积为2
2+26.r rh πππ=
23．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O
积为 ________； 【答案】12π
试题分析：由题意可知球心O 到平面α的垂线和平面α截球O 的球面所得圆的半径与球体的半径成直角三角形，球体半径是直角三角形的斜边，所以由题目中给出的数，求得球体半径
为R =24R π，得到表面积为12π。

24．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且2
2
=EF ，则三棱锥B —AEF 的体积为是_______．
【答案】1
12
试题分析：
1111111
132322322212B AEF A BEF BEF AC AC V V S EF BB --∆==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=
1
D。