高中数学周练卷5课时作业(含解析)新人教A版选修2-1

周练卷（五）
一、选择题(本大题共7小题，每小题5分,共35分）
1．抛物线y2＝8x的焦点到直线x－错误!y＝0的距离是(D）
A．2错误!B．2
C。

3 D．1
解析：y2＝8x的焦点为F（2,0),它到直线x－错误!y＝0的距离d＝错误!＝1.故选D。

2．准线与x轴垂直,且经过点（1，－错误!)的抛物线的标准方程是(B）
A．y2＝－2x B．y2＝2x
C．x2＝2y D．x2＝－2y
解析：本题考查抛物线标准方程的求法．由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax,则（－错误!）2＝a，解得a＝2,因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B。

3．已知点P（6，y)在抛物线y2＝2px（p>0)上,若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于（C）
A．2 B．1
C．4 D．8
解析：本题主要考查抛物线的定义和抛物线的焦点到准线的距离．抛物线y2＝2px(p〉0）的准线为x＝－错误!。

因为P(6，y）为抛物线上的点，所以点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离，所以6＋错误!＝8,解得p＝4，所以焦点F到抛物线准线的距离等于4，故选C。

4．抛物线y2＝12x的准线与双曲线错误!－错误!＝－1的两条渐近线所围成的三角形的面积为(A)
A．3错误!B．2错误!
C．2 D。

错误!
解析：本题主要考查抛物线和双曲线中的基本量和三角形面积的计算．抛物线y2＝12x 的准线为x＝－3，双曲线的两条渐近线为y＝±错误!x,它们所围成的三角形为边长为2错误!的正三角形,所以所求三角形的面积为3错误!,故选A。

5．过点（0，1）且与抛物线y2＝4x只有一个公共点的直线有（C）
A．1条B．2条
C．3条D．0条
解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系．易知过点（0，1）且斜率不存在的直线x＝0，满足与抛物线y2＝4x只有一个公共点．当过点（0，1)的直线的斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋1,与y2＝4x联立,整理，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，当k＝0时，方程有一个解,满足直线y＝kx＋1与抛物线y2＝4x只有一个公共点;当k≠0时，由Δ＝0，可得k＝1，满足直线y＝kx＋1与抛物线y2＝4x只有一个公共点．综上,满足题意的直线有3条，故选C.
6．过抛物线y2＝2px（p〉0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1），Q（x2，y2）两点,若x1＋x2＝3p，则｜PQ｜＝(A）
A．4p B．5p
C．6p D．8p
解析：设焦点为F，则｜PQ｜＝｜PF|＋｜QF|＝错误!＋错误!＝x1＋x2＋p＝4p。

7．已知双曲线错误!－x2＝1的两条渐近线分别与抛物线y2＝2px(p>0)的准线交于A，B两点，O为坐标原点,若△OAB的面积为1，则p的值为（B)
A．1 B.错误!
C．2错误!D．4
解析:双曲线错误!－x2＝1的两条渐近线方程是y＝±2x。

又抛物线y2＝2px（p>0)准线方程是x＝－错误!，
故A，B两点的纵坐标分别是y＝±p。

∵△AOB的面积为1，∴错误!·错误!·2p＝1。

∵p>0，∴p＝错误!.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分)
8．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1，0），则p＝2，准线方程为x＝－1。

解析：本题主要考查对抛物线标准方程的理解和应用．因为抛物线y2＝2px的焦点坐标为错误!,准线方程为x＝－错误!，所以p＝2，准线方程为x＝－1。

9．已知点A错误!，抛物线y2＝2x的焦点为F，点P在抛物线上,且|AP｜＝错误!｜PF｜，则｜OP｜＝错误!。

解析：过P作抛物线y2＝2x准线的垂线，垂足为B。

由｜AP｜＝错误!|PF｜知△PBA 为等腰直角三角形,则四边形PBAF为正方形,故P错误!.∴|OP|＝错误!。

10．在平面直角坐标系xOy中,有一定点A（2，1）,若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p〉0）的焦点，则该抛物线的准线方程是x＝－错误!。

解析：线段OA的垂直平分线方程为y＝－2x＋错误!,令y＝0，得x＝错误!。

于是抛物线的焦点为F错误!。

故抛物线方程为y2＝5x，其准线方程为x＝－错误!.
11．过抛物线x2＝2py(p>0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B 两点（点A在y轴左侧）,则错误!＝错误!。

解析:
本题主要考查抛物线定义的应用．如图,过点A，B作准线的垂线,垂足分别为D，E，再过点A作AC垂直BE于点C，设|BC｜＝a，由于直线AB的倾斜角为30°，因此｜AB|＝2a。

由｜AD|＝｜AF｜，｜BF|＝｜BE｜，得｜AD｜＝错误!，则｜AF｜＝错误!,｜FB|＝错误!,于是错误!＝错误!.
三、解答题(本大题共3小题，共45分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
12．（15分）点M到点F(4，0）的距离比它到直线l：x＋6＝0的距离小2。

（1）求点M的轨迹方程;
（2)若直线y＝x－5与（1）中的轨迹交于A,B两点，求线段AB的长度．
解：（1）解法一：由题意可知：点M到点F（4,0）的距离与它到直线l：x＋4＝0的距离相等,故点M的轨迹是以F为焦点的抛物线．
由错误!＝4得p＝8，所以其轨迹方程是y2＝16x。

解法二:设M（x,y)，则由题意可得:错误!＋2＝|x＋6｜，化简得轨迹方程为y2＝16x，(2）解法一：设A（x1，y1），B(x2，y2）,
则|AB|＝错误!＝|x1－x2｜错误!＝错误!｜x1－x2｜.
由错误!得x2－26x＋25＝0。

所以｜x1－x2｜＝错误!＝错误!＝24。

于是|AB|＝错误!｜x1－x2|＝24错误!。

解法二：设A（x1，y1)，B(x2,y2)，
由错误!得x2－26x＋25＝0,
解得x1＝1，x2＝25。

所以A(1,－4),B(25，20），
从而｜AB|＝(1－25)2＋(－4－20)2＝24错误!。

13．(15分）已知抛物线C1的焦点与椭圆C2：错误!＋错误!＝1的右焦点重合，抛物线C1的顶点在坐标原点，过点M(4，0）的直线l与抛物线C1交于A,B两点．（1）写出抛物线C1的标准方程；
（2）求△ABO面积的最小值．
解：（1)椭圆C2：错误!＋错误!＝1的右焦点(1,0),即为抛物线C1的焦点．
又抛物线C1的顶点在坐标原点，所以抛物线的标准方程为y2＝4x。

（2)当直线AB的斜率不存在时，直线方程为x＝4，
此时｜AB|＝8,△ABO的面积S＝错误!×8×4＝16。

当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的方程为y＝k（x－4)(k≠0）．
由错误!得ky2－4y－16k＝0，Δ＝16＋64k2〉0。

设A（x1，y1）,B（x2,y2)，由根与系数的关系，
得y1＋y2＝错误!，y1y2＝－16，
所以S△ABO＝S△AOM＋S△BOM＝错误!|OM｜｜y1－y2｜
＝错误!｜OM｜·错误!＝2错误!>16.
综上所述，△ABO面积的最小值为16.
14．（15分)已知抛物线x2＝2py(p〉0),F为其焦点，过点F的直线l交抛物线于A，B 两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示．
（1)求点C的轨迹M的方程；
（2）直线m是抛物线的不与x轴重合的切线，切点为P,点C的轨迹M与直线m交于点Q，求证:以线段PQ为直径的圆过点F.
解：（1）由题意可得，直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋错误!。

设A(x1，y1)，B（x2，y2）,动点C（x，y)，
由错误!
可得x2－2pkx－p2＝0，可得x1x2＝－p2.
因为OA：y＝错误!x＝错误!x，CB：x＝x2，
所以由错误!可得y＝错误!·x2＝－错误!,
即点C的轨迹方程为y＝－错误!。

（2)证明:设直线m的方程为y＝kx＋m，
由错误!得x2－2pkx－2pm＝0,所以Δ＝4p2k2＋8pm。

因为直线m与抛物线相切，所以Δ＝0，即pk2＋2m＝0，
可得P(pk，－m）．
又由错误!可得Q错误!，
因为错误!·错误!＝错误!错误!＝－错误!（p＋2m）＋pm＋错误!＝0,
所以FP⊥FQ,所以以线段PQ为直径的圆过点F。