第三章 力矩,力偶系

第三章 力矩,平面力偶系 三章 力矩,平面力偶系
平面） §3-1 （平面）力对点之矩 移动效应--取决于力的大小、 移动效应 取决于力的大小、方向 取决于力的大小 力对物体运动效应 转动效应—取决于？ 转动效应 取决于？ 取决于 力使物体绕O点转动的转动效应的大小取决于： 力使物体绕 点转动的转动效应的大小取决于： 点转动的转动效应的大小取决于 力的大小 O点到力作用线的距离 点到力作用线的距离 O点：称为矩心 点 称为矩心 O点到力的作用线的垂直距离 称为力臂 点到力的作用线的垂直距离 称为力臂
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[M (F )] = yF − zF , [M (F )] = zF − xF , [M (F )] = xF − yF
O x z y O y x z O z y x
图示：计算力 对 点之矩 图示：计算力F对O点之矩
r M O(F ) = ± F ⋅ h
h = R cos α
r M O(F ) = − F ⋅ R cos α
M = OA × F + OB × F ′ = OA × F − OB × F = OA − OB × F
x 力偶矩矢 M 与O点位置
(
)
无关，是自由矢量。 无关，是自由矢量。
力偶矩矢由其模、 力偶矩矢由其模、方位 和指向确定。 和指向确定。
21
M = BA × F
说明： 说明：空间力偶是矢量
力偶矩矢
一.力偶 1、力偶 、 两个等值、反向、不共线的（平行） 两个等值、反向、不共线的（平行）力组 r r 成的力系称为力偶， 成的力系称为力偶，记作 (F, F′)
力偶作用面：力偶中两力所在平面称为力偶作用面. 力偶作用面：力偶中两力所在平面称为力偶作用面. 力偶臂：力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂d. 力偶臂：力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂d.
Fh
A
r
O
力矩作用面（ 与矩心O所在平面 力矩作用面（力F与矩心 所在平面） 与矩心 所在平面） 使刚体绕转动轴转动的方向
F h B
因此用一个矢量来描述空间里对点之矩
MO (F ) = r × F
大小
M O ( F ) = Fh = 2 S ∆ABO
转向： 转向：按右手法则确定
方向
MO (F ) = r × F
5.力偶力偶对刚体的转动效应取决于 力偶力偶对刚体的转动效应取决于 力偶矩大小M=Fd 力偶矩大小M=Fd 力偶的转向 力偶的作用面 力偶的三要素
力偶的另一种表示（三要素表示） 力偶的另一种表示（三要素表示）
= =
= =
§3-3 力偶的等效
一、平面力偶等效定理
同平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩大小相等、 同平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩大小相等、 内的两个力偶 力偶矩大小相等 转向相同，则两个力偶必等效。 转向相同，则两个力偶必等效。
i =1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
平面力偶系合成结果还是一个力偶, 平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩 的代数和。 的代数和 三、平面力系的平衡
平面力偶系平衡的充要条件是: 平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和 等于零。 等于零。
即
∑ mi = 0
i=1
n
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为
D
设在刚体上作用有力偶（ 设在刚体上作用有力偶（F，F ' ）， 现研究它对O点的转动效应 点的转动效应。 现研究它对 点的转动效应。 A 力偶（ 点的转动效应可 力偶（F，F ' ）对O点的转动效应可 F 来度量。 用一矩矢 M 来度量。
z
力偶矩矢
F' y B
M
O
M = M O ( F ) + M O ( F ′)
∴N B =
60 =300N 0.2
∴N A = N B =300 N
例题 图示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA 和BD 上分别 作用着矩为 m1 和 m2 的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。 已知OA = r，DB = 2r，α= 30°，不计杆重，试求 m1 和 m2 间的关系。
B SAB A
二. 力偶与力偶矩的性质 1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零. 1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零. 力偶在任意坐标轴上的投影等于零
2.力偶没有合力，力偶只能与力偶平衡. 2.力偶没有合力，力偶只能与力偶平衡. 力偶没有合力
力偶仅仅使刚体产生转动效应（不会使刚体移动） 力偶仅仅使刚体产生转动效应（不会使刚体移动） 3、力偶对刚体转动效应的度量 、
一、力对点之矩的定义 工程上将力与力臂的乘积用于度量力对点转动效应， 工程上将力与力臂的乘积用于度量力对点转动效应，称为
r 点之矩， 力F对O点之矩，记为 M O(F ) 对 点之矩
r M O (F ) = ± F ⋅ h
二、说明 ① M O (F )是代数量。 大小： 大小：等于力的大小与力臂的乘积 正负： 正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为 正，反之为负 ②
（实际就是三个要素相同） 实际就是三个要素相同）
二、同平面的力偶，只要保持力偶矩（大小，正负） 同平面的力偶，只要保持力偶矩（大小，正负） 的力偶 不变，力偶可在其作用面内任意移转， 不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力 偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变. 偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变.
α
B SBA
m1
A
m1 m2
NO D
O
m2
O D ND
解：杆AB为二力杆。
的平衡方程： 分别写出杆AO 和BD 的平衡方程：
α SAB A
∑m= 0,
m − SABr cosα = 0 1
NO
m1
O
−m2 + 2SBAr cosα = 0
SAB = SBA m = 2m 2 1
B SBA
m2
α ND
1 1 1
力偶对其作用面内任意点的矩都等于力偶矩， 3. 力偶对其作用面内任意点的矩都等于力偶矩，不因矩 心的改变而改变. 心的改变而改变.
力偶矩的符号： 力偶矩的符号：
M = ±Fd
4.在平面内，力偶是代数量 在平面内， 在平面内 逆时针转动： 逆时针转动：正 顺时针转动： 顺时针转动：负
M = ±F ⋅ d
m1 = m2 = m3 = m4 =15N ⋅m
求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力? 解: 各力偶的合力偶距为
M =m1 +m2 +m3 +m4 =4×(−15)=−60N⋅m
由力偶只能与力偶平衡的性质， 力NA与力NB组成一力偶。 根据平面力偶系平衡方程有: NB ×0.2 − m − m2 − m3 − m4 = 0 1
r = x i + yj + zk
i j y Fy k z Fz
z
F = F x i + F y j + Fz k
∴ MO (F ) = r × F = x Fx
Fzk r A Fxi z y x F Fyj y x
= ( yFz − zFy )i + ( zFx − xFz ) j + ( xFy − yFx )k O
M = BA × F
力偶矩矢的模（大小）： 力偶矩矢的模（大小）： A
z
力偶矩矢
F' y B
M
d O
M = BA × F = Fd
力偶矩矢的方位： 力偶矩矢的方位：
F
x 沿力偶作用面的法向（表示力偶作用面的方位） 沿力偶作用面的法向（表示力偶作用面的方位） 力偶矩矢的指向： 力偶矩矢的指向： 按右手法则确定（表示力偶的转向） 按右手法则确定（表示力偶的转向） 力偶矩矢的三要素：力偶矩的大小、作用面的方位和转向。 力偶矩矢的三要素：力偶矩的大小、作用面的方位和转向。
力偶对任意点的矩： 力偶对任意点的矩：力偶中的两个力对任一点之矩的代数和
M O ( F , F ′) = M O ( F ) + M O ( F ′)
力偶矩： 力偶矩：力偶中力的大小与力偶臂的乘积
Fxd
= F ⋅ (d + x1 ) − F ⋅ x1 = Fd
r r r r MO (F, F′) = MO (F) + MO (F′)
MO(F) =2⊿AOB=2倍⊿形面积。
d=0,即力通过矩心 即力通过矩心
M ③ 当F=0或d=0时， O (F ) =0。
④单位N•m。KNm 单位 • 。
⑤空间力对点之矩是矢量
MO(F)
对刚体产生绕O点转动效应取决于 力F对刚体产生绕 点转动效应取决于： 对刚体产生绕 点转动效应取决于： 转动效应的强度： 转动效应的强度：力矩的大小
§3-4 力偶系的合成与平衡 一、平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系 平面力偶系 二、平面力偶系的合成 （以两个力偶说明）
m1 = 20kNm m2 = 12kNm
移转调 整力与 力臂
M = m1 + m2 = 20 + 12 = 32kNm
结论: 结论:
M = m1 + m 2 + L + m n = ∑ mi