工程电磁场习题解答2
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16.（静电场电轴法计算例题）空中两根互相平行、无限长的导体圆柱上带有等量异号电荷。设单位长度的电量τ=10-8C/m，圆柱的半径各为R0′=15cm,R0″=20cm，两圆柱的几何轴线间距离为d=50cm。试求电轴的位置、零位(中性)面的位置。
解对于两半径不等的平行导体圆柱，根据式
可确定中性面到半径为R1的圆柱面的几何中心的距离为：
解图示A、B为两细长导线，令单位长度上分别带电荷+τ，-τ，先求两者之间的电压。因导线很细，d>>R0，可视导线的几何轴与电轴重合，由电场叠加原理，则可得不考虑地面的影响时，导线A与B连接轴线相近表面处点1及点2的电位为：
，
两导线间电压：
按电容的定义，可得单位长度两导线间的电容：
考虑地面的影响，则对应地设置镜象A′之电荷为-τ，镜象B′之电荷为+τ。由电场叠加原理，同样可得任一点P的电位为：
对于w匝线圈，密绕不考虑漏磁，则这一磁通与w匝线圈交链，其磁链Ψ＝wΦ，所以w匝线圈产生的总磁链为 ，其自感为：
对于内自感，一般均采用近似计算法。不论回路形状如何，其内自感计算可等同于无限长直导线的情况，回路的内自感为线圈的长度l乘以单位长内自感，即： 。
一般而言，回路的内自感远小于外自感，所以回路的自感为：L=Li+Lo≈Lo
29.（矢量磁位计算）用矢量磁位的方法，求无限长的平行双输电线的磁场。
解设双输电线通过的电流大小相等方向相反，分布在z轴两边，且输电线轴线距z轴的距离均为x0。双输电线磁场的矢量磁位方向显然平行于z轴。由于输电线为无限长，在平行于xoy平面上磁场分布相同，研究点P（x，y，o）的情况。点P的矢量磁位由导线1和2的矢量磁位A1、A2叠加而得。首先单独考虑导线1的矢量位时，若选定坐标原点o为参考点，则电流I沿z轴方向，任一点P（r，α，z）的矢量磁位A将只有Az分量。
解设1、2为两根长直导线，考虑导线l的受力时必须分析铁块对磁场的影响。导线1、2的镜象分别为
导线1单位长度受力
右边各项依次为电流I′、-I′、-I的磁场对电流I的作用力，其大小分别为
同样：
32.（电感计算与磁场力）求平行双输电线单位长度上的磁场力。
解：设平行双输电线的半径为R0，相距为D，此双输电线所流过的电流为I，如图取坐标轴，则其上任一点A的磁感应强度为
解设电流依次为I1和I2，则应有I1＋I2＝I。在钢芯和铝线的分界面上，电场强度的轴（切）向分量连续E1t=E2t，则：
故： ，
由安培环路定理：
磁化强度：
27.（边界条件例题）磁场由磁导率μ1＝1500μ0的钢进入空气中，已知钢中B1＝15T，α1=87°。求分界面空气一侧的B2和α2。
解钢内磁感应强度B1的两分量为
即电位移矢量D的通量为q1。因此以S2作为导体壳内电场的一个边界面，通过它的电通量仅仅决定于导体壳内的电荷，而与壳外的电荷分布是无关的。根据唯一性定理，当导体壳内带电导体都是给定电荷量时，电位函数可以相差一个常数，但是电场强度是唯一确定的。它不受导体壳外电荷q2的影响。这时甚至壳内的电位函数也是唯一确定的。因此，在这二种情况下，导体壳内的电场都不受壳外电荷的影响。
对于C’B’段，
对于B’A’段，利用 ，即有 ，
其中点B’相应于z=a，点A’相应z=0。
综合上述结果，同样得到进入纸面内的磁通
31.（磁场力计算）将两根平行长直导线平行放置在一块十分厚的大铁板外，两线相距1m，它们与铁板平面相距均为0.5m，载有彼此反向的电流，电流强度为10A，计算每根导线单位长度的受力。
解长直导线外任一点的磁感应强度
与其距离为r的各点上B的方向相同。窄长条上穿进的磁通
于是，穿过ΔA’B’C’磁通为：
代入数据，得到数值结果
26.（安培环路定理及磁化强度例题）空气中有一长直钢芯铝线，钢芯半径为R1，铝线的内外半径分别为R1、R2。钢的电导率为γ1，相对磁导率为μr，铝的电导率为γ2。设此导线中电流强度为I（假设电流在各介质内都作均匀分布），求导线内部的磁感应强度及磁化强度。
中性面到半径R0″的圆柱面的几何中心的距离为：
电轴到中性面的距离为：
17.（静电场电位计算例题）如图，真空中无限长具有相同半径R0的平行双输电线，其轴心距为D，设每根导线单位长度上所带的电荷量分别为+τ及-τ，求任一点P的电位。
解：由高斯定理可得两电轴分别产生的电场强度表达式为：
，
选取坐标轴的原点o为零电位点，则点P电位为：
故得导体A、B的电位分别为：
，
故得ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ导线间电压为：
按电容的定义，可得考虑地面影响时单位长度两导线间的电容为：
若要求两种情况下，电容值的误差不超过1%，即：
代入C0和C0′可求得导线距地面高度h必须满足：
对于导线间距d=1m，导线之半径R0＝4mm时，算得h＞1.46m。
20.（恒定电场，电阻计算例题）厚度为h=4mm的薄钢片，其形状、尺寸、电极位置、电极上的电位如图3-8所示，若钢的电导率为5×106S/m，R1=30mm，R2＝60mm，求电极之间的电阻。
由磁场力计算公式可得：
fD＞0，说明磁场力是在使得导线间距离D增大的方向上。亦即通常所说的斥力。
33.（电感的计算）求密绕w匝线圈的螺线环的自感。圆环的平均半径为d，截面为半径等于a的圆形。
解：设电流集中在回路的轴线上。利用矢量磁位A计算外磁链。对于单匝线圈，回路的内周界l为积分路径，则矢量磁位： ，dl为载流线圈的回路，可近似等于载流回路的中心轴线；外磁链为： ，dl’为求解磁通的面积区间，等于载流回路的内线圈面积。计算可得： 。
由单根有限长导线磁场计算公式：
可知导线1和导线2在导线3任一段元的场强B1和B2分别为：
因此，长度元dx处的磁感应强度B的大小为
则磁场力
（如果连接导线3为可绕一端旋转的刀闸，当通过短路电流时磁场力F的转矩有可能将刀闸推开。）
25.（毕奥—萨伐尔定律与磁通例题）无限长直导线通以电流I，图示直角三角形ΔA’B’C’与之共平面，求通过ΔA’B’C’的磁通。设a=12cm，b=7cm，d=5cm，I=10A，求出数值结果。
解通过电位函数φ满足拉普拉斯方程来求解。若选用圆柱坐标系，可以看出φ仅与α坐标有关，而与r、z坐标无关，因此所满足的拉普拉斯方程不含对r、z的偏导数项，简化为：
直接积分得：
由边界条件 时 ， 时， ，
可确定出待定常数为： ， 。
所以得到电位函数：
电场强度为：
电流密度为：
通过薄钢片截面的电流：
因此电极之间的电阻：
解建立坐标系如图4-6示。连接1、2的导线段为x=a至x=d-a。由于为简化计算，已经假定认为电流集中在导线的几何轴线上。在区间（a，d－a）内任一点x处截取长度元dx，则导线1，2在x处的磁感应强度B1和B2的方向相同（它垂直于导线所在平面并指向纸面），由于空气以及非铁磁物质的磁导率与真空中的磁导率μ0极其接近。
，
线圈回路的内自感：
其中I为流过回路的电流，Ψi是与整个回路电流交链的磁通。回路的内磁通，仅与回路部分电流相链，故必须将此部分内磁通折合为与回路电流I全交链的磁通，亦即折合为内磁链。
设长直导线截面半径为R，当通以电流I时，电流均匀分布于导线的截面，由安培环路定理，可求得离轴线r处的磁感应强度 ，其中
(R1<R<R2)，
内外球之间的电压为：
根据电容的定义：
在式中令R2→∞，得到半径为R1的孤立导体球的电容 ，要使得
即： ，因此满足要求的球形电容器的半径比R2/R1≥101
19.（静电场电容计算例题）两根平行细长导线位于与地面平行的平面内，导线半径为R0=4mm，轴线间距离为d=1m。当导线至地面的高度不低于多大值时，忽略地面的影响，导线电容计算值的误差才不致超过1%。
代入已知数据求得数字解答：
（恒定电场，电阻计算例题）
21.半球形接地体的位置靠近直而深的陡壁。由接地体中心o到陡壁的距离h＝10m，球半径R0=0.3m，土壤的电导率 ，通过电极的电流I=100A。求在点B沿ox方向的跨步电压（设步长为0.75m），并计算接地电阻。
解角形场域的边界条件为电流密度线沿地表面及陡壁表面，如图设置镜象，可满足边界条件不变。设流出两个整球的电流都是2I，因球之间的距离2h较R0大得多，近似认为它们的电流沿各自球的径向均匀分布，类似于静电场中相距很远的两个导体球都把电荷2q近似集中到球心的情形。
解： ，
由对称性分析，该磁场强度只有x方向的分量。
23.（毕—萨定律例题）求半圆形导线通以电流I时，在其圆心O处的磁感应强度的方向和大小.
解：由毕奥—萨伐尔定律知：
由右手定则知，B的方向指向纸的背面。而r=R, dl=Rdθ，则：
24.（磁场强度与磁场力例题）两平行、轴线间距离为d的半无限长直导线1、2，以直导线3连接，导线为铜线，其半径均为a。通以电流I（假定电流集中在导线的几何轴线上），试确定连接1，2的导线段3所受的磁场力。
图(b)表示外壳不接地的情形。由于静电感应，壳内电荷的量将在外壳表面感应出等量同符号的电荷，因此，它将影响外界电场的分布。
15.如右图，金属壳内有一点电荷q1，试用静电场唯一性定理分析将外壳接地（图a）和外壳不接地两种情况下，是否会影响到壳内的电场分布？
解：在图(a)、(b)二种情形下。设封闭导体壳的内表面为S2，对于壳内区域而言它是一个边界面。首先，S2是一个等位面。其次，如在壳内紧贴S2作一高斯面S，则有
当l>>r,则有：
故双输电线的合成矢量磁位：
30.（矢量磁位计算）利用矢量磁位重新计算例4-3中通过ΔA’B’C’的磁通。
解如图4-32所示，仍规定ΔA’B’C’平面的正法向为垂直进入纸面内，则其周界的绕行方向应为图中箭头所示。通过ΔA’B’C’的磁通
导线外的矢量磁位
对于C’A’段的积分，因A与dl垂直，故
28.（标量磁位计算）有一载电流I的无限长直圆导线，试求图示导线外A、P两点之间的磁压UmAP。
解载有电流I的无限长直圆导线外的磁场强度 ，在直线OP上取点C，令OC=OA=r。磁场强度沿着自点A到P的曲线l的曲线积分，只要曲线l不链绕电流，则积分值与路径无关。
因此，把圆孤AC连同直线段CP取作积分路径l，可以方便地得到积分值。A、P两点间的磁压：
工程电磁场习题解答（2）
14.如右图，金属壳内有一点电荷q1，试用静电场唯一性定理分析将外壳接地（图a）和外壳不接地两种情形，在哪一种情况下，壳内的电荷大小不对壳外空间的电场分布产生影响？
解：图(a)表示外壳接地的情形。设封闭导体壳的外表面为S1，对于壳外区域而言，它是一个边界面。无论壳内电荷q1在数量上增减或作位置上的移动，由于导体壳接地，恒有 ，始终没有改变克外区域边界面上的边界条件。因此，由静电场唯一性定理知，在这种情况下，壳内的电荷不影响壳外的电场。
由叠加原理，点P的电位为
18.（静电场电容计算例题）球形电容器的内球外半径为R1，外球的内半径为R2。介质的电容率为ε0。要使得这一电容器的电容与空气中半径为R1的孤立导体球的电容之比不超过后者的1%，试确定球形电容器的内外半径比(R2/R1)。
解设球形电容器的内导体球的电荷为q，则电容器中的电场强度为：
球的电位：
半球接地体的接地电阻：
代入数据得到R=53.87Ω对于x处的电位可得：
在点B，x＝0.3m。一个跨步距离上的点C，x=0.3+0.75=1.05m，并以I＝100A代入φx，则跨步电压为：
22.（毕—萨定律例题）真空中,半径为R的载流导线,通以电流I，求其轴线上一点p的磁感应强度的方向和大小.
此时通过图示单位长度小环侧面积的磁通为
导线单位长度内磁链
导线单位长度内自感
线圈回路自感则等于外自感与内自感之和。
其中l1为线圈回路轴心线的长度，l2为线圈回路内周界的长度。平行双输电线单位长度的外自感，若再计入其内自感则得平行双输电线单位长度的自感
磁场能量为：
选导线之间的距离D作为广义坐标g，则在这一方向上的作用力fD为对应之广义力。
34.（位移电流的计算）雷云放电以前，与地面感应电荷形成一均匀电场，设此均匀电场的电场强度为5000V/cm，若雷云放电时间为1μs，求放电时此区域内位移电流密度之值。
解由于雷云放电时间为1μs，故电场强度(由5000V /cm降为零)的变化率的绝对值：
（5000V /cm=500,000V/m）
35.（位移电流的计算）空间某点的电位移矢量依照指数规律变化 变化。求该点的位移电流密度表达式。
解对于两半径不等的平行导体圆柱，根据式
可确定中性面到半径为R1的圆柱面的几何中心的距离为：
解图示A、B为两细长导线，令单位长度上分别带电荷+τ，-τ，先求两者之间的电压。因导线很细，d>>R0，可视导线的几何轴与电轴重合，由电场叠加原理，则可得不考虑地面的影响时，导线A与B连接轴线相近表面处点1及点2的电位为：
，
两导线间电压：
按电容的定义，可得单位长度两导线间的电容：
考虑地面的影响，则对应地设置镜象A′之电荷为-τ，镜象B′之电荷为+τ。由电场叠加原理，同样可得任一点P的电位为：
对于w匝线圈，密绕不考虑漏磁，则这一磁通与w匝线圈交链，其磁链Ψ＝wΦ，所以w匝线圈产生的总磁链为 ，其自感为：
对于内自感，一般均采用近似计算法。不论回路形状如何，其内自感计算可等同于无限长直导线的情况，回路的内自感为线圈的长度l乘以单位长内自感，即： 。
一般而言，回路的内自感远小于外自感，所以回路的自感为：L=Li+Lo≈Lo
29.（矢量磁位计算）用矢量磁位的方法，求无限长的平行双输电线的磁场。
解设双输电线通过的电流大小相等方向相反，分布在z轴两边，且输电线轴线距z轴的距离均为x0。双输电线磁场的矢量磁位方向显然平行于z轴。由于输电线为无限长，在平行于xoy平面上磁场分布相同，研究点P（x，y，o）的情况。点P的矢量磁位由导线1和2的矢量磁位A1、A2叠加而得。首先单独考虑导线1的矢量位时，若选定坐标原点o为参考点，则电流I沿z轴方向，任一点P（r，α，z）的矢量磁位A将只有Az分量。
解设1、2为两根长直导线，考虑导线l的受力时必须分析铁块对磁场的影响。导线1、2的镜象分别为
导线1单位长度受力
右边各项依次为电流I′、-I′、-I的磁场对电流I的作用力，其大小分别为
同样：
32.（电感计算与磁场力）求平行双输电线单位长度上的磁场力。
解：设平行双输电线的半径为R0，相距为D，此双输电线所流过的电流为I，如图取坐标轴，则其上任一点A的磁感应强度为
解设电流依次为I1和I2，则应有I1＋I2＝I。在钢芯和铝线的分界面上，电场强度的轴（切）向分量连续E1t=E2t，则：
故： ，
由安培环路定理：
磁化强度：
27.（边界条件例题）磁场由磁导率μ1＝1500μ0的钢进入空气中，已知钢中B1＝15T，α1=87°。求分界面空气一侧的B2和α2。
解钢内磁感应强度B1的两分量为
即电位移矢量D的通量为q1。因此以S2作为导体壳内电场的一个边界面，通过它的电通量仅仅决定于导体壳内的电荷，而与壳外的电荷分布是无关的。根据唯一性定理，当导体壳内带电导体都是给定电荷量时，电位函数可以相差一个常数，但是电场强度是唯一确定的。它不受导体壳外电荷q2的影响。这时甚至壳内的电位函数也是唯一确定的。因此，在这二种情况下，导体壳内的电场都不受壳外电荷的影响。
对于C’B’段，
对于B’A’段，利用 ，即有 ，
其中点B’相应于z=a，点A’相应z=0。
综合上述结果，同样得到进入纸面内的磁通
31.（磁场力计算）将两根平行长直导线平行放置在一块十分厚的大铁板外，两线相距1m，它们与铁板平面相距均为0.5m，载有彼此反向的电流，电流强度为10A，计算每根导线单位长度的受力。
解长直导线外任一点的磁感应强度
与其距离为r的各点上B的方向相同。窄长条上穿进的磁通
于是，穿过ΔA’B’C’磁通为：
代入数据，得到数值结果
26.（安培环路定理及磁化强度例题）空气中有一长直钢芯铝线，钢芯半径为R1，铝线的内外半径分别为R1、R2。钢的电导率为γ1，相对磁导率为μr，铝的电导率为γ2。设此导线中电流强度为I（假设电流在各介质内都作均匀分布），求导线内部的磁感应强度及磁化强度。
中性面到半径R0″的圆柱面的几何中心的距离为：
电轴到中性面的距离为：
17.（静电场电位计算例题）如图，真空中无限长具有相同半径R0的平行双输电线，其轴心距为D，设每根导线单位长度上所带的电荷量分别为+τ及-τ，求任一点P的电位。
解：由高斯定理可得两电轴分别产生的电场强度表达式为：
，
选取坐标轴的原点o为零电位点，则点P电位为：
故得导体A、B的电位分别为：
，
故得ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ导线间电压为：
按电容的定义，可得考虑地面影响时单位长度两导线间的电容为：
若要求两种情况下，电容值的误差不超过1%，即：
代入C0和C0′可求得导线距地面高度h必须满足：
对于导线间距d=1m，导线之半径R0＝4mm时，算得h＞1.46m。
20.（恒定电场，电阻计算例题）厚度为h=4mm的薄钢片，其形状、尺寸、电极位置、电极上的电位如图3-8所示，若钢的电导率为5×106S/m，R1=30mm，R2＝60mm，求电极之间的电阻。
由磁场力计算公式可得：
fD＞0，说明磁场力是在使得导线间距离D增大的方向上。亦即通常所说的斥力。
33.（电感的计算）求密绕w匝线圈的螺线环的自感。圆环的平均半径为d，截面为半径等于a的圆形。
解：设电流集中在回路的轴线上。利用矢量磁位A计算外磁链。对于单匝线圈，回路的内周界l为积分路径，则矢量磁位： ，dl为载流线圈的回路，可近似等于载流回路的中心轴线；外磁链为： ，dl’为求解磁通的面积区间，等于载流回路的内线圈面积。计算可得： 。
由单根有限长导线磁场计算公式：
可知导线1和导线2在导线3任一段元的场强B1和B2分别为：
因此，长度元dx处的磁感应强度B的大小为
则磁场力
（如果连接导线3为可绕一端旋转的刀闸，当通过短路电流时磁场力F的转矩有可能将刀闸推开。）
25.（毕奥—萨伐尔定律与磁通例题）无限长直导线通以电流I，图示直角三角形ΔA’B’C’与之共平面，求通过ΔA’B’C’的磁通。设a=12cm，b=7cm，d=5cm，I=10A，求出数值结果。
解通过电位函数φ满足拉普拉斯方程来求解。若选用圆柱坐标系，可以看出φ仅与α坐标有关，而与r、z坐标无关，因此所满足的拉普拉斯方程不含对r、z的偏导数项，简化为：
直接积分得：
由边界条件 时 ， 时， ，
可确定出待定常数为： ， 。
所以得到电位函数：
电场强度为：
电流密度为：
通过薄钢片截面的电流：
因此电极之间的电阻：
解建立坐标系如图4-6示。连接1、2的导线段为x=a至x=d-a。由于为简化计算，已经假定认为电流集中在导线的几何轴线上。在区间（a，d－a）内任一点x处截取长度元dx，则导线1，2在x处的磁感应强度B1和B2的方向相同（它垂直于导线所在平面并指向纸面），由于空气以及非铁磁物质的磁导率与真空中的磁导率μ0极其接近。
，
线圈回路的内自感：
其中I为流过回路的电流，Ψi是与整个回路电流交链的磁通。回路的内磁通，仅与回路部分电流相链，故必须将此部分内磁通折合为与回路电流I全交链的磁通，亦即折合为内磁链。
设长直导线截面半径为R，当通以电流I时，电流均匀分布于导线的截面，由安培环路定理，可求得离轴线r处的磁感应强度 ，其中
(R1<R<R2)，
内外球之间的电压为：
根据电容的定义：
在式中令R2→∞，得到半径为R1的孤立导体球的电容 ，要使得
即： ，因此满足要求的球形电容器的半径比R2/R1≥101
19.（静电场电容计算例题）两根平行细长导线位于与地面平行的平面内，导线半径为R0=4mm，轴线间距离为d=1m。当导线至地面的高度不低于多大值时，忽略地面的影响，导线电容计算值的误差才不致超过1%。
代入已知数据求得数字解答：
（恒定电场，电阻计算例题）
21.半球形接地体的位置靠近直而深的陡壁。由接地体中心o到陡壁的距离h＝10m，球半径R0=0.3m，土壤的电导率 ，通过电极的电流I=100A。求在点B沿ox方向的跨步电压（设步长为0.75m），并计算接地电阻。
解角形场域的边界条件为电流密度线沿地表面及陡壁表面，如图设置镜象，可满足边界条件不变。设流出两个整球的电流都是2I，因球之间的距离2h较R0大得多，近似认为它们的电流沿各自球的径向均匀分布，类似于静电场中相距很远的两个导体球都把电荷2q近似集中到球心的情形。
解： ，
由对称性分析，该磁场强度只有x方向的分量。
23.（毕—萨定律例题）求半圆形导线通以电流I时，在其圆心O处的磁感应强度的方向和大小.
解：由毕奥—萨伐尔定律知：
由右手定则知，B的方向指向纸的背面。而r=R, dl=Rdθ，则：
24.（磁场强度与磁场力例题）两平行、轴线间距离为d的半无限长直导线1、2，以直导线3连接，导线为铜线，其半径均为a。通以电流I（假定电流集中在导线的几何轴线上），试确定连接1，2的导线段3所受的磁场力。
图(b)表示外壳不接地的情形。由于静电感应，壳内电荷的量将在外壳表面感应出等量同符号的电荷，因此，它将影响外界电场的分布。
15.如右图，金属壳内有一点电荷q1，试用静电场唯一性定理分析将外壳接地（图a）和外壳不接地两种情况下，是否会影响到壳内的电场分布？
解：在图(a)、(b)二种情形下。设封闭导体壳的内表面为S2，对于壳内区域而言它是一个边界面。首先，S2是一个等位面。其次，如在壳内紧贴S2作一高斯面S，则有
当l>>r,则有：
故双输电线的合成矢量磁位：
30.（矢量磁位计算）利用矢量磁位重新计算例4-3中通过ΔA’B’C’的磁通。
解如图4-32所示，仍规定ΔA’B’C’平面的正法向为垂直进入纸面内，则其周界的绕行方向应为图中箭头所示。通过ΔA’B’C’的磁通
导线外的矢量磁位
对于C’A’段的积分，因A与dl垂直，故
28.（标量磁位计算）有一载电流I的无限长直圆导线，试求图示导线外A、P两点之间的磁压UmAP。
解载有电流I的无限长直圆导线外的磁场强度 ，在直线OP上取点C，令OC=OA=r。磁场强度沿着自点A到P的曲线l的曲线积分，只要曲线l不链绕电流，则积分值与路径无关。
因此，把圆孤AC连同直线段CP取作积分路径l，可以方便地得到积分值。A、P两点间的磁压：
工程电磁场习题解答（2）
14.如右图，金属壳内有一点电荷q1，试用静电场唯一性定理分析将外壳接地（图a）和外壳不接地两种情形，在哪一种情况下，壳内的电荷大小不对壳外空间的电场分布产生影响？
解：图(a)表示外壳接地的情形。设封闭导体壳的外表面为S1，对于壳外区域而言，它是一个边界面。无论壳内电荷q1在数量上增减或作位置上的移动，由于导体壳接地，恒有 ，始终没有改变克外区域边界面上的边界条件。因此，由静电场唯一性定理知，在这种情况下，壳内的电荷不影响壳外的电场。
由叠加原理，点P的电位为
18.（静电场电容计算例题）球形电容器的内球外半径为R1，外球的内半径为R2。介质的电容率为ε0。要使得这一电容器的电容与空气中半径为R1的孤立导体球的电容之比不超过后者的1%，试确定球形电容器的内外半径比(R2/R1)。
解设球形电容器的内导体球的电荷为q，则电容器中的电场强度为：
球的电位：
半球接地体的接地电阻：
代入数据得到R=53.87Ω对于x处的电位可得：
在点B，x＝0.3m。一个跨步距离上的点C，x=0.3+0.75=1.05m，并以I＝100A代入φx，则跨步电压为：
22.（毕—萨定律例题）真空中,半径为R的载流导线,通以电流I，求其轴线上一点p的磁感应强度的方向和大小.
此时通过图示单位长度小环侧面积的磁通为
导线单位长度内磁链
导线单位长度内自感
线圈回路自感则等于外自感与内自感之和。
其中l1为线圈回路轴心线的长度，l2为线圈回路内周界的长度。平行双输电线单位长度的外自感，若再计入其内自感则得平行双输电线单位长度的自感
磁场能量为：
选导线之间的距离D作为广义坐标g，则在这一方向上的作用力fD为对应之广义力。
34.（位移电流的计算）雷云放电以前，与地面感应电荷形成一均匀电场，设此均匀电场的电场强度为5000V/cm，若雷云放电时间为1μs，求放电时此区域内位移电流密度之值。
解由于雷云放电时间为1μs，故电场强度(由5000V /cm降为零)的变化率的绝对值：
（5000V /cm=500,000V/m）
35.（位移电流的计算）空间某点的电位移矢量依照指数规律变化 变化。求该点的位移电流密度表达式。