湖南省长沙市天心区长郡中学2019年 中考数学模拟试卷 (包含答案)

2019年中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是符合题目要求的）
1.若等式﹣2□（﹣2）=4成立，则“□”内的运算符号是（）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
2.火星和地球的距离约为34 000 000千米,用科学记数法表示34 000 000的结果是( )千
米．
A.0.34×108
B.3.4×106
C.34×106
D.3.4×107
3.若a为正整数，且x2a=5，则(2x3a)2÷4x4a的值为（）
A.5
B.2.5
C.25
D.10
4.观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
5.已知点P（a+1,﹣0.5a+1）关于原点的对称点在第四象限,则a的取值范围在数轴上表示正确的
是（）
6.下列几何体中，俯视图为四边形的是（）
7.如图,在△ABC中,∠B=46°,∠C=54°,AD平分∠BAC,交BC于D,DE∥AB,交AC于E,则∠ADE的
大小是( )
A.45°
B.54°
C.40°
D.50°
8.四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如下图所示的四个图形，在看不到图形的情况下从
中任意抽出一张，则抽出的卡片是轴对称图形的概率是( )
A.
21 B.41 C.4
3
D.1 9.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在( )
A.2与3之间
B.3与4之间
C.4与5之间
D.5与6之间 10.函数
的自变量x 的取值范围为（ ）
A ．x ≠1
B ．x ＞－1
C ．x ≥－1
D ．x ≥－1且 x ≠1 11.已知Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AD 平分∠BAC,则点B 到AD 的距离是（ ）
A.1.5
B.2
C.
D.
12.如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点的横坐标分别为﹣1，3，则下列结论正确的
个数有（ ）
①ac ＜0；②2a+b=0；③4a+2b+c ＞0；④对于任意x 均有ax 2+bx ≥a+b ．
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13.化简：
•
= .
14.某学生期中七门学科考试成绩的平均分为80分，其中三门学科的平均分为78分，另四门学
科的平均分为 分. 15.点P （x ﹣2，x+3）在第一象限，则x 的取值范围是 ．
16.一只口袋中放着8只红球和16只黑球，这两种球除颜色以外没有任何其他区别．从口袋中
随机取出一个球，取出这个球是红球的概率为______．
17.已知x 1和x 2分别为方程x 2+x ﹣2=0的两个实数根，那么x 1+x 2= ；x 1•x 2= ．
18.如图,已知点P 是半径为1的⊙A 上一点,延长AP 到C,使PC=AP,以AC 为对角线作▱ABCD.若
AB=
，则▱ABCD 面积的最大值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19.计算：tan30°cos60°+tan45°cos30°．
20.先化简再求值：(2a+b)2
﹣(3a ﹣b)2
+5a(a ﹣b)，其中a=157，b=14
3．
21.九年级（1）班开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动，并根据学生做家务的时间来评价
他们在活动中的表现.老师调查了全班50名学生在这次活动中做家务的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成5组：A ：0.5≤x ＜1，B ：1≤x ＜1.5，C ：1.5≤x ＜2，D ：2≤x ＜2.5，E ：2.5≤x ＜3，制作成两幅不完整的统计图（如图）.
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次活动中学生做家务时间的中位数所在的组是____________； （2）补全频数分布直方图；
（3）该班的小明同学这一周做家务2小时，他认为自己做家务的时间比班里一半以上的同学多，你认为小明的判断符合实际吗？请用适当的统计知识说明理由.
22.如图，在一次数学室外活动课上，小明和小红合作一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小
明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°，两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）．请求出旗杆MN的高度．
（参考数据：≈1.4，，1.7，结果保留整数．）
23.少儿部组织学生进行“英语风采大赛”，需购买甲、乙两种奖品.购买甲奖品3个和乙奖品4
个，需花64元；购买甲奖品4个和乙奖品5个，需花82元.
(1)求甲、乙两种奖品的单价各是多少元？
(2)由于临时有变，只买甲、乙一种奖品即可，且甲奖品按原价9折销售，乙奖品购买6个
以上超出的部分按原价的6折销售，设购买x个甲奖品需要y1元，购买x个乙奖品需要y2元，请用x分别表示出y1和y2；
(3)在(2)的条件下，问买哪一种产品更省钱？
24.如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 切⊙O 于点D ，AM ⊥CD 于点M ，BN ⊥CD 于N ．
（1）求证：∠ADC=∠ABD ；（2）求证：AD 2=AMAB ； （3）若AM=3.6，sin ∠ABD=0.6，求线段BN 的长．
25.如图，反比例函数y=
x
k
（x ＞0）的图象与一次函数y=3x 的图象相交于点A ，其横坐标为2. （1）求k 的值；
（2）点B 为此反比例函数图象上一点，其纵坐标为3.过点B 作CB ∥OA ，交x 轴于点C ，直接写出线段OC 的长.
26.如图,直线y=﹣x+2与x轴,y轴分别交于点A,点B,两动点D,E分别从点A,点B同时出
发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒,设运动时间为t秒,以点A为顶点的抛物线经过点E,过点E作x轴的平行线,与抛物线的另一个交点为点G,与AB相交于点F．
（1）求点A,点B的坐标；（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；
（3）当四边形ADEF为菱形时,试判断△AFG与△AGB是否相似,并说明理由．
（4）是否存在t的值,使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在,请说明理由．
答案
1.C
2.D.
3.A
4.C.
5.C.
6.D．
7.C
8.A；
9.B.
10.D
11.C．
12.C
13.答案为：.
14.答案为：81.5；
15.答案为：x＞2．
16.答案为：
17.答案为：﹣1；﹣2．
18.答案为：2．
19.解：tan30°cos60°+tan45°cos30°===．
20.原式=0.5.
21.解：（1）C组；
（2）图略.
（3）小明的判断符合实际.理由：这次活动中做家务的时间的中位数所在的范围是1.5≤x<2，小明这一周做家务2小时，所在的范围是2≤x＜2.5，所以小明的判断符合实际.
22.解：过点A作AE⊥MN于E，过点C作CF⊥MN于F，则EF=AB﹣CD=1.7﹣1.5=0.2（m），
在Rt△AEM中，∵∠AEM=90°，∠MAE=45°，∴AE=ME．
设AE=ME=xm，则MF=（x+0.2）m，FC=（28﹣x）m．
在Rt△MFC中，∵∠MFC=90°，∠MCF=30°，∴MF=CF•tan∠MCF，
∴x+0.2=（28﹣x），解得x≈9.7，∴MN=ME+EN=9.7+1.7≈11米．
答：旗杆MN的高度约为11米．
23.解:(1)设甲种奖品的单价为x元/个，乙种奖品的单价为y元/个，
根据题意得:，解得:.
答:甲种奖品的单价为8元/个，乙种奖品的单价为10元/个.
(2)根据题意得:y1=8×0.9x=7.2x；
当0≤x≤6时，y2=10x，当x＞6时，y2=10×6+10×0.6(x﹣6)=6x+24，
∴y2=.
(3)当0≤x≤6时，∵7.2＜10，∴此时买甲种产品省钱；
当x＞6时，令y1＜y2，则7.2x＜6x+24，解得:x＜20；
令y1=y2，则7.2x=6x+24，解得:x=20；
令y1＞y2，则7.2x＞6x+24，解得:x＞20.
综上所述:当x＜20时，选择甲种产品更省钱；
当x=20时，选择甲、乙两种产品总价相同；当x＞20时，选择乙种产品更省钱. 24.
25.（1）解：∵点A在直线y=3x上，其横坐标为2.∴y=3×2=6，∴A（2，6），
把点A（2，6）代入y= 得：6=k/2，解得：k=12
（2）解：由（1）得：y=12/x，
∵点B为此反比例函数图象上一点，其纵坐标为3，∴x=4，∴B（4，3），
∵CB∥OA，∴设直线BC的解析式为y=3x+b，
把点B（4，3）代入得：3×4+倍，解得：b=﹣9，∴直线BC的解析式为y=3x﹣9，
当y=0时，3x﹣9=0，解得：x=3，∴C（3，0），∴OC=3
26.解：（1）在直线y=﹣x+2中，令y=0可得0=﹣x+2，
解得x=2，令x=0可得y=2，∴A为（2，0），B为（0，2）；
（2）由（1）可知OA=2，OB=2，∴tan∠ABO==，∴∠ABO=30°，
∵运动时间为t秒，∴BE=t，
∵EF∥x轴，∴在Rt△BEF中，EF=BE•tan∠ABO=BE=t，BF=2EF=2t，
在Rt△ABO中，OA=2，OB=2，∴AB=4，∴AF=4﹣2t；
（3）相似．理由如下：当四边形ADEF为菱形时，则有EF=AF，即t=4﹣2t，解得t=，∴AF=4﹣2t=4﹣=，OE=OB﹣BE=2﹣×=，
如图，过G作GH⊥x轴，交x轴于点H，
则四边形OEGH为矩形，∴GH=OE=，
又EG∥x轴，抛物线的顶点为A，∴OA=AH=2，
在Rt△AGH中，由勾股定理可得AG2=GH2+AH2=（）2+22=，
又AF•AB=×4=，∴AF•AB=AG2，即=，且∠FAG=∠GAB，∴△AFG∽△AGB；
（4）存在，∵EG∥x轴，∴∠GFA=∠BAO=60°，
又G点不能在抛物线的对称轴上，∴∠FGA≠90°，
∴当△AGF为直角三角形时，则有∠FAG=90°，又∠FGA=30°，∴FG=2AF，
∵EF=t，EG=4，∴FG=4﹣t，且AF=4﹣2t，∴4﹣t=2（4﹣2t），解得t=，
即当t的值为秒时，△AGF为直角三角形，此时OE=OB﹣BE=2﹣t=2﹣×=，∴E点坐标为（0，），
∵抛物线的顶点为A，∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2，
把E点坐标代入可得=4a，解得a=，∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2，
即y=x2﹣x+．。