等比数列基础练习题

一、等比数列选择题
1．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，121a a +=，344a a +=，则
5678a a a a +++=（ ）
A ．80
B ．20
C ．32
D ．
255
3
2．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，11a >，676712a a a a +>+>，记
{}n a 的前n 项积为n
T
，则下列选项错误的是（ ） A ．01q <<
B ．61a >
C ．121T >
D ．131T >
3．已知{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078
a a a a +=+（ ） A
1
B
1
C
．3-
D
．3+4．在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）
A ．有最大项，有最小项
B ．有最大项，无最小项
C ．无最大项，有最小项
D ．无最大项，无最小项 5．在3和81之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则公比q 为（ ）
A ．2±
B ．2
C ．3±
D ．3
6．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11
0,,22
n n a a S >=<，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（ ） A ．30,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
B ．20,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
7．在等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则352a a +=（ ） A ．45 B ．54
C ．99
D ．81
8
．
12
与1
2的等比中项是（ ）
A ．－1
B ．1
C
．
2
D
．2
±
9．公比为(0)q q >的等比数列{}n a 中，1349,27a a a ==，则1a q +=（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352
a a +=，245
4a a +=，则n n S =a （ ）
A ．14n -
B ．41n -
C ．12n -
D ．21n -
11．等比数列{}n a 中各项均为正数，n S 是其前n 项和，且满足312283S a a =+，
416a =，则6S ＝（ ）
A ．32
B ．63
C ．123
D ．126
12．设等差数列{}n a 的公差10,4≠=d a d ，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =( ) A ．3或6 B ．3 或-1 C ．6
D ．3
13．已知1，a 1，a 2，9四个实数成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，9五个数成等比数列，则b 2
（a 2﹣a 1）等于（ ） A ．8
B ．﹣8
C ．±8
D ．98
14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q ，则5S 等于（ ）
A ．32
B ．31
C ．16
D ．15
15．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22
212n a a a ++
+=（ ）
A ．()2
21n -
B ．
()1213
n
- C ．41n -
D ．
()1413
n
- 16．已知正项等比数列{}n a 满足11
2
a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（ ） A ．
312
或112
B ．
31
2 C ．15
D ．6
17．已知数列{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，若364,12S S ==，则12S =（ ） A ．50
B ．60
C ．70
D ．80
18．已知等比数列{}n a ，7a =8，11a =32，则9a =（ ） A ．16
B ．16-
C ．20
D ．16或16-
19．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123
111
2a a a ++=，22a =，则3S =（ ） A ．8
B ．7
C ．6
D ．4
20．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2
13a a =，且数列{}13n S a -也为等比数列，
则n a 的表达式为（ ）
A ．12n
n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
B ．1
12n n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭
C ．23n
n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
D ．1
23n n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭
二、多选题21．题目文件丢失！ 22．题目文件丢失！
23．已知1a ，2a ，3a ，4a 依次成等比数列，且公比q 不为1.将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q 的值是（ ）
A B C D 24．已知等比数列{}n a 公比为q ，前n 项和为n S ，且满足638a a =，则下列说法正确的是（ ）
A ．{}n a 为单调递增数列
B ．
6
3
9S S = C ．3S ，6S ，9S 成等
比数列
D ．12n n S a a =-
25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为非零常数），则下列结论正确的是（ ） A ．{}n a 是等比数列 B ．当1p =时，4158
S =
C ．当1
2
p =
时，m n m n a a a +⋅= D ．3856a a a a +=+
26．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列2
{}n a 是等比数列 B ．若4123,27,a a ==则89a =± C ．若123,a a a <<则数列{}n a 是递增数列 D ．若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则r =-1
27．对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（ ） A ．1a ，3a ，5a 成等比数列 B ．2a ，3a ，6a 成等比数列 C ．2a ，4a ，8a 成等比数列
D ．3a ，6a ，9a 成等比数列
28．已知数列{a n }，11a =，25a =，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且2AE EC =，当n ≥2时，恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-，则（ ） A ．数列{a n }为等差数列 B ．12
33
BE BA BC =
+ C ．数列{a n }为等比数列
D ．14n
n n a a +-=
29．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是（ ） A ．此人第六天只走了5里路
B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里
C ．此人第二天走的路程比全程的
1
4
还多1.5里 D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
30．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）
A ．数列{}n S n +为等比数列
B ．数列{}n a 的通项公式为1
21n n a -=-
C ．数列{}1n a +为等比数列
D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---
31．已知数列{}n a 为等差数列，11a =，且2a ，4a ，8a 是一个等比数列中的相邻三项，记()0,1n
a n n
b a q q =≠，则{}n b 的前n 项和可以是（ ）
A ．n
B ．nq
C ．
()
12
1n n n q nq nq q q ++---
D ．
()
211
2
1n n n q nq nq q q ++++---
32．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若 1418a a +=， 2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）
A ．2q
B ．数列{}2n S +是等比数列
C ．8
510S =
D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列
33．已知等比数列{a n }的公比2
3
q =-，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9＞b 9且a 10＞b 10，则以下结论正确的有（ ） A ．a 9•a 10＜0 B ．a 9＞a 10
C ．b 10＞0
D ．b 9＞b 10
34．在递增的等比数列{a n }中，S n 是数列{a n }的前n 项和，若a 1a 4＝32，a 2+a 3＝12，则下列
说法正确的是（ ） A ．q ＝1 B ．数列{S n +2}是等比数列
C ．S 8＝510
D ．数列{lga n }是公差为2的等差数列
35．对于数列{}n a ，若存在数列{}n b 满足1
n n n
b a a =-
（*n ∈N ），则称数列{}n b 是{}n a 的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（ ） A ．若数列{}n a 是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；
B ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最大值；
C ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最小值；
D ．若112n
n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则其“倒差数列”有最大值.
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一、等比数列选择题 1．A 【分析】
由条件求出公比q ，再利用前4项和和公比求5678a a a a +++的值. 【详解】
根据题意，由于{}n a 是各项均为正数的等比数列，
121a a +=，()234124a a q a a +==+，∴24q =，0q >，2q
则()()4
56781234161480a a a a q a a a a +++=+++=+=.
故选：A 2．D 【分析】
等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，676712a a a a +>+>，可得67(1)(1)0a a --<，因此61a >，71a <，01q <<．进而判断出结论． 【详解】 解：
等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，676712a a a a +>+>，
67(1)(1)0a a ∴--<，
11a >，若61a <，则一定有71a <，不符合
由题意得61a >，71a <，01q ∴<<，故A 、B 正确． 6712a a +>，671a a ∴>，
6121231267()1T a a a a a a =⋯=>，故C 正确，
13
1371T a =<，故D 错误，
∴满足1n T >的最大正整数n 的值为12．
故选：D ． 3．D 【分析】 根据1a ，
312a ，22a 成等差数列可得3121
222
a a a ⨯=+，转化为关于1a 和q 的方程，求出q 的值，将
910
78
a a a a ++化简即可求解.
【详解】
因为{}n a 是正项等比数列且1a ，
31
2
a ，22a 成等差数列，
所以
3121
222
a a a ⨯=+，即21112a q a a q =+，所以2210q q --=，
解得：1q =+
1q =
(
22
2
2910787878
13a a a q a q q a a a a ++====+++，
故选：D 4．B 【分析】
首先求得数列的通项公式，再运用等差数列的求和公式求得n T ，根据二次函数的性质的指数函数的性质可得选项. 【详解】
设等比数列{}n a 为q ，则等比数列的公比414141328a q a -=
==，所以12
q =， 则其通项公式为：1
16113222n n n n a a q ---⎛⎫=⋅=⨯= ⎪
⎝⎭
，
所以()
()
561154
2
2
12
622
2
22
n
n +n n n n n T a a
a ---==⨯==，
令()11t n n =-，所以当5n =或6时，t 有最大值，无最小值，所以n T 有最大项，无最小项. 故选：B. . 5．D 【分析】
根据等比数列定义知3
813q =，解得答案.
【详解】
4个数成等比数列，则3
813q =，故3q =.
故选：D. 6．A 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．即可得到不等式1
102n q -⨯>，
1
(1)
221n q q
-<-，即可求出参数q 的取值范围；
【详解】
解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠． 11
0,2
n a a >=
，2n S <，
∴1
102n q -⨯>，1
(1)221n q q
-<-， 10q ∴>>． 144q ∴-，解得3
4
q
． 综上可得：{}n a 的公比的取值范围是：30,4⎛⎤
⎥⎝⎦
．
故选：A ． 【点睛】
等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程． 7．C 【分析】
利用等比数列的通项与基本性质，列方程求解即可 【详解】
设数列{}n a 的公比为q ，因为3
41a a q =，所以3q =，所以24
352299a a q q +=+=.
故选C 8．D 【分析】
利用等比中项定义得解. 【详解】
2311(
)((22-==
±，
的等比中项是 故选:D 9．D 【分析】
利用已知条件求得1,a q ，由此求得1a q +. 【详解】
依题意22211113
19
12730
a a q a q a a q q q ⎧⋅===⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪>⎩
，所以14a q +=.
故选：D 10．D 【分析】
根据题中条件，先求出等比数列的公比，再由等比数列的求和公式与通项公式，即可求出结果.
因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352
a a +=
，2454a a +=，
所以2
4135
1
452
2
q a a a a =++==， 因此()()11
1
1111112
21112n n
n
n n n n n n
a q S q q a a q q q ---⎛⎫- ⎪
--⎝⎭=
=
==--⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 故选：D. 11．D 【分析】
根据等比数列的通项公式建立方程，求得数列的公比和首项，代入等比数列的求和公式可得选项. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.∵312283S a a =+， ∴123122()83a a a a a ++=+，即321260a a a --=. ∴2
260q q --=，∴2q 或3
2
q =-（舍去），
∵416a =，∴4
132a a q
=
=， ∴6616(1)2(12)
126112
a q S q --=
==--， 故选：D. 12．D 【分析】
由k a 是1a 与2k a 的等比中项及14a d =建立方程可解得k . 【详解】
k a 是1a 与2k a 的等比中项
212k k a a a ∴=，()()2
111121a k d a a k d ⎡⎤∴+-=+-⎣⎦⎡⎤⎣⎦
()()2
23423k d d k d ∴+=⨯+，3k ∴=.
故选:D 【点睛】
本题考查等差数列与等比数列的基础知识，属于基础题. 13．A
由已知条件求出公差和公比，即可由此求出结果. 【详解】
设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 则有139d +=，4
19q ⋅=，
解之可得8
3
d =
，23q =， ()22218
183
b a a q ∴-=⨯⨯=.
故选：A. 14．B 【分析】
先求得首项，根据等比数列的求和公式，代入首项和公比的值，即可计算出5S 的值. 【详解】
因为等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q
，所以2
11a a q
=
=，又因为1111n
n
a q S q
q
，所以()551123112
S -=
=-.
故选：B. 15．D 【分析】
由n a 与n S 的关系可求得12n n a ，进而可判断出数列{}
2
n a 也为等比数列，确定该数列的
首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.
【详解】
已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时，112a S a ==-；
当2n ≥时，(
)(
)1
1122
2n
n n n n n a S S a a ---=-=---=.
由于数列{}n a 为等比数列，则12a a =-满足12n n
a ，所以，022a -=，解得1a =，
()1
2
n n a n N -*
∴=∈，则()
2
21
1
24
n n n
a --==，21
21444
n n n n a a +-∴==，且211a =，
所以，数列{}
2
n a 为等比数列，且首项为1，公比为4， 因此，2
221
2
1441
143
n n n
a a a --+++==
-. 故选：D. 【点睛】
方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：
（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或1
1n n a a q -=进行
求解；
（2）前n 项和法：根据11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩进行求解；
（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；
（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；
（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1
n
n a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；
（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且
1k ≠，0k ≠）.
一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1
b
m k =
-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭
是以k 的等比数列，可求出n a ；
②取倒数法：这种方法适用于()1
12,n n n ka a n n N ma p
*--=
≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b
-=+的式子；
⑦1n
n n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式
的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可. 16．B 【分析】
首先利用等比数列的性质求3a 和公比q ，再根据公式求5S . 【详解】
正项等比数列{}n a 中，
2432a a a =+∴，
2332a a =+∴，
解得32a =或31a =-（舍去） 又11
2
a =
，
23
1
4a q a =
=， 解得2q
，
5
151
(132)
(1)312112
a q S q --∴===--，
故选：B 17．B 【分析】
由等比数列前n 项和的性质即可求得12S . 【详解】 解：
数列{}n a 是等比数列，
3S ∴，63S S -，96S S -，129S S -也成等比数列，
即4，8，96S S -，129S S -也成等比数列， 易知公比2q
，
9616S S ∴-=，12932S S -=，
121299663332168460S S S S S S S S =-+-+-+=+++=.
故选：B. 18．A 【分析】
根据等比数列的通项公式得出6
18a q =，10
132a q
=且10a >
，再由
819a a q ==.
【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，则6
18a q =，10
132a q
=且10a >
则81916a q a ====
故选：A 19．A 【分析】
利用已知条件化简，转化求解即可． 【详解】
已知{}n a 为等比数列，132
2a a a ∴=，且22a =，
满足
131233
21231322111124
a a a a a S a a a a a a a +++++=+===，则S 3＝8． 故选：A ． 【点睛】
思路点睛：
（1）先利用等比数列的性质，得132
2a a a ∴=，
（2）通分化简3
12311124
S a a a ++==. 20．D 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，111133(3)n S a na a n a -=-=-，该式可以为0，不是等比数列，当1q ≠时，11113311n n a a
S a q a q q
-=-
⋅+---，若是等比数列,则11301a a q -=-，可得2
3
q =，利用213a a =，可以求得1a 的值，进而可得n a 的表达式 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q
当1q =时，1n S na =，所以111133(3)n S a na a n a -=-=-， 当3n =时，上式为0，所以{}13n S a -不是等比数列. 当1q ≠时，(
)1111111n n
n a q a a
q S q
q q
-==-
⋅+---， 所以11113311n n a a
S a q a q q
-=-
⋅+---， 要使数列{}13n S a -为等比数列，则需
11301a a q -=-，解得2
3
q =. 21
3a a =，2
123a ⎛⎫
∴= ⎪⎝⎭
，
故2
1
1
1
1222333n n n n a a q -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
.
故选：D. 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是熟记等比数列的前n 项和公式，等比数列通项公式的一般形式，由此若11113311n n a a S a q a q q -=-⋅+---是等比数列，则11301a
a q
-=-，即可求得q 的值，通项即可求出.
二、多选题 21．无
22．无
23．AB 【分析】
因为公比q 不为1，所以不能删去1a ，4a ，设等差数列的公差为d ，分类讨论，即可得到答案 【详解】
解：因为公比q 不为1，所以不能删去1a ，4a ，设等差数列的公差为d ， ①若删去2a ，则有3142a a a =+，得231112a q a a q =+，即2321q q =+， 整理得()()()2
111q
q q q -=-+，
因为1q ≠，所以21q q =+， 因为0q >
，所以解得12
q +=
， ②若删去3a ，则2142a a a =+，得31112a q a a q =+，即3
21q q =+，
整理得(1)(1)1q q q q -+=-，因为1q ≠，所以(1)1q q +=， 因为0q >
，所以解得q =，
综上q =
或q =， 故选：AB 24．BD 【分析】
根据638a a =利用等比数列的性质建立关系求出2q ，然后结合等比数列的求和公式，
逐项判断选项可得答案． 【详解】
由638a a =，可得3338q a a =，则2q
，
当首项10a <时，可得{}n a 为单调递减数列，故A 错误；
由6
63
312912
S S -==-，故B 正确； 假设3S ，6S ，9S 成等比数列，可得2693S S S =⨯， 即6239(12)(12)(12)-=--不成立，
显然3S ，6S ，9S 不成等比数列，故C 错误； 由{}n a 公比为q 的等比数列，可得11
122121
n n n n a a q a a S a a q --===--- 12n n S a a ∴=-，故D 正确；
故选：BD ． 【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是利用638a a =求得2q ，同时需要熟练掌握等比数列的求
和公式. 25．ABC 【分析】
由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 正确；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确． 【详解】
由122(2)n n S S p n --=≥，得22
p a =
. 3n ≥时，1222n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=，
又
2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为1
2
的等比数列，故A 正确； 由A 可得1p =时，441
11521812
S -
=
=-，故B 正确； 由A 可得m n m n a a a +⋅=等价为212
1122
m n m n p p ++⋅=⋅，可得12p =，故C 正确；
3827
11
33||||22
128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭
， 则3856a a a a +>+，即D 不正确； 故选：ABC. 【点睛】 方法点睛：
由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11
,2
,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能
力. 26．AC 【分析】
根据等比数列定义判断A;根据等比数列通项公式判断B,C;根据等比数列求和公式求项判断D. 【详解】
设等比数列{}n a 公比为,(0)q q ≠
则2
221
12(
)n n n n
a a q a a ++==，即数列2{}n a 是等比数列；即A 正确；
因为等比数列{}n a 中4812,,a a a 同号，而40,a > 所以80a >，即B 错误；
若123,a a a <<则12
11101a a a q a q q >⎧<<∴⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩
，即数列{}n a 是递增数列，C 正确；
若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则111221313231,2,6a S r r a S S a S S -==+=+=-==-= 所以32211
323(1),3
a a q r r a a =
==∴=+=-，即D 错误 故选：AC 【点睛】
等比数列的判定方法
(1)定义法：若1
(n n
a q q a +=为非零常数)，则{}n a 是等比数列； (2)等比中项法：在数列{}n a 中，0n a ≠且2
12n n a a a a ++=，则数列{}n a 是等比数列；
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成(,n
n a cq c q =均是不为0的常数)，则{}n a 是等比
数列；
(4)前n 项和公式法：若数列{}n a 的前n 项和(0,1,n
n S kq k q q k =-≠≠为非零常数)，则
{}n a 是等比数列.
27．AD 【分析】
根据等比数列的定义判断． 【详解】
设{}n a 的公比是q ，则1
1n n a a q -=，
A ．2
3513a a q a a ==，1a ，3a ，5a 成等比数列，正确； B ，32a q a =，36
3a q a =，在1q ≠时，两者不相等，错误； C ．2
42a q a =，484
a q a =，在21q ≠时，两者不相等，错误； D ．
36936
a a
q a a ==，3a ，6a ，9a 成等比数列，正确． 故选：AD ． 【点睛】
结论点睛：本题考查等比数列的通项公式．
数列{}n a 是等比数列，则由数列{}n a 根据一定的规律生成的子数列仍然是等比数列： 如奇数项1357,,,,a a a a 或偶数项246,,,
a a a 仍是等比数列，
实质上只要123,,,,,n k k k k 是正整数且成等差数列，则123,,,,,
n k k k k a a a a 仍是等比
数列．
【分析】
证明
12
33 BE BA
BC
=+，所以选项B 正确；设BD tBE
=（0
t>），易得
()
11
4
n n n n
a a a a
+-
-=-，显然
1
n n
a a
-
-不是同一常数，所以选项A 错误；数列{
1
n n
a a
-
-}
是以4为首项，4为公比的等比数列，所以
1
4n
n n
a a
+
-=，所以选项D正确，易得3
21
a=，选项C不正确.
【详解】
因为2
AE EC
=，所以
2
3
AE AC
=，
所以
2
()
3
AB BE AB BC
+=+,
所以
12
33
BE BA BC
=+，所以选项B正确；
设BD tBE
=（0
t>），
则当n≥2时，由()()
11
23
n n n n
BD tBE a a BA a a BC
-+
==-+-，所以
()()
11
11
23
n n n n
BE a a BA a a BC
t t
-+
=-+-，
所以()1
11
2
3
n n
a a
t-
-=，()
1
12
3
3
n n
a a
t+
-=，
所以()
11
322
n n n n
a a a a
+-
-=-，
易得()
11
4
n n n n
a a a a
+-
-=-，
显然1
n n
a a
-
-不是同一常数，所以选项A错误；
因为2a-1a=4，1
1
4
n n
n n
a a
a a
+
-
-
=
-，
所以数列{1
n n
a a
-
-}是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以
1
4n
n n
a a
+
-=，所以选项D正确，
易得321
a=，显然选项C不正确.
【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 29．BCD 【分析】
设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为1
2
q = 的等比数列，由6=378S 求得首项，然后逐一分析四个选项得答案. 【详解】
解:根据题意此人每天行走的路程成等比数列， 设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为1
2
q =
的等比数列. 所以6
6
1161[1()](1)2=3781112
a a q S q --==--，解得1
192a =. 选项A:5
561119262a a q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭
,故A 错误, 选项B:由1192a =，则61378192186S a -=-=，又1921866-=，故B 正确. 选项C:211192962
a a q ==⨯
=,而61
94.54S =，9694.5 1.5-=,故C 正确.
选项D:2
123111
(1)192(1)33624
a a a a q q ++=++=⨯++=, 则后3天走的路程为378336=42-, 而且336428÷=,故D 正确. 故选：BCD 【点睛】
本题考查等比数列的性质，考查等比数列的前n 项和，是基础题. 30．AD 【分析】 由已知可得
11222n n n n S n S n
S n S n
++++==++，结合等比数列的定义可判断A ；可得
2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断B ；由
1231,1,3a a a ===可判断C ；
由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D. 【详解】
因为121n n S S n +=+-，所以
11222n n n n S n S n
S n S n
++++==++．
又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故A 正确；
所以2n n S n +=，则2n
n S n =-．
当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11
121a -≠-，故B 错误；
由1231,1,3a a a ===可得12312,12,14a a a +=+=+=，即
322111
11
a a a a ++≠++，故C 错； 因为1
222n n S n +=-，所以2
3
1
1222...2221222 (2)
2n n S S S n ++++=-⨯+-⨯++-
()()()23122412122...2212 (22412)
2n n n n n n n n n ++--⎡
⎤=+++-+++=
-+=---⎢⎥-⎣
⎦ 所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确． 故选:AD ． 【点睛】
本题考查等比数列的定义，考查了数列通项公式的求解，考查了等差数列、等比数列的前
n 项和，考查了分组求和．
31．BD 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ,根据2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项求得0d =或1,再分情况求解{}n b 的前n 项和n S 即可. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ,又11a =,且2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项
∴2428a a a =,即()()()2
11137a d a d a d +=++,化简得：(1)0d d -=,所以0d =或1,
故1n a =或n a n =,所以n b q =或n
n b n q =⋅,设{}n b 的前n 项和为n S ,
①当n b q =时,n S nq =；
②当n
n b n q =⋅时,
23123n n S q q q n q =⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯（1）, 2341123n n qS q q q n q +=⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯（2）,
（1）-（2）得：()()2
3
1
1111n n
n n n q q q S q q q q n q
n q q
++--=+++-⨯=
-⨯-+⋅⋅,
所以1211
22
(1)(1)1(1)n n n n n n q q n q q nq nq q S q q q ++++-⨯+--=-=---,
故选：BD 【点睛】
本题主要考查了等差等比数列的综合运用与数列求和的问题,需要根据题意求得等差数列的公差与首项的关系,再分情况进行求和.属于中等题型. 32．ABC 【分析】
由1418a a +=，23
12a a +=，31118a a q +=，21112a q a q +=，公比q 为整数，解得
1a ，q ，可得n a ，n S ，进而判断出结论.
【详解】
∵1418a a +=，23
12a a +=且公比q 为整数，
∴31118a a q +=，2
1112a q a q +=，
∴12a =，2q
或1
2
q =
（舍去）故A 正确， ()12122212
n n n S +-=
=--，∴8510S =，故C 正确；
∴1
22n n S ++=，故数列{}2n S +是等比数列，故B 正确；
而lg lg 2lg 2n
n a n ==，故数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故D 错误．
故选：ABC . 【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式以及综合运用，属于中档题． 33．AD 【分析】
设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D 正确． 【详解】
数列{a n }是公比q 为2
3
-
的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列， 则8
912()3
a a =-，9
1012()3
a a =-， ∴a 9•a 102
17
12()3
a =-＜0，故A 正确； ∵a 1正负不确定，故B 错误；
∵a 10正负不确定，∴由a 10＞b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误； 由a 9＞b 9且a 10＞b 10，则a 1（23-
）8＞12+8d ，a 1（2
3
-）9＞12+9d ， 由于910,a a 异号，因此90a <或100a <
故 90b <或100b <，且b 1＝12
可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d ＜0，
即有a 9＞b 9＞b 10，故D 正确． 故选：AD 【点睛】
本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了等比数列的通项公式、求和公式和等差数列的单调性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 34．BC 【分析】
先根据题干条件判断并计算得到q 和a 1的值，可得到等比数列{a n }的通项公式和前n 项和公式，对选项进行逐个判断即可得到正确选项． 【详解】
由题意，根据等比中项的性质，可得 a 2a 3＝a 1a 4＝32＞0，a 2+a 3＝12＞0， 故a 2＞0，a 3＞0． 根据根与系数的关系，可知
a 2，a 3是一元二次方程x 2﹣12x +32＝0的两个根． 解得a 2＝4，a 3＝8，或a 2＝8，a 3＝4． 故必有公比q ＞0， ∴a 12
a q
=
＞0． ∵等比数列{a n }是递增数列，∴q ＞1． ∴a 2＝4，a 3＝8满足题意． ∴q ＝2，a 12
a q
=
=2．故选项A 不正确． a n ＝a 1•q n ﹣1＝2n ． ∵S n (
)21212
n -=
=-2
n +1
﹣2．
∴S n +2＝2n +1＝4•2n ﹣1．
∴数列{S n +2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B 正确． S 8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故选项C 正确． ∵lga n ＝lg 2n ＝n ．
∴数列{lga n }是公差为1的等差数列．故选项D 不正确． 故选：BC 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式、求和公式和性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 35．ACD 【分析】
根据新定义进行判断． 【详解】
A ．若数列{}n a 是单增数列，则11111111()(1)n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a ------=-
-+=-+， 虽然有1n n a a ->，但当1110n n a a -+
<时，1n n b a -<，因此{}n b 不一定是单增数列，A 正确；
B ．31n a n =-，则13131n b n n =--
-，易知{}n b 是递增数列，无最大值，B 错； C ．31n a n =-，则13131
n b n n =--
-，易知{}n b 是递增数列，有最小值，最小值为1b ，C 正确； D ．若112n n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则111()121()2
n n n b =-----， 首先函数1y x x
=-在(0,)+∞上是增函数， 当n 为偶数时，1
1()(0,1)2n n a =-∈，∴10n n n
b a a =-<， 当n 为奇数时，11()2
n n a =+1>，显然n a 是递减的，因此1n n n b a a =-也是递减的， 即135b b b >>>
，∴{}n b 的奇数项中有最大值为13250236b =-=>， ∴156
b =是数列{}(*)n b n N ∈中的最大值．D 正确． 故选：ACD ．
【点睛】
本题考查数列新定义，解题关键正确理解新定义，把问题转化为利用数列的单调性求最值．。