2020版高考数学新增分大一轮复习第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ3.6对数与对数函数讲义含解析

§3.6 对数与对数函数
最新考纲
考情考向分析
1.理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式．
2.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图
象、性质及应用．
3.了解对数函数的变化特征. 以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图
象与性质，题型一般为选择、填空题，中低
档难度.
1．对数的概念
一般地，如果a x
＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中
a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则
如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M
N ＝log a M －log a N ；
③log a M n
＝n log a M (n ∈R )．
(2)对数的性质
①log a N
a ＝N ；②log a a N
＝N (a >0，且a ≠1)．
(3)对数的换底公式
log a b ＝logcb
logca (a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．
3．对数函数的图象与性质
y ＝log a x a >1 0<a <1
图象
定义域 (1)(0，＋∞)
值域
(2)R
性质
(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0
(4)当x >1时，y >0；
当0<x <1时，y <0
(5)当x >1时，y <0；
当0<x <1时，y >0
(6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数
4．反函数
指数函数y ＝a x
(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 概念方法微思考
1．根据对数换底公式：①说出log a b ，log b a 的关系？
②化简log m n a b .
提示 ①log a b ·log b a ＝1；②log m n a b ＝n
m
log a b .
2．如图给出4个对数函数的图象．比较a ，b ，c ，d 与1的大小关系．
提示 0<c <d <1<a <b .
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( × )
(3)函数y ＝log 2x 及y ＝13
log 3x 都是对数函数．( × )
(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (5)函数y ＝ln 1＋x
1－x
与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )
(6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1a ，－1，函数图象只
在第一、四象限．( √ ) 题组二 教材改编
2．[P74T3]lg 427－23
lg8
＋lg75＝.
答案 12
解析 原式＝lg4＋12lg2－lg7－23lg8＋lg7＋1
2lg5
＝2lg2＋12(lg2＋lg5)－2lg2＝1
2
.
3．[P82A 组T6]已知a ＝1
3
2
-，b ＝log 21
3，c ＝12
1log 3
，则a ，b ，c 的大小关系为．
答案 c >a >b
解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝1
2
1
log 3
＝log 23>1.∴c >a >b . 4．[P74A 组T7]函数y
的定义域是．
答案 ⎝ ⎛⎦
⎥⎤12，1 解析 由23
log (2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.∴1
2
<x ≤1.
∴函数y
的定义域是⎝ ⎛⎦
⎥⎤12，1. 题组三 易错自纠
5．已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d
＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c 答案 B
6.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A．a>1，c>1
B．a>1,0<c<1
C．0<a<1，c>1
D．0<a<1,0<c<1
答案 D
解析由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a<1，∵图象与x轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图象是由函数y＝log a x的图象向左平移不到1个单位后得到的，∴0<c<1.
7．若函数f(x)＝log a x(0＜a＜1)在[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为．
答案
2 4
解析因为0＜a＜1，所以f(x)在[a,2a]上是减函数．所以f(x)max＝f(a)＝log a a＝1，
f(x)min＝f(2a)＝log a2a＝1＋log a2，
由条件得1＝3(1＋log a2)，解得a－2＝8，所以a＝
2
4
.
题型一对数的运算
1．(2018·湖州中学期中)设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，那么( )
A.1c ＝1a ＋1b
B.2c ＝2a ＋1b
C.1c ＝2a ＋2b
D.2c ＝1a ＋2b 答案 B
解析 设3a ＝4b ＝6c
＝k ，所以a ＝log 3k ，b ＝log 4k ，c ＝log 6k ， 变形为1a ＝log k 3，1b ＝log k 4，1
c ＝log k 6，
所以2c ＝log k 36，2a ＋1b ＝log k 36，故2c ＝2a ＋1b .
2．(2013·浙江)已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x ＋lg y
＝2lg x ＋2lg y B ．2lg(x ＋y )
＝2lg x ·2lg y
C ．2
lg x ·lg y ＝2lg x
＋2lg y
D ．2
lg(xy )
＝2lg x
·2lg y
答案 D
解析 2lg x
·2lg y
＝2
lg x ＋lg y
＝2
lg(xy )．
故选D.
3．计算：(1－log 63)2
＋log 62·log 618log 64＝.
答案 1
解析 原式＝1－2log63＋(log 63)2
＋log 663
·log 6(6×3)
log 64
＝1－2log63＋(log 63)2
＋1－(log 63)2
log 64
＝
2(1－log 63)2log 62＝log66－log63log62＝log62
log62
＝1.
4．设函数f (x )＝3x
＋9x ，则f (log 32)＝. 答案 6
解析 ∵函数f (x )＝3x
＋9x
，
∴()2
24
339log log log 3log 23
92924 6.f +++＝＝＝＝
思维升华对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 题型二 对数函数的图象及应用
例1(1)若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )
答案 B
解析 由题意y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫13x
，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象性质可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3
＝
－x 3
，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符，故选B.
(2)当0<x ≤12
时，4x
<log a x ，则a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，
22 B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2) 答案 B
解析 构造函数f (x )＝4x
和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图象，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，即2<log a 12，则a >22，
所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
22，1. 引申探究
若本例(2)变为方程4x
＝log a x 在⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为．
答案 ⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，
22 解析 若方程4x
＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，
则函数y ＝4x
和函数y ＝log a x 在⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12上有交点，
由图象知⎩
⎪⎨⎪
⎧
0<a<1，loga 1
2≤2，解得0<a ≤
2
2
. 思维升华(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 跟踪训练1 (1)(2018·浙江台州三区三校适应性考试)若log a 2＜log b 2＜0，则下列结论正确
的是( )
A ．0＜a ＜b ＜1
B ．0＜b ＜a ＜1
C ．a ＞b ＞1
D ．b ＞a ＞1 答案 B
解析 方法一 由log a 2＜log b 2＜0，
得
1log2a ＜1
log2b
＜0，∴log 2b ＜log 2a ＜0＝log 21. 又函数y ＝log 2x 是增函数，所以0＜b ＜a ＜1，故选B.
方法二 由对数函数的性质可知，0＜a ＜1,0＜b ＜1，排除C ，D.
取a ＝12，b ＝14，则log a 2＝12
log 2＝－1，log b 2＝14
log 2＝－1
2
，满足log a 2＜log b 2＜0.故b ＜
a ，故选B.
(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
log2x ，x>0，3x ，x≤0，
且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，
则实数a 的取值范围是． 答案 (1，＋∞)
解析 如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上的截距．
由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点．
题型三 对数函数的性质及应用
命题点1 比较对数值的大小
例2设a ＝log 412，b ＝log 515，c ＝log 618，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．a >c >b D ．c >b >a 答案 A
解析 a ＝1＋log 43，b ＝1＋log 53，c ＝1＋log 63， ∵log 43>log 53>log 63，∴a >b >c . 命题点2 解对数方程、不等式
例3(1)方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为． 答案 x ＝ 5
解析 原方程变形为log 2(x －1)＋log 2(x ＋1)＝log 2(x 2
－1)＝2，即x 2
－1＝4，解得x ＝±5，又x >1，所以x ＝ 5.
(2)已知不等式log x (2x 2
＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值范围是．
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，12
解析 原不等式⇔①⎩
⎪⎨
⎪⎧
0<x<1，
2x2＋1>3x>1，
或②⎩
⎪⎨
⎪⎧
x>1，
2x2＋1<3x<1，
解不等式组①得13<x <1
2
，不等式组②无解．
所以实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，12. 命题点3 对数函数性质的综合应用
例4(1)若函数f (x )＝log 2(x 2
－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，4)
B ．(－4,4]
C ．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)
D ．[－4,4)
答案 D
解析 由题意得x 2
－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2
－ax －3a 在(－∞，－2]上单调递减，则a 2≥－2且(－2)2
－(－2)a －3a >0，解得实数a 的取值范围是[－4,4)，
故选D.
(2)函数f (x )＝log 2x
x )的最小值为．
答案 －1
4
解析 依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2
＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log2x ＋122－14≥－14，当
log 2x ＝
－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－1
4
. 思维升华利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．
跟踪训练2(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a >c >b B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b
答案 D
解析 a ＝log 32<log 33＝1，b ＝log 52<log 55＝1. 又c ＝log 23>log 22＝1，所以c 最大． 由1<log 23<log 25，得1log23>1
log25，即a >b ，
所以c >a >b .
(2)若f (x )＝lg(x 2
－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为． 答案 [1,2)
解析 令函数g (x )＝x 2
－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2
＋1＋a －a 2
，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，
1]上单调递减，则有⎩⎪⎨
⎪⎧
g (1)>0，a ≥1，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
2－a>0，a≥1，
解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．
(3)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数
a 的取值范围是．
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，83
解析 当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立， 则f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1，且8－2a >0， 解得1<a <83
.
当0<a <1时，f (x )在[1,2]上是增函数， 由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，
则f (x )min ＝f (1)＝log a (8－a )>1，且8－2a >0. ∴a >4，且a <4，故不存在．
综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，83.
比较指数式、对数式的大小
比较大小问题是每年高考的必考内容之一．
(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．
(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，若指数相同而底数不同，则构造幂函数，若底数相同而指数不同，则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.
例 (1)设a ＝0.50.5
，b ＝0.30.5
，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．b <a <c D ．a <c <b
(2)设a ＝60.4
，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <b D ．b <c <a
(3)(2018·浙大附中模拟)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2，则下列关系中不可能成立的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <a D ．a <c <b
(4)(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b
答案 (1)C (2)B (3)A (4)B 解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5
的单调性， 可得0.30.5
<0.50.5
<10.5
＝1，即b <a <1； 根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性， 可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1. 所以b <a <c .
(2)∵a ＝60.4>1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4<0，∴a >b >c .故选B. (3)由log a 2<log b 2<log c 2的大小关系，可知a ，b ，c 有四种可能： ①1<c <b <a ；②0<a <1<c <b ；③0<b <a <1<c ； ④0<c <b <a <1.对照选项可知A 中关系不可能成立． (4)∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，
b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0.
∵
a ＋
b ab ＝1a ＋1
b
＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0， ∴0<a ＋b ab
<1，∴ab <a ＋b <0.
1．log 29·log 34等于( ) A.14B.1
2
C ．2
D ．4
答案 D
解析 方法一 原式＝lg9lg2·lg4lg3＝2lg3·2lg2
lg2·lg3＝4.
方法二 原式＝2log 23·log24
log23＝2×2＝4.
2．(2018·杭州教学质检)设函数f (x )＝|ln x |(e 为自然对数的底数)，满足f (a )＝f (b )(a ≠b )，则( )
A ．ab ＝e e
B ．ab ＝e
C ．ab ＝1
e D ．ab ＝1
答案 D
解析 ∵|ln a |＝|ln b |且a ≠b ，∴ln a ＝－ln b ，∴ab ＝1. 3．(2019·丽水模拟)下列不等式正确的是( ) A ．log 30.2＜0.23
＜30.2
B ．log 30.2＜30.2
＜0.23
C ．0.23
＜log 30.2＜30.2
D ．30.2
＜log 30.2＜0.23
答案 A
解析 因为log 30.2＜0,0＜0.23
＜1,30.2
＞1， 所以log 30.2＜0.23
＜30.2
，故选A.
4．(2018·浙江名校协作体联考)若a ＞b ＞1,0＜c ＜1，则( ) A ．a c
＜b c
B ．ab c
＜ba c
C ．a log b c ＜b log a c
D ．log a c ＜log b c 答案 C
解析 因为a ＞b ＞1,0＜c ＜1，所以c b ＞c a
， 则b log a c ＝log a c b
＞log b c b
＞log b c a
＝a log b c ，故选C.
5．若m ＋2n ＝20(m ，n ＞0)，则lg m ·(lg n ＋lg2)的最大值是( ) A ．1B.2C.3D ．2 答案 A
解析 lg m ·(lg n ＋lg2)＝lg m ·lg2n ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫lgm ＋lg2n 22＝lg2(m ·2n )4，又因为m ＋2n ＝
20≥22mn ，所以mn ≤50，从而lg m ·(lg n ＋lg2)≤1，当且仅当m ＝10，n ＝5时，等号成立，故选A.
6．(2018·浙江部分重点中学调研)已知函数f (x )＝2
12log x ⎛⎫
⎪⎝⎭
＋12log a x ＋4，若对任意的
x ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫1
4
，1，f (x )≤6恒成立，则实数a 的最大值为( )
A ．－1
B ．1
C ．－2
D ．2 答案 A
解析 令t ＝12
log x ，因为x ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫14，1，
所以t ∈(0,2]，则问题可转化为对任意的t ∈(0,2]，
t 2＋at ＋4≤6恒成立，即a ≤
2－t2t ＝2t －t 对任意的t ∈(0,2]恒成立．因为y ＝2
t
－t 在t ∈(0,2]上单调递减，所以y min ＝1－2＝－1，所以a ≤－1，即实数a 的最大值为－1.故选A.
7．(2018·浙江绍兴一中模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
ex ，x≤0，lnx ，x ＞0，
则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝，方程f (f (x ))
＝1的解集为． 答案 12 {1，e e
}
解析 由于f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝ln 12，
则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ln 12＝1
ln 2e ＝12.
由f (f (x ))＝1可得f (x )＝0或f (x )＝e ， 又当x ≤0时，f (x )＝e x
∈(0,1]；
当x ＞0时，由f (x )＝0可得ln x ＝0，解得x ＝1； 由f (x )＝e 可得ln x ＝e ，解得x ＝e e
， 故对应方程的解集为{1，e e
}．
8．(2018·杭州第二中学仿真考试)已知m ＝2
3
12⎛⎫ ⎪⎝⎭
，n ＝4x
，则log 4m ＝；满足log n m ＞1的实数x 的取值范围是． 答案 －13⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－13，0
解析 由于m ＝23
12⎛⎫
⎪⎝⎭
， 则log 4m ＝1
2log 2m ＝23
21log 2
2
-＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－13；由于2
2
3
3122m -⎛⎫
⎪⎝⎭
＝＝＜1，由log n m ＞1可得m ＜n ＜1，
则22
3
3122-⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝＜22x
＜1，则－23＜2x ＜0，
解得－1
3
＜x ＜0.
9．(2018·宁波期末)若实数a ＞b ＞1，且log a b ＋log b a ＝52，则log a b ＝；a
b2＝.
答案 1
2
1
解析 令log a b ＝t ，由于a ＞b ＞1，则t ∈(0,1)，log a b ＋log b a ＝52即为t ＋1t ＝52，解得t ＝
1
2
(t ＝2舍去)，则log a b ＝12，1
2a ＝b ，a ＝b 2
，a b2
＝1.
10．(2019·浙江名校协作体联考)已知x ＞0，y ＞0，lg2x ＋lg8y
＝lg2，则xy 的最大值是．
答案
1
12
解析 由题意得lg2x
＋lg8y
＝lg(2x
×23y
)＝lg2
x ＋3y
＝lg2(x ＞0，y ＞0)，所以x ＋3y ＝1，则xy
＝13x ×3y ≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22＝112，当且仅当x ＝3y ＝12时，等号成立，所以xy 的最大值为112. 11．已知函数f (x )＝12
log (ax 2
＋3x ＋a ＋1)．
(1)当a ＝0时，求函数f (x )的定义域、值域及单调区间；
(2)对于x ∈[1,2]，不等式⎝ ⎛⎭
⎪⎫12f (x )
－3x ≥2恒成立，求正实数a 的取值范围．
解 (1)当a ＝0时，y ＝12
log (3x ＋1)，函数定义域为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13，＋∞，值域为R ，递减区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13，＋∞，无递增区间．
(2)原命题可化为x ∈[1,2]，ax 2
＋a ≥1恒成立，
即a ≥
1
x2＋1
在x ∈[1,2]上恒成立， 即a ≥⎝
⎛⎭
⎪⎫1x2＋1max
，x ∈[1,2]，
y ＝
1
x2＋1
在x ∈[1,2]上单调递减， 当x ＝1时，y max ＝12.因此a ≥1
2
.
12．(2018·浙江名校协作体联考)已知奇函数f (x )＝log a b ＋ax
1－ax (a ＞0且a ≠1)．
(1)求b 的值，并求出f (x )的定义域；
(2)若存在区间[m ，n ]，使得当x ∈[m ，n ]时，f (x )的取值范围为[log a 6m ，log a 6n ]，求a 的
取值范围．
解 (1)由已知f (x )＋f (－x )＝0，得b ＝±1， 当b ＝－1时，f (x )＝log a －1＋ax
1－ax ＝log a (－1)，舍去，
当b ＝1时，f (x )＝log a 1＋ax 1－ax ，定义域为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1a ，1a . 故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1a ，1a . (2)当0＜a ＜1时，
f (x )＝lo
g a
1＋ax 1－ax ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－ax －1在⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1a ，1a 上单调递减．
故有⎩⎪⎨⎪⎧
f (m )＝lo
g a
1＋am
1－am ＝log a
6n ，f (n )＝log a
1＋an
1－an
＝log a
6m ，
而y ＝1＋ax 1－ax ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－ax －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 上单调递增， 所以1＋am 1－am ＜1＋an 1－an ，
又6m ＜6n 与⎩⎪⎨⎪⎧
1＋am 1－am ＝6n ，
1＋an
1－an ＝6m
矛盾，故a ＞1，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
f (m )＝lo
g a 1＋am 1－am ＝log a 6m ，f (n )＝log a
1＋an
1－an
＝log a
6n .
故方程1＋ax 1－ax ＝6x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 上有两个不等实根，即6ax 2
＋(a －6)x ＋1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 上有两
个不等实根．
设g (x )＝6ax 2
＋(a －6)x ＋1(a ＞1)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝(a －6)2
－24a ＞0，
－1a ＜－a －612a ＜1a ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝12
a ＞0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1a ＝2＞0，
化简得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a2－36a ＋36＞0，a ＜18，
解得a ＜18－122，故1＜a ＜18－12
2.
13．(2018·浙江三市联考)下列命题正确的是( ) A ．若ln a －ln b ＝a －3b ，则a ＜b <0 B ．若ln a －ln b ＝a －3b ，则0<a <b C ．若ln a －ln b ＝3b －a ，则0<b <a D ．若ln a －ln b ＝3b －a ，则b <a <0 答案 C
解析 显然有a >0，b >0，可排除A ，D ； 设a
b ＝t ，则a ＝bt ，若ln a －ln b ＝a －3b ， 则有ln t ＝bt －3b ，b ＝lnt t －3，由b ＝lnt
t －3＞0，
得0<t <1或t >3，不能确定a <b ，排除B ； 同理若ln a －ln b ＝3b －a ，
则ln t ＝3b －bt ，b ＝lnt
3－t >0,1<t <3，
即a
b
>1，a >b ，C 正确，故选C.
14．定义区间[x 1，x 2](x 1＜x 2)的长度等于x 2－x 1.函数y ＝|log a x |(a ＞1)的定义域为[m ，n ](m
＜n )，值域为[0,1]．若区间[m ，n ]的长度的最小值为34
，则实数a 的值为． 答案 4
解析 作出函数y ＝|log a x |的图象(图略)，要使定义域区间[m ，n ]的长度最小，则[m ，n ]＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1a ，1或[m ，n ]＝[1，a ]．若1－1a ＝34，则a ＝4，此时a －1＝3，符合题意．若a －1＝34，则a ＝74，此时1－1a ＝37＜34
，不符合题意，所以a ＝4.
15．(2018·浙江杭州二中月考)若函数y ＝lg x ＋a x ＋b
的图象关于点M 对称，则点M 的坐标是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －b 2，0 C.⎝
⎛⎭⎪⎫b －a 2，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋b 2，0 答案 D
解析 设M (m,0)，点P (x ，y )是函数y ＝lg x ＋a x ＋b
的图象上任意一点，则点P (x ，y )关于点M (m,0)的对称点Q (2m －x ，－y )也是函数y ＝lg x ＋a x ＋b
的图象上一点． 从而有y ＝lg x ＋a x ＋b ，且－y ＝lg 2m －x ＋a 2m －x ＋b
， 所以lg x ＋a x ＋b ＝－lg 2m －x ＋a 2m －x ＋b
， 即lg x ＋a x ＋b ＝lg 2m －x ＋b 2m －x ＋a ＝lg x －2m －b x －2m －a
恒成立， 从而有x ＋a x ＋b ＝x －2m －b x －2m －a
， 所以m ＝－a ＋b 2
，故选D.
16．(2018·浙江镇海中学模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |log2x|，0＜x≤4，x2－12x ＋34，x ＞4，若a ，b ，c ，d 互不相
同，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝f (d )，求abcd 的取值范围．
解 不妨设a ＜b ＜c ＜d ，则a ，b 满足|log 2a |＝|log 2b |，即－log 2a ＝log 2b ，所以ab ＝1； c ，d 是二次方程x 2－12x ＋34＝k ，k ∈(0,2)在区间(4，＋∞)上的两个不相等的根，则cd ＝34－k ，所以cd ∈(32,34)．
故abcd 的取值范围是(32,34)．。