2021年 大庆实验中学高三上学期第一次月考数学理模拟练习解析版配套精选卷

2021届黑龙江省大庆实验中学 高三上学期第一
次月考数学〔理〕试
题
数学
考前须知：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单项选择题
1．集合和集合，那么等于 A ． B ． C ． D ． 2．“，〞的否认是 A ． ， B ． ，
C ． ，
D ． ， 3．平面向量, 且, 那么
A ．
B ．
C ．
D ． 4．角的终边经过点P (4，－3)，那么的值等于
A ．
B ．
C ．
D ． 5．
A ．
B ．
C ．
D ． 6．中的对边分别是其面积，那么中的大小是
A ．
B ．
C ．
D ．
7．函数,那么在(1，3)上不单调的一个充分不必要条件是
A ．
B ．
C ．
D ． 8．的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角为120°，那么这个三角形的周长为
A ． 15
B ． 18
C ． 21
D ． 24
9．函数〔其中〕的图象关于点成中心对称，且与点相邻的一个最低点为，那么对于以下判断：
①直线是函数图象的一条对称轴；②点是函数的一个对称中心；
③函数与的图象的所有交点的横坐标之和为.
其中正确的判断是
此卷只装订不密封 姓名 准考证号 考场号 座位号
A．①②B．①③
C．②③D．①②③
10．关于的不等式恒成立，那么实数的取值范围是
A．B．C．
D．
11．在中，角的对边分别为，假设，那么
A．B．C．
D．
12．直线与函数的图象恰有四个公共点，，，.其中，那么有
A．B．
C．D．
二、填空题
13．．
14．假设，，那么___________.
15．分别是的中线，假设，且、的夹角为，那么•=__________．
16．分别为函数，上两点，那么两点的距离的最小值是__________．
三、解答题
17．，且
〔1〕求的值；〔2〕求的值.
18．为坐标原点，，，假设.
〔1〕求函数的最小正周期和单调递减区间；
〔2〕假设时，函数的最小值为2，求的值.
19．如下图，中，．
〔1〕求证：是等腰三角形；
〔2〕求的值以及的面积．
20．函数
(1)当时,求的单调增区间;(2)假设在上是增函数,求的取值范围.
21．在锐角中，角的对边分别为，.
〔1〕求角的大小；
〔2〕假设，求的取值范围.
22．设函数，其中是实数，曲线与轴相切于坐标原点.
〔1〕求常数的值；
〔2〕当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
〔3〕求证：.
2021届黑龙江省大庆实验中学
高三上学期第一次月考数学〔理〕试题
数学答案
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
化简集合A，B，求出二者的交集即可.
【详解】
∵集合，
∴
应选：B
【点睛】
此题考查交集的概念及运算，考查函数的定义域与值域，属于根底题.
2．D
【解析】由全称命题的否认是特称命题，可知“，〞的否认是，，应选D．
3．D
【解析】
【分析】
利用两个向量共线时，x1y2=x2y1求出m，得到的坐标，再利用向量的模的定义求出的值．【详解】
由，m=﹣2×2=﹣4，那么，
应选：D．
【点睛】
此题考查两个向量共线的性质，向量的模的求法,属于根底题．4．A
【解析】
【分析】
根据角的终边过点，利用任意角三角函数的定义，求出和的值，然后求出的值. 【详解】
因为角的终边过点，
所以利用三角函数的定义，
求得，
，应选A.
【点睛】
此题主要考查三角函数的定义，意在考查对根底知识掌握的熟练程度，属于简单题. 5．A
【解析】
试题分析：
考点：诱导公式与两角和差的正弦公式
点评：此题用到的诱导公式有
等，和差角公式
6．C
【解析】
【分析】
等式左边利用三角形面积公式化简，右边利用余弦定理化简，整理求出
【详解】
∵△ABC中，S=absinC，a2+b2﹣c2=2abcosC，且S=，
∴absinC=abcosC，即tanC=1，
那么C=45°．
应选：C．
【点睛】
此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握余弦定理是解此题的关键．
7．C
【解析】
【分析】
求出函数的导数，问题转化为函数f〔x〕=ax2﹣4ax﹣lnx与x轴在〔1，3〕有交点，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质判断即可．
【详解】
f′〔x〕=2ax﹣4a﹣=，
假设f〔x〕在〔1，3〕上不单调，
令g〔x〕=2ax2﹣4ax﹣1，
那么函数g〔x〕=2ax2﹣4ax﹣l与x轴在〔1，3〕有交点，
a=0时，显然不成立，
a≠0时，只需，
解得：a＞，
应选：C
【点睛】
此题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．
8．A
【解析】
设的三边长分别为，
由题意得，
解得，
∴三角形的周长为．选A．
9．C
【解析】
【分析】
根据条件确定函数的解析式，进一步利用整体思想确定函数的对称轴方程，对称中心及各个交点的特点，进一步确定答案．
【详解】
函数f〔x〕=Asin〔ωx+φ〕〔其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π〕的图象关于点M〔，0〕成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为〔，﹣3〕，
那么：，
所以：T=π，
进一步解得：，A=3
由于函数f〔x〕=Asin〔ωx+φ〕〔其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π〕的图象关于点M〔，0〕成中心对称，所以：〔k∈Z〕，
解得：，
由于0＜φ＜π，
所以：当k=1时，．
所以：f〔x〕=3．
当x=时，f〔〕=﹣3sin=﹣，故错误．
②当x=时，f〔〕=3sin0=0，，故正确．
③由于：﹣≤x≤〕，
那么：，
所以函数f〔x〕的图象与y=1有6个交点．
根据函数的交点设横坐标为x1、x2、x3、x4、x5、x6，
根据函数的图象所有交点的横标和为7π．故正确．
应选：C
【点睛】
此题考查的知识要点：正弦型函数的解析式的求法，主要确定A，ω、φ的值，三角函数诱导公式的变换，及相关性质得应用，属于根底题型．
10．B
【解析】
【分析】
不等式恒成立等价于
即
【详解】
由题意易知：a，x>0
∵
∴
即,又
∴恒成立
∴，即
应选：B
【点睛】
利用导数解决不等式恒成立问题的“两种〞常用方法
〔1〕别离参数法：将原不等式别离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a 即可.
(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.
11．C
【解析】在中，，由正弦定理得，，由余弦定理得，，，，，应选C.
12．B
【解析】
【分析】
依题意，在同一坐标系中作出直线与函数的图象，利用导数的几何意义可求得切线的斜率，从而将切点坐标代入直线方程〔即切线方程〕即可求得答案．
【详解】
∵直线与函数的图象恰有四个公共点，如图：
当时，函数，
依题意，切点坐标为，
又切点处的导数值就是直线的斜率，即，
，
应选：B．
【点睛】
此题考查正弦函数的图象，着重考查导数的几何意义的应用，考查等价转化思想与数形结合思想的综合应用，考查作图能力与分析、运算能力，属于难题．
13．
【解析】
试题分析：
考点：定积分
【方法点睛】1.求曲边图形面积的方法与步骤
〔1〕画图，并将图形分割为假设干个曲边梯形；
〔2〕对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；
〔3〕确定被积函数；
〔4〕求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．
2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．
14．
【解析】
【分析】
利用同角函数关系式求得，进而利用配角法求得.
【详解】
∵，，
∴
∴
，
故答案为：
【点睛】
三角函数式的化简要遵循“三看〞原那么:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差异与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.
15．
【解析】
【分析】
根据向量的加减的几何意义和数量积定义即可．
【详解】
∵AD=BE=2，且、的夹角为，
∴•=||•||cos=2×2×〔﹣〕=﹣2，
∵AD，BE分别是△ABC的中线，
∴=〔+〕，=〔+〕=〔﹣﹣〕=﹣，
∴=〔﹣〕，=〔2+〕，
∴•=〔﹣〕〔2+〕=〔2﹣•﹣〕=〔8+2﹣4〕=，
故答案为：．
【点睛】
此题考查了数量积定义及其平行四边形法那么、三角形法那么等根底知识与根本技能方法，属于中档题．
16．0
【解析】
【分析】
根据函数与函数互为反函数，可知P、Q两点间的最短距离为点P到直线y=x的最短距离d的2倍，利用导数求出d即可．
【详解】
∵函数与函数互为反函数，
∴函数与函数的图象关于直线y=x对称，
设，那么
令,得x=ln2+，
又为增函数
∴在在单调递减，在在单调递增
∴的最小值为
即，使得
即函数图象与直线y=x有交点，
即函数与函数的图象有公共点在直线y=x上
故的最小值是0
故答案为：0．
【点睛】
此题考查反函数的概念，导数的几何意义，两个图象的位置关系，属于中档题．
17．〔1〕；〔2〕.
【解析】
【分析】
〔1〕利用平方，转化求解sinxcosx，通过sinx﹣cosx的符号，利用平方转化求解即可；
〔2〕由，求出正弦函数以及余弦函数的值，然后求解即可．
【详解】
〔1〕∵，
∴，，
∵，∴sinx＜0，cosx＞0，
∴sinx﹣cosx＜0，，
∴；
〔2〕由〔1〕知，，解得，，
．
【点睛】
此题考查三角函数化简求值，考查了同角三角函数根本关系式的应用，考查计算能力，是中档题．18．(1)； (2).
【解析】
【分析】
〔1〕通过向量的数量积，把，的坐标，代入函数解析式，利用向量积的运算求得函数解析式，进而得到函数的最小正周期和单调递减区间；
〔2〕通过x∈[0，]，求出相位的范围，然后求出函数的最大值，利用最大值为2，直接求得a．【详解】
(1)由题意是常数〕
所以，
∴的最小正周期为，
令，得，
所以的单调递减区间为.
〔2〕当时，，
∴当，即时，有最小值,所以 .
【点睛】
此题主要考查了三角函数的最值，二倍角的化简求值，平面向量的数量积的运算．考查了对三角函数根底知识的综合应用．
19．〔1〕见解析〔2〕，
【解析】试题分析：〔1〕在中，由正弦定理得，进而得，从而得，即可证得；
〔2〕在中，由余弦定理：，得，从而得，利用求面积即可.
试题解析：
〔1〕在中，由正弦定理得，
那么，∴，
∴是等腰三角形；
〔2〕由〔1〕知：，故，
在中，由余弦定理：，
即，
整理得，解得〔舍去〕，，∴，故；
∴．
20．(1) ； (2).
【解析】
【分析】
〔1〕求单调增区间，先求导，令导函数大于等于0即可；
〔2〕f〔x〕在区间〔0，1〕上是增函数，即f′〔x〕≥0在区间〔0，1〕上恒成立，然后用别离参数求最值即可．
【详解】
〔1〕当时，，
所以，由得，或，
故所求的单调递增区间为.
〔2〕由，
∵在上是增函数，所以在上恒成立，即恒成立，
∵〔当且仅当时取等号〕，所以，即.
【点睛】
此题考查利用导数研究函数的单调性和二次函数在定区间上的最值问题，表达了分类讨论和转化的思想方法，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力．
21．(1)； (2).
【解析】
【分析】
〔1〕利用两角和差的正弦公式进行化简即可，求角A的大小；
〔2〕先求得 B+C=，根据B、C都是锐角求出B的范围，由正弦定理得到b=2sinB，c=2sinC，根据b2+c2=4+2sin〔2B﹣〕及B的范围，得＜sin〔2B﹣〕≤1，从而得到b2+c2的范围．【详解】
〔1〕由=
得sinAcosB+sinAcosC=cosAsinB+cosAsinC，
即sin〔A﹣B〕=sin〔C﹣A〕，
那么A﹣B = C﹣A，即2A=C+B，
即A=．.
〔2〕当a=时，∵B+C=，∴C=﹣B．由题意得，
∴＜B＜．由 =2，得 b=2sinB，c=2sinC，
∴b2+c2=4 〔sin2B+sin2C〕=4+2sin〔2B﹣〕．
∵＜B＜，∴＜sin〔2B﹣〕≤1，∴1≤2sin〔2B﹣〕≤2．
∴5＜b2+c2≤6．
故的取值范围是.
【点睛】
此题考查三角函数的恒等变换，正弦定理的应用，其中判断sin〔2B﹣〕的取值范围是此题的难点．22．〔1〕；〔2〕；〔3〕证明见解析．
【解析】
试题分析：〔1〕由切线切于原点知及，可得；〔2〕不等式恒成立，即在上的最小值大于或等于0，因此要研究的单调性、极值，为此求得，，为了确定的正负，再求导，由二阶导数的正负确定一阶导数的单调性及正负，从而确定的单调性，最值．对分类：，，；〔3〕要证不等式，显然要与上面的结论有关，首先证明一个更一般的情形：对任意的正整数，不等式恒成立，等价变形为，相当于〔2〕中，的情形．由此可证．
试题解析：〔1〕因为与轴相切于坐标原点
那么
〔2〕，，
①当时，由于，有，
于是在上单调递增，从而，因此在上单调递增，即而且仅有符合；
②当时，由于，有，
于是在上单调递减，从而，
因此在上单调递减，即不符；
③当时，令，当时，
，于是在上单调递减，
从而，因此在上单调递减，
即而且仅有不符.
综上可知，所求实数的取值范围是.
〔3〕对要证明的不等式等价变形如下：
对于任意的正整数，不等式恒成立，等价变形
相当于〔2〕中，的情形，
在上单调递减，即而且仅有；
取，得：对于任意正整数都有成立；
令得证.
考点：导数的几何意义，不等式恒成立，导数与单调性、最值，不等式证明．
【名师点睛】此题考查导数的综合运用，考查导数的几何意义．函数点处的切线方程，实际上两个条件：和．在求函数的最值时，一般要研究函数的单调性，这就要求研究导数的正负，象此题导数的正负也不易确定时，还必须研究导函数的单调性，从而又要对导函数再求导，得二阶导数，由的正负确定的单调性，从而确定的正负．这在导数的复杂应用中经常采用．此题第〔3〕小题考查同学们的观察能力、想象能力，类比推理能力，要在已证结论中取特殊值得到要证的不等式，要求较高，属于难题．。