二次函数与一元二次方程、不等式

2
思维导團
-------------------------- 1 因式分解
匚真爲数）
g
配方追
1
判独
二次函数与一元二次方程.不等式
关系
Δ b i 4ae
J-O
d<0 ΛX
∖ bx∖
C
(^o) ⅛Ξ⅛
\$厶
、Lz ∖O X
AJf i Λx I JLo
Q>0)(⅛ 根 也两个不出签的实数农 -⅛->,^d
…2：
沅有实数根
Λl p -+^+c>0 I Λ>0)拘第加
{Λ∣X<A 1 •或YAX j )
K
A ^4∙Z A H-Λ<0
(40)沟第心
{x∖x l <x<x 2}
0 0
（1） 若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨
论;
（2） 着求对应一元二茨方程的根壽用公式，则应对判别式△进行讨论； （3） 若求出的根屮含有参数7则应对曲根的大小进行讨论•
运用一解一元二次不等式（无参数）
【例1】解下列不等式:
(1) 3Λ2 -X -4>0; (2) X 2-Λ-12≤0:
(5) (7) X 2 +3x-4>0 ：
——x 2÷3x-5>0
-2<X 2-3Λ≤10.
(4) (6) 16 — 8Λ, + X" ≤ 0
•
-2√÷3x -2<0:
【触类旁通】
1.解关于X的不等式
(I)X2-6X +9≤0(2) 一3∕+8X-4>0(3)√-2r+l<0 (4)4x2-4x+l≤6:
运用二解-元二次不等式(含参数)
【例2】(1)解关于X的不等式x2+(l—心一“V0.
(2)解关于X的不等式：X2—Q+1≤0(*R);
(3)解关于X 的不等式：tu∙2-GZ-I)Λ- 1 <O(6/∈R).
【触类旁通】
1解关于X 的不等式：or2—(α+l)x+l<0("∈R).
2.当"为何值时，不等式ω2-l)x2-(f∕-I)X-I<0的解集为R?
运用三三个二次之间的联系
【例3】（1）已知关于兀的不等式X I -OX-b< °的解集是（—23）, "+b 的值是（
）
A. 7
B. 一7
C. 11
D. —11
（2） （2019.陕西髙二期末（文））不等式ax 2+bx + c> 0的解集为（71）,则不等式 b(x'+l)-α(x + 3) + c>0的解集为(
)
【思路总结】
1・一元二次不等式or 2+加+c>0（"≠0）的解集的端点值是一元二次方程α√+加+c=0的根， 也是
函数y=ax 2+bx+c 与X 轴交点的横坐标.
2. 二次函数y=ax 2~ihx+c 的图象在X 轴上方的部分，是由不等式"F + bx+c>0的X 的值构 成的：
图象在X 轴下方的部分，是由不等式α√+bx+cV0的X 的值构成的，三者之间相互依 存、相互转化.
【触类旁通】
1. （2019∙北京丰台二中高二期末）已知关于尤的不等式αχ-2-x+c<O 的解集为 {xl-l<x<2},则 α+c 等于（） A. -1
B ・ 1
C ・ 一3
D ・ 3
（ 1 ∖ 2. （2019•藁城市第一中学高一月考）设t∕>l,则关于才的不等式（I-G ）（X-M ）兀一一 <0
的解集是( )
1
A. (Yo,α)U -,+s
1>
a.-
D. I
< 1) Y,_
<
U
C.
U(α,+s) B.
运用四恒成立问题
【例4](1) (2019-江苏省天一中学髙一期末)已知关于X 的不等式A√ -6b∙ + k + 820对 任意x∈R 恒成立，则k 的取值范围是(
)
A. 0<k≤∖
B. 0<^≤l
C. k<0或R>l
D. k≤O^t k>∖
F+2Y +U
⑵已知•心)==一,对任意的x∈[l, ÷∞)> ∙∕U)≥0恒成立，求"的取值范围・
⑶当x∈(12)时，不等式X 2+加Λ+4V 0恒成立.则加的取值范帀是
【思路总结】
一、求不等式恒成立问题中参数范用的常见方法：
1 •利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R 上的恒成立问题，
设f(x)=Cix 1+∕λY÷c(<∕≠0),贝IJ
・心)>0恒成立 O">0且J<0： ∕U)≥0恒成立U>">0且J≤0;
Λχ)<o 恒成立u>"V0 且 J<o ； ∕u)≤o 恒成立u>"<o 且 J ≤O .
注：当未说明不等式是否为一元二次不等式时，先讨论“=0的情况.
2,。

将参数分离岀来，利用等价转化思想转化为求函数的最值问题(转化为•心)>“或.∕U)≥“ 或j{x)<a
或夬Λ∙0恒成立的问题)即：
(1)存在成立
若yu)在左义域内存在最大值叫 若7U)在左义域内存在最大值加, 若7U)在定义域内存在最小值m, 若y ω在左义域内存在最小值加,
(2)恒成立
在定义域D 上，不等式fM<ιn 恒成立，则∕H >/(x)max ,不等式fM<∖n 能成立，则 加>/⑴聞，不等式f M > m t⅛成立，则m > /(x)Inin ,不等式f(x) > In 能成立，则 加> /S)・转化时要注意是求最大值还是求最小值・
则 yu)<"恒成立 <=>“>〃?： 则 βΛ)≤c∖ ∙⅛i 成立 O a≥∕fi :
则J(X)>恒成立OaV 加:
【触类旁通】
1 •若伽+1）工一伽一l）x+3伽一I）V O对任何实数X恒成立，求实数加的取值范鬧.
2.（2019.奎屯市第一高级中学髙一月考（文））当XG（1,2）时，不等式χ2+ιnx + 4 <0恒成立，则加的取值范围是（）
A. （-≪>,-4］
B. （P,一5）
C. （Y,一5］
D. （-5,-4）
3.（2019-浙江高一期末）设∏∈R,若关于X的不等式√-t∕x+l>0在区间［1,2］上有解，
则（）
A. a<2
B. a≥2
C. ^≥-
D. a≤-
22
4.（2019-河北高二月考）已知不等式2αr+αv-3>0对任意的"已［1,3］恒成立的X的取值集合为A，不等式rnx2 + {m -I）X- m > 0对任意的X∈ ［1,3］恒成立的加取值集合为B , 则有（）A. A ∖ C K B B・A⊂B C. B ∖ C R A D・B⊂ A
,∙ E •天津市新华中学)已知命题時斗命题Z 心，川+心∣>o,则。

成立是g 成立的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2. (2019-江西高二期末(文))如果方程X 2+(∕H -1)Λ + ∕√-2 = 0的两个实根一个小于1, 另一个大
于1,那么实数加的取值范围是()
A. (-√2,√2)
B. (-2,0)
C. (-2,1)
D. (0,1)
3. (2019-宁夏银川一中高一期末)若对任意xe(l,+oo),不等式(Λ-1)(OX +1) ≤0恒成立,
则“的取值范围为(
)
A. -1≤∏≤1
B. a<∖
C. a≥-∖
D. a≤-∖
4. (2019-浙江高一期末)若不等式mx 2+(m-∖)x+m> 0对实数χ∈R 恒成立,则实数加
的取值范围(
)
A. ιn<-∖或加 > 丄
B. m > 1 3
C. In > -
D.
3
3
5. (2019.黑龙江牡丹江一中髙二期中(文))不等式ax 2+bx + c> 0的解集为(41),则
不等式b(x 2+∖)-a(x + 3) + c> 0的解集为(
)
B.
（P ,-1）U （亍+oo ）
4
D ・（-oo, 一匸）u （l,+co ）
4
A -（七） 4 c ∙ C-I u ）
6.（2019∙湖北髙一期中）已知不等式（a + h）x + 2a-3b<0的解集为∣X∣Λ∙）-∣•,则关于
X 的不等式（"-2b）χ2 + 2（"-b-l）x + α-2>0的解集为（）
2 2
A. {xlxv-3 +二或x>-l}
B. {xl-3 + 一Vxv-l}
b b
2 2
C.{xlXV-I或x>—3 —} D・{xl—1VXv—3 —}
b b
7.（2019∙北京大学附属中学新疆分校高二期中（文））不等式x2-2cιx+2≥a当"[7÷∞）
时恒成立，d的范围是___________________ 。

8.（2019-北京大学附属中学新疆分校高一期中）如果方程ax2+bx + c = 0的两根为-2和3
且“<0,那么不等式c lχ2+bx + c>0的解集为 _________________________ .
9.（2019-内蒙古髙一期末（文））若存在实数xe[2y5],使不等式x2-2χ+5-m<0成立，
则加的取值范围是 ______________________ •
10.（2019-安徽毛坦厂中学高一期末（理））已知不等式x2-Λ-t∕>0的解集为{*T>3或
X<-2},则实数"= _____________________ •
11.（2019∙安徽髙一期末）对任意实数兀，不等式（a-3）x2-2（a-3）x-6< 0恒成立，则实数α的取值范用是一.
12.（2019-浙江高二期末）若xe[-U],关于X的不等式x3-1 ≤t∕x2+2αv-√恒成立, 则实数α的取值范用是
13.（2019-浙江髙一期末）若关于X的不等式x2-aχ + b< 0的解集是（一1,2）,贝IJ
Cl = ___________ , b = ____________ .
14.（2019-上海市北虹高级中学高二期末）关于X的不等式X2+A LV +9> 0的解集是R，求实数R的取值范围是__________ .
15.（2019-江西南昌十中髙一月考（理））已知关于兀的不等式ax2+bx + c<0的解集是
{XIX < 一2,或X > ——},则ax2— Z?.v + c > 0 的解集为 ______ •
16.(2019.赤峰二中髙一月考(理))不等式x2-(a2+a)x + a> 0的解集为{x∖χ<a2或
x>α},则实数a的取值范围 ______________
17.(2019-东北育才学校髙二期中(文))若不等式cιx2+bx + c> 0的解集是(一1‘2),则不
等式bx2-cιx-c> 0的解集为____________ ・
18.(201&山东师范大学附中高二期中)关于X的方程X2+mx+ 4 = 0有两个正实数根，则
实数m的取值范围是 _________________ .
19.(2019-江西高一期末(理))已知X∈R时不等式G Z2-1)X2-(6∕-1)X-I< 0恒成立，求实数d的取值范围。

20. (2019・浙江髙一期末)已知函数fM = x2+cιx + 2.
(I )当0 = 3时，解不等式/U)<0；
(H)当x∈lt2］时，/(x)≥0恒成立，求d的取值范用.
21 ・已知f(x) = ax2 +x-a.a ∖ R .
(1)若“ =1，解不等式/(x)≥l;
(2)若“VO,解不等式/(x)>l .
22.(2019.黑龙江双鸭山一中髙一期中(理〉)已知函数f(x) = -x2+ax+b.
(1)若关于X的不等式∕W>0的解集为(-1,3),求实数“上的值；
(2)当/7 = -4时，对任意xeR9/(%)≤0恒成立，求α的取值范囤・
23.(2019∙湖北髙一期中)已知函数/(x) = -∣x2+→z(5-^)x + c.
(1)若c = 16时，解关于α的不等式/(2)>0;
(2)若α = 4时，对任意的x∈(→oj], /(x) <0恒成立，求实数C的取值范围. 24若不等式("一2)x2+2("—2)χ-4<0的解集为R-求实数t/的取值范用.
25•已知不等式2χ-1 >m(x2~∖)・
(1)若对于所有实数X，不等式恒成立，求加的取值范围:
⑵若对于加∈[-2,2],不等式恒成立，求X的取值范围.
H。