数学立体几何多选题测试试题及答案

数学立体几何多选题测试试题及答案
一、立体几何多选题
1．已知正方体1111 ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1DD 的中点，N 为正方形ABCD 所在
平面内一动点，则下列命题正确的有（ ）
A ．若2MN =，则MN 的中点的轨迹所围成图形的面积为π
B ．若N 到直线1BB 与直线D
C 的距离相等，则N 的轨迹为抛物线
C ．若1
D N 与AB 所成的角为3
π
，则N 的轨迹为双曲线 D ．若MN 与平面ABCD 所成的角为3
π
，则N 的轨迹为椭圆
【答案】BC 【分析】
对于A ，连接MN ，ND ，DP ，得到直角MDN △，且P 为斜边MN 的中点，所以1PD =，进而得到P 点的轨迹为球面的一部分，即可判断选项A 错误；对于B ，可知1NB BB ⊥，即NB 是点N 到直线1BB 的距离，在平面ABCD 中，点N 到定点B 的距离与到定直线DC 的距离相等，利用抛物线定义知B 正确；对于C ，建立空间直角坐标系，设(,,0)N x y ，利用空间向量求夹角知122121
cos
3
2
24
D N AB y x y D N AB
π
⋅=
=
=
⨯++⋅，化简可知N 的轨迹为双曲线；对于D ，MN 与平面ABCD 所成的角为3
MND π
∠=
，3
ND =
，可知N 的轨迹是以D 为圆心，3
3
为半径的圆周； 【详解】
对于A ，如图所示，设P 为MN 的中点，连接MN ，ND ，DP ，由正方体性质知MDN △为直角三角形，且P 为MN 的中点，2MN =，根据直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，知MDN △不管怎么变化，始终有1PD =，即P 点的轨迹与正方体的面围城的几何体是一个以D 为球心，1为半径的球的
18，其面积2
14182
S ππ=⨯⨯=，故A 错误；
对于B ，由正方体性质知，1BB ⊥平面ABCD 由线面垂直的性质定理知1NB BB ⊥，即NB 是点N 到直线1BB 的距离，在平面ABCD 中，点N 到定点B 的距离与到定直线DC 的距离相等，所以点N 的轨迹是以点B 为焦点，直线DC 为准线的抛物线，故B 正确； 对于C ，如图以D 为直角坐标系原点，建立空间直角坐标系，(,,0)N x y ，1(0,0,2)D ，
(0,2,0)A ，(2,2,0)B ，则1(,,2)D N x y =-，(0,2,0)AB =，利用空间向量求夹角知
122121
cos
3
2
24
D N AB y x y D N AB
π
⋅=
=
=
⨯++⋅，化简整理得：22
34y x -=，即22
1
44
3
y x -=，所以N 的轨迹为双曲线，故C 正确；
对于D ，由正方体性质知，MN 与平面ABCD 所成的角为MND ∠，即3
MND π
∠=，在直
角MDN △中，3ND =，即N 的轨迹是以D 3D 错误； 故选：BC 【点睛】
关键点睛：本题考查立体几何与解析几何的综合，解题的关键是抓住解析几何几种特殊曲线的定义，考查学生的逻辑推理能力，转化与划归能力与运算求解能力，属于难题.
2．如图，在棱长为2的正方体ABCD A B C D ''''-中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有（ ）
A ．AM 与D
B ''10 B ．过三点A 、M 、D 的正方体ABCD A B
C
D ''''-的截面面积为92
C ．四面体A C B
D ''的内切球的表面积为
3
π D ．正方体ABCD A B C D ''''-中，点P 在底面A B C D ''''（所在的平面）上运动并且使
MAC PAC ''∠=∠，那么点P 的轨迹是椭圆 【答案】AB 【分析】
构建空间直角坐标系，由异面直线方向向量的夹角cos ,||||
AM D B AM D B AM D B ''
⋅''<>=
''为
AM 与D B ''所成角的余弦值判断A 的正误；同样设(,,0)P x y 结合向量夹角的坐标表示，
22215
5
43
x y =
++⨯P 的轨迹知D 的正误；由立方体的截面为梯形，分别求,,,MN AD AM D N ''，进而得到梯形的高即可求面积，判断B 的正误；由四面体的体积与内切球半径及侧面面积的关系求内切球半径r ，进而求内切球表面积，判断C 的正误. 【详解】
A ：构建如下图所示的空间直角坐标系：
则有：(0,0,2),(1,2,2),(0,2,0),(2,0,0)A M B D ''， ∴(1,2,0),(2,2,0)AM D B ''==-，
10
cos ,10||||58
AM D B AM D B AM D B ''⋅''<>=
==''⨯，故正确.
B ：若N 为C
C '的中点，连接MN ，则有//MN A
D '，如下图示，
∴梯形A MND’为过三点A 、M 、D 的正方体ABCD A B C D ''''-的截面， 而2,2,5MN AD AM D N ''=
===32
2
， ∴梯形的面积为132932222
S =
⨯=，故正确. C ：如下图知：四面体A C BD ''的体积为正方体体积减去四个直棱锥的体积，
∴118
848323
V =-⨯⨯⨯=
，而四面体的棱长都为22，有表面积为142222sin 8323
S π
=⨯⨯⨯⨯=，
∴若其内切圆半径为r ，则有1
8833
3r ⨯⋅=
，即33
r =，所以内切球的表面积为2443
r π
π=
.故错误. D ：正方体ABCD A B C D ''''-中，点P 在底面A B C D ''''（所在的平面）上运动且
MAC PAC ''∠=∠，即P 的轨迹为面A B C D ''''截以AM 、AP 为母线，AC’为轴的圆锥体侧面所得曲线，如下图曲线GPK ，
构建如下空间直角坐标系，232(0,0,2),(2),(0,22,0)22
A M C '-
，若(,,0)P x y ，则232
(,,0),(0,22,2),(,,2)22
AM AC AP x y '=-
=-=-，
∴15
cos ||||512
AM AC MAC AM AC '⋅'∠=
=='⨯
222cos ||||
43
AP AC PAC AP AC x y '
⋅'∠=
='++⨯22215
5
43
x y =
++⨯，整理得22(102)9216(0)y x y +-=>，即轨迹为双曲线的一支，故错误.
故选：AB 【点睛】
关键点点睛：应用向量的坐标表示求异面直线的夹角，并结合等角的余弦值相等及向量数量积的坐标表示求动点的轨迹，综合立方体的性质求截面面积，分割几何体应用等体积法求内切球半径，进而求内切球的表面积.
3．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是棱AB 、1CC 的中点，1MB P 的顶点
P 在棱1CC 与棱11C D 上运动，有以下四个命题正确命题的序号是（ ）
A ．平面1M
B P 1ND ⊥ B ．平面1MB P ⊥平面11ND A
C ．1MB P 在底面ABC
D 上的射影图形的面积为定值 D ．1MB P 在侧面11D C CD 上射影图形是三角形 【答案】BC 【分析】
取N 与P 重合，结合勾股定理可判断A 选项的正误；利用面面垂直的判定定理可判断B 选项的正误；分点P 在棱1CC 、11C D 上运动两种情况讨论，利用三角形的面积公式可判断C 选项的正误；取点P 与点1C 重合，判断1MB P 在侧面11D C CD 上射影图形形状，可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，如下图所示：
当点P 与点N 重合时， 若1ND ⊥平面1MB P ，
1B N ⊂平面1MB P ，则11ND B N ⊥，
由勾股定理可得2211115D N C N C D =+=，同理可得15B N =，1122B D =，
2221111B N D N B D ∴+≠，则1ND 与1B N 不垂直，假设不成立，A 选项错误；
对于B 选项，取1BB 的中点E ，连接1A E 、EN ，
在正方体1111ABCD A B C D -中，11//BB CC ，且E 、N 分别为1BB 、1CC 的中点， 则11//B E C N 且11B E C N =，所以，四边形11B ENC 为平行四边形，则11//EN B C 且
11EN B C =，
1111//A D B C 且1111A D B C =，所以，11//A D EN 且11A D EN =，
所以，四边形11A END 为平行四边形，所以，11//A E D N ，
111A B BB =，1B E BM =，11190A B E B BM ∠=∠=，所以，111Rt A B E Rt B BM ≅△△，
所以，111B A E BB M ∠=∠，所以，111111190A EB BB M A EB B A E ∠+∠=∠+∠=，
190B FE ∴∠=，所以，11B M A E ⊥，
11A D ⊥平面11AA B B ，1B M ⊂平面11AA B B ，111B M A D ∴⊥， 11
11A D A E A =，11A D 、1A E ⊂平面11ND A ，1MB ∴⊥平面11ND A ，
1MB ⊂平面1MB P ，所以，平面1MB P ⊥平面11ND A ，B 选项正确；
对于C 选项，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a .
若点P 在棱1CC 上运动时，1MB P 在底面ABCD 上的射影为MBC △， 此时，射影图形的面积为2
1224
MBC
a a S a =⋅=△； 若点P 在棱11C D 上运动时，设点P 在底面ABCD 上的射影点为G ，则G CD ∈， 且点G 到AB 的距离为a ,
1MB 在底面ABCD 内的射影为MB ，则1MB P 在底面ABCD 内的射影为MBG △，
且2
1224
MBG
a a S a =⋅⋅=
△.
综上所述，1MB P 在底面ABCD 内的射影图形的面积为定值，C 选项正确； 对于D 选项，当点P 与1C 重合时，P 、1B 两点在平面11D C CD 上的射影重合， 此时，1MB P 在侧面11D C CD 上的射影不构成三角形，D 选项错误. 故选：BC. 【点睛】
方法点睛：证明面面垂直常用的方法： （1）面面垂直的定义； （2）面面垂直的判定定理.
在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所
证的线面垂直，组织论据证明即可.
4．如图，已知正方体1ABCD ABC D -的棱长为a ，E 是棱CD 上的动点.则下列结论中正确的有（ ）
A ．11E
B AD ⊥
B ．二面角11E A B A --的大小为
4
π C ．三棱锥11A B D E -体积的最小值为3
13
a D ．1//D E 平面11A B BA 【答案】ABD 【分析】
连接1A D 、1B C ，则易证1AD ⊥平面11A DCB ，1EB ⊂平面11A DCB ，则由线面垂直的性质定理可以判断选项A 正确；二面角11E A B A --的平面角为1DA A ∠，易知
14
DA A π
∠=
，则可判断选项B 正确；用等体积法，将求三棱锥11A B D E -的体积转化为
求三棱锥11E AB D -的体积，当点E 与D 重合时，三棱锥11E AB D -的体积最小，此时的值为3
16a ，则选项C 错误；易知平面11//D DCC 平面11A B BA ，而1D E ⊂平面11D DCC ，
则根据面面平行的性质定理可得1//D E 平面11A B BA ，可判断选项D 正确. 【详解】
选项A ，连接1A D 、1B C ，则由正方体1ABCD ABC D -可知，
11A D AD ⊥，111A B AD ⊥，1111A D A B A =，
则1AD ⊥平面11A DCB ，又因为1EB ⊂平面11A DCB ， 所以11EB AD ⊥，选项A 正确；
选项B ，因为11//DE A B ，
则二面角11E A B A --即为二面角11D A B A --， 由正方体1ABCD ABC D -可知，11A B ⊥平面1DA A ， 则1DA A ∠为二面角11D A B A --的平面角，且14
DA A π
∠=，
所以选项B 正确；
选项C ，设点E 到平面11AB D 的距离为d ， 则111111
13
A B D E E AB D AB D V V S d --==
⋅，
连接1C D 、1C B ，易证平面1//BDC 平面11AB D ，
则在棱CD 上，点D 到平面11AB D 的距离最短， 即点E 与D 重合时，三棱锥11A B D E -的体积最小， 由正方体1ABCD ABC D -知11A B ⊥平面1ADD ， 所以1111123
11
1
113
326
D AB D B ADD
ADD a V V S A B a a --==⋅=⋅⋅=， 则选项C 错误；
选项D ，由正方体1ABCD ABC D -知，
平面11//CC D D 平面11A B BA ，且1D E ⊂平面11CC D D ， 则由面面平行的性质定理可知1//D E 平面11A B BA ，则选项D 正确. 故选：ABD. 【点睛】
关键点点睛：本题对于选项C 的判断中，利用等体积法求三棱锥的体积是解题的关键.
5．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点E ，F 分别在1CC ，1BB 上，
12C E EC →
→
=，12BF FB →
→
=.动点M 在侧面11ADD A 内(包含边界)运动，且满足直线
//BM 平面1D EF ，则（ ）
A ．过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为等腰梯形
B ．三棱锥1D EFM -的体积为定值
C ．动点M 10
D ．过B ，
E ，M 的平面截正方体所得截面面积的最小值为10【答案】BCD 【分析】
由题做出过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，进而计算即可排除A 选项；根据//BM
平面1D EF ，由等体积转化法得1
1
1
1
D EFM M D EF B D EF D BEF
V V V V ----===即可得B 选项正确；取1AA 靠近1A 点的三等分点H ， 1DD 靠近D 点的三等分点I ，易知
M 的轨迹为线段HI 10，故C 选项正确；过M 点做BE 的平行线交1AA 于
P ，交1DD 于O ，连接,BP OE ，易知过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行
四边形BPOE ，进而得当H 位于点I 时，截面面积最小，为四边形ABEI 的面积，且面积为310S AB BE =⋅= 【详解】
解：对于A 选项，如图，取BF 中点G ，连接1A G ，由点E ，F 分别在1CC ，1BB 上，
12C E EC →→=，12BF FB →→
=，故四边形11A D EG 为平行四边形，故11//AG
D E ，由于在11A B G △，F 为1B G 中点，当N 为11A B 中点时，有11////NF A G D E ，故过1D ，E ，
F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，此时2
2
1335322D N ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
，223110EF =+=1D EFN 不是等腰梯形，故A 选项错误；
对于B 选项，三棱锥1D EFM -的体积等于三棱锥1M D EF -的体积，由于//BM
平面
1D EF ，故三棱锥1M D EF -的体积等于三棱锥1B D EF -的体积，三棱锥1B D EF -的
体积等于三棱锥1D BEF -的体积，而三棱锥1D BEF -的体积为定值，故B 选项正确； 对于C 选项，取1AA 靠近1A 点的三等分点H ， 1DD 靠近D 点的三等分点I ，易知
1
////HB AG NF ，1//BI D F ，由于1,HI BI I NF
D F F ==，故平面//BHI 平面
1D EF ，故M 的轨迹为线段HI ，其长度为10，故C 选项正确；
对于D 选项，过M 点做BE 的平行线交1AA 于P ，交1DD 于O ，连接,BP OE ，则过
B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ，易知当H 位于点I 时，平
行四边形BPOE 边BP 最小，且为AB ，此时截面平行四边形BPOE 的面积最小，为四边形ABEI 的面积，且面积为310S AB BE =⋅=，故D 选项正确； 故选：BCD
【点睛】
本题解题的关键在于根据题意，依次做出过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为梯形
1D EFN ，过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ，进而讨论AD
选项，通过//BM
平面1D EF ，并结合等体积转化法得
1111D EFM M D EF B D EF D BEF V V V V ----===知B 选项正确，通过构造面面平行得M 的轨迹为线
段HI ，进而讨论C 选项，考查回归转化思想和空间思维能力，是中档题.
6．在三棱锥M ABC -中，下列命题正确的是（ ）
A ．若12
33
AD AB AC =
+，则3BC BD = B ．若G 为ABC 的重心，则111
333
MG MA MB MC =++
C ．若0MA BC ⋅=，0MC AB ⋅=，则0MB AC ⋅=
D ．若三棱锥M ABC -的棱长都为2，P ，Q 分别为MA ，BC 中点，则2PQ = 【答案】BC 【分析】
作出三棱锥M ABC -直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得. 【详解】
对于A ，由已知12
322233
AD AB AC AD AC AB AD AC AB AD =+⇒=+⇒-=-，即2CD DB =，则
3
2
BD BD DC BC =+=，故A 错误； 对于B ，由G 为ABC 的重心，得0GA GB GC ++=，又MG MA AG =+，
MG MB BG =+，MG MC CG =+，3MA MB MC MG ∴++=，即
111
333
MG MA MB MC =++，故B 正确；
对于C ，若0MA BC ⋅=，0MC AB ⋅=，则0MC MA BC AB ⋅+⋅=，即
()00
MA BC AC CB MA BC AC C MC C M B M C ⋅++=⇒⋅++⋅⋅=⋅()
00MA BC A MC MC MC MC C BC MA BC AC ⋅⋅⋅⇒⋅+-=⇒-+=⋅()
000MC M CA BC AC AC CB AC CB AC C MC ⇒+=⇒+=⇒+=⋅⋅⋅⋅⋅，即0MB AC ⋅=，故C 正确；
对于D ，111
()()222
PQ MQ MP MB MC MA MB MC MA ∴=-=
+-=+- ()
2
11
22
PQ MB MC MA MB MC MA ∴=+-=
+-，又
(
)
22
2
2
222MB MC MA MB MC MA MB MC MB MA MC MA
+-=+++⋅-⋅-⋅2221112222222222228222=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，1
822
PQ ∴==，故
D 错误. 故选：BC 【点睛】
关键点睛：本题考查向量的运算，用已知向量表示某一向量的三个关键点：
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
7．在长方体1111ABCD A B C D -
中，AB =12AD AA ==，,,P Q R 分别是
11
,,AB BB AC 上的动点，下列结论正确的是（ ） A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥ B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥ C ．当1AR A C ⊥时，1AR D R ⊥
D ．当1
13AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABD 【分析】
如图所示建立空间直角坐标系，计算142D P CQ b ⋅=-，()12222D R CQ b λλ⋅=--，
13
4
AR D R ⋅=-，10D R n ⋅=，得到答案.
【详解】
如图所示，建立空间直角坐标系，设()2,,0P a
，a ⎡∈⎣
，()
Q b ，
[]0,2b ∈，
设11
A R AC λ=
，得到()
22,22R λλ--，[]
0,1λ∈. ()12,,2P a D -=，()2,0,CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正
确；
()
122,2D R λλ=--，()12222D R CQ b λλ⋅=--，取2
2b
λ=+时，1D R CQ ⊥，B 正确； 1AR A C ⊥
，则
(
)()
12,222212440AR AC λλλλλ⋅=--⋅--=-+-+=， 1
4λ=
，此时113313022224AR D R ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误； 113AC A R =
，则44,,333R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，142,,333D R ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭，
设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z =，则10
n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩
，解得(
3,n =-，
故10D R n ⋅=，故1//D R 平面1BDC ，D 正确. 故选：ABD .
【点睛】
本题考查了空间中的线线垂直，线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，推断能力.
8．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，过对角线1BD 作平面α交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，以下结论正确的是（ ） A ．四边形1BFD E 不一定是平行四边形 B ．平面α分正方体所得两部分的体积相等 C ．平面α与平面1DBB 不可能垂直 D ．四边形1BFD E 2 【答案】BD 【分析】
由平行平面的性质可判断A 错误;利用正方体的对称性可判断B 正确;当E ､F 为棱中点时,通过线面垂直可得面面垂直,可判断C 错误;当E 与A 重合,F 与1C 重合时,四边形1BFD E 的面积最大,2,可判断D 正确. 【详解】 如图所示,
对于选项A,因为平面1111//ABB A CC D D ,平面1BFD E 平面11ABB A BE =,平面1BFD E
平
面111CC D D D F =,
所以1//BE D F ,同理可证1//D E BF ,所以四边形1BFD E 是平行四边形,故A 错误; 对于选项B,由正方体的对称性可知,平面α分正方体所得两部分的体积相等,故B 正确; 对于选项C,在正方体1111ABCD A B C D -中,有1,AC BD AC BB ⊥⊥, 又1BD BB B ⋂=,所以AC ⊥平面1BB D , 当E ､F 分别为棱11,AA CC 的中点时, 有//AC EF ,则EF ⊥平面1BB D , 又因为EF ⊂平面1BFD E ,
所以平面1BFD E ⊥平面1BB D ,故C 错误;
对于选项D,四边形1BFD E 在平面ABCD 内的投影是正方形ABCD , 当E 与A 重合,F 与1C 重合时,四边形1BFD E 的面积有最大值, 此时1212S D E BE =⋅=,故D 正确; 故选:BD. 【点睛】
本题考查了正方体的几何性质与应用问题,也考查了点线面的位置关系应用问题,属于中档题.
9．在边长为2的等边三角形ABC 中，点,D E 分别是边,AC AB 上的点，满足//DE BC 且
AD AC
λ=，（()01λ∈，），将ADE 沿直线DE 折到A DE '△的位置.在翻折过程中，
下列结论不成立的是（ ）
A ．在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD '
B ．存在102λ∈⎛⎫
⎪⎝⎭
,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDE
C ．若1
2
λ=
，当二面角A DE B '--为直二面角时，||10A B '= D ．在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ2
3【答案】ABC 【分析】
对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得
//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，即可判断出结论.
对于B ，102λ∈⎛⎫
⎪⎝⎭
,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，即
可判断出结论. 对于C ，1
2
λ=
，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，可得AM ⊥平面BCDE .可得22A B AM BM '=+，结合余弦定理即可得出.
对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积
()31
33
BCDE f S λλλλ=⋅⋅=-，()01λ∈，，利用导数研究函数的单调性即可得出.
【详解】
对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得
//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，如图所示，
则可得FN 平行且等于BG ，即四边形BGNF 为平行四边形， ∴//NG BE ，而GN 始终与平面ACD 相交，
因此在边A E '上不存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD '，A 不正确.
对于B ，102λ∈⎛⎫
⎪⎝⎭
,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，因
此不满足平面A BC '⊥平面BCDE ，因此B 不正确. 对于C.1
2
λ=
，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，如图所示：
可得AM ⊥平面BCDE ，
则A B '===≠，因此C 不正确；
对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积
()
31
3BCDE f S λλλ=⋅=-，()01λ∈，，()213f λλ'=-，可得3
λ=时，函数
()f λ取得最大值()113f λ⎫=
-=
⎪⎝⎭，因此D 正确. 综上所述，不成立的为ABC. 故选：ABC. 【点睛】
本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力空间想象能力与计算能力，属于难题.
10．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱11AA =，P 为上底面
1111D C B A 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ）
A ．若3PD =，则满足条件的P 点有且只有一个
B ．若PD =，则点P 的轨迹是一段圆弧
C ．若P
D ∥平面1ACB ，则DP 长的最小值为2
D ．若PD ∥平面1ACB ，且PD =，则平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形的面积为94
π 【答案】ABD 【分析】
若3PD =，由于P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一；()13PD =，，则
1PD =P 的轨迹是一段圆弧；当P 为11A C 中点时，DP 有最小值为=断C ；平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为3
2
=，可得D . 【详解】 如图：
∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2， ∴1122B D =11AA =， ∴()
2
212213DB =
+=，则P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一，故A 正确；
∵()313PD =，，11DD =，则12PD P 的轨迹是一段圆弧，故B 正确； 连接1DA ，1DC ，可得平面11//A DC 平面1ACB ，则当P 为11A C 中点时，DP 有最小值为
()
2
2213+=C 错误；
由C 知，平面BDP 即为平面11BDD B ，平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接22213
22122++=，面积为94
π，故D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】
本题考查了立体几何综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.。