重点：1.离散频谱(DFT)概念2.DFT 性质与计算3.DFT应用(计算卷积、对连续信号的逼近)4.Matlab程序实现难点

X (e j ) x[k ] e-jk k -
k
X (e j )
X (e j )
或
-p

p

p
2p
频谱特点： 周期为2p的连续谱
(4)离散、周期信号
~x [k ]
DFS X~ (m)
~x [k ]
~x [k ]

IDFS
{X~[m]}

1 N
N
-1
X~[m]

W -mk N
N -1
(2)X2[m]

[k
-
k0
]

W
mk N
k0
N -1

W mk0 N

[k - k0 ]
k0

W mk0 N
m 0,1, 2, ...N - 1;
(3)x3[k] 1 RN [k]
N -1
(3) X 3[m]
k 0
1 WNmk
- j 2p mN
DFT矩阵
DFT矩阵形式为 X DN x,
其中 X X[0] X[1] X[N - 1]T ,
x x[0] x[1] x[N - 1]T ,
1
1
DN

1
1
1 WN1 WN2
W N -1
N
1 WN2 WN4
W 2( N -1)
N
1
1

W N -1 N
0
0.25
0.5
0.75
1
Normalized frequency
set(gca,'xtick',[0,0.25,0.5,0.75,1]);
set(gca,'ytick',[0,2,4,6,8]);
grid on
hold off
说明： 序列做DFT的点数不同，DTFT是相同的； 只是在频域的抽样间隔不同。
N
X [m]


2
0
m N0,m N - N0 other
0 m N -1
DFT和DTFT的关系：(抽样)
有限长序列 x[k] 的离散傅里叶变换 X [m]是 其离散时间傅里叶变换在一个周期内(主值区间) 的等间隔取样。
X[m] DFT{x[k]} X (e j ) 2p m N
计算循环卷积方法：
1.图解(定义式)； 2.同心圆； 3.矩阵(见p106)； 4.利用循环卷积和周期卷积(或线性卷积)的关系。
例：x1[k]={1,1,1,0}, x 2[k]={1,1,0,1} , N=4
x1[k] N x2 [k]= {2, 3, 2, 2}
卷积定理
时域卷积定理：
DFT x1[k] N x2[k] X1[m]X 2[m]
m0
X~[m] DFS {~x[k]} N-1 ~x[k]WNmk
k0
k
N
X~(m)
X~(m)
或
(-p )
m
0 1 23
(p ) () 0 1 2 3
(p )
m
N -1
(2p ) ()
频谱特点： 周期为N的离散谱
结论
时域周期化，则频域离散化； 时域离散化，则频域周期化。
以上4种形式的频谱分析都不能满足实际计算的 要求.
(5) x5[k ]

e
j
2p N
N0k
0 N0 N -1
对比x[k] 1 N -1
N m0
X [m]WN-mk

1 N
N -1 m0
2p mk
X [m]e N
N X [m] 0
m N0 其他
练习
2p
x[k] cos( N
N0k)
0 N0 N -1
例：
求x[k ]
2p
cos[
kl]的DFT
N

1 2
{X
[(m
-
l)N
]

X [(m

l)N
]}
RN
[m]
3.对称性
DFS{~x [k]} X~ [-m]
DFT{x[k]} X [(-m)N ]RN [m]
DFS{~x [-k]} X~ [m]
DFT{x[(-k)N ]RN [k]} X~[m]
y[k] x[(k n)N ]RN [k]
表示以N为周期对x[k]进行周期延拓后做线性 位移，然后取主值序列。
x[k], N 5
01 2 34
x[(k )5 ]
3 k=2
k
k=3 4
k
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x[(k 2)5]
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
(5) x5[k ]

e
j
2p N
N0k
0 N0 N -1 0 N0 N -1
(1)x1[k] [k]
N -1
(1)X1[m]

[k
]

W
mk N
k0
N -1
[k] k0
1 m 0,1, 2,...N - 1;
(2)x2[k] [k - k0 ] 0 k0 N -1
离散傅立叶变换DFT 重点：
1.离散频谱（DFT）概念 2.DFT 性质与计算 3.DFT应用(计算卷积、对连续信号的逼近) 4.Matlab程序实现
难点：
1.DFT与DTFT关系 2.信号频谱指标分析
(1)连续、非周期信号
x(t) FT X ( jw) At Sa(wt )
2
x(t) 1 X ( jw) e jw t dw 2p -
N
因此
X [m] X (z) j2p m ,0 m N - 1 ze N DFT是z平面单位圆上的等间隔抽样
6. DFT和z变换的关系
X [m] X (z) j2p m ,0 m N - 1 ze N DFT是z平面单位圆上的等间隔抽样
2p N
m
-1 单位圆
jIm(z)

定义 x [k] N h[k ] x[(n)N ]h[(k - n)N ]RN [k]
n0

形式上相当于：周期卷积（周期为N）结果的主值区间
x [k ] N h[k ] {~x1[k] ~ ~x2[k]} RN [k]
结论 x[k] N [k-n]=x[(k-n)N]RN[k]
利用MATLAB计算16点序列x[k]的512点DFT
N = 16;
k = 0:N-1;
8
Magnitude
L = 0:511;
6
f = cos(2*pi*k*4./16);
F = fft(f);
4
plot(k/16,abs(F),'o');
2
hold on
FE = fft(f,512);
0
plot(L/512,abs(FE))

X (nw0 ) e jnw0t
n-
X
(nw0
)

1 T0
T
2 -T
2
xT (t) e-jnw0t dt
-T
-t/ 2 t/ 2
T
t
X(nw0 )
At / T0
- 2p
2p
t
t
nw0
w0 2p / T0
(3)离散、非周期信号
x[k ]
DTFT
X (e j )
x[k ]
x[k] 1 p X (e j ) e jkd 2p -p


W 2( N -1) N


( N -1)( N -1)
W N
1 1 1 1
D4

1 1
-j -1
-1 1
j

- 1
1 j - 1 - j
IDFT矩阵形式为
x D-N1X,
1
1
1
1
1
WN-1
WN- 2

D-N1

1
WN- 2
x[k] cos(2π rk / N), N 16, r 4
利用MATLAB计算16点序列x[k]的512点DFT
经计算
N
X
[m]


2
0
m r,m N - r other
0 m N -1
x[k] cos(2π rk / N), N 16, r 4
,
m 0,1,, N -1
DFT和DFS的关系：(截断)
X [m]

N -1
2p - j km
x[k] e N

X~[m]
RN [m]
k 0
x[k]
1 N
N -1 m0
j2p mk
X [m] e N
~x[k] RN [k]
DFT的隐含周期性：
从三个方面来说明DFT具有隐含的周期性： (1)DFT和DTFT的关系上 (2)DFT和DFS的关系上 (3)由 WNmk 的周期性
X (z) (1 - z -N ) N-1

1
-
e
-
N j 2p
m
1-e N
N 0
m0 m 1,2...N -1;
(4)x4[k] RN0 [k] 0 N0 N - 1
N0 -1
(4) X 4[m] 1WNmk
k 0
p-e源自jp Nm( N0 -1)
sin(
N N0m)
p
sin( m)
N
m 0,1,2...N -1;
j
z平面
2p N
0
1
Re(z)
2p ( N -1) N
-j
由序列DFT表示序列z变换
N -1
X (z) x[k]z -k k 0
N -1
X [m] x[k]WNkm k 0
X [m] X (z) j 2p m ; m 0,1N -1 ze N
X [m] IDFT x[k] z变换 X (z)
频域卷积定理：
DFTx1[k]x2[k]
1 N
X1[m]
N
X 2[m]
5.Parseval定理
N -1 x[k ] 2 1 N -1 X [m] 2
k 0
N m0
揭示信号时域能量和频域能量之间的关系
6. DFT和z变换的关系
X (e j ) X (z) ze j 单位圆上的z变换 X [m] X (e j ) 2p m ,0 m N -1 频域等间隔抽样
WN- 4



1
W -( N -1) N
W - 2( N -1) N

D-N1

1 N
DN
用MATLAB产生DFT矩阵
1
W -( N -1) N

W 2( N -1) N

-( N -1)( N -1)
W N
dftmtx(N)函数产生N×N的DFT矩阵DN conj(dftmtx(N))/N函数产生N×N的IDFT矩阵DN-1
X[m]=X *[N-m]
可得
X[1]=X*[9-1]= X*[8]= 5.5+8.0j; X[3]=X*[9-3]= X*[6]= 9.3-6.3j； X[5]=X*[9-5]= X*[4]= -1.7-5.2j; X[7]=X*[9-7]= X*[2]= 2.5-4.6j;
4.循环卷积
N -1
x[(k 2)5]RN[k]
5 k=2
k
k=3 1
0 12 34
k
2 k=1
k=0 1
k=4 5
4 k=1
k=0 3
k=4 2
位移性质
1)时域位移性质
DFTx[(k

n)
N
]RN
[k]
W -mn N
X [m]
2)频域位移性质
DFT
W lk N
x[ k
]
X[(m l) N ]RN [m]
k 0
记为：正变换： X[m] DFT{x[k]}
反变换： x[k] IDFT{X[m]}
例：计算以下序列的DFT， 0 k N -1
(1)x1[k] [k]
(2)x2[k] [k - k0 ] 0 k0 N -1
(3)x3[k] 1 RN [k]
(4)x4[k] RN0 [k]
3 DFT的性质
1.线性
DFT ax1[k] bx2[k] aDFT x1[k] bDFT x2[k]
(1)如一序列短，则需补零后再按长序列的点数做DFT (2)如果是长序列(M点，M大于N)做短点数N点DFT，则
将序列先N点周期化，再做N点DFT。
2. 循环位移(Circular shift of a sequence) (又称圆周位移)
当x[k]是实数时
X[m] X [(-m)N ]RN [k]
例：已知一9点实序列的DFT在偶数点的值为X[0]=3.1,
X[2]=2.5+4.6j, X[4]=-1.7+5.2j, X[6]=9.3+6.3j, X[8]=5.5-8.0j。确定DFT在奇数点的值。
解：
根据实序列DFT的对称特性
解决方法：离散傅立叶变换(DFT)。
2 离散傅立叶变换(DFT)
问题：
序列只在0 k N-1范围非零，如何计算其频谱的离散值
x [k] 1 N -1
N m0
X [m]WN-mk
0 k N -1 IDFT
N -1
X [m]
x[k
]W
mk N
0 m N -1
DFT
X ( jw) x(t) e-jw tdt -
x (t ) A
X (wj ) tA
-t
t
t
2
2
w
- 2p
2p
t
t
频谱特点： 连续非周期谱
(2)连续、周期信号
xT (t)
FS
X (nw0 )
At
T0
Sa( nw0t
2
)
频谱特点： 离散非周期谱 xT (t)
A
~x(t)