二次求导在解题中的妙用

二次求导在解题中的妙用
佚名
【期刊名称】《《高中数理化》》
【年(卷),期】2019(000)006
【总页数】1页(P15)
【正文语种】中文
导数作为研究函数问题的重要工具，既是数学的重要内容，又是高考的必考考点．近几年高考中，有些函数需要根据所求问题对导函数进行二次求导，根据二次导函数的性质研究一次导函数性质，进而求得原函数性质，这类问题常作为压轴题出现，本文从二次导函数的应用出发，探讨其解题思路和方法.
1 判断函数的单调性
例1 若函数设a=fx1,b=fx2，试比较a,b的大小．
由得设g(x)=xcos x-sin x，则g′(x)=-xsin x+cos x-cos x=-xsin x.因为0<x<π,所以g′(x)<0，即函数g(x)在0,π上是减函数．所以g(x)<g0=0，因此f′(x)<0，故f(x)在(0，π)是减函数，当0<x1<x2<π时，有fx1>fx2，即a>b.
本题中为了得到f(x)的单调性，就要判断f′(x)的符号，而f′(x)的分母为正，故只需判断分子的符号.所以通过二次求导，判断一次导函数的符号，最终解决问题．
2 证明不等式
例2 (2017年全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=x2-x-xln x，且f(x)≥0.证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e-2<fx0<2-2.
由题意可知f′(x)=2x-2-ln x.设h(x)=2x-2-ln x，则当时，h′(x)<0；当时，h′(x)>0，所以h(x)在单调递减，在单调递增.
所以h(x)在有唯一零点x0，在有唯一零点1，且当x∈0,x0时，h(x)>0;当
x∈x0,1时，h(x)<0;当x∈1,+∞时，h(x)>0;因为f′(x)=h(x)，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点.
由f′x0=0得ln x0=2x0-1，故fx0=x01-x0.由x0∈0,1，得
因为x=x0是f(x)在0,1的最大值点，且e-1∈0,1,f′e-1≠0，故可得fx0>fe-1=e-2.所以e-2<fx0<2-2.
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，也是证明不等式的主要根据，本题利用二次求导判断f′(x)的符号，从而利用最值证得不等式.
3 求函数的最值问题
例3 (2017年北京卷)已知函数f(x)=excos x-x．
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
(1)f′(x)=ex(cos x-sin x)-1，故y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率k=0，且
f(0)=e0cos 0-0=1，所以切点为(0，1)，故y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为
y=1.
(2)f′(x)=excos x-sin x-1，令h(x)=ex(cos x-sin x)-1，则h′(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x，当时，h′(x)=-2exsin x≤0,所以h(x)在区间上单调递减，所以对任意即f′(x)≤0.所以函数f(x)在区间上单调递减.因此f(x)在区间上的最大值
为f(0)=1，最小值为
这道导数题并不难，第(2)问需要求二阶导数，因为f′(x)的正负不易判断，所以需
要对其再求一次导数.设h(x)=f′(x)，求出h′(x)，再根据h′(x)判断函数h(x)的单调
性，并根据单调性求h(x)的最值，从而判断f(x)的单调性，求得f(x)的最值.。