2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国2卷)全解全析

2009年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（全国2卷）全解全析
一、选择题 1、
102i
i
-= （A ）-2+4i (B) -2-4i (C) 2+4i (D)2-4i 【答案】A
【解析】运用复数基本运算化为复数代数形式
2、设集合A=｛x ｜3>x ｝，B ＝｛x ｜04
1
<--x x ｝则A B= （A ）∅ （B ） （3，4） （C ） （-2，1） （D ） （4+∞）
【答案】B
【解析】解分式不等式并求交集
3、已知 ABC 中，cotA=12
5
-,则cosA= （A ）1213 （B ）513 （C ）513- (D)1213
-
【答案】D
【解析】由cotA=125-
,知，ππ<<A 2，排除（A ）、（B ）；若135cos -=A ，则1312
sin =A 则125
sin cos cot -==
A A A 与题设不符，排除（C ），故选D 或由cotA=125-12
13tan 1sec 125tan 2-=+-=⇒-=⇒A A A ， ∴13
12
sec 1cos -==
A A 【易错提醒】同角三角函数基本关系并注意所在象限的符号 4、.曲线y=
21
x
x -在点（1，1）处的切线方程为 （A ）x-y-2=0 (B)x+y-2=0 (C)x+4y-5=0 (D)x-4y-5=0 【答案】B 【解析】2
2)
12(1
)12(2)12(1'--=-⋅--⋅=
x x x x y ，切线的斜率1)
112(1
'2
1-=-⨯-=
==x y k ∴切线方程为02)1(1=-+⇒--=-y x x y
5.、已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成角的余弦值为
（A (B) 15 (C) (D) 35
【答案】C
【解析】如图，取DD 1的中点F ，连接CF ，则CF ∥BE ， ∴∠D 1CF 为所求。

设AB ＝1，则2=CF .51=CD ，1FD ＝1
由余弦定理得：
10
10
310
265
221)5()2(cos 2
21=
=
⨯⨯-+=
∠CF D 。

故选C 6.、已知向量(2,1)a =，10a b ∙=
,||a b +=则b = （A
(B) (C) 5 (D) 25
【答案】C
【解析】
由||a b +=两边平方得：502)25(2
222
=+⋅+⇒=+b b a a b a
由向量(2,1)a =∴52
=a ，又10a b ∙=，代入上式得：
525502052
2
=⇒=⇒=++b b b
7、设π3log =a ，3log 2=b ，2log 3=c 则
(A) a ＞b ＞c (B) a ＞c ＞b (C) b ＞a ＞c (D) b ＞c ＞a 【答案】A
【解析】∵3>π，∴1log 3>π，即a ＞1；又321,231<<<<
∴12log 0,13log 032<<<<，即0＜b ＜1，0＜c ＜1.于是a 最大 又∵2log 3log 3log 332
>>∴b ＞c 故选A
【备考提示】对数值（指数值）比较大小，（1）底同真不同，用单调性；（2）真同底不同，利用图象（当底数大于1时，底数越大图象越靠近坐标轴）；（3）底数真数都不同，找中间值。

8、若将函数tan()(0)4
y x π
ωω=+
＞的图像向右平移
6
π
个单位长度后，与函数 tan()6
y x π
ω=+
的图像重合，则ω的最小值为
（A ）
16 (B) 14 (C) 13 (D) 12
【答案】D
【解析】由6
4
6
x x k π
π
π
ω
ωπ-+
=+
+（）ππ
π
π
ωk +=
+
⋅
-⇒6
4
6
A
B
C
D E
A 1
B 1
D 1
F C 1
∴k 62
1
-=
ω，∵0>ω，∴当k 取0时ω的最小值是12
9、已知直线(2)(0)y k x k =+＞与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =,则k=
（A ）
13 (B) 3
(C) 23 (D) 3 【答案】D
【解析】由04)48()
2(822222=+--⇒⎩⎨⎧+==k x k x k x k y x y ，
48
482
2221-=-=+k
k k x x （1） 421=x x （2）
又由2FA FB =及抛物线的定义知1222(2)x x +=+ （3）
由（2）、（3）联解，0)1)(2(024)1(22222
222=-+⇒=-+⇒=+x x x x x x
解得4112=⇒=x x 代入（1）解得3
2
2±
=k ∵二次方程的11016)84(4
22<<-⇒>--=∆k k k ，股3
2
2=
k 选D 由一元二次根系关系出1212,x x x x +，由抛物线定义出1222(2)x x +=+，三式联立得k 10、甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有
（A ）6种 （B ）12种 （C ）30种 （D ）36种 【答案】C
【解析】解法一、（直接法）（1）甲、乙有一门不同，则另一门相同，有1
21314C C C =24
（2）甲、乙有两门不同，有2
224C C ＝6 所以共有24＋6＝30种
解法二、（间接法）甲、乙各选两门有2
42
4C C ＝36（种），甲、乙所选两门都相同， 有2
4C ＝6（种） 所以36－6＝30（种）
11、已知双曲线2
2
22:1(y C a a b
χ-=＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F
C
于A 、B 两点，若4AF FB =，则C 的离心率为 （A ）65 （B ）75 （C ）85 （D ）95
【答案】A
【解析】设1122(,),(,),(,0)A x y B x y F c ，由4AF FB =得),(4),(2211y c x y x c -=--⇒
⇒-=-)(421c x x c 1245x x c +=（1），又由焦半径得2
1234a x x c -=-（2）.（1）、（2）联解得c
a c x 235251-=，c a c x 8352
22+=；又，设直线AB 的方程为)(3c x y -=代
入双曲线方程整理得0)3(6)3(22222222=+-+-b a c a cx a x a b ，所以有
2
2222222222146)(3636c a c
a a c a c a
b a
c a x x -=
--=-=+（3），将1x 、2x 代入（3）式得 )4)(925(484689252222222
2222c a a c c a c
a c
a c a c --=⇒-=- 0))(2536(025613622222224=--⇒=+-⇒c a c a c c a a ，
因为a c >，所以02
2
≠-c a ，
所以56
2536253602536222
2
2
2
==⇒=⇒=⇒=-a c e a
c c a c a 12、纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为
上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方
体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标
∆“”的面的方位是
（A ）南 （B ）北 （C ）西 （D ） 【答案】B
【解析】将展开图还原成正方形，按图上所示，中间横排四个方格从右到左依次是 东→上→西→下，于是，上图下方方格必是南，带“△”的方格必是北，故选B 【高考考点】空间想象能力和几何体展开图的还原能力。

二、填空题
13.
、4(的展开式中3
3
x y 的系数为 .
【答案】6
△
上 东
【解析】2
22
44
44
1)1()()(r r r r
r r
r r y
x
C x y y x C T +
-
-+⋅-=-⋅=。

由题意232
224=⇒=+=-
r r r ，故系数为6)1(242=-C 14.、设等差数列{}m a 的前n 项和为n S ，.若355a a =，则5
9
S S ＝ . 【答案】9
【解析】由53,5a a =得1460a d +=，⇒13
2a d -
= ∴95
3153
515)32(105)
32
(3691053691
111111159=⨯=--=-⨯+-⨯+=++=a a a a a a d a d a S S
15、设OA 是球O 的半径,M 是OA 的中点,过M 且与OA 成45
角的平面截球O 的表面得到圆C.若圆C 的面积等于74
π
,则球O 的表面积等于 . 【答案】8π
【解析】由小圆面积得小圆的2
7
4
r =，如图，连接MC 并延长 交小圆C 于N ，连接ON. ∵045,2=∠=
OMC R OM ，∴4
222
2R
R OC =⋅=， 在NCO Rt ∆中，222
)4
2(
R r R =+，将274r =代入，解得22R =，所以248S R ππ==
16、已知AC 、BD 为圆22:4o x y +=
的两条相互垂直的弦，垂足为(1M ，则四边形ABCD 的面积的最大值为 .
【答案】5
【解析】∵弦AC 、BD 相互垂直，∴四边形ABCD 的面积为
2
)2
(21BD AC BD AC S +≤⋅=，当且仅当AC ＝BD 时
取等号。

此时圆心O 到AC 、BD 的距离相等。

作OR ⊥BD 于R ，则R 是BD 的中点，同理，作OT ⊥AC 于T, T 是AC 的中点，且OR ＝OT ，则四边形OTMR 是正方形。

由(1M ⇒3=
OM , ∴2
6223=⋅
=OR ，在ORD Rt ∆中， 2
10
46422=-
=-=OR OD DR ⇒10==AC BD N C
·M
·O
A
四边形ABCD 的面积510102
1
21=⨯⨯=⨯=
BD AC S ABCD ∴四边形ABCD 的面积的最大值为5
三、解答题
17.(本小题满分10分)
设ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、 c 2
3cos()cos ,2
A C
B b ac -+==求B 【解析】
2220sin sin sin cos()cos cos sin sin cos()cos cos sin sin 3cos()cos 2sin sin 2sin 2sin 23
cos B cos A-C 0
2
B B 60b ac B A
C A C A C A C A C A C A C A C B A C B B =⇒=-=+⎧⎨
+=-⎩⇒-+===
⇒=
=-=解：由又（）〉故为锐角，所以
18.（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AB AC ⊥，D 、E 分别为 AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面1BCC
（1） 证明：AB=AC
（2） 设二面角A-BD-C 为600，求1B C 与 平面BCD 所成角的大小
【解析】
解法一：（Ⅰ）取BC 中点F ，连接EF ，则EF //
1
2
1B B ，从而 EF //DA 。

连接AF ，则ADEF 为平行四边形，从而AF//DE 。

又DE ⊥平面1BCC ，故AF ⊥平面1BCC ，从而AF ⊥BC ，即AF 为BC 的垂直平分线，所以AB=AC 。

（Ⅱ）作AG ⊥BD ，垂足为G ，连接CG 。

由三垂线定理知CG ⊥BD ，故∠AGC 为二面角A-BD-C 的平面角。

由题设知，∠AGC=60o
..
设AC=2，则
AB=2，
BC=
AF=
A
C
B
A 1
B 1
C 1
D
E
由AB AD AG BD ⋅=⋅得
故AD=AF 。

又AD ⊥AF ，所以四边形ADEF 为正方形。

因为BC ⊥AF ，BC ⊥AD ，AF∩AD=A ，故BC ⊥平面DEF ，因此平面BCD ⊥平面DEF 。

连接AE 、DF ，设AE∩DF=H ，则EH ⊥DF ，EH ⊥平面BCD 。

连接CH ，则∠ECH 为1B C 与平面BCD 所成的角。

因ADEF 为正方形，EH=1，又EC=
11
2
B C =2， 所以∠ECH=30o
，即1B C 与平面BCD 所成的角为30o
.
解法二：
（Ⅰ）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A —xyz 。

设B （1，0，0），C （0，b ，0），D （0，0，c ），则1B （1，0，2c ）, E （
12，2
b
，c ）. 于是DE →
=（12，2
b
，0），BC →=（-1，b,0）.由DE ⊥平面1BCC 知DE ⊥BC ， DE BC →→⋅=0，
求得b=1，所以 AB=AC 。

（Ⅱ）设平面BCD 的法向量(,,),AN x y z →
=则0,0.AN BC AN BD →
→
→
→
⋅=⋅=又BC →
=（-1，1， 0），BD →
=（-1，0，c ）,故⎩⎨
⎧=+-=+-0
cz x y x
令x=1, 则y=1, z=1c ,AN →=(1,1, 1
c
).
又平面ABD 的法向量AC =（0，1，0）
由二面角C BD A --为60°知，AC AN ，=60°，
故 60cos ⋅⋅=⋅AC AN AC AN °，求得2
1c =
于是 ），，（211=AN ， ）
，，211(1-=CB 2
1
cos 1
11=⋅⋅=
CB AN CB AN CB AN ，， 601=CB AN ，°
所以C B 1与平面BCD 所成的角为30°
19．（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前 n 项和为n S ，已知111,42n n a S a +==+ （1） 设n n 1n n b a 2a {b }+=-，证明数列是等比数列 （2） 求数列{a n }的通项公式 【解析】
111n 11n n 1n n 121212121n 14242a 44a a 2a 2(2a ),b 2b ,n 2)S a a 4a 2a 5,b a 2a 3{b }32n n n n n n n n S a S a a a +-+-+--=+=+=--=-=≥=+=+==-=解：（）由，有，两式相减得 变形为即（ 由得于是 所以数列是首项为，公比为的等比数列
n 1n 1
n 1n 1n 1n 1n n n
n n
n 2*n a a a 31
21b 32,a 2=32,,4
2222a 13
{
}242
a 131
n-1)(3n 1)2442
a (3n 1)2,(n N )
n n a --+++-=⋅-⋅-==
=+=-=-∈（）由（）得即所以
且 于是是首项为，公差为的等差数列 所以（ 所以
20．（本小题满分12分）
某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人。

先采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。

（Ⅰ）求从甲、乙两组个抽取的人数；
（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望。

【解析】
1164
210
3111
110251105555
2121A
C C 8P A 15C 8
115
=⨯=⨯=+=
解：（）因为抽取比为
，由，得 应在甲组抽取人、在乙组抽取人
（）设从甲组抽取的工人中恰有名女工人的事件为 则()= 所以从甲组抽取的工人中恰有名女工人的概率为
2111121
4364342
2121211051051052
11112163642
62212121105
105105
30123
C C C C C C C 228P 0P 12575
C C C C C C C C C C C C C 3110
P 2P 37575C C C C C C
ξξξξξξ======+==+====
（）依题意、、、 由（）， （），
（）=
， （） 得的分布列如表
所以ξ的数学期望E 123167575755
ξ=⨯+⨯+⨯
==⋅ 21.（本小题满分
12分）
已知椭圆()22220x y C a b a b ∶＋＝1＞＞的离心率为3
，过右焦点F 的直线L 与C 相交于 A 、B 两点，当L 的斜率为1时，坐标原点O 到L 的距离为2。

(Ⅰ) 求a ，b 的值；
(Ⅱ) C 上是否存在点P ，使得当L 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB
＝＋成立？
若存在，求出所有的P 的坐标与L 的方程；若不存在，说明理由
【解析】
222222221F c,0),(0111,3c a l l y x c c c a a a b >=-====
==解：（）因为（且-b =c )所以当直线斜率为时，方程为 得所以-b =1,又e 得
22
112200012012222220122C
1,k l y k x 1A ,),B(,),
32
P(,),,C )6360R,0623x y y x y x y C OP OA OB x x x y y y l y x k x k x k x x x +=∈=+=+-+-=∈∆>=+=+
（）椭圆的方程为当斜率存在时,直线的方程为=(-)设点（x ① 若存在点， 则由＝＋可得 由椭圆和直线两个方程联立消得(2+3k 显然对任意恒成立,从而有
01212
2242004,(2)23,3440,P k
y y y k x x k k x y k k l x =+=+-=-+--== 将代入椭圆方程并整理得 k 解得 所以当直线不垂直于轴时,满足条件的点存在
33
P(,,P(
22
,(1,
P(2,0),p
k k
l y y
l x A B
==
=-=+
且当当点
对应直线的方程分别为
②若直线垂直于轴则点
此时点不在椭圆上所以此种情况下满足条件的点不存在
22. （本小题满分12分）
设函数()
2
()ln1
f x a x
＝x＋＋有两个极值点
1212
x x x x
，，且＜。

（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论()
f x的单调性；
（Ⅱ）证明：
2
12ln2
()
4
f x
－
＞。

【解析】
2
/
2
//
1212
121,2
1
22
()1)
1
()22(1)
1
1
2
11
(1)000,)
22
1
()0
2
()01()0
()),),()
x x a
x x
x
g x x x a x
g a a
g
x x x x x x x x x
f x x x
x
++
=>-
+
=++>-
⎧
--
⎪
⎪
-><<
⎨
⎪
⎪-<
⎩
>-<<><<<
+∞
=
解：（Ⅰ）因为，（
所以设
〉
依题意，由得，所以的取值范围为（
由得或由得
所以的单调增区间为（-1,x和(x单调减区间为
其中
ƒ
ƒƒ
2
1
(0,)
2
x a
=
∈
且
22
/
2
()()
1111 ()ln ln ln0
222
11
()(0,)()
22
112ln212ln2
()()()
244
x h a f x a
h a
h a h a a
h a h f x
===+
+ =-+=<=
=
-
>=
（Ⅱ）证明：因为
则
所以在递减，又在处连续
－
所以，即＞。