高考数学压轴专题(易错题)备战高考《空间向量与立体几何》单元汇编含答案

新数学《空间向量与立体几何》高考复习知识点

一、选择题

1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）

A ．64

B ．

643

C ．16

D ．

163

【答案】D 【解析】

根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积

12442S =⨯⨯=，所以该多面体的体积116

4433V =⨯⨯=，故选D.

2．如图所示是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A ．

163π B ．643 C ．

1664

3π+ D ．1664π+ 【答案】C

【解析】由三视图可知，该几何体是有一个四棱锥与一个圆锥的四分之一组成，其中四棱锥的底面是边长为4 的正方形，高为4 ，圆锥的底面半径为4 ，高为4，该几何体的体积为， 22111664

4444333

V ππ+=

⨯⨯+⨯⨯⨯=

， 故选C.

3．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )

A ．

132

π B ．7π

C ．

152

π

D ．8π

【答案】B 【解析】 【分析】

画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可． 【详解】

由题意可知：几何体是一个圆柱与一个1

4

的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2， 可得：该几何体的表面积为：

221

41212274

ππππ⨯⨯+⨯⨯+⨯=．

故选：B ． 【点睛】

思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.

4．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（ ）

A ．

23

B ．

13

C ．

12

D ．

34

【答案】B 【解析】

分析：先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果.

详解：几何体如图S-ABCD ，高为1，底面为平行四边形，所以四棱锥的体积等于

21111=33⨯⨯， 选B.

点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断求解.

5．已知正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为AB ，1AA 的中点，则异面直线

1C M 与BN 所成角的大小为（ ）

A ．30°

B ．45︒

C ．60︒

D ．90︒

【答案】D 【解析】 【分析】

根据题意画出图形，可将异面直线转化共面的相交直线，再进行求解 【详解】 如图：

作AN 的中点'N ，连接'N M ，1'C N 由题设可知'N M BN P ，则异面直线1C M 与BN 所成角为1'N MC ∠或其补角，设正方体的边长为4，由几何关系可得，'5N M =，

16C M =，1'41C N =2

112

2

''N M M C N C =+，即1'90N MC ∠=︒

故选D 【点睛】

本题考查异面直线的求法，属于基础题

6．如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则

该几何体的表面积为（ ）

A ．920π+

B ．926π+

C ．520π+

D ．526π+

【答案】C 【解析】 【分析】

根据三视图还原为几何体，结合组合体的结构特征求解表面积. 【详解】

由三视图可知，该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体，其中半圆柱的底面半圆半径为1，高为4，长方体的底面四边形相邻边长分别为1，2，高为4，所以该几何体的表面积2

1

12141222

S ππ=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯14224520π+⨯⨯+⨯=+，故选C. 【点睛】

本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原成几何体是求解关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.

7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -，点P 在线段1BC 上运动，则下列判断正确的是（ ）

①平面1PB D ⊥平面1ACD ②1//A P 平面1ACD

③异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是0,3

π⎛⎤ ⎥⎝

⎦

④三棱锥1D APC -的体积不变 A ．①② B ．①②④

C ．③④

D ．①④

【答案】B

【解析】 【分析】

由面面垂直的判定定理判断①，由面面平行的性质定理判断②，求出P 在特殊位置处时异面直线所成的角，判断③，由换底求体积法判断④． 【详解】

正方体中易证直线AC ⊥平面11BDD B ，从而有1AC B D ⊥，同理有11B D AD ^，证得

1B D ⊥平面1ACD ，由面面垂直判定定理得平面1PB D ⊥平面1ACD ，①正确；

正方体中11//A B CD ，11//BC AD ，从而可得线面平行，然后可得面面平行，即平面

11A BC //平面1ACD ，而1A P ⊂平面11A BC ，从而得1//A P 平面1ACD ，②正确；

当P 是1BC 中点时，1A P 在平面11A B CD 内，正方体中仿照上面可证1AD ⊥平面

11A B CD ，从而11AD A P ⊥，1A P 与1AD 所成角为90︒．③错；

∵11D APC P AD C V V --=，由1//BC 平面1ACD ，知P 在线段1BC 上移动时，P 到平面1ACD 距离相等，因此1P AD C V -不变，④正确． 故选：B ． 【点睛】

本题考查面面垂直的判定定理、面面平行的性质定理、异面直线所成的角、棱锥的体积等知识，考查学生的空间想象能力，属于中档题．

8．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ∈平面11AA B B ，点F 是线段1AA 的中点，若

1D E CF ⊥，则当EBC V 的面积取得最小值时，

EBC

ABCD

S S =△（ ） A 25

B ．

12

C 5

D 5 【答案】D 【解析】 【分析】

根据1D E CF ⊥分析出点E 在直线1B G 上，当EBC V 的面积取得最小值时，线段EB 的长度为点B 到直线1B G 的距离，即可求得面积关系． 【详解】