山东省德州市某中学高三数学上学期1月月考试题 理

高三数学（理）月考试题（2016/1/11）
（时间120分钟，满分150分）
一、选择题（每小题5分，共计50分）
1．设i是虚数单位，复数74 12
i
i +
=
+
（）
A．32i
-B．32i
+C．23i
+D．23i
-
2．集合{}{}
20,2
A x x a
B x x
=-≥=<，若
R
C A B
⊆，则实数a的取值范围是（）A．[]
0,4B．(],4
-∞C．(),4
-∞D．()
0,4
3.设0.5
032
2,log2,log0.1
a b c
===，则
A.a b c
<< B. c a b
<< C. c b a
<< D. b c a
<<
4．下列四个结论：①若0
x>，则sin
x x
>恒成立；
②命题“若sin0,0
x x x
-==
则”的逆命题为“若0sin0
x x x
≠-≠
，则”；
③“命题p q
∨为真”是“命题p q
∧为真”的充分不必要条件；
④命题“,ln0
x R x x
∀∈->”的否定是“
000
,ln0
x R x x
∃∈-≤”．
其中正确结论的个数是（） A．1个B．2个C．4个D．3个
5．直线10
x my
++=与不等式组
30,
20,
20
x y
x y
x
+-≥
⎧
⎪
-≥
⎨
⎪-≤
⎩
表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是（）A．
14
,
33
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
B．
41
,
33
⎡⎤
--
⎢⎥
⎣⎦
C．
3
,3
4
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
D．
3
3,
4
⎡⎤
--
⎢⎥
⎣⎦
6．已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）
A．12 B．24 C．36 D．48
7．设01
a
<<，则函数
1
1
x
y
a
=
-
的图象大致为（）
8．已知向量()()0,sin ,1,2cos a x b x ==，函数()()2237
,22
f x a b
g x a b =⋅=+-，
则()f x 的图象可由()g x 的图象经过怎样的变换得到（ ）
A ．向左平移4π
个单位长度 B ． 向左平移
2π
个单位长度 C ．向右平移4
π
个单位长度
D ． 向右平移2
π
个单位长度
9. 已知函数
()()()sin 0f x A x ωϕϕπ=+<<的图象如图所示，若
()00053,,
sin 36
f x x x ππ
⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
，则的值为 A.
433
10-
B.
334
10- C.431
10
+ D.
333
10
+ 10.设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间(]0,3上有三个零点，则实数a 的取值范围是 A.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
B. ln 31,3e ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
C.ln 30,
3⎛⎤
⎥⎝⎦
D.ln 3,3e ⎛⎫
⎪⎝⎭
二、解答题（每小题5分共计25分）
11.已知()sin cos 2,0,,tan αααπα-=∈=则 .
12.已知平面向量()()1,22,.23a b m a b a b ==-⊥+=，，且则 . 13. 函数1lg 123x
y x ⎛
⎫=-
+- ⎪⎝⎭
的定义域是 . 14. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S 、，体积分别为12υυ，，若它们的侧面积相等，且
1122
169S S υ
υ=，则的值为 .
15.给出下列四个命题：①命题“,cos 0x R x ∀∈>”的否定是“,cos 0x R x ∃∈≤”； ②a 、b 、c 是空间中的三条直线，a//b 的充要条件是a c b c ⊥⊥且； ③命题“在△ABC 中，若,sin sin A B A B >>则”的逆命题为假命题；
④对任意实数()()()(),000x f x f x x x x ''-=>><<有，且当时，f ，则当x 0时，f . 其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号） 三、解答题：
16.已知函数()()2
1
3sin cos cos 0,2
f x x x x x R ωωωω=--
>∈的图像上相邻两个最高点的距离为π.
（I ）求函数()f x 的单调递增区间；
（II ）若ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边分别为()7,0,sin a b c c f C B ===、、，且
3sin A ，求a ，b 的值.
17. 已知数列{}n a 前n 项和n S 满足：21n n S a += （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设()()
11211n n n n a b a a ++=
++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1
4n T <.
18. 在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，ACD ACB ∆∆与是边长为2的等边三角形，BE=2，BE 和平面ABC 所成的角为60°，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上.
（I ）求证：DE//平面ABC ；
（II ）求二面角E BC A --的余弦值. 19. （本小题满分12分）
如图正方形ABCD 的边长为ABCD 的边长为
22，四边形BDEF 是平行四边形，BD 与AC 交
于点G ，O 为GC 的中点，3FO FO =⊥，且平面
ABCD.
（I ）求证:AE//平面BCF ；
（II ）若3FO =，求证CF ⊥平面AEF..
20. （本小题满分13分）
已知函数()ln ,f x x mx m R =-∈.
（I ）求()f x 的单调区间； （II ）若()[)1
211m f x m x
-≤
-++∞在，上恒成立，求实数m 的取值范围. 21（本小题满分14分）.如图，在△ABC 中，已知∠ABC=45°，O 在AB 上，且OB=OC=AB ，又PO ⊥平面ABC ，DA ∥PO ，DA=AO=PO ． （Ⅰ）求证：PD ⊥平面COD ；
（Ⅱ）求二面角B ﹣DC ﹣O 的余弦值．
高三数学（理）月考试题答案
一、 选择题
1.A
2.B
3.C 4、D 5、D 6、A 7、B 8、C 9、D 10、D 二．填空题
11. -1 12.(-4,7) 13.3
2[log ,)+∞ 14. 4
3
15.①④ 三、解答题
18.解析：（Ⅰ）证明：由题意知，ABC ∆，ACD ∆都是边长为2的等边三角形，取AC 中点
O ，连接,BO DO ，则BO AC ⊥，DO AC ⊥，
又∵平面ACD ⊥平面ABC ，∴DO ⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC ， 那么//EF DO ，根据题意，点F 落在BO 上， ∴60EBF ∠=︒，易求得3EF DO ==，
∴四边形DEFO 是平行四边形，∴//DE OF ，∴//DE 平面 ABC …………6分
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，可知平面ABC 的一
个法向量为1(0,0,1)n =u r
,(0,3,0)B ,(1,0,0)C -,(0,31,3)E -, 设平面BCE 的一个法向量为2(,,)n x y z =u u r
,
则，220
n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u
r u u u r 可求得
2(3,3,1)n =-u u r
．………………9分 所以12121213
cos ,13
||||n n n n n n ⋅<>==⋅u r u u r
u r u u r u r u u r ， 又由图知，所求二面角的平面角是锐角， 所以二面角E BC A --的余弦值为13
13
．……12分
21.【解析】：（Ⅰ）证明：设OA=1，则PO=OB=2，DA=1，由DA∥PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，
∴DA⊥AO．从而，
在△PDO中，∵PO=2，
∴△PDO为直角三角形，故PD⊥DO．
又∵OC=OB=2，∠ABC=45°，
∴CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，
∴PO⊥OC，
又PO，AB⊂平面PAB，PO∩AB=O，
∴CO⊥平面PAB．
故CO⊥PD．
∵CO∩DO=O，
∴PD⊥平面COD．-------------7分
（Ⅱ）解：以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系如图．
则由（Ⅰ）知，C（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），D（0，﹣1，1），∴，
由（Ⅰ）知PD⊥平面COD，∴是平面DCO的一个法向量，
设平面BDC的法向量为，∴，∴，
令y=1，则x=1，z=3，∴，
∴，
由图可知：二面角B﹣DC﹣O为锐角，二面角B﹣DC﹣O的余弦值为．--14分。