推荐-高中数学人教B版选修2-2课件1.3.3 导数的实际应用

重难聚焦
(1)审题:阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,找出问题的 主要关系;
(2)建模:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识建立相应的 数学模型;
(3)解模:把数学问题化归为常规问题,选择合适的数学方法求解; (4)对结果进行验证评估,定性、定量分析,作出正确的判断,确定 其答案. 值得注意的是:在实际问题中,有时会遇到函数在定义区间内只 有一个点使f'(x)=0的情形,如果函数在这个点有极大(小)值,那么不 与端点值比较也可以知道这就是最大(小)值.这里所说的也适用于 开区间或无穷区间.
2 400 (3x+5)2
,
令f'(x)=0,
即
2 400 (3x+5)2
=
6,
得x1=5,x2=−
25 3
(舍去).
当 0<x<5 时,f'(x)<0,当 5<x<10 时,f'(x)>0.
故
5
是
f(x)的最小值点,对应的最小值为
f(5)=6×5+
800 15+5
=
70,
即当隔热层修建5 cm 厚时,总费用达到最小值 70 万元.
题型一
题型二
题型三
典例透析
反思解答一道应用题重点要过三关:事理关(需要读懂题意,知道讲 的是什么事件);文理关(需要把实际问题的文字语言转化为数学的 符号语言,用数学式子表达数学关系);数理关(要求学生有对数学知 识的检索能力,认定或构建相应的数学模型,完成由实际问题向数 学问题的转化,进而借助数学知识进行解答).对于这类问题,往往因 忽视了数学语言和普通语言的转换,从而造成了解决应用问题的 最大思维障碍.
典例透析
题型一
题型二
题型三
利用导数求实际问题的最小值
【例题 1】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋
的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔
热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消
耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系:C(x)=
所以������
1 2
r
是f(x)的最大值.
因此,当
x=
1 2
r
时,S
也取得最大值,最大值为
������
1 2
r
=
33 2
r2.
故梯形面积
S
的最大值为
33 2
r2.
题型一
题型二
题型三
典例透析
题型一
题型二
题型三
典例透析
题型一
题型二
题型三
典例透析
错解:(1)y=R(x)-C(x)
=
5x-
1 2
x2
3x���+��� 5. ∵C(0)=8,∴k=40,C(x)= 3x4+05.
题型一
题型二
题型三
典例透析
又建造费用 C1(x)=6x,从而隔热层建造费用与 20 年的能源消耗
费用之和为
f(x)=20C(x)+C1(x)=20×
40 3x+5
+
6x
=
800 3x+5
+
6x (0≤x≤10).
(2)f'(x)=6−
x,则另一边长为
������ x
,
周长f(x)=2
x+
������ x
, ������′(x) = 2
1-
������ x2
,
令 f'(x)=0,得 x= ������, 易知当x= ������时,f(x)有极小值,也就是最小
值.
答案: 以 ������为边长的正方形
重难聚焦
如何求解实际应用题? 剖析:解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问 题抽象成数学问题.就是从实际问题出发,抽象概括,利用数学知识建 立相应的数学模型;再利用数学知识对数学模型进行分析、研究,得 到数学结论;然后再把数学结论返回到实际问题中进行检验,其思路 如下:
1.3.3 导数的实际应用
-1-
目标导航
1.学会解决实际问题的基本方法,注意首先通过分析、思考、总 结、联想,建立问题涉及的变量之间的函数关系式,然后根据实际 意义确定定义域.
2.学会利用导数求解实际问题,感受导数在解决实际问题中的作 用.
知识梳理
求实际问题中的最值的主要步骤 (1)列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数 关系y=f(x); (2)求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=0; (3)比较函数在区间端点和使f'(x)=0的点的取值大小,最大(小)者 为最大(小)值. 名师点拨1.求实际问题的最大(小)值时,一定要从问题的实际意义 去考虑,不符合实际意义的理论值应舍去. 2.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'(x)=0 的情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可 以知道这就是最大(小)值. 3.在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系 用函数关系式表示,还应确定函数关系式中自变量的定义区间.
������ 3x+5
(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为
8
万元.设
f(x)
为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和.
(1)求 k 的值及 f(x)的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值.
分析:根据题设条件构造函数关系,再应用导数求最值.
解:(1)设隔热层厚度为 x cm,由题设,每年能源消耗费用为 C(x)=
题型一
题型二
题型三
典例透析
解:(1)依题意,以 AB 所在的直线为 x 轴,AB 的中点 O 为原点建
立平面直角坐标系(如图),则点 C 的横坐标为 x,点 C 的纵坐标 y 满足
方程
x2 r2
+
y2 4r2
=
1(y≥0),
即 y=2 r2-x2(0 < x < r).
S=
1 2
(2x
+
2r)
·2
R2-x2
令 l'=0,得 x1=
5 5
R,
x2
=
−
5 5
R(舍去),
当 0<x<
5 5
R
时,l'>0;
知识梳理
当
5 5
R
<
x
<
R
时,l'<0,故当
x=
5 5
R
时,l
取最大值,
即矩形周长最大时边长为
5 5
R
和4 5
5
R.
答案:B
【做一做 2】 面积为 S 的所有矩形中,其周长最小的
是
.
解析:设矩形的一边长为
r2-x2 = 2(x + r) ·
r2-x2,
其定义域为{x|0<x<r}.
题型一
题型二
题型三
典例透析
(2)记 f(x)=4(x+r)2(r2-x2),0<x<r,
则 f'(x)=8(x+r)2(r-2x).
令因当为2rf'(<当x)=x00<<,得xr<时x2r=,时f'12(x,rf).'<(x0)>, 0;
1 2
x2
+
4.75x
−
0.5,
∴当 x=4.75 时,ymax≈10.78(万元);
当 x>5 时,y=12-0.25x<12-0.25×5=10.75(万元).
∴年产量是 475 台时,工厂所得利润最大.
典例透析
再见
2019/11/23
题型一
题型二
题型三
利用导数求实际问题的最大值
【例题 2】
典例透析
如图,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为 2r,短半轴长为 r,计划将此 钢板切割成等腰梯形的形状,下底 AB 是半椭圆的短轴,上底 CD 的端 点在椭圆上,记 CD=2x,梯形面积为 S.
(1)求面积 S 以 x 为自变量的函数关系式,并写出其定义域; (2)求面积 S 的最大值. 分析:建立坐标系,求出椭圆方程,表示出梯形的面积,应用导数 求最值.
题型一
题型二
题型三
正解:(1)利润 y=R(x)-C(x)
x2 5x- 2 -(0.5 + 0.25x)(0 ≤ x ≤ 5),
=
52
5 × 5- 2 -(0.5 + 0.25x)(x > 5)
=
-
1 2
x2
+
4.75x-0.5(0
≤
x
≤
5),
12-0.25x(x > 5).
(2)当
0≤x≤5
时,y=−
知识梳理
【做一做 1】 内接于半径为 R 的半圆的周长最大的矩形的边 长为( )
A.
R 2
和
3 2
RB.
5 5
R
和4 5
5
R
C.
4 5
R
和
7 5
RD.
以上都不对
解析:设与半圆中直径垂直的矩形边长为 x,则另一边长
为 2 R2-x2, 周长l=2x+4 R2-x2(0 < x < R).
l'=2− 4x .
− (0.5 + 0.25x)
=−
1 2
x2
+
19 4
x
−
1 2
(0≤x≤5).
(2)y'=-x+
19 4
,
令y'=0,得
x=
19 4
=
4.75,
4.75 必为最大值点.
故当年产量为 475 台时,工厂利润最大.
错因分析:实际问题中,该厂生产的产品数量不一定在 500 台之
内(含 500 台),应有 x>5 的情况,错解忽视了此种情况, Nhomakorabea出现了错误.