无穷级数知识点总结考研

无穷级数知识点总结考研
一、无穷级数的概念
无穷级数是由无穷多个数的和组成，通常用符号∑表示。

其一般形式为：
S = a_1 + a_2 + a_3 + ...... + a_n + ......
其中a_n是一个数列，称为级数的通项。

无穷级数是由级数的部分和组成的序列，即S_n = a_1 + a_2 + ...... + a_n，所以求无穷级数的和，就是求该序列的极限，即lim⁡(S_n)。

在实际运用中，我们通常是通过研究级数的部分和的性质，来求级数的和或证明级数的敛散性。

二、无穷级数的敛散性
1. 收敛与发散的定义
级数的和S = ∑a_n，如果级数的部分和S_n = a_1 + a_2 + ...... + a_n存在极限L，即lim⁡(S_n) = L，那么称级数收敛，其和为L，记作∑a_n = L。

如果级数的部分和S_n的极限不存在，或者极限为无穷大，即lim⁡(S_n) = ±∞，那么称级数发散。

2. 收敛级数的判定
（1）正项级数收敛判定
对于正项级数∑a_n，即a_n≥0，根据级数的部分和单调递增有界的结论，若存在常数M，使得对一切n始终成立S_n ≤ M，那么级数收敛；如果对于任意的M > 0，总存在n_0，使得对一切n > n_0有S_n > M，那么级数发散。

（2）比较判别法
若对于所有的n，总有0 ≤ a_n ≤ b_n，且∑b_n收敛，那么∑a_n也收敛；若对于所有的n，总有a_n ≥ b_n ≥ 0，且∑b_n发散，那么∑a_n也发散；若∑b_n发散，且对于足够大的n，总有a_n＞b_n，则∑a_n发散。

（3）比值判别法
若存在常数0 < q < 1及整数n_0，使得当n > n_0时，有a_n_+1/a_n ≤ q，那么级数收敛；若a_n_+1/a_n≥1，那么级数发散；若a_n_+1/a_n不满足以上两个条件，那么比值判别法
无法判断级数的敛散性。

（4）根值判别法
若对于所有的n，总有0 ≤ a_n ≤ 1，且lim⁡(a_n)^(1/n) = L，那么级数收敛，若L < 1；若lim⁡(a_n)^(1/n) = 1，那么根值判别法无法确定级数的敛散性；若lim⁡(a_n)^(1/n) > 1，那么级数发散。

三、无穷级数的求和
1. 绝对收敛级数的性质
如果绝对收敛级数∑|a_n|收敛，那么原来的级数∑a_n也收敛，并且具有同样的和。

2. 求和公式
（1）等比级数的和
等比级数是一种特殊的级数，其通项为a_n = arⁿ⁻¹(a≠0，r≠1)，则等比级数的和为S =
a/(1－r)，当|r| < 1时才收敛，否则发散。

（2）幂级数的和
幂级数是一种形式为∑c_nxⁿ的级数，其中x是变量，c_n是一数列。

对于收敛半径R > 0的幂级数∑c_nxⁿ，其和函数f(x)在其收敛区间I内可积分，且f(x) = ∑c_nxⁿ在I内成立，即f(x)在I内有可逐项积分。

（3）考研中的实际应用
实际工程问题中常常会遇到无穷级数的求和问题，比如经典的牛顿莱布尼兹公式，用无穷级数求π的近似值等，这些都是将无穷级数的求和应用到实际问题中的例子。

四、无穷级数的性质
1. 加法和乘法性质
若级数∑a_n和∑b_n都收敛，则其和级数∑(a_n+b_n)也收敛，并且有∑(a_n+b_n) = ∑a_n + ∑b_n；若级数∑a_n和∑b_n都收敛，则它们的乘积级数∑(a_n·b_n)也收敛，并且有
∑(a_n·b_n) = (∑a_n)·(∑b_n)。

2. 绝对收敛级数的性质
绝对收敛级数的任意排列都收敛，并且其和不变。

3. 无穷级数的交换性
级数∑a_n和∑b_n都绝对收敛，并且任给自然数m和n，都有∑(a_n·b_m)的和等于两个级数的和的乘积，即∑(a_n·b_m) = (∑a_n)·(∑b_m)。

五、无穷级数的常见例题
1. 判断级数的敛散性
例题：求级数∑(n/(2n+1))的敛散性。

解：级数的通项为a_n = n/(2n+1)。

由比较判别法，可知当n足够大时，n/(2n+1) < 1/2，而级数∑1/2是收敛的。

因此根据比较判别法，级数∑(n/(2n+1))也收敛。

2. 求和
例题：求级数∑(1/n(n+1))的和。

解：级数的通项为a_n = 1/n(n+1)。

由部分分式分解，可得1/n(n+1) = 1/n - 1/(n+1)。

将
级数拆分成两个级数∑(1/n)和∑(1/(n+1))，然后逐项相减，可以得到∑(1/n(n+1))的和为1。

3. 应用题
例题：设f(x) = ∑(xⁿ/(n))，求f'(x)。

解：根据级数的性质，可以对幂级数逐项求导。

因此f'(x) = ∑(xⁿ⁻¹)，即f'(x) = 1 + x + x² +
x³ + ......。

以上就是对无穷级数的知识点总结，希望对考研学子有所帮助。

无穷级数在数学中有着广
泛的应用，掌握好无穷级数的知识对于提高数学水平、解决实际问题都有着重要的意义。

希望大家在备考考研时能够认真学习这一知识点，掌握其基本性质和常见解题思路，从而
顺利应对考试。