高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角斜率与直线的方程讲义理含解析

第八章 平面解析几何
第1讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
1．直线的斜率
(1)当α≠90°时，tan α表示直线l 的斜率，用k 表示，即□01k ＝tan α.当α＝90°时，直线l 的斜率k 不存在．
(2)斜率公式
给定两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，经过P 1，P 2两点的直线的斜率公式为□
02k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 2．直线方程的五种形式
1．概念辨析
(1)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )
(3)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( )
(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2．小题热身
(1)已知直线l 过点(0,0)和(3,1)，则直线l 的斜率为( ) A ．3 B ．13 C ．－13
D ．－3
答案 B
解析 直线l 的斜率为k ＝
1－03－0＝1
3
. (2)在平面直角坐标系中，直线3x ＋y －3＝0的倾斜角是( ) A.π6
B ．π3
C ．5π6
D ．2π3
答案 D
解析 直线3x ＋y －3＝0的斜率为－3，所以倾斜角为2π
3
.
(3)已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－3
4，则直线l 的方程为( )
A ．3x ＋4y －14＝0
B ．3x －4y ＋14＝0
C ．4x ＋3y －14＝0
D ．4x －3y ＋14＝0
答案 A
解析 由题意得直线l 的点斜式方程为y －5＝－3
4[x －(－2)]，整理得3x ＋4y －14＝0.
(4)已知直线l 的斜率为k (k ≠0)，它在x 轴，y 轴上的截距分别为k,2k ，则直线l 的方程为( )
A ．2x －y －4＝0
B ．2x －y ＋4＝0
C ．2x ＋y －4＝0
D ．2x ＋y ＋4＝0 答案 D
解析 由题意得，直线l 的截距式方程为x k ＋y
2k ＝1，又因为直线l 过(k,0)，(0,2k )两
点，所以2k －00－k ＝k ，解得k ＝－2，所以直线l 的方程为x －2＋y
－4
＝1，即2x ＋y ＋4＝0.
题型 一 直线的倾斜角与斜率
1．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是( ) A ．[0，π)
B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π
C.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4
D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫π2，π 答案 B
解析 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，又sin α∈[－1,1]，θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π
4
≤θ＜π.
2．(2018·安阳模拟)若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3
)共线，则a ＝( ) A ．1±2或0 B ．2－52或0
C.2±5
2
D ．2＋52
或0
答案 A
解析 若A ，B ，C 三点共线，则有k AB ＝k AC ，即
a 2－－a
2－1
＝
a 3－－a
3－1
，
整理得a (a 2
－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1± 2.
3．直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．
答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析 如图，∵k AP ＝1－0
2－1
＝1，
k BP ＝
3－0
0－1
＝－3， ∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
1．直线的倾斜角与其斜率的关系
2
根据正切函数k ＝tan α的单调性，如图所示：
(1)当α取值在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内，由0增大到π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2时，k 由0增大并趋向于正无穷大；
(2)当α取值在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π内，由π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 由负无穷大增大并趋近于0.
3．三点共线问题
若已知三个点中的两个坐标，可以先通过这两个已知点求出直线方程，然后将第三个点
代入求解；也可利用斜率相等或向量共线的条件解决．
1．设直线l 的倾斜角为α，且π4≤α≤5π
6，则直线l 的斜率k 的取值范围是________．
答案 ⎝ ⎛
⎦
⎥⎤
－∞，－33∪[1，＋∞) 解析 当
π4≤α<π2时，k ＝tan α∈[1，＋∞)；当π2<α≤5π6
时，k ＝tan α∈⎝
⎛
⎦⎥⎤－∞，－33，
所以斜率k 的取值范围是⎝ ⎛
⎦
⎥⎤
－∞，－
33∪[1，＋∞)． 2．(2018·广州质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )
A.13 B ．－1
3
C ．－32
D ．23
答案 B
解析 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有
⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＋7＝2，
b ＋1＝－2，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－5，
b ＝－3，
从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－1
3.
题型 二 直线方程的求法
1．已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________．
答案 x ＋13y ＋5＝0
解析 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2
，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x
＋13y ＋5＝0.
2．(1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的1
3
的直线方程；
(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程． 解 (1)设所求直线的斜率为k ， 依题意k ＝－4×13＝－4
3.
又直线经过点A (1,3)，
因此所求直线方程为y －3＝－4
3(x －1)，
即4x ＋3y －13＝0.
(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋y
a ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a
＝－1
2，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，
解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－2
5
x ，即2x ＋5y ＝0.
故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.
条件探究 把举例说明2(1)中所求直线绕点A (1,3)，顺时针旋转45°，求所得直线的方程．
解 设举例说明2(1)中所求直线的倾斜角为α， 则由举例说明2(1)解析知tan α＝－43，
所以90°<α<180°，
此直线绕点A (1,3)顺时针旋转45°，所得直线的倾斜角为α－45°， 斜率k ′＝tan(α－45°)＝tan α－1
1＋tan α＝－43－11＋⎝ ⎛⎭⎪
⎫－43＝7，
点斜式方程为y －3＝7(x －1)， 整理得7x －y －4＝0.
给定条件求直线方程的思路
(1)求直线方程常用的两种方法
①直接法：根据已知条件，直接写出直线的方程，如举例说明2(1)求直线方程，则直接利用斜截式即可．
②待定系数法：即设定含有参数的直线方程，结合条件列出方程(组)，求出参数，再代入直线方程即可．必要时要注意分类讨论，如举例说明2(2)中不要忽略过原点的情况，否则会造成漏解．
(2)设直线方程的常用技巧
①已知直线纵截距b 时，常设其方程为y ＝kx ＋b . ②已知直线横截距a 时，常设其方程为x ＝my ＋a .
③已知直线过点(x 0，y 0)，且k 存在时，常设y －y 0＝k (x －x 0)．
1．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )
A ．y －1＝3(x －3)
B ．y －1＝－3(x －3)
C ．y －3＝3(x －1)
D ．y －3＝－3(x －1)
答案 D
解析 因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA
＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为y －3＝－3(x －1)．故选D.
2．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：
(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为1
6.
解 (1)由题意知，直线l 存在斜率． 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，
它在x 轴、y 轴上的截距分别为－4
k
－3,3k ＋4，
由已知，得(3k ＋4)⎝ ⎛⎭
⎪⎫4k
＋3＝±6，
解得k 1＝－23或k 2＝－8
3
.
故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.
(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝1
6x ＋b ，则它在x 轴上的截距
是－6b ，
由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.
∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0. 题型 三 直线方程的综合应用
角度1 由直线方程求参数问题
1．若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )
A ．[－2,2]
B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C ．[－2,0)∪(0,2]
D ．(－∞，＋∞)
答案 C
解析 令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14
b 2
，
且b ≠0，因为14
b 2≤1，所以b 2
≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．
角度2 与直线方程有关的最值问题 2．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；
(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．
解 (1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，
令⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2，
y ＝1.
∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)． (2)由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2k
k
，在y 轴上的截距为1＋2k ，
要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧
－1＋2k k ≤－2，
1＋2k ≥1，
解得k ＞0；当k ＝0时，直线为
y ＝1，符合题意，故k 的取值范围为[0，＋∞)．
(3)由题意可知k ≠0，再由l 的方程，
得A ⎝
⎛⎭
⎪
⎫－1＋2k k
，0，B (0,1＋2k )． 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧
－1＋2k k ＜0，
1＋2k ＞0，
解得k ＞0.
∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪
1＋2k k ·|1＋2k |
＝12
·＋2k
2
k
＝12⎝
⎛
⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4
≥1
2
×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝1
2，
∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.
与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值或用函数的单调性解决．
(2)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
1．若方程(2m 2
＋m －3)x ＋(m 2
－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是
( )
A ．m ≠－3
2
B ．m ≠0
C ．m ≠0且m ≠1
D ．m ≠1
答案 D
解析 由⎩⎪⎨⎪
⎧
2m 2
＋m －3＝0，m 2
－m ＝0，
解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线．
2．过点P (4,1)作直线l 分别交x 轴、y 轴正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． 解 设直线l ：x a ＋y b
＝1(a >0，b >0)， 因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1
b
＝1.
(1)4a ＋1
b
＝1≥2
4a ·1b
＝4ab
，所以ab ≥16，
当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立， 所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积最小， 此时直线l 的方程为x 8＋y
2＝1，即x ＋4y －8＝0. (2)因为4a ＋1
b
＝1，a >0，b >0，
所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭
⎪⎫4a ＋1b
＝5＋a b ＋4b a
≥5＋2
a b ·4b
a
＝9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y
3＝1，即x ＋2y
－6＝0.。