高中数学数列与不等式综合问题放缩法

数
列与不等式综合问题
一裂项放缩 放缩法证明与数列求和有关的不等式中，很多时候要留一手，即采用有保留的方法，保留数列第一项或前两项，从数列第二项或第三项开始放缩，这样才不至于结果放得过大或过小。

常见裂项放缩技巧：
例1 求证（1） 变式训练 [2016·湖南怀化质检]设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2
－n －23，
n ∈N *. 求数列{a n }的通项(1)公式；
(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n
<74. [2014·广东高考]设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.
(1)求a 1的值；
(2)求数列{a n }的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1?a 1＋1?＋1a 2?a 2＋1?＋…＋1a n ?a n ＋1?<13
. 二等比放缩（一般的，形如 的数列，求证
都可以等比放缩）
例4 [2014·课标全国卷Ⅱ]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.
(1)证明⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n
<32. 变式训练【2012.广东理】已知数列{a n }满足111221,1n n n s a a ++=-+=
（1）求{a n }的通项公式
2311111()212121
21
n n *++++<∈++++N 例求证：,n n n n n a a b a a b =-=-12111....n
k a a a +++<231111+++......+12222
n
<
（2）证明：对一切正整数n ，都有121113 (2)
n a a a +++< 三伯努利不等式应用及推广 对任意的实数()()*1,11n
x x nx n N >-+≥+∈有伯努利不等式 例：求证(
)1111+11+1....13521n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++> ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
变式训练【2008，福建理】已知函数()()ln 1f x x x =+-
（1）求f （x ）的单调区间
（2）记f （x ）在[]()0,n n N ∈上的最小值是n b ，令()ln 1n n a x b =+-
，求证
1313211224242......1...n n
a a a a a a a a a a a a -+++< 伯努利不等式的推广
对任意的实数，
例，【2006，江西理】已知数列{a n }满足()11133,2221n n n na a a n a n --==
≥+- （1）已知数列{a n }满足
（2）证明：对于一切正整数n ，不等式123...2!n a a a a n <恒成立。

四函数放缩
常见函数放缩()()1111ln 1,2ln 1x x x x x x --<<+>+ 例：求证 ()(
)
()()()()121 (22)
11111122,ln 1...23231n n n n n n n n ++<≥++<<++++-。