2019-2020学年湖南省长沙市长沙县九年级(上)期末数学试卷(附详解)

2019-2020学年湖南省长沙市长沙县九年级（上）期末数
学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1.下列事件是必然事件的是()
A. n边形的每个内角都相等
B. 同位角相等
C. 一元二次方程有实数根
D. 三角形内角和等于180°
2.若y=(2−m)x m2−2是二次函数，则m的值为()
A. 2
B. −2
C. 2或−2
D. 0
3.二次函数y=2(x+2)2−1的图象可以由y=2x2的图象平移得到：先向__平移2个
单位，再向___平移1个单位．()
A. 右，上
B. 右，下
C. 左，上
D. 左，下
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAC=∠DAC，则下列
正确的是()
A. AB=AD
B. BC=CD
C. AB⏜=AD⏜
D. ∠BCA=∠DCA
5.已知⊙O的半径为10cm，点P到圆心O的距离为12cm，则点P和⊙O的位置关系是
()
A. 点P在圆内
B. 点P在圆上
C. 点P在圆外
D. 不能确定
6.如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°
的扇形，则此扇形的面积为()
m2
A. π
2
B. √3
πm2
2
C. πm2
D. 2πm2
7.已知函数y=(x−1)2，下列结论正确的是()
A. 当x>0时，y随x的增大而减小
B. 当x<0时，y随x的增大而增大
C. 当x<1时，y随x的增大而减小
D. 当x<−1时，y随x的增大而增大
8.如图，正方形OABC的边长为2，则该正方形绕点O逆时
针旋转45°后，B点的坐标为()
A. (2,2)
B. (0,2√2)
C. (2√2,0)
D. (0,2)
9.下列数表中分别给出了变量y与x之间的对应关系，其中是反比例函数关系的是()
A.
x1234
y5876
B.
x1234
y8543
C.
x1234
y6897
D.
x1234
y11
2
1
3
1
4
10.如果反比例函数y=m+1
x
在各自象限内，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是()
A. m<0
B. m>0
C. m<−1
D. m>−1
11.如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分
)与左图中△ABC相似的是()
A.
B.
C.
D.
12.中国古代在利用“计里画方”(比例缩放和直角坐标网格体系)的方法制作地图时，
会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF.观测者的眼睛(图中用点C表示)与BF在同一水平线上，则下列结论中，正确的是()
A. EF
AB =CF
FB
B. EF
AB
=CF
CB
C. CE
CA
=CF
FB
D. CE
EA
=CF
CB
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13.如图，点P是反比例函数y=2
x
图象上的一点，PD⊥x轴于D，则△POD面积为______．
14.两相似三角形的相似比为1:3，则它们的面积比是______．
15.正六边形的边长为4，其边心距等于______．
16.在6张完全相同的卡片上分别画线段、等边三角形、平行四边形、正方形、正五边
形和圆．小明蒙眼后随机摸出1张，这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是
______．
17.梦想精品店出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(20−x)个，则一天
出售该种手工艺品的总利润y的最大值为______元．
18.已知PA，PB是⊙O的两条切线，点C是⊙O上异于A，B的一点，过C点切线交PA，
PB于D，E两点，若∠APB=50°，则∠DOE=______．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）
19.《西游记》、《三国演义》、《水游传》、《红楼梦》被称为“四大古典名著”，
是我国古代长篇小说的经典代表．小梦和小想两名同学在学校的“中华传统文化月”
中，准备从这四大名著中各自随机选择一部来阅读，若将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记为A、B、C、D，请你用画树状图(或列表)的方法，求他们选中同一名著的概率．
20.如图，△ABC的三个顶点A，B，C，试在所给直角坐标系中，完成下列问题：
(1)画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A1B1C1．
(2)以A为位似中心，画出△A2B2C2，使得它与△ABC的相似比为2．
21.如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=
k
(k≠0)的图象交于A、B两点，其中点B的横坐标为x
−1．
(1)求k的值；
(2)若点P是y轴上一点；且S△ABP=4，求点P的坐标．
22.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)的图象
如图所示．
(1)根据图象解答问题：方程ax2+bx+c=0的两个根
为______；不等式ax2+bx+c<0的解集为______．
(2)试根据图象信息，求二次函数的解析式．
23.已知：如图，△ABC∽△ADE，AC与DE交于点F．
(1)若AB⊥AC，点F为DE的中点，且AD=3，AE=4，
AB=6.试求FC的值；
(2)求证：△ABD∽△ACE．
24.如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，点G在直径DF的
延长线上，且∠D=∠G=30°．
(1)求证：CG是⊙O的切线．
(2)若CD=6，求弦CD所对的劣弧长．
x+c的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两25.如图，已知抛物线y=ax2+3
2
点(B点在A点右侧)，与y轴交于C点(0,4)．
(1)求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；
(2)若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3
时，求出M点的坐标．
26.如图1，在四边形ABCD中，∠DAB被对角线AC平分，且AC2=AB⋅AD，我们称该
四边形为“黄金四边形”，∠DAB称为“黄金角”．
(1)如图1，四边形ABCD为“黄金四边形”，∠DAB为“黄金角”，求证：△DAC∽△CAB．
(2)如图2，四边形ABCD为“黄金四边形”，∠DAB为“黄金角”，且AC=4，BC=2，∠D=90°，求AD的长度；
(3)如图3，四边形ABCD为“黄金四边形”，∠DAB为“黄金角”，若∠DCB=∠DAB，求∠DAB的度数．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、n边形的每个内角都相等是随机事件，故本选项不符合题意；
B、同位角相等是随机事件，故本选项不符合题意；
C、一元二次方程有实数根是随机事件，故本选项不符合题意；
D、三角形内角和等于180°是必然事件，故本选项符合题意；
故选：D．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2.【答案】B
【解析】解：根据题意得：m2−2=2且2−m≠0，
解得：m=−2．
故选：B．
根据二次函数的定义，次数最高项的次数是2，且二次项的系数不等于0即可求得m的值本题考查了二次函数的定义．要特别注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，若二次系数等于0就不是二次函数了，而b，c可以是0．
3.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=2x2的顶点为(0,0)，抛物线y=2(x+2)2−1的顶点为(−2,−1)，二次函数y=2(x+2)2−1的图象可以由y=2x2的图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到；
故选：D．
根据两个函数的顶点坐标即可得到答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，
利用顶点的变化求解更简便．
4.【答案】B
【解析】解：∵∠BAC=∠DAC，
∴BC⏜=CD⏜，
∴BC=CD，
故选：B．
根据∠BAC=∠DAC，得到BC⏜=CD⏜，根据圆心角、弧、弦的关系得到BC=CD．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵⊙O的半径r=10cm，点P到圆心O的距离OP=12cm，
∴OP>r，
∴点P在⊙O外，
故选：C．
根据点与圆心的距离d，则d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内．
本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式求出即可．
【解答】
解：如图所示
连接AC，
∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC(扇形的半径相等)，
∵AB2+BC2=22，
∴AB=BC=√2m，
∴阴影部分的面积是90π×(√2)2
360=1
2
πm2，
故选A．
7.【答案】C
【解析】解：函数y=(x−1)2，对称轴为直线x=1，开口方向上，
故当x<1时，y随x的增大而减小．
故选：C．
直接利用二次函数的增减性进而分析得出答案．
此题主要考查了二次函数的性质，正确把握二次函数的增减性是解题关键．8.【答案】B
【解析】
【分析】
根据旋转的概念结合坐标系内点的坐标特征解答．
本题涉及图形旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要
素：旋转中心，旋转方向，旋转角度，通过画图求解．
【解答】
解：如图，连接OB，则OB=√OA2+AB2=2√2，
绕点O逆时针旋转45°后，B点在y轴正半轴上，坐标为(0,2√2).
故选B．
9.【答案】D
【解析】解：xy=k是反比例函数，故D正确；
故选：D．
根据反比例函数的自变量与相应函数值的乘积是常数，可得答案．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的自变量与相应函数值的乘积是常数．
10.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．根据增减性确定m+1的符号，从而确定m的取值范围即可．
【解答】
的图象在所在象限内，y的值随x值的增大而减小，
解：∵反比例函数y=m+1
x
∴m+1>0，解得m>−1．
故选D．
11.【答案】B
【解析】解：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为√2、2、√10、
只有选项B的各边为1、√2、√5与它的各边对应成比例．
故选：B．
本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．
此题考查三角形相似判定定理的应用．
12.【答案】B
【解析】解：∵EF//AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴EF
AB =CF
CB
=CE
CA
，
故选：B．
由平行得相似，由相似得比例，即可作出判断．
此题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．13.【答案】1
【解析】解：由题意得：S△POD=1
2|k|=1
2
×2=1．
故答案为：1．
由于点P是反比例函数y=2
x 图象上的一点，PD⊥x轴于D，则S△POD=1
2
|k|即可求得．
本题主要考查了反比例函数y=k
x
中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．
14.【答案】1:9
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的面积的比等于相似比的平方的性质，熟记性质是解题的关键．根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
【解答】
解：∵两相似三角形的相似比为1:3，
∴它们的面积比是1:9．
故答案为：1:9．
15.【答案】2√3
【解析】解：如图所示，过O作OG⊥AB于G，
∵∠AOB=360°
6
=60°；OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∵OG⊥AB，
∴∠AOG=30°，
∴AG=1
2
OA=2，
∴OG=√OA2−AG2=√42−22=2√3，
故答案为：2√3．
证出△AOB是等边三角形，再由勾股定理求解即可．
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理；熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．
16.【答案】2
3
【解析】解：∵在这一组图形中中心对称图形的是：线段、平行四边形、正方形、圆共4个，
∴张卡片上的图形是中心对称图形的概率是4
6=2
3
．
故答案为：2
3
．
先判断出线段、等边三角形、平行四边形、正方形、正五边形和圆中中心对称图形的个数，再根据概率公式进行解答即可．
此题考查的是概率公式及中心对称图形，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可
能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=m
n
．
17.【答案】100
【解析】解：∵出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(20−x)个，
由题意得：y=(20−x)x=−x2+20x=−(x−10)2+100，
∵−1<0，
∴当x=10时，y有最大值，最大值为100．
故答案为：100．
先根据题意得出总利润y与x的函数关系式，再根据二次函数的最值问题进行解答．
本题考查的是二次函数的最值问题，能根据题意得出y与x的关系式是解答此题的关键．
18.【答案】65°或115°
【解析】解：分为两种情况：
①如图1，连接OA、OB、OC，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠APB=50°，
∴∠AOB=360°−90°−90°−50°=130°，
∵DE切⊙O于C，
∴OC⊥DE，
∴∠DCO=∠ECO=90°，
∵PA、PB、DE是⊙O的切线，切点是A、B、C，
∴∠ADO=∠CDO，∠CEO=∠BEO，
∵∠AOD=180°−∠OAD−∠ADO，∠COD=180°−∠OCD−∠CDO，∴∠AOD=∠COD，
同理可证：∠COE=∠BOE，
∴∠DOE=∠DOC+∠EOC=1
2∠AOB=1
2
×130°=65°；
②如图2，∠DOE=1
2
×(360°−130°)=115°；
故答案为：65°或115°．
根据题意画出符合条件的两种图形，求出∠AOB的值，求出∠DOE=∠DOC+∠EOC=
1 2∠AOC+1
2
∠BOC，代入即可求出答案．
本题考查了切线的性质，切线长定理，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，注意符合条件的有两种情况．
19.【答案】解：画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中他们选中同一名著的结果数为4，
所以他们选中同一名著的概率为4
16=1
4
．
【解析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出他们选中同一名著的结果数，然后根据概率公式求解．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1
即为所求；
(2)如图所示，△AB2C2即为所求．
【解析】(1)分别作出A、B、C关于原
点O的对称点，然后顺次连接即可得
到所求的三角形；
(2)延长AB到B2，使得AB=BB2，同
法作出C2即可解决问题．
本题考查作图−位似变换，作图旋转
变换，相似三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)∵正比例函数y=2x的图象经过点B，点B的横坐标为−1．
∴y=2×(−1)=−2，
∴点B(−1,−2)，
∵反比例函数y=k
x
(k≠0)的图象经过点B(−1,−2)，
∴k=−1×(−2)=2；
(2)∵OA=OB，
∴S△AOP=1
2
S△ABP=2，
设P(0,n)，则1
2
|n|×1=2，
∴|n|=4，即n=±4，
∴P点的坐标为(0,4)或(0,−4)．
【解析】(1)把x=−1代入正比例函数y=2x的图象求得纵坐标，然后把B的坐标代入
反比例函数y=k
x
(k≠0)，即可求出k的值；
(2)因为A、B关于O点对称，所以OA=OB，即可求得S△AOP=1
2
S△ABP=2，然后根据三角形面积公式列出关于n的方程，解方程即可求得．
本题考查的是反比例函数的图象与一次函数图象的交点问题，三角形的面积等知识点，利用数形结合是解答此题的关键．
22.【答案】−3或1−3<x<1
【解析】解：(1)由图象得：ax2+bx+c=0的两个根为x1=−3，x2=1，
不等式ax2+bx+c<0的解集为−3<x<1．
故答案为：−3或1；−3<x<1；
(2)设抛物线解析式为y=a(x+3)(x−1)，
把(0,−2)代入得：−3a=−2，
解得：a=2
3
，
∴y=2
3(x+3)(x−1)=2
3
x2+2x−3．
∴二次函数的解析式为y=2
3
x2+2x−3．
(1)由图象抛物线与x轴的交点横坐标确定出方程的解即可；由图象确定出不等式的解集
即可；
(2)根据抛物线与x轴的交点，把抛物线解析式设成两点式，再利用待定系数法确定出抛物线解析式即可．
此题考查了二次函数与不等式(组)，抛物线与x轴的交点，利用了数形结合的思想，熟练掌握二次函数图象与性质是解本题的关键．
23.【答案】(1)解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵△ABC∽△ADE，
∴AB
AD =AC
AE
，∠BAC=∠DAE=90°，
∴6
3=AC
4
，
∴AC=8，
∵AD=3，AE=4，
∴DE=√AD2+AE2=√32+42=5，∵F为DE的中点，
∴AC=1
2DE=5
2
，
∴CF=AC−AF=8−5
2=11
2
；
(2)证明：∵△ABC∽△ADE，
∴AB
AD =AC
AE
，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，AB
AC =AD
AE
，
∴△ABD∽△ACE．
【解析】(1)由相似三角形的性质求出AC=8，则DE=5，可求出答案；
(2)由相似三角形的性质得出AB
AD =AC
AE
，∠BAC=∠DAE，则∠BAD=∠CAE，AB
AC
=AD
AE
，可
得出答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，证明△ABD∽△ACE是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：连接OC．
∵OC=OD，∠D=30°，
∴∠OCD=∠D=30°．
∵∠G=30°，
∴∠DCG=180°−∠D−∠G=120°．
∴∠GCO=∠DCG−∠OCD=90°．
∴OC⊥CG．
又∵OC是⊙O的半径．
∴CG是⊙O的切线．
(2)解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=1
2
CD=3．
在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠OCE=30°，
∴EO=1
2
CO，CO2=EO2+CE2．
设EO=x，则CO=2x．
∴(2x)2=x2+32．
解得x=√3(舍负值)．
∴CO=2√3．
∴CD⏜的长度=120⋅π×2√3
180=4√3π
3
．
【解析】(1)连接OC，根据三角形内角和定理可得∠DCG=180°−∠D−∠G=120°，再计算出∠GCO的度数可得OC⊥CG，进而得到CG是⊙O的切线；
(2)设EO=x，则CO=2x，再利用勾股定理计算出EO的长，进而得到CO的长，然后再计算出CD⏜的长即可．
此题主要考查了切线的判定，弧长的计算，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
25.【答案】解：(1)函数的对称轴：x=−b
2a =−
3
2
2a
=3，解得：a=−14，
∵抛物线与y轴的交点C(0,4)，∴c=4，
故抛物线的表达式为：y=−1
4x2+3
2
x+4，
令y=0，解得：x=8或−2，
故点A 、B 的坐标分别为：(−2,0)、(8,0)，
∴抛物线的解析式y =−14x 2+32x +4；点A 、B 的坐标分别为：(−2,0)、(8,0)；
(2)将点B 、C 的坐标代入一次函数y =kx +b 得：{8k +b =0b =4
， 解得：{k =−12b =4
， 直线BC 的表达式为：y =−12x +4，
设点M(x,−14x 2+32x +4)，则点N(x,−12x +4)，
则MN =−14x 2+32x +4+12x −4=±3，
解得：x =2或6或4±2√7，
故点M 的坐标为：(2,6)或(6,4)或(4+2√7,−1−√7)或(4−2√7,−1+√7).
【解析】(1)根据函数的对称轴：x =−322a =3解得：a =−14，即可求解；
(2)先求出直线BC 的解析式，再设点M(x,−14x 2+32x +4)，则点N(x,−12x +4)，则MN =
−14x 2+32x +4+12x −4=±3，即可求解．
本题考查的是抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求函数解析式的知识，关键是对二次函数知识的综合运用．
26.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 为“黄金四边形”，∠DAB 为“黄金角”， ∴AC 2=AB ⋅AD ，
∴AC AB =AD AC ，
∵∠DAB 为“黄金角”，
∴∠CAD =∠BAC ，
∴△DAC∽△CAB ；
(2)解：∵四边形ABCD 为“黄金四边形”，∠DAB 为“黄金角”，
∴AC 2=AB ⋅AD ，∠DAC =∠CAB ，
∴AD AC =AC AB ， ∴△ADC∽△ACB ，
∴∠D =∠ACB =90°，
∴AB =√AC 2+BC 2=√42+22=2√5，
∴AD=AC2
AB =42
2√5
=8√5
5
；
(3)解：如图，
∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠2，
∵AC2=AB⋅AD，
∴AD
AC =AC
AB
，
∴△ADC∽△ACB，
∴∠D=∠4，
∵∠DCB=∠DAB，∠DCB=∠3+∠4，∠DAB=2∠1，∴∠3+∠4=2∠1，
∴∠1+∠D+∠3=∠1+∠4+∠3=∠1+2∠1=3∠1，∴3∠1=180°，
∴∠1=60°，
∴∠DAB=120°．
【解析】(1)根据“黄金四边形”的定义可知AC
AB =AD
AC
，且∠CAD=∠BAC，从而证明结论；
(2)由(1)知△ADC∽△ACB，得∠D=∠ACB=90°，则AB=√AC2+BC2=√42+22=
2√5，从而得出AD=AC2
AB =2
2√5
=8√5
5
；
(3)由(1)知△ADC∽△ACB，得∠D=∠4，则∠3+∠4=2∠1，得出∠1+∠D+∠3=∠1+∠4+∠3=∠1+2∠1=3∠1，从而解决问题．
本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理等知识，读懂定义，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键．
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