加工误差的统计分析
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（2）分布曲线及其性质
•平均值：正态分布的分布曲线是对称的，对称 轴是均值μ。 •改变μ值，分布曲线将沿横坐标移动而不改变其 形状，这说明μ是表征分布曲线位置的参数。
1.正态分布
• 可以看出，分布曲线的最大值与σ成反比。
• 当σ减小时，分布曲线向上伸展。由于分布曲 线所围成的面积总是保持等于1，因此σ愈小， 分布曲线两侧愈向中间收紧，分散范围越小。
• σ是表征分布曲线形状的参数，亦即它刻划了 随机变量X取值的分散程度。
1.正态分布
（3）标准正态分布 • 总体平均值μ=0，总体标准差σ=1的正态分布
称为标准正态分布。任何不同的μ和σ的正态分 布都可以通过坐标变换 •
z xu
• 为标准的正态分布，故可以利用标准正态分布 的函数值，求得各种正态分布的函数值。
26
16 | | | | | | | | | | | | | | | |
16
16 | | | | | | | | | | | | | | | |
16
10 | | | | | | | | | |
10
1|
1
频率密度/1μ m (%)
0.6 1.4 1.6 2.6 5.2 3.2 3.2 2.0 0.2
d 2
。（j
1,2,3,...,k）
xmin ( j 1)d。（j 1,2,3,..., k）
（一）实验分布图
③记录各组数据，整理成频数分布表(表4-5)
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
组界/μ m
13.5～18.5 18.5～23.5 23.5～28.5 28.5～33.5 33.5～38.5 38.5～43.5 43.5～48.5 48.5～53.5 53.5～58.5
.
镗削一批零件的内孔(计1000件)，其最大尺
寸D max
25.030
mm；D min
25.000
mm ;若整批零
件呈正态分布，图纸要求该孔的直径
25 mm 0.025
。
0.005
求这批零件的常值系统误差和随机误差的大小，ห้องสมุดไป่ตู้品
有多少件？能否修复？并分析产生废品的原因，提出
减少废品的措施。
• 例：在无心磨床上磨削销轴外圆，要求外径
d
mm， 120.016 0.043
抽
样
一
批
零
件
，
经
实
测
后
计
算
得
到 ， x 11.974mm 0.005mm ， 其尺寸分布符合正态
分布，试分析该工序的加工质量。
（三）分布图分析法的应用
• 解：1）根据所计算的 x 及6σ作分布图
（三）分布图分析法的应用
（一）实验分布图
（5）计算样本特征值
• 该样本的统计数字特征：平均值和标准差S。 • 样本的平均值表示该样本的尺寸分散中心。它
主要决定于调整尺寸的大小和常值系统误差。
• 样本的标准差S映了该批工件的尺寸分散程度， 它是由变值系统误差和随机误差决定。
（一）实验分布图
• 例题
（一）实验分布图
• 解：
• 当工序处于稳定状态度时，工序能力系数Cp按 下式计算:
（三）分布图分析法的应用
• 根据工序能力系数Cp的大小，可将工序 能力分为5级，如表所示。
（三）分布图分析法的应用
3.估算合格品率或不合格品率
• 不合格品率包括废品率和可返修的不合格品率。 它可通过分布曲线进行估算。不合格品率包括 废品率和可返修的不合格品率。它可通过分布 曲线进行估算。
3.两种误差的解决方法 • 对于上述两类不同性质的误差，其解决
途径也不一样。 （1）常值系统误差 • 一般来说，对于常值系统性误差，可以
在查明其大小和方向后，通过相应的调 整或检修工艺装备的办法来解决。 • 有时候还可以人为地用一种常值误差去 抵偿本来的常值误差。
一、加工误差性质
（2）变值系统误差 • 对变值系统性误差，在摸清其变化规律后，通
• ①收集数据 n＝100， xmax＝54μ m，xmin＝ 16μ m。
• ②确定分组数、组距、各组组界和组中值。由 表4-3，k＝9，组距
d R xmax xmin 54 16 m 4.75m
k 1
k 1
9 1
取d=5μ m 。 各组组界为
xm in
(
j
1)d
y
μ
0
3σ
3σ
x
Δ
公差带 T
27
（三）分布图分析法的应用
• 2.确定工序能力及其等级
• （定义）工序能力：所谓工序能力是指工序处 于稳定状态时，加工误差正常波动的幅度。当 加工尺寸服从正态分布时，其尺寸分散范围是 6σ，所以工序能力就是6σ。
• （定义）工序能力系数：工序能力等级是以工 序能力系数来表示的，它代表了工序能满足加 工精度要求的程度。
（一）实验分布图
E．各组的组中值
（3）计算频数mi与频率fi • （定义）频数：同一尺寸或同一误差组的零件
数量mi称为频数。 • （ 频率定f义i。）频率：频数mi与样本容量n之比称为 • 方法：仔细数 （4）画实验分布图（频率直方图） • 以工件尺寸（或误差）为横坐标，以频数或频
率为纵坐标，就可作出该批工件加工尺寸（或 误差）的实验分布图，即直方图。
过自动连续补偿、自动周期补偿等办法来解决。 • 例如：磨床上对砂轮磨损的自动补偿；机床热
变形则采用空车运转使机床达到热平衡后再加 工的方法来减少热变形的影响。 （3）随机误差 • 随机性误差没有明显的变化规律，很难完全消 除，只能对其产生的根源采取适当的措施以缩 小其影响。 • 例如：对毛坯带来的误差，可从缩小毛坯本身 误差和提高工艺系统刚度两方面来减少其影响。
• 2）计算工序能力系数Cp
• 工序能力系数 Cp<1,表明该工序 工序能力不足，生 产的不合格率是不 可避免的。
（三）分布图分析法的应用
（3）计算不合格品率。
要求dmin＝11.957， dmax＝11.984。 对轴类零件，超出公差 带上限的不合格品可 修复，记为Q可，
z1
dmax d
一、加工误差性质
2.随机误差
• （定义）随机误差：在顺序加工的一批工件中， 其加工误差的大小和方向的变化是属于随机性 的，称为随机误差。
• 毛坯误差（余量大小不一、硬度不均匀等）的 复映
• 定位误差（基准面精度不一、间隙影响） • 夹紧误差 • 多次调整的误差 • 残余应力引起的变形误差
一、加工误差性质
（三）分布图分析法的应用
• 1.判别加工误差性质 判别加工误差性质的基本方法：假如加工过程
中没有变值系统误差，那么其尺寸分布应服从 正态分布。 （1）平均值 • 常值系统误差仅影响 x 值，即只影响分布曲 线的位置，对分布曲线的形状没有影响。 A.实际分布与正态分布基本相符 ，加工过程中 没有变值系统误差（或影响很小）。 B.样本平均值 x 与公差带中心不重合就说明存 在常值系统误差。
• 在机械加工中，用调整法加工一批零件，其尺 寸误差是由很多相互独立的随机误差综合作用 的结果，如果其中没有一个是起决定作用的随 机误差测加工后零件的尺寸将近似于正态分布。
1.正态分布
1.正态分布
（1）概率密度函数 • 正态分布曲线的形状如
图所示。其概率密度函 数表达式为
总体均值
总体标准差
1.正态分布
二、分布图分析法（重点）
• （一）实验分布图
（1）抽样 • 成批加工某种零件，抽取其中一定数量进行测
量，抽取的这批零件称为样本，其件数n叫样 本容量。 （2）分组（确定分组数k，组距d，各组的临 界值和组中值） • 由于存在各种误差的影响，加工尺寸或偏差总 是在一定范围内变动（称为尺寸分散），亦即 为随机变量，用x表示。
2
2
公差带分布中心： T 25.025 24.995 25.010
M
2
故
x T 25.015 25.010 0.005
0
M
37
.
③ 画尺寸正态分布图
计算各坐标点：
x 24.995 1
x 2
； 25.025
x X 3 25.015 3 0.005 25.000 A
（一）实验分布图
• ④根据表4-4所列数据画出直方图
（一）实验分布图
⑤计算。
在 直 方 图 上 作 出 最 大 极 限 尺 寸 Amax＝
60.06mm及最小极 的标志线，并计算：
限
尺
寸Amin＝60.01mm
x ＝37.037μm；
S ＝8.93μm。
（一）实验分布图
• 直观地看到工件尺寸或 误差的分布情况：
• 该批工件的尺寸有一分 散范围，尺寸偏大、偏 小者很少，大多数居中；
• 尺寸分散范围(6S＝ 53.58μm)略大于公差
值(T＝50μm)，说明
本工序的加工精度稍显 不足；
• 分散中心与公差带中心 基本重合，表明机床调 整误差
（二）理论分布曲线
• 概率论的中心极限定理证明：相互独立的大量 微小随机变量，其总和的分布是符合正态分布 的。
1.正态分布
• 由分布函数的定义可知，正态分布函数是正态 分布概率密度函数的积分：
• 已经制成标准的表，可查表得出。表中的数值 就是曲线下阴影线的面积。
1.正态分布
1.正态分布
• （4）±3σ原则 • 当 z=±3， 即 x-μ=3σ， 由 表 3 － 5查 得
2 F（3）=0.49865X2=99.73％。 这 说明随机变量x落在±3σ范围以内的概 率为99.73％，落在此范围以外的概率 0.27％，此值很小。 • 结论：正态分布的随机变量的分散范围 是±3σ。这就是所谓的±3σ原则。
一、加工误差性质
1.系统误差
• （定义）系统误差：在顺序加工一批工件中， 其加工误差的大小和方向都保持不变，或者按 一定规律变化，统称为系统误差。前者称常值 系统误差，后者称变值系统误差。
（1）常值系统误差 • 加工原理误差，机床、刀具、夹具和量具的制
造误差、工艺系统的受力变形、机床、夹具、 量具等磨损 （2）变值系统误差 • 机床、刀具和夹具等在热平衡前的热变形误差， 刀具的磨损等
11.984 11.974 0.005
2
Q可 0.5 F(z1) 0.5 0.4772 2.28%
（三）分布图分析法的应用
• 4）改进措施 • 重新调整机床，使分
散中心王与公差带中 心重合，可减小不合 格品率。 • 调整量为Δ=11.97411.9705=0.0035m m • （具体操作时，使砂 轮向前进刀Δ／2的磨 削深度即可）
xB X 3 25.015 3 0.005 25.030
• 根据各坐标点作图：
38
.
Yx
TM
Δ0
x1 xA
x2 XB X
6σ
T
判断有无废品： ∵ X A X1
∴无过小废品；
（一）实验分布图
A．选择分组数k • 通常k值一般应根据样本容量来选择。
B．样本极差 • 样本尺寸或偏差的最大值与最小值之差，
称为极差R
（一）实验分布图
C.组距
• 将样本尺寸或偏差按大小顺序排列，并将它们 分成k组，组距为d。d可按下式计算：
D．确定各组的临界值
• 第一组：下界值为xmin-d/2，上界值xmin+d/2 • 最 界后值一xm组in+：（下k界-1值）为d+xdm/in2+（k-1）d-d/2，上
加工误差的统计分析
一、加工误差性质 二、分布图分析法 三、点图分析法
第五节 加工误差的统计分析
• 生产实际中，影响加工精度的因素往往 是错综复杂的，有时很难用单因素分析 法来分析计算某一工序的加工误差，就 要用到加工误差的统计分析法。
• 统计分析法是以生产现场中实际加工出 的一批工件进行检查测量结果为基础， 运用数理统计的方法加以处理和分析， 从中便可发现误差的规律，指导解决加 工精度的途径。
组中值
16 21 26 31 36 41 46 51 56
表 4-4 频数分布表
频数
频数统计
频率(%)
3 |||
3
7 |||||||
7
8 ||||||||
8
13 | | | | | | | | | | | | |
13
26 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
35
.
解：① 求随机误差的大小
根据已知条件可知：6 D D 25.030 25.000 0.03
max
min
则均方根误差 0.03 0.005
6
• 即随机误差为6 0.03mm
mm
36
.
② 求常值系统误差 0
平均尺寸：X Dmax Dmin 25.030 25.000 25.015
•平均值：正态分布的分布曲线是对称的，对称 轴是均值μ。 •改变μ值，分布曲线将沿横坐标移动而不改变其 形状，这说明μ是表征分布曲线位置的参数。
1.正态分布
• 可以看出，分布曲线的最大值与σ成反比。
• 当σ减小时，分布曲线向上伸展。由于分布曲 线所围成的面积总是保持等于1，因此σ愈小， 分布曲线两侧愈向中间收紧，分散范围越小。
• σ是表征分布曲线形状的参数，亦即它刻划了 随机变量X取值的分散程度。
1.正态分布
（3）标准正态分布 • 总体平均值μ=0，总体标准差σ=1的正态分布
称为标准正态分布。任何不同的μ和σ的正态分 布都可以通过坐标变换 •
z xu
• 为标准的正态分布，故可以利用标准正态分布 的函数值，求得各种正态分布的函数值。
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频率密度/1μ m (%)
0.6 1.4 1.6 2.6 5.2 3.2 3.2 2.0 0.2
d 2
。（j
1,2,3,...,k）
xmin ( j 1)d。（j 1,2,3,..., k）
（一）实验分布图
③记录各组数据，整理成频数分布表(表4-5)
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
组界/μ m
13.5～18.5 18.5～23.5 23.5～28.5 28.5～33.5 33.5～38.5 38.5～43.5 43.5～48.5 48.5～53.5 53.5～58.5
.
镗削一批零件的内孔(计1000件)，其最大尺
寸D max
25.030
mm；D min
25.000
mm ;若整批零
件呈正态分布，图纸要求该孔的直径
25 mm 0.025
。
0.005
求这批零件的常值系统误差和随机误差的大小，ห้องสมุดไป่ตู้品
有多少件？能否修复？并分析产生废品的原因，提出
减少废品的措施。
• 例：在无心磨床上磨削销轴外圆，要求外径
d
mm， 120.016 0.043
抽
样
一
批
零
件
，
经
实
测
后
计
算
得
到 ， x 11.974mm 0.005mm ， 其尺寸分布符合正态
分布，试分析该工序的加工质量。
（三）分布图分析法的应用
• 解：1）根据所计算的 x 及6σ作分布图
（三）分布图分析法的应用
（一）实验分布图
（5）计算样本特征值
• 该样本的统计数字特征：平均值和标准差S。 • 样本的平均值表示该样本的尺寸分散中心。它
主要决定于调整尺寸的大小和常值系统误差。
• 样本的标准差S映了该批工件的尺寸分散程度， 它是由变值系统误差和随机误差决定。
（一）实验分布图
• 例题
（一）实验分布图
• 解：
• 当工序处于稳定状态度时，工序能力系数Cp按 下式计算:
（三）分布图分析法的应用
• 根据工序能力系数Cp的大小，可将工序 能力分为5级，如表所示。
（三）分布图分析法的应用
3.估算合格品率或不合格品率
• 不合格品率包括废品率和可返修的不合格品率。 它可通过分布曲线进行估算。不合格品率包括 废品率和可返修的不合格品率。它可通过分布 曲线进行估算。
3.两种误差的解决方法 • 对于上述两类不同性质的误差，其解决
途径也不一样。 （1）常值系统误差 • 一般来说，对于常值系统性误差，可以
在查明其大小和方向后，通过相应的调 整或检修工艺装备的办法来解决。 • 有时候还可以人为地用一种常值误差去 抵偿本来的常值误差。
一、加工误差性质
（2）变值系统误差 • 对变值系统性误差，在摸清其变化规律后，通
• ①收集数据 n＝100， xmax＝54μ m，xmin＝ 16μ m。
• ②确定分组数、组距、各组组界和组中值。由 表4-3，k＝9，组距
d R xmax xmin 54 16 m 4.75m
k 1
k 1
9 1
取d=5μ m 。 各组组界为
xm in
(
j
1)d
y
μ
0
3σ
3σ
x
Δ
公差带 T
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（三）分布图分析法的应用
• 2.确定工序能力及其等级
• （定义）工序能力：所谓工序能力是指工序处 于稳定状态时，加工误差正常波动的幅度。当 加工尺寸服从正态分布时，其尺寸分散范围是 6σ，所以工序能力就是6σ。
• （定义）工序能力系数：工序能力等级是以工 序能力系数来表示的，它代表了工序能满足加 工精度要求的程度。
（一）实验分布图
E．各组的组中值
（3）计算频数mi与频率fi • （定义）频数：同一尺寸或同一误差组的零件
数量mi称为频数。 • （ 频率定f义i。）频率：频数mi与样本容量n之比称为 • 方法：仔细数 （4）画实验分布图（频率直方图） • 以工件尺寸（或误差）为横坐标，以频数或频
率为纵坐标，就可作出该批工件加工尺寸（或 误差）的实验分布图，即直方图。
过自动连续补偿、自动周期补偿等办法来解决。 • 例如：磨床上对砂轮磨损的自动补偿；机床热
变形则采用空车运转使机床达到热平衡后再加 工的方法来减少热变形的影响。 （3）随机误差 • 随机性误差没有明显的变化规律，很难完全消 除，只能对其产生的根源采取适当的措施以缩 小其影响。 • 例如：对毛坯带来的误差，可从缩小毛坯本身 误差和提高工艺系统刚度两方面来减少其影响。
• 2）计算工序能力系数Cp
• 工序能力系数 Cp<1,表明该工序 工序能力不足，生 产的不合格率是不 可避免的。
（三）分布图分析法的应用
（3）计算不合格品率。
要求dmin＝11.957， dmax＝11.984。 对轴类零件，超出公差 带上限的不合格品可 修复，记为Q可，
z1
dmax d
一、加工误差性质
2.随机误差
• （定义）随机误差：在顺序加工的一批工件中， 其加工误差的大小和方向的变化是属于随机性 的，称为随机误差。
• 毛坯误差（余量大小不一、硬度不均匀等）的 复映
• 定位误差（基准面精度不一、间隙影响） • 夹紧误差 • 多次调整的误差 • 残余应力引起的变形误差
一、加工误差性质
（三）分布图分析法的应用
• 1.判别加工误差性质 判别加工误差性质的基本方法：假如加工过程
中没有变值系统误差，那么其尺寸分布应服从 正态分布。 （1）平均值 • 常值系统误差仅影响 x 值，即只影响分布曲 线的位置，对分布曲线的形状没有影响。 A.实际分布与正态分布基本相符 ，加工过程中 没有变值系统误差（或影响很小）。 B.样本平均值 x 与公差带中心不重合就说明存 在常值系统误差。
• 在机械加工中，用调整法加工一批零件，其尺 寸误差是由很多相互独立的随机误差综合作用 的结果，如果其中没有一个是起决定作用的随 机误差测加工后零件的尺寸将近似于正态分布。
1.正态分布
1.正态分布
（1）概率密度函数 • 正态分布曲线的形状如
图所示。其概率密度函 数表达式为
总体均值
总体标准差
1.正态分布
二、分布图分析法（重点）
• （一）实验分布图
（1）抽样 • 成批加工某种零件，抽取其中一定数量进行测
量，抽取的这批零件称为样本，其件数n叫样 本容量。 （2）分组（确定分组数k，组距d，各组的临 界值和组中值） • 由于存在各种误差的影响，加工尺寸或偏差总 是在一定范围内变动（称为尺寸分散），亦即 为随机变量，用x表示。
2
2
公差带分布中心： T 25.025 24.995 25.010
M
2
故
x T 25.015 25.010 0.005
0
M
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.
③ 画尺寸正态分布图
计算各坐标点：
x 24.995 1
x 2
； 25.025
x X 3 25.015 3 0.005 25.000 A
（一）实验分布图
• ④根据表4-4所列数据画出直方图
（一）实验分布图
⑤计算。
在 直 方 图 上 作 出 最 大 极 限 尺 寸 Amax＝
60.06mm及最小极 的标志线，并计算：
限
尺
寸Amin＝60.01mm
x ＝37.037μm；
S ＝8.93μm。
（一）实验分布图
• 直观地看到工件尺寸或 误差的分布情况：
• 该批工件的尺寸有一分 散范围，尺寸偏大、偏 小者很少，大多数居中；
• 尺寸分散范围(6S＝ 53.58μm)略大于公差
值(T＝50μm)，说明
本工序的加工精度稍显 不足；
• 分散中心与公差带中心 基本重合，表明机床调 整误差
（二）理论分布曲线
• 概率论的中心极限定理证明：相互独立的大量 微小随机变量，其总和的分布是符合正态分布 的。
1.正态分布
• 由分布函数的定义可知，正态分布函数是正态 分布概率密度函数的积分：
• 已经制成标准的表，可查表得出。表中的数值 就是曲线下阴影线的面积。
1.正态分布
1.正态分布
• （4）±3σ原则 • 当 z=±3， 即 x-μ=3σ， 由 表 3 － 5查 得
2 F（3）=0.49865X2=99.73％。 这 说明随机变量x落在±3σ范围以内的概 率为99.73％，落在此范围以外的概率 0.27％，此值很小。 • 结论：正态分布的随机变量的分散范围 是±3σ。这就是所谓的±3σ原则。
一、加工误差性质
1.系统误差
• （定义）系统误差：在顺序加工一批工件中， 其加工误差的大小和方向都保持不变，或者按 一定规律变化，统称为系统误差。前者称常值 系统误差，后者称变值系统误差。
（1）常值系统误差 • 加工原理误差，机床、刀具、夹具和量具的制
造误差、工艺系统的受力变形、机床、夹具、 量具等磨损 （2）变值系统误差 • 机床、刀具和夹具等在热平衡前的热变形误差， 刀具的磨损等
11.984 11.974 0.005
2
Q可 0.5 F(z1) 0.5 0.4772 2.28%
（三）分布图分析法的应用
• 4）改进措施 • 重新调整机床，使分
散中心王与公差带中 心重合，可减小不合 格品率。 • 调整量为Δ=11.97411.9705=0.0035m m • （具体操作时，使砂 轮向前进刀Δ／2的磨 削深度即可）
xB X 3 25.015 3 0.005 25.030
• 根据各坐标点作图：
38
.
Yx
TM
Δ0
x1 xA
x2 XB X
6σ
T
判断有无废品： ∵ X A X1
∴无过小废品；
（一）实验分布图
A．选择分组数k • 通常k值一般应根据样本容量来选择。
B．样本极差 • 样本尺寸或偏差的最大值与最小值之差，
称为极差R
（一）实验分布图
C.组距
• 将样本尺寸或偏差按大小顺序排列，并将它们 分成k组，组距为d。d可按下式计算：
D．确定各组的临界值
• 第一组：下界值为xmin-d/2，上界值xmin+d/2 • 最 界后值一xm组in+：（下k界-1值）为d+xdm/in2+（k-1）d-d/2，上
加工误差的统计分析
一、加工误差性质 二、分布图分析法 三、点图分析法
第五节 加工误差的统计分析
• 生产实际中，影响加工精度的因素往往 是错综复杂的，有时很难用单因素分析 法来分析计算某一工序的加工误差，就 要用到加工误差的统计分析法。
• 统计分析法是以生产现场中实际加工出 的一批工件进行检查测量结果为基础， 运用数理统计的方法加以处理和分析， 从中便可发现误差的规律，指导解决加 工精度的途径。
组中值
16 21 26 31 36 41 46 51 56
表 4-4 频数分布表
频数
频数统计
频率(%)
3 |||
3
7 |||||||
7
8 ||||||||
8
13 | | | | | | | | | | | | |
13
26 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
35
.
解：① 求随机误差的大小
根据已知条件可知：6 D D 25.030 25.000 0.03
max
min
则均方根误差 0.03 0.005
6
• 即随机误差为6 0.03mm
mm
36
.
② 求常值系统误差 0
平均尺寸：X Dmax Dmin 25.030 25.000 25.015