2022年全国数学中考真题(江苏河南广东四川湖南等)汇编专题02 整式与因式分解(解析版)

专题02 整式与因式分解
一．选择题
1．（2022·江苏宿迁）下列运算正确的是（ ）
A ．21m m -=
B ．236·m m a =
C ．()222mn m n =
D ．()2
35m m = 【答案】C
【分析】由合并同类项可判断A ，由同底数幂的乘法可判断B ，由积的乘方运算可判断C ，由幂的乘方运算可判断D ，从而可得答案．
【详解】解：2m m m -=， 故A 不符合题意；
235m m m ⋅=， 故B 不符合题意；
()222mn m n =， 故C 符合题意；
()236m m =， 故D 不符合题意；故选：C
【点睛】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方运算，幂的乘方运算，掌握以上基础运算是解本题的关键．
2．（2022·湖南株洲）下列运算正确的是（ ）
A ．235a a a ⋅=
B ．()235a a =
C ．22
()ab ab = D ．6
32(0)a a a a =≠ 【答案】A
【分析】根据同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，分式的化简，逐项判断即可求解．
【详解】解：A 、235a a a ⋅=，故本选项正确，符合题意；
B 、()2
36a a =，故本选项错误，不符合题意； C 、222()ab a b =，故本选项错误，不符合题意；
D 、46
2(0)a a a a
=≠，故本选项错误，不符合题意；故选：A 【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，分式的化简，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
3．（2022·陕西）计算：()
2323x x y ⋅-=（ ） A ．336x y B ．236x y - C ．336x y - D ．3318x y
【答案】C 【分析】利用单项式乘单项式的法则进行计算即可．
【详解】解：()()23233323236x x y x x y x y ⋅-=⨯-⨯=-⋅⨯．故选：C ．
【点睛】本题考查了单项式乘单项式的运算，正确地计算能力是解决问题的关键．
4．（2022·浙江嘉兴）计算a 2·a （ ）
A ．a
B ．3a
C ．2a 2
D ．a 3
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法法则进行运算即可．
【详解】解：23,a a a 故选D 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，掌握“同底数幂的乘法，底数不变，指数相加”是解本题的关键． 5．（2022·四川眉山）下列运算中，正确的是（ ）
A ．3515x x x ⋅=
B ．235x y xy +=
C ．22(2)4x x -=-
D ．()2242235610x x y x x y ⋅-=-
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则分析选项即可知道答案．
【详解】解：A. 3515x x x ⋅=，根据同底数幂的乘法法则可知：358⋅=x x x ，故选项计算错误，不符合题意；
B. 235x y xy +=，2x 和3y 不是同类项，不能合并，故选项计算错误，不符合题意；
C. 22(2)4x x -=-，根据完全平方公式可得：22(2)44-=+-x x x ，故选项计算错误，不符合题意；
D. ()2242235610x x y x x y ⋅-=-，根据单项式乘多项式的法则可知选项计算正确，符合题意； 故选：D
【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则．
6．（2022·江西）下列计算正确的是（ ）
A ．236m m m ⋅=
B ．()m n m n --=-+
C ．2()m m n m n +=+
D ．222()m n m n +=+
【答案】B
【分析】利用同底数幂的乘法，去括号法则，单项式乘多项式，完全平方公式对各选项依次判断即可．
【详解】解：A 、2356m m m m ⋅=≠，故此选项不符合题意；
B 、()m n m n --=-+，故此选项符合题意；
C 、22()m m n m mn m n +=+≠+，故此选项不符合题意；
D 、22222()2m m n m n m n n +=++≠+，故此选项不符合题意．故选：B ．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及到同底数幂的乘法，去括号法则，单项式乘多项式的运算法则，完全平方公式等知识．熟练掌握各运算法则和222()2a b a ab b +=++的应用是解题的关键．
7．（2022·浙江宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD 内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A ．正方形纸片的面积
B ．四边形EFGH 的面积
C ．BEF 的面积
D ．AEH △的面积
【答案】C 【分析】设正方形纸片边长为x ，小正方形EFGH 边长为y ，得到长方形的宽为x -y ，用x 、y 表达出阴影部分的面积并化简，即得到关于x 、y 的已知条件，分别用x 、y 列出各选项中面积的表达式，判断根据已知条件能否求出，找到正确选项．
【详解】根据题意可知，四边形EFGH 是正方形，设正方形纸片边长为x ，正方形EFGH 边长为y ，则长方形的宽为x -y ，
所以图中阴影部分的面积=S 正方形EFGH +2S △AEH +2S △DHG =2112()222
y y x y xy +⨯-+⨯=2xy ，
所以根据题意，已知条件为xy 的值，
A.正方形纸片的面积=x 2，根据条件无法求出，不符合题意；
B.四边形EFGH 的面积=y 2， 根据条件无法求出，不符合题意；
C.BEF 的面积=12
xy ，根据条件可以求出，符合题意； D.AEH △的面积=2
1()22
xy y y x y --=，根据条件无法求出，不符合题意；故选 C ． 【点睛】本题考查整式与图形的结合，熟练掌握正方形、长方形、三角形等各种形状的面积公式，能正确用字母列出各种图形的面积表达式是解题的关键．8．（2022·浙江温州）化简3()()a b -⋅-的结果是（ ） A ．3ab - B ．3ab C ．3a b - D ．3a b
【答案】D
【分析】先化简乘方，再利用单项式乘单项式的法则进行计算即可．
【详解】解：()()()3
33·a b a b a b -⋅-=--=，故选：D ．
【点睛】本题考查单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是解题的关键．
9．（2022·江西）将字母“C ”，“H ”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H ”的个数是（ ） A ．9 B ．10 C ．11
D ．12
【答案】B 【分析】列举每个图形中H 的个数，找到规律即可得出答案．
【详解】解：第1个图中H 的个数为4，
第2个图中H 的个数为4+2，
第3个图中H 的个数为4+2×2，
第4个图中H 的个数为4+2×3=10，故选：B ．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．
10．（2022·浙江绍兴）下列计算正确的是（ ）
A ．2()a ab a a b +÷=+
B ．22a a a ⋅=
C ．222()a b a b +=+
D ．325()a a =
【答案】A
【分析】根据多项式除以单项式、同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘方法则逐项判断即可．
【详解】解：A 、2()a ab a a b +÷=+，原式计算正确；
B 、23a a a ⋅=，原式计算错误；
C 、222()2a b a b ab +=++，原式计算错误；
D 、326()a a =，原式计算错误；故选：A ．
【点睛】本题考查了多项式除以单项式、同底数幂的乘法、完全平方公式和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
11．（2022·云南）按一定规律排列的单项式：x ，3x ²，5x ³，7x 4，9x 5，……，第n 个单项式是（ ） A ．(2n -1)n x
B ．(2n +1)n x
C ．(n -1)n x
D ．(n +1)n x
【答案】A
【分析】系数的绝对值均为奇数，可用(2n -1)表示；字母和字母的指数可用xn 表示．
【详解】解：依题意，得第n 项为（2n -1）xn ，故选：A ．
【点睛】本题考查的是单项式，根据题意找出规律是解答此题的关键．
12．（2022·重庆）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（ ） A ．15 B ．13 C ．11 D ．9
【答案】C
【分析】根据第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：123+=；第③个图案中菱形的个数：1225+⨯=；…第n 个图案中菱形的个数：()121n +-，算出第⑥个图案中菱形个数即可．
【详解】解：∵第①个图案中菱形的个数：1；
第②个图案中菱形的个数：123+=；
第③个图案中菱形的个数：1225+⨯=；…
第n 个图案中菱形的个数：()121n +-，
∵则第⑥个图案中菱形的个数为：()126111+⨯-=，故C 正确．故选：C ．
【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律． 13．（2022·安徽）下列各式中，计算结果等于9a 的是（ ）
A ．36+a a
B ．36a a ⋅
C ．10a a -
D ．182÷a a
【答案】B 【分析】利用整式加减运算和幂的运算对每个选项计算即可．
【详解】A ．36+a a ，不是同类项，不能合并在一起，故选项A 不合题意；
B ．36369a a a a +⋅==，符合题意；
C ．10a a -，不是同类项，不能合并在一起，故选项C 不合题意；
D ．11816282a a a a -==÷，不符合题意，故选B
【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键．
14．（2022·四川成都）下列计算正确的是（ ）
A ．2m m m +=
B ．()22m n m n -=-
C ．222(2)4m n m n +=+
D ．2(3)(3)9m m m +-=-
【答案】D
【分析】根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行运算，即可一一判定．
【详解】解：A.2m m m +=，故该选项错误，不符合题意；
B.()222m n m n -=-，故该选项错误，不符合题意；
C.2224(2)4m n m n mn ++=+，故该选项错误，不符合题意；
D.2(3)(3)9m m m +-=-，故该选项正确，符合题意；故选：D ．
【点睛】本题考查了合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键．
15．（2022·山东滨州）下列计算结果，正确的是（ ）
A ．352()a a =
B C 2= D ．1cos302
︒= 【答案】C
【分析】根据幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值逐一进行计算即可．
【详解】解：A 、23236()a a a ⨯==，该选项错误；
B =
C 2，该选项正确；
D 、cos30=°，该选项错误；故选：C ． 【点睛】本题考查了幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．16．（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A ．32
B ．34
C．37D．41
【答案】C
【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可．
【详解】解：第1个图中有5个正方形；
第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；
第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；
第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．
第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；
当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．
17．（2022·湖南湘潭）下列整式与2
ab为同类项的是（）
A．2a b B．2
2ab
-C．ab D．2
ab c
【答案】B
【解析】【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，结合选项求解．
【详解】解：由同类项的定义可知，a的指数是1，b的指数是2．
A、a的指数是2，b的指数是1，与2
ab不是同类项,故选项不符合题意；
B、a的指数是1，b的指数是2，与2
ab是同类项,故选项符合题意；
C、a的指数是1，b的指数是1，与2
ab不是同类项,故选项不符合题意；
D、a的指数是1，b的指数是2，c的指数是1，与2
ab不是同类项,故选项不符合题意．故选：B．
【点睛】此题考查了同类项，判断同类项只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．
18．（2022·江苏苏州）下列运算正确的是（）
A7
=-B．
2
69
3
÷=C．222
a b ab
+=D．235
a b ab
⋅=
【答案】B
a
=，判断A选项不正确；C选项中2a、2b不是同类项，不能合并；D选项中，单项式与单项式法则：把单项式的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式；B
【详解】A. 7=，故A 不正确； B. 2366932
÷=⨯=，故B 正确； C. 222a b ab +≠，故C 不正确；
D. 236a b ab ⋅=，故D 不正确；故选B ．
【点睛】本题考查二次根式的性质、有理数的除法及整式的运算，灵活运用相应运算法则是解题的关键． 19．（2022·重庆）对多项式x y z m n ----任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：()()x y z m n x y z m n ----=--++，()x y z m n x y z m n ----=--+-，…，给出下列说法： ①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．
以上说法中正确的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 【答案】D
【分析】给x y -添加括号，即可判断①说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使得x 的符号为负号，即可判断②说法是否正确；列举出所有情况即可判断③说法是否正确．
【详解】解：∵()x y z m n x y z m n ----=----∴①说法正确
∵0x y z m n x y z m n -----++++=
又∵无论如何添加括号，无法使得x 的符号为负号∴②说法正确
∵当括号中有两个字母，共有4种情况，分别是()x y z m n ----、()x y z m n ----、()x y z m n ----、()x y z m n ----；当括号中有三个字母，共有3种情况，分别是()x y z m n ----、()x y z m n ----、()x y z m n ----；
当括号中有四个字母，共有1种情况，()x y z m n ----
∴共有8种情况∴③说法正确∴正确的个数为3故选D ．
【点睛】本题考查了新定义运算，认真阅读，理解题意是解答此题的关键．
二．填空题
20．（2022·江苏苏州）已知4x y +=，6-=x y ，则22x y -=______．
【分析】根据平方差公式计算即可．
【详解】解：∵4x y +=，6-=x y ，
∴22()()4624x y x y x y -=+-=⨯=，故答案为：24．
【点睛】本题考查因式分解的应用，先根据平方差公式进行因式分解再整体代入求值是解题的关键． 21．（2022·四川乐山）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD 的周长为26，则正方形d 的边长为______．
【答案】5
【分析】设正方形a 、b 、c 、d 的边长分别为a 、b 、c 、d ，分别求得b =13c ，c =35
d ，由“优美矩形”ABCD 的周长得4d +2c =26，列式计算即可求解．
【详解】解：设正方形a 、b 、c 、d 的边长分别为a 、b 、c 、d ，
∵“优美矩形”ABCD 的周长为26，∴4d +2c =26，
∵a =2b ，c =a +b ，d =a +c ，∴c =3b ，则b =13
c ， ∴
d =2b +c =53c ，则c =35d ，∴4d +65
d =26， ∴d =5，∴正方形d 的边长为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了整式加减的应用，认真观察图形，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题的关键．
22．（2022·四川乐山）已知221062m n m n ++=-，则m n -=______．
【答案】4
【分析】根据已知式子，凑完全平方公式，根据非负数之和为0，分别求得,m n 的值，进而代入代数式即可求解． 【详解】解：221062m n m n ++=-，
2210620m n m n +-+∴+=，
即()()22
310m n -++=，
3,1m n ∴==-，
()314m n ∴-=--=，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．
23．（2022·湖南邵阳）已知2310x x -+=，则2395x x -+=_________．
【答案】2
【分析】将2395x x -+变形为23(31)+2x x -+即可计算出答案．
【详解】22239539323(31)+2x x x x x x -+=-++=-+
∵2310x x -+=
∴23950+2=2x x -+=
故答案为：2．
【点睛】本题考查代数式的性质，解题的关键是熟练掌握代数式的相关知识．
24．（2022·天津）计算7m m ⋅的结果等于___________．
【答案】8m
【分析】根据同底数幂的乘法即可求得答案．
【详解】解：7178m m m m +⋅==，故答案为：8m ．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握计算方法是解题的关键．
25．（2022·江苏扬州）掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量E 与震级n 的关系为 1.510n E k =⨯（其中k 为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的________倍．
【答案】1000
【分析】分别求出震级为８级和震级为6级所释放的能量，然后根据同底数幂的除法即可得到答案．
【详解】解：根据能量E 与震级n 的关系为 1.510n E k =⨯（其中k 为大于0的常数）可得到， 当震级为8级的地震所释放的能量为： 1.58121010k k ⨯⨯=⨯，
当震级为6级的地震所释放的能量为： 1.5691010k k ⨯⨯=⨯，
12
391010100010
k k ⨯==⨯， ∴震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的1000倍．故答案为：1000．
【点睛】本题考查了利用同底数幂的除法底数不变指数相减的知识，充分理解题意并转化为所学数学知识
是解题的关键．
26．（2022·山东泰安）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．
”个数差为2022时，n 的值为____________． 【答案】不存在
【分析】首先根据n =1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n ；然后根据n =1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是
()
12
n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可． 【详解】解：∵n =1时，“•”的个数是3=3×1； n =2时，“•”的个数是6=3×2； n =3时，“•”的个数是9=3×3； n =4时，“•”的个数是12=3×4； ……
∴第n 个图形中“•”的个数是3n ； 又∵n =1时，“○”的个数是1=1(11)
2
⨯+； n =2时，“○”的个数是2(21)
32
⨯+=， n =3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n =4时，“○”的个数是4(41)
102
⨯+=， ……
∴第n 个“○”的个数是
()
12
n n +， 由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022 ()1320222n n n +∴-
=①，()
1320222
n n n +-=② 解①得：无解
解②得：12n n =
=
故答案为：不存在
【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．
27．（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分
别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．
【答案】
127
【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数． 【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个）， 第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．
∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．
【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律． 28．（2022·山东滨州）若10m n +=，5mn =，则22m n +的值为_______． 【答案】90
【分析】将22m n +变形得到()2
2m n mn +-，再把10m n +=，5mn =代入进行计算求解． 【详解】解：∵10m n +=，5mn =，
∴22m n + ()2
2m n mn =+- 21025=-⨯ 10010=- 90=．故答案为：90．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式是解答关键． 29．（2022·山东泰安）地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积约是太阳体积的倍数是_____（用科学记数法表示，保留2位有效数字） 【答案】7.1×10-7
【分析】直接利用整式的除法运算法则结合科学记数法求出答案．
【详解】∵地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米， ∴地球的体积约是太阳体积的倍数是：1012÷(1.4×1018)≈7.1×10-7．故答案是：7.1×10-7．
【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示数的除法与有效数字，正确掌握运算法则是解题关键． 30．（2022·四川德阳）已知（x+y ）2=25，（x ﹣y ）2=9，则xy=___． 【答案】4
【分析】根据完全平方公式的运算即可. 【详解】∵()225x y +=，()2
9x y -= ∵()2
x y ++()2
x y -=4xy =16，∴xy =4.
【点睛】此题主要考查完全平方公式的灵活运用，解题的关键是熟知完全平方公式的应用. 31．（2022·浙江嘉兴）分解因式：m 2－1＝_____． 【答案】()()11m m +-
【分析】利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：m 2－1＝11,m m 故答案为：()()11m m +-
【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握“平方差公式的特点”是解本题的关键． 32．（2022·湖南怀化）因式分解：24-=x x _____．【答案】2(1)(1)+-x x x 【分析】根据提公因式法和平方差公式进行分解即可．
【详解】解：()
24222
1(1)(1)-=-=+-x x x x x x x ，
故答案为：2(1)(1)+-x x x
【点睛】本题考查了提公因式法和平方差公式，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键． 33．（2022·浙江绍兴）分解因式：2x x + ＝ ______． 【答案】(1)x x +
【分析】利用提公因式法即可分解． 【详解】2(1)x x x x +=+， 故答案为：(1)x x +．
【点睛】本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解．
34．（2022·浙江宁波）分解因式：x 2-2x +1=__________．
【答案】（x -1）2
【详解】由完全平方公式可得：2221(1)x x x -+=- 故答案为2(1)x -．
【点睛】错因分析 容易题.失分原因是：①因式分解的方法掌握不熟练；②因式分解不彻底.
35．（2022·江苏连云港）若关于x 的一元二次方程()2100mx nx m +-=≠的一个解是1x =，则m n +的值是___．
【答案】1
【分析】根据一元二次方程解的定义把1x =代入到()2
100mx nx m +-=≠进行求解即可． 【详解】∵关于x 的一元二次方程()2
100mx nx m +-=≠的一个解是1x =，
∴10m n +-=，∴1m n +=，故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． 36．（2022·浙江丽水）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN ，已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.,AE a DE b ==，且
a b >．
（1）若a ，b 是整数，则PQ 的长是___________；
（2）若代数式2
2
2a ab b --的值为零，则ABCD PQMN
S S 四边形矩形的值是___________．
【答案】 -a b
3+【分析】（1）根据图象表示出PQ 即可；
（2）根据2220a ab b --=
分解因式可得()()0a b a b --=
，继而求得a b =，根据这四个矩形的面积都是5，可得55
,EP EN a b
=
=，再进行变形化简即可求解． 【详解】（1）①和②能够重合，③和④能够重合，,AE a DE b ==， PQ a b ∴=-，故答案为：-a b ；
（2）2220a ab b --=，
2222222()2()()0a ab b b a b b a b a b ∴-+-=--=---=，
0a b ∴-=
或0a b -=
，即a b =
（负舍）或a b =+
这四个矩形的面积都是5，55,EP EN a b
∴=
=， ()()()()()()()()2
2555555ABCD PQMN
a b a b a b a b S b a ab a b S a b a b a b b a ab ⎛⎫++⋅++⋅
⎪+⎝⎭∴
===-⎛⎫
----⋅
⎪⎝⎭
四边形矩形，
2222222
222222222a b ab a b a b a a b ab a b a b b ++++-===+-+-+，
3=+ 【点睛】本题考查了代数式及其分式的化简求值，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的根据． 37．（2022·四川德阳）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是123+=，第三个三角形数是1236++=，……图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是134+=，第三个正方形数是1359++=，……由此类推，图④中第五个正六边形数是______．
【答案】45
【分析】根据题意找到图形规律，即可求解． 【详解】根据图形，规律如下表：
(3)1m ⎪
-⎬⎪⎭
1+2+3
12(3)12m +⎫⎪
-⎬⎪+⎭ 1+2+3+4
23(23m ++⎫⎪
-⎬⎪++⎭ n +
1n +
1(1)n +-n +
(1)n +-n +
(1)n +- 2n +
+
2(1)n ++
+- 12(1)n ++
+-12(1)n ++
+-
12(1)3)
12(1)n n ++
+-⎪
⎬⎪++
+-⎭
由上表可知第n 个M 边形数为：12)[12(1)]()(3S n n m +++++++-=-，
整理得：1)(1)(3)
2(2
n n n n m S --+=
+， 则有第5个正六边形中，n=5，m=6，代入可得：((1)(1)(3)15)55(51)(63)
452222
n n n S n m +--+--+=+==，故答案为：45．
【点睛】本题考查了整式--图形类规律探索，理解题意是解答本题的关键． 38．（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列， 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
……
则第27行的第21个数是______． 【答案】744
【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••••••••第n 行有n 个数，则前n 行共有(1)
2
n n +个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．
【详解】解：由图可知， 第一行有1个数， 第二行有2个数， 第三行有3个数， •••••••
第n 行有n 个数． ∴前n 行共有1+2+3+⋯+n =(1)
2
n n +个数． ∴前26行共有351个数，
∴第27行第21个数是所有数中的第372个数．∵这些数都是正偶数， ∴第372个数为372×2=744．故答案为：744．
【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解． 三．解答题
39．（2022·江苏苏州）已知23230x x --=，求()2213x x x ⎛
⎫-++ ⎪⎝
⎭的值．
【答案】2
4213
x x -+，3
【分析】先将代数式化简，根据23230x x --=可得2
213
x x -=，整体代入即可求解．
【详解】原式222213x x x x =-+++2
4213x x =-+．
∵23230x x --=，
∴2
213
x x -=．
∴原式22213x x ⎛⎫
=-+ ⎪⎝
⎭211=⨯+3=．
【点睛】本题考查了整式的乘法运算，代数式化简求值，整体代入是解题的关键．
40．（2022·江苏宿迁）某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖．
(1)若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 元；乙超市的购物金额为 元；(2)假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？
【答案】(1)300，240(2)当040x <≤时，选择乙超市更优惠，当50x =时，两家超市的优惠一样，当4050x <<时，选择乙超市更优惠，当50x >时，选择甲超市更优惠． 【分析】（1）根据甲、乙两家超市的优惠方案分别进行计算即可；
（2）设单位购买x 件这种文化用品，所花费用为y 元， 可得当040x <≤时，10,y x 甲 100.88,y x x 乙 显然此时选择乙超市更优惠，当40x >时4000.610406100,y x x 甲 100.88,y x x 乙再分三种情
况讨论即可．
(1)解： 甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖； ∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为3010=300⨯（元），
∵乙超市全部按标价的8折售卖，∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为
30100.8240（元）， 故答案为：300,240
(2)设单位购买x 件这种文化用品，所花费用为y 元，又当10x =400时，可得40,x = 当040x <≤时，10,y x 甲 100.88,y x x 乙 显然此时选择乙超市更优惠， 当40x >时，4000.61040
6100,y x x 甲 100.88,y x x 乙
当y y =甲乙时，则86100,x x 解得：50,x = ∴当50x =时，两家超市的优惠一样， 当y y >乙甲时，则61008,x x 解得：50,x ∴当4050x <<时，选择乙超市更优惠， 当y y <乙甲时，则61008,x x 解得：50,x ∴当50x >时，选择甲超市更优惠．
【点睛】本题考查的是列代数式，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
41．（2022·湖南衡阳）先化简，再求值：()()()2a b a b b a b +-++，其中1a =，2b =-．
【答案】2a 2ab +，3-
【分析】利用平方差公式与多项式乘法法则进行化简，再代值计算． 【详解】解：原式222222a b ab b a ab =-++=+， 将1a =，2b =-代入式中得：
原式()2
1212143=+⨯⨯-=-=-．
【点睛】本题考查多项式乘法与平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
42．（2022·浙江金华）如图1，将长为23a +，宽为2a 的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
(1)用关于a 的代数式表示图2中小正方形的边长．(2)当3
a =时，该小正方形的面积是多少？【答案】(1)3a +(2)36
【分析】（1）分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边，再用较长的直角边减去较短的直角边即可得到小正方形面积；
（2）根据（1）所得的小正方形边长，可以写出小正方形的面积代数式，再将a 的值代入即可． (1)解：∵直角三角形较短的直角边1
22
a a =
⨯=，较长的直角边23a =+， ∴小正方形的边长233a a a =+-=+；
(2)解：22
(3)69S a a a =+=++小正方形，
当3a =时，2
(33)36S =+=小正方形．
【点睛】本题考查割补思想，属性结合思想，以及整式的运算，能够熟练掌握割补思想是解决本题的关键． 43．（2022·安徽）观察以下等式：
第1个等式：()()()222
21122122⨯+=⨯+-⨯， 第2个等式：()()()222
22134134⨯+=⨯+-⨯， 第3个等式：()()()2
2
2
23146146⨯+=⨯+-⨯， 第4个等式：()()()2
2
2
24158158⨯+=⨯+-⨯，……
按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明． 【答案】(1)()()()222
2516101610⨯+=⨯+-⨯
(2)()[][]2
2
2
21(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明见解析
【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；
（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n 个等式为()[][]2
2
2
21(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．
(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：()()()222
2516101610⨯+=⨯+-⨯，故答案为：()()()222
2516101610⨯+=⨯+-⨯；
(2)解：第n 个等式为()[][]2
2
2
21(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明如下：等式左边：()2
221441n n n +=++， 等式右边：[][]2
2
(1)21(1)2n n n n +⋅+-+⋅
[][](1)21(1)2(1)21(1)2n n n n n n n n =+⋅+++⋅⋅+⋅+-+⋅[](1)411n n =+⋅+⨯2441n n =++，
故等式()[][]2
2
2
21(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅成立．
【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
44．（2022·浙江丽水）先化简，再求值：(1)(1)(2)x x x x +-++，其中1
2
x =
． 【答案】1
2x +　；2 【分析】先利用平方差公式，单项式与多项式乘法化简，然后代入1
2
x =即可求解． 【详解】(1)(1)(2)x x x x +-++ 2212x x x =-++12x =+当1
2
x =
时， 原式12x =+1
1222
=+⨯
=． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，正确地把代数式化简是解题的关键．
45．（2022·重庆）若一个四位数M 的个位数字与十位数字的平方和恰好是M 去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M 为“勾股和数”．
例如：2543M =，∵223425+=，∴2543是“勾股和数”；。