河北省2024届高三下学期大数据应用调研联合测评(V)数学试题(含答案与解析)_9042

绝密★启用前
河北省2024届高三年级大数据应用调研联合测评（Ⅴ）
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上，
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数z 满足2024(12i)i z -⋅=（i 为虚数单位），则z =（ ）
A
12i 5+ B. 12i 5- C. 12i 5+- D. 2i 15- 2. 已知,a b 平面向量，其中||1,||2,1a b a b ==⋅= ，则|2|b a -= （ ） A. 1 B. 2
C. D. 4
3. 德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：若集合A 和B 是全集U 的子集，且无公共元素，则称集合,A B 互为正交集合，规定空集是任何集合的正交集合．若全集
{}{}221log (1)3,,7100,U x x x A x x x x =<+≤∈=-+<∈N N ∣∣，则集合A 关于集合U 的正交集合B 的个数为（ ）
A. 8
B. 16
C. 32
D. 64
4. 某小学为提高课后延时服务水平和家长满意度，对该校学生家长就服务质量、课程内容、学生感受、家长认可度等问题进行随机电话回访．某天共回访5位家长，通话时长和评分情况如下表： 时长x （分钟） 10 12 14
15 19 评分y 60 m 75 1.25m + 90
根据散点图分析得知y 与x 具有线性相关关系且求得其回归方程为ˆ 3.229.8y
x =+，则m =（ ） .为
A. 61
B. 63
C. 65
D. 67
5. 已知函数())(0)f x x ωϕω=+>满足对于任意x ∈R 都有π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
.若函数()f x 在区间ππ,82⎛⎫ ⎪⎝⎭
上有且仅有一个零点，则ω的最大值为（ ） A. 3 B. 214 C. 154 D. 5
6. 已知a ，b 均为正实数，且满足
132a b +=，则232123a b +--的最小值为（ ）
A. 2
B.
C.
D. 7. 陀螺是中国传统民俗体育游戏，流传甚广，打陀螺已被列入第五批国家级非物质文化遗产代表性项目名录．陀螺结构分为上下两部分：上部分为木质件，下部分为球形钢珠．其中木质件的形状为上部是底面半径为2.2cm ，高为1.63cm 的圆柱，下部为上底半径为2.2cm ，下底半径为0.21cm ，高为0.78cm 的圆台．若陀螺的木质件由一个球形原料经车床一次性车制而成，那么原料的半径最小为（ ）
A. 2.21cm
B. 2.22cm
C. 2.23cm
D. 8. 已知圆221:4C x y +=上有一动点P ，圆222:(2)(3)1C x y -+-=上有一动点Q ，直线
:30l x y -+=上有一动点M ，直线PM 与圆1C 相切，直线QM 与圆2C 相切，则||||PM QM +的最小值为（ ）
A. 4
B. 5
C.
D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知π53,0,,cos(),sin()2135
αβαβαβ⎛
⎫∈+=-= ⎪⎝⎭，则（ ） A. 12sin()13αβ+= B. 4cos()5
αβ-=-
C. 63sin 265α=
D. tan 33tan 7
αβ= 10. 双曲抛物线又称马鞍面，其形似马具中的马鞍表面而得名．其在力学、建筑学、美学中有着广泛的应用．在空间直角坐标系中，将一条xOz 平面内开口向上的抛物线沿着另一条yOz 平面内开口向下的抛物线滑动（两条抛物线的顶点重合）所形成的就是马鞍面，其坐标原点被称为马鞍面的鞍点，其标准方程为22
222(0,0)x y z a b a b
-=>>，则下列说法正确的是（）
A. 用平行于xOy 平面的面截马鞍面，所得轨迹为双曲线
B. 用法向量为()1,0,0的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
C. 用垂直于y 轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线
D. 用过原点且法向量为()1,1,0的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
11. 已知函数()f x 是定义在R 上的连续可导函数，且满足①32(2)()26128f x f x x x x --=-+-，②()f x 为奇函数，令3()()g x f x x =+，则下列说法正确的是（ ）
A. ()g x 的图象关于1x =对称
B. (1)3f '=-
C. 3(2024)2024f =
D. 2(2023)32023f '=-⨯ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．第14题第一空2分，第二空3分． 12. 已知()()
42260126223x x x a a x a x a x ++=++++ ，则4a =__________． 13. 已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，点P 为第一象限内椭圆上一点，12F PF △
的内心为(I ，且130F PI ∠=︒，则椭圆的离心率为__________．
14. 已知数列{}n a 满足12a =，且2142n n n a a a +=++，则n a =__________；令11131
n n n b a a +=+++
，若
{}n b 前n 项和为n S ，则n S =__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数21()ln (0)2
m f x x m x =+->． （1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
（2）若1()2
f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围． 16. 已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点F 到一条渐近线的距离为1，且双曲线左支上任意一点M 到F
的距离的最小值为2+．
（1）求双曲线C 的方程；
（2）已知直线:1l y kx =+交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，若10OA OB ⋅= ，求直线l 斜率k 的
值．
17. 已知在多面体PQABCD 中，平面PADQ ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，四边形PADQ 为矩形，其中M 和N 分别为AD 和AP
的中点，5,==2AB BC AD DC ==．
（1）证明：平面BMN ⊥平面QDC ；
（2）若二面角N BM C --
余弦值为BQ 与平面BMN 所成角的正弦值． 18. 现有红、绿、蓝三种颜色的箱子，其中红箱中有4个红球，2个绿球，2个蓝球；绿箱中有2个红球，4个绿球，2个蓝球；蓝箱中有2个红球，2个绿球，4个蓝球，所有球的大小、形状、质量完全相同．第一次从红箱中随机抽取一球，记录颜色后将球放回去；第二次要从与第一次记录颜色相同的箱子中随机抽取一球，记录颜色后将球放回去；以此类推，第1k +次是从与第k 次记录颜色相同的箱子中随机抽取一球，记录颜色后放回去，记第n 次取出的球是红球的概率为n P ．
的
的的
（1）求第3次取出的球是蓝球的概率；
（2）求n P 的解析式．
19. 设a ，b 为非负整数，m 为正整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为(mod )a b m ≡．
（1）求证：()332165mod 7+≡；
（2）若p 是素数，n 为不能被p 整除的正整数，则11(mod )p n
p -≡，这个定理称之为费马小定理．应用
费马小定理解决下列问题： ①证明：对于任意整数x 都有13
0(mod 546)x x -≡；
②求方程9730(mod 35)x x x x +--≡的正整数解的个数． 参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数z 满足2024(12i)i z -⋅=（i 为虚数单位），则z =（ ） A. 12i 5+ B. 12i 5- C. 12i 5+- D. 2i 15
- 【答案】B
【解析】
【分析】根据复数除法的运算法则、虚数单位乘方的运算性质，结合共轭复数的定义进行求解即可. 【详解】()()2024506412i (12i)i
12i 12i i 112i 112i 12i 2i 55
z z z ⨯+-⋅=--+-⇒====⇒=-+， 故选：B 2. 已知,a b 为平面向量，其中||1,||2,1a b a b ==⋅= ，则|2|b a -= （ ）
A. 1
B. 2
C.
D. 4
【答案】B 【解析】
【分析】结合题意利用2b a -=
.
【详解】结合题意可得：因为||1,||2,1a b a b ==⋅=
，
22b a -=
=== .
故选：B. 3. 德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：若集合A 和B 是全集U 的子集，且无公共元素，则称集合,A B 互为正交集合，规定空集是任何集合的正交集合．若全集
{}{}221log (1)3,,7100,U x x x A x x x x =<+≤∈=-+<∈N N ∣∣，则集合A 关于集合U 的正交集合B 的个数为（ ）
A. 8
B. 16
C. 32
D. 64
【答案】B
【解析】
【分析】利用一元二次不等式及对数不等式的解法求出集合,A U ,再计算正交集合的个数即可.
【详解】结合题意：因21log (1)3x <+≤，所以222log log (og 21)8l x <+≤，
解得218x <+≤，即17x <≤， 所以全集{}{}21log (1)3,2,3,4,5,6,7U x
x x =<+≤∈=N ∣， 由27100x x -+<可得25x <<，所以{}
{}27100,3,4A x x x x =-+<∈=N ∣， 则集合A 关于集合U 的正交集合B 的个数为4216=.
故选：B.
4. 某小学为提高课后延时服务水平和家长满意度，对该校学生家长就服务质量、课程内容、学生感受、家长认可度等问题进行随机电话回访．某天共回访5位家长，通话时长和评分情况如下表： 时长x （分钟） 10 12 14
15 19 评分y 60 m 75 1.25m + 90
根据散点图分析得知y 与x 具有线性相关关系且求得其回归方程为ˆ 3.229.8y
x =+，则m =（ ） A. 61
B. 63
C. 65
D. 67
【答案】C
【解析】
【分析】先由题意求得,x y ，再利用样本中心()x y 在回归直线上列式即可得解. 为
【详解】依题意，得()11012141519145
x =⨯++++=， ()16075 1.2590460.445
y m m m =⨯+++++=+， 将样本中心(),x y 代入回归方程ˆ 3.229.8y
x =+， 得460.44 3.21429.8m +=⨯+，解得65m =.
故选：C.
5. 已知函数())(0)f x x ωϕω=+>满足对于任意x ∈R 都有π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
.若函数()f x 在区间ππ,82⎛⎫ ⎪⎝⎭
上有且仅有一个零点，则ω的最大值为（ ） A. 3 B. 214 C. 154 D. 5 【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得到()f x 的图象关于直线π3x =
对称，从而三角函数的性质得到关于ω的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
，则()f x 在π3x =取得最值， 所以()f x 的图象关于直线π3x =对称，且πππ,382⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又函数()f x 在区间ππ,82⎛⎫
⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，设()f x 的最小正周期为T ， 所以ππππ23438T -≤<-，即ππ5π6224ω≤<，所以1235
ω<≤. 所以ω的最大值为3.
故选：A.
6. 已知a ，b 均为正实数，且满足
132a b +=，则232123a b +--的最小值为（ ）
A. 2
B.
C.
D. 【答案】B
【解析】
【分析】先将
132a b
+=化为32a b ab +=，把待求不等式先通分，再利用均值不等式可得. 【详解】因为a ，b 均为正实数，且132a b +=，得32a b ab +=， 所以()()236496496492123212346233
a b a b a b a b a b ab a b +-+-+-+===------+， 又(
)1131418646418922b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 当且仅当418,132,b a a b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
即a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
232123a b +≥--. 故选：B.
7. 陀螺是中国传统民俗体育游戏，流传甚广，打陀螺已被列入第五批国家级非物质文化遗产代表性项目名录．陀螺结构分为上下两部分：上部分为木质件，下部分为球形钢珠．其中木质件的形状为上部是底面半径为2.2cm ，高为1.63cm 的圆柱，下部为上底半径为2.2cm ，下底半径为0.21cm ，高为0.78cm 的圆台．若陀螺的木质件由一个球形原料经车床一次性车制而成，那么原料的半径最小为（ ）
A. 2.21cm
B. 2.22cm
C. 2.23cm
D.
【答案】A
【解析】 【分析】根据给定信息，可得陀螺的木质件几何体内接于原料球，再作出轴截面，结合勾股定理计算即得.
【详解】依题意，当陀螺的木质件几何体内接于原料球，即圆柱的上底面圆与圆台下底面圆均为球的截面小圆时，所用原料的半径最小，
如图，取几何体的轴截面，其中O 为球心，21,O O 分别为圆柱的上底面圆与圆台下底面圆的圆心， 矩形ABEF 是圆柱的轴截面，等腰梯形BCDE 是圆台的轴截面，点12,,O O O 共线，
则12 1.630.78 2.41O O =+=，120.21,2,2O D O F ==，设球半径为2,R OO
x =，
而2222222211O F O O OF O D O O OD
⎧+=⎨+=⎩，于是222
2222.20.21(2.41)x R x R ⎧+=⎨+-=⎩，解得0.21, 2.21x R ==， 所以原料的半径最小为2.21cm .
故选：A
8. 已知圆221:4C x y +=上有一动点P ，圆22
2:(2)(3)1C x y -+-=上有一动点Q ，直线:30l x y -+=上有一动点M ，直线PM 与圆1C 相切，直线QM 与圆2C 相切，则||||PM QM +的最小值为（ ）
A 4 B. 5
C.
D. 【答案】D
【解析】
【分析】设出()00,3M x x +，利用直线PM 与圆1C 相切，直线QM 与圆2C 相切，表示出
||||PM QM +，并进行转化为,A B 到N
倍.利用三点共线即可求出最小值.
【详解】由圆221:4C x y +=可得圆心()10,0C ，半径为12r =，
由圆222:(2)(3)1C x y -+-=可得圆心()22,3C ，半径为21r =，
设直线:30l x y -+=上有一动点()00,3M x x +，
因为直线PM 与圆1C 相切，直线QM 与圆2C 相切，
所以PM QM +=
， 即
PM QM +=+
=+=
， .
即PM QM +=+，
设()031,,1,,,022A B N x ⎛⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝，
则)PM QM AN BN +=+≥,
当且仅当,,A B N 三点共线时取等号.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是利用直线与圆相切表示出||||PM QM +，并进行转化为为,A B 到N 点的距离问题.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知π53,0,,cos(),sin()2135
αβαβαβ⎛
⎫∈+=-= ⎪⎝⎭，则（ ） A. 12sin()13αβ+= B. 4cos()5
αβ-=- C. 63sin 265α= D. tan 33tan 7
αβ= 【答案】ACD
【解析】
【分析】由同角三角函数的平方关系计算sin()αβ+和cos()αβ-验证AB 选项；[]sin 2sin ()()ααβαβ=++-，由两角和的正弦公式计算验证C 选项；由sin()αβ+和sin()αβ-算出sin cos αβ和cos sin αβ，计算tan tan αβ
验证D 选项. 【详解】π53,0,,cos(),sin()2135
αβαβαβ⎛
⎫∈+=-= ⎪⎝⎭， 则ππ0,,0,22αβαβ⎛
⎫⎛⎫+∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
12
sin()
13
αβ
+==，A选项正确；
4
cos()
5
αβ
-==，B选项错误；
[]1245363
sin2sin()()sin()cos()cos()sin()
13513565ααβαβαβαβαβαβ
=++-=+-++-=⨯+⨯=，
C选项正确；
由
3
sin()sin cos cos sin
5
12
sin()sin cos cos sin
13
αβαβαβ
αβαβαβ
⎧
-=-=
⎪⎪
⎨
⎪+=+=
⎪⎩
，有
123
2sin cos
135
123
2cos sin
135
αβ
αβ
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，
3
tan sin cos33
5
3
tan cos si7
12
13
1
n
5
2
13
ααβ
βαβ
+
===
-
，D选项正确.
故选：ACD
10. 双曲抛物线又称马鞍面，其形似马具中的马鞍表面而得名．其在力学、建筑学、美学中有着广泛的应用．在空间直角坐标系中，将一条xOz平面内开口向上的抛物线沿着另一条yOz平面内开口向下的抛物线滑动（两条抛物线的顶点重合）所形成的就是马鞍面，其坐标原点被称为马鞍面的鞍点，其标准方程为22
22
2(0,0)
x y
z a b
a b
-=>>，则下列说法正确的是（）
A. 用平行于xOy平面的面截马鞍面，所得轨迹为双曲线
B. 用法向量为()
1,0,0的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
C. 用垂直于y轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线
D. 用过原点且法向量为()
1,1,0的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
【答案】AB
【解析】
【分析】利用空间向量的相关知识，结合马鞍面的标准方程，逐一变换方程判断各选项即可得解.
【详解】因为马鞍面的标准方程为22
222(0,0)x y z a b a b
-=>>，
对于A ，平行于xOy 平面的面中z 为常数，不妨设为()000z z ≠，
得22
0222x y z a b
-=，故所得轨迹是双曲线.，故A 正确； 对于B ，法向量为(1,0,0)的平面中x 为常数，不妨设为0x ，
则22
2
2
22b x y b z a
=-+，为抛物线方程，故B 正确；
对于C ，垂直于y 轴的平面中y 为常数，不妨设为0y ，
则222
2
22a y x a z b
=+，为抛物线方程，故C 错误；
对于D ，不妨设平面上的点坐标为(,,)A x y z ，
因为平面过原点且法向量为(1,1,0)n =，由0OA n ⋅=
，得0x y +=，
故y x =-，代入马鞍面标准方程，得2
2
2112x z a b ⎛⎫-=
⎪⎝⎭
， 当a b =时，方程为0z =，不是物物线，故D 错误. 故选：AB.
11. 已知函数()f x 是定义在R 上的连续可导函数，且满足①32(2)()26128f x f x x x x --=-+-，②
()f x 为奇函数，令3()
()g x f x x =+，则下列说法正确的是（ ）
A. ()g x 的图象关于1x =对称
B. (1)3f '=-
C. 3(2024)2024f =
D. 2(2023)32023f '=-⨯
【答案】ABD 【解析】
【分析】对于选项A:由3
()()g x f x x =+，得3(2)(2)(2)g x f x x -=-+-两式相减整理得
()(2)0g x g x --=即可判断；对于选项B:易得(1)0g '=，通过2()()3g x f x x ''=+，令1x =计算即可;
对于选项C:结合奇偶性与对称性求出周期，利用3
()()g x f x x =+计算即可；对于选项D:利用()g x 的周期
性与奇偶性可得()g x '的周期性与奇偶性，利用2()()3g x f x x ''=+计算即可. 【详解】对于选项A:由3
()()g x f x x =+，则3(2)(2)(2)g x f x x -=-+-, 所以()()3
3
(2)(2)(2)g x g x f x f x x x --=-+---,
因为32
(2)()26128f x f x x x x --=-+-，
所以()()3
2
612(2)(802)2g x g x f x f x x x x --=---++=-，
所以()g x 的图象关于1x =对称，故选项A 正确；
对于选项B: 因为()g x 的图象关于1x =对称，所以(1)0g '=，
因为2()()3g x f x x ''=+，故(1)(1)30g f ''=+=，所以(1)3f '=-,故选项B 正确；
对于选项C:因为()f x 为奇函数，所以3
()()g x f x x =+为奇函数，
即()g x 关于()0,0对称，结合()g x 的图象关于1x =对称， 可得()g x 的周期为2144104T x x =-=-=，
因为3
()()g x f x x =+，所以()()3
(2024)0020242024g g f ===+，
所以3(2024)2024f =-，故选项C 错误；
对于选项D:因为3
()()g x f x x =+是周期为4的奇函数， 故2()()3g x f x x ''=+是周期为4的偶函数，
所以()2
(2023)(1)(1)020*******g g g f ''''=-===+⨯，
故2
(2023)32023f '=-⨯，故选项D 正确. 故选项：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是得出3
()()g x f x x =+是周期为4的奇函数，借助导数，充分利用奇偶性、对称性与周期性是解决本题的关键.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．第14题第一空2分，第二空3分．
12. 已知()()
4
2
260126223x x
x a a x a x a x ++=++++ ，则4a =__________．
【答案】144 【解析】
【分析】对所给二项式合理变形，求展开项系数即可. 【详解】在()()
4
2
260126223x x x a a x a x a x ++=++++ 中，
而()
(
)
()()4
4
4
222232232x x x x x x x ++=+++，
由二项式定理知()4
2x +展开式的通项为414C 2r
r
r r T x
-+=，
令42-=r ，解得2r =，令43r -=，1r =， 故2
2
1
3
4442C 3C 21442a ⨯⨯=⨯+⨯=. 故答案为：144.
13. 已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，点P 为第一象限内椭圆上一点，
12F PF △
的内心为(I ，且130F PI ∠=︒，则椭圆的离心率为__________．
【解析】
【分析】结合内切圆得性质，并设1122
,,FQ F M m F N F Q n ====
结合余弦定理求出2n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，再借助离心率公式计算即可.
【详解】如图由12F PF △
的内心为(I
设该内切圆与12F PF △的三边的切点为,,M N Q ,
所以IM IN IQ ===,
又130F PI ∠=︒，所以3PM PN ==,1260F PF ∠=︒,
设1
122,,FQ F M m F N F Q n ==== 在12F PF △中由余弦定理可得：()()()()()
2
2
2
33cos 60233m n m n m n +++-+︒=
++，
化简得：3,m n mn ++=
由
12F PF △的内心为(I 可知()1,0Q ，
在椭圆中易知1
2FO F O =,即11,m n -=+即2m n =+，
联立23m n m n mn =+⎧⎨++=⎩
，解得2n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
所以椭圆的离心率为1212226F F c c m n e a a PF PF m n +=
=====+++.
.
14. 已知数列{}n a 满足12a =，且2
142n n n a a a +=++，则n a =__________；令111
31
n n n b a a +=
+++，若{}n b 的前n 项和为n S ，则n S =__________．
【答案】 ①. 222n
- ②.
1211321
n +-- 【解析】
【分析】先利用构造法证得(){}
4log 2n a +是等比数列，从而求得n a ，再利用倒数法得到
111
11
n n n b a a +=
-++，从而利用裂项求和法即可得解. 【详解】由2142n n n a a a +=++，可得2
1244n n n a a a ++=++，即()2
122n n a a ++=+，
两边取以4为底的对数得()()414log 22log 2n n a a ++=+， 又()()414log 2log 2210a +=+=≠，
则数列(){}
4log 2n a +是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以()1
4log 22
n n a -+=，所以1
2
24222n n
n a -=-=-；
由2
142n n n a a a +=++，得()()2
114313n n n n n a a a a a ++=++=++，
则
()()111
1111
13213n n n n n a a a a a +⎛⎫
=
=- ⎪+++++⎝⎭，得1211113n n n
a a a +=-+
++，
故111111
3111
n n n n n b a a a a ++=
+=-++++， 所以12231111111
111111
n n n S a a a a a a +-+-++-+=
+++++ 1211111111321
n n a a ++=
-=-++-. 故答案为：222n
-；
1211321
n +-- 【点睛】关键点点睛：本题第二空解决的关键是通过观察法与倒数法得到111
11
n n n b a a +=-++，从而得解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数21
()ln (0)2
m f x x m x =+
->． （1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
（2）若1
()2
f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）3
02
x y +-=
（2）e
,2
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义即可得解；
（2）利用导数求得()f x 的最小值，从而得到关于m 的不等式，解之即可得解.
小问1详解】
因为21()ln (0)2m f x x m x =+->，所以233
122()(0)m x m
f x x x x x
-'=-=>， 当1m =时，211()ln 2f x x x =+-，23
2
()x f x x
-'=， 故11
(1)122
f =-
=，(1)1f '=-， 【
所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1
(1)2y x -=--，即302
x y +-=. 【小问2详解】
由（1）得233
122()(0)m x m
f x x x x x
-'=-=>， 因为0m >，所以由()0f x '=
，得x =
，
所以当x ∈时，()0,()'<f x f x 单调递减；
当)x ∈+∞时，()0,()'>f x f x 单调递增；
所以min ()ln f x f ==， 因为1
()2f x ≥
恒成立，所以min 1()ln 2
f x =≥，解得e 2m ≥， 所以实数m 的取值范围为e
,2
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
.
16. 已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点F 到一条渐近线的距离为1，且双曲线左支上任意一点
M 到F
的距离的最小值为2+． （1）求双曲线C 的方程；
（2）已知直线:1l y kx =+交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，若10OA OB ⋅=
，求直线l 的斜率k 的值．
【答案】（1）2
213
x y -=
（2
）k = 【解析】
【分析】（1
）根据已知条件建立方程组，求出21c b a ⎧=⎪
=⎨⎪
=⎩，写出双曲线方程即可.
（2）联立22
1
3
1x y y kx ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩
,借助韦达定理表示出10OA OB ⋅= ，解出斜率k 即可.
【小问1详解】
结合题意可知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点(),0F c ，渐近线为b y x a =±，
所以右焦点F
到一条渐近线的距离为1d =
=，
因为双曲线左支上任意一点M 到F
的距离的最小值为2+，
所以2a c +=+
所以222
21a c c a b ⎧+=+==+⎩
，解得21c b a ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以双曲线C 的方程为2
213x y -=. 【小问2详解】
由（1）问可知双曲线C 的方程为2
213x y -=，
设()()1122,,,,A x y B x y 则()()1122,,,OA x y OB x y ==
， 联立22
131x y y kx ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩
，可得()22
13660k x kx ---=，
所以()
()2
22
130Δ3641360k k k ⎧-≠⎪⎨=--⨯->⎪⎩
，解得k <<
k ≠ 所以1212
22
66
,1313k x x x x k k -+=
=--， 所以()()()2
121212121111y y kx kx k x x k x x =++=+++=，
因为10OA OB ⋅=
，
所以212
126
11013OA OB x x k
y y ⋅=+-+=-=
，
解得k =
，此时满足k <<
k ≠ 故直线l
的斜率k =.
17. 已知在多面体PQABCD 中，平面PADQ ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，四边
形PADQ 为矩形，其中M 和N 分别为AD 和AP 的中点，5,==2AB BC AD DC =
=．
（1）证明：平面BMN ⊥平面QDC ；
（2）若二面角N BM C --的余弦值为BQ 与平面BMN 所成角的正弦值． 【答案】17. 证明过程见解析
18.
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，由余弦定理求出π3BCD AHB ∠=∠=
，2
754
BF =，从而由勾股定理逆定理得到BF ⊥CF ，由面面垂直得到线面垂直，进而得到QD ⊥BF ，从而证明出线面垂直，面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，由余弦定理得到MB =，1,,02N t t ⎫->⎪⎪⎭
，求出平面的法向量，从而根据二面角的余弦值大小得到方程，求出1t =，再利用线面角的向量求解公式得到答案. 【小问1详解】
过点A 作//AH CD 交BC 于点H ， 则2,2AH CD AD CH ====，
因为5BC =，所以523BH =-=， 延长BM 交CD 的延长线于点F ，
AB =，
在ABH 中，由余弦定理得2224971
cos 22232
AH HB AB AHB AH HB +-+-∠===⋅⨯⨯，
故π3AHB ∠=
，则π
3
BCD AHB ∠=∠=， 因为M 为AD 的中点，故1DM =，
在BCF △中，//DM BC ，由相似关系可知1
5FD DM FC BC ==， 又2CD =，故
125FD FD =+，解得12
FD =，故15
222CF =+=， 在BCF △中，由余弦定理得
222π255175
2cos
252534224
BF CB CF CB CF =+-⋅=+-⨯⨯⨯=， 故222BF CF CB +=，所以BF ⊥CF ， 因为四边形PADQ 为矩形，所以QD ⊥AD ，
因为平面PADQ ⊥平面ABCD ，交线为AD ，QD ⊂平面PADQ ， 所以QD ⊥平面ABCD ，
因为BF ⊂平面ABCD ，所以QD ⊥BF ， 因为CF QD D = ，,CF QD ⊂平面CDQ ， 所以BF ⊥平面CDQ ，
又BF ⊂平面BMN ，所以平面BMN ⊥平面CDQ ；
【小问2详解】
过点M 作//MG CD 交BC 于点G ，作//MS DQ 交PQ 于点S ，
则由（1）知MG ⊥MB ，MS ⊥平面ABCD ，
因为,MB MG ⊂平面ABCD ，所以MS ⊥MB ，MS ⊥MG ，
故MG ，,BM MS 两两垂直，
故以M 为坐标原点，,,MB MG MS 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，
由平行关系可知，四边形CGMD 为平行四边形，故π3DMG ∠=，故π6
AMB ∠=， 在ABM 中，由余弦定理得222
cos 2AM MB AB AMB AM MB
+-∠=⋅，
2172MB MB
+-=
，解得MB =，
()
(
)5,0,0,0,,02B M C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，
设1,,02N t t ⎫->⎪⎪⎭，平面NBM 的法向量为(),,m x y z = ， 则(
)(
)
(
),,011,,,022m MB x y z m MN x y z t x y zt ⎧⋅=⋅==⎪⎪⎨⎫⋅=⋅-=-+=⎪⎪⎪⎪⎭⎩ ， 解得0x =，令1z =，则2y t =，故()0,2,1m t = ，
平面BMC 的法向量为()0,0,1n =
， 则
cos ,m n m n m n ⋅===⋅ ， 因为二面角N BM
C --
的余弦值为
=， 解得1t =， 故2AP =，()0,2,1
m = ，1,22Q ⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭，1,22BQ ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，
设直线BQ与平面BMN所成角的大小为θ，
则
sin cos,
BQ θ=
故直线BQ与平面BMN.
18. 现有红、绿、蓝三种颜色的箱子，其中红箱中有4个红球，2个绿球，2个蓝球；绿箱中有2个红球，4个绿球，2个蓝球；蓝箱中有2个红球，2个绿球，4个蓝球，所有球的大小、形状、质量完全相同．第一次从红箱中随机抽取一球，记录颜色后将球放回去；第二次要从与第一次记录颜色相同的箱子中随机抽取一球，记录颜色后将球放回去；以此类推，第1
k+次是从与第k次记录颜色相同的箱子中随机抽取一球，记录颜色后放回去，记第n次取出的球是红球的概率为n P．
（1）求第3次取出的球是蓝球的概率；
（2）求n P的解析式．
【答案】（1）21 64
（2）
121
(*) 334
n n
P n
=+⋅
∈N
【解析】
【分析】（1）先设定第k次分别取出红、绿、蓝球等3个事件的概率，分析得出第1
k+次取出蓝球的概率，
建立起第1k +次取出蓝球的概率与第k 次取出蓝球的概率间的递推关系式，变形构造成等比数列，解之即可；
（2）同理，先设定第k 次分别取出红、绿、蓝球等3个事件概率，分析得出第1k +次取出红球的概率，建立起第1k +次取出红球的概率与第k 次取出红球的概率间的递推关系式，变形构造成等比数列，写出通项公式即可；
【小问1详解】
分别设第k 次取出红球、绿球和篮球的概率为：1()p k 、2()p k 和3()p k ，其中
123()()()1p k p k p k ++=，*k ∈N ， 由题意知：141(1)82p ==，221(1)84p ==，321(1)84
p ==， 若第k 次取出红球，且第1k +次取出蓝球的概率为：1121()()84
p k p k ⋅=⋅， 若第k 次取出绿球，且第1k +次取出蓝球的概率为：2221()()84
p k p k ⋅=⋅， 若第k 次取出蓝球，且第1k +次取出蓝球的概率为：
3341()()82p k p k ⋅=⋅， 所以第1k +次取出蓝球的概率为：3123111(1)()()()442p k p k p k p k +=
⋅+⋅+⋅， 由于123()()()1p k p k p k ++=， 可得：33331111(1)()(1())()2444
p k p k p k p k +=⋅+-=⋅+， 若设数列3()k a p k =，上式即为：11144k k a a +=
+， 配凑为：1111(343
k k a a +-=-，*k ∈N ，其中()1311111,04312a p a ==-=-≠， 数列1{}3n a -(*)n ∈N 是一个以112
-为首项，14为公比的等比数列， 则23111(()3124
a -=-⨯， 的
则2311121(312464a =-⨯=，即321(3)64
p =， 即第3次取出的球是蓝球的概率为：
2164. 【小问2详解】
同上，分别设第k 次取出红球、绿球和篮球的概率为：1()p k 、2()p k 和3()p k ，其中
123()()()1p k p k p k ++=，*k ∈N ， 由题意知：141(1)82p ==，221(1)84p ==，321(1)84
p ==， 若第k 次取出红球，且第1k +次取出红球的概率为：1141()()82
p k p k ⋅=⋅， 若第k 次取出绿球，且第1k +次取出红球的概率为：2221()()84
p k p k ⋅=⋅， 若第k 次取出蓝球，且第1k +次取出红球的概率为：
3321()()84p k p k ⋅=⋅， 所以第1k +次取出红球的概率为：1123111(1)()()()244p k p k p k p k +=
⋅+⋅+⋅， 由于123()()()1p k p k p k ++= 可得：11111111(1)()(1())()2444
p k p k p k p k +=⋅+-=⋅+， 由已知，记第n 次取出的球是红球的概率为n P ， 上式即为11144k k P P +=+，有1111(343
k k P P +-=-，*k ∈N ， 其中()1111111,0236
P p P ==
-=≠， 数列1{}3n P -(*)n ∈N 是一个以16为首项，14为公比的等比数列， 则1111()364
n n P --=⨯， n P 的解析式为：121(*)334
n n P n =+⋅∈N .
19. 设a ，b 为非负整数，m 为正整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为(mod )a b m ≡．
（1）求证：()332165mod 7+≡；
（2）若p 是素数，n 为不能被p 整除的正整数，则11(mod )p n
p -≡，这个定理称之为费马小定理．应用
费马小定理解决下列问题： ①证明：对于任意整数x 都有130(mod 546)x x -≡；
②求方程9730(mod 35)x x x x +--≡正整数解的个数．
【答案】（1）证明见详解；
（2）① 证明见详解；② 35.
【解析】
【分析】（1）由二项式定理证明3321+被7除所得的余数为2，即可证明结论；
(2)①由费马小定理证明130(mod13)x x -≡，130(mod 2)x x -≡，130(mod 3)x x -≡，进而即可证明结论；②将()()973271x x x x x x x +--=+-和()()
9735421x x x x x x x x +--=-++，结合①的结论即可得到9370(mod 7)x x x x +--≡和9370(mod 5)x x x x +--≡，从而得到结果.
【小问1详解】
因为()11
331111
11101011111112871C 7C 7C 71==+=++++ ， 所以332被7除所得的余数为1，
所以3321+被7除所得的余数为2，
又65被7除所得的余数为2，
所以()33
2165mod 7+≡. 【小问2详解】
①由费马小定理得121(mod13)x ≡即130(mod13)x x -≡，
又()()()()
213126661111x x x x x x x x x ⎡⎤-=-=-=+-⎢⎥⎣⎦， 所以130(mod 7)x x -≡，
同理：130(mod 2)x x -≡，130(mod 3)x x -≡，
的
因为2,3,7,13都为素数，23713546⨯⨯⨯=，
所以130(mod 546)x x -≡
②因为()()()()
9732627111x x x x x x x x x x +--=+-=+-，
由费马小定理知，对于任意正整数x 都有70(mod )7x x -≡，
即9370(mod 7)x x x x +--≡， ()()()()()()()973262242542111111x x x x x x x x x x x x x x x x +--=+-=+-++=-++由费马小定理知，对于任意正整数x 都有50(mod 5)x x -≡，
即9370(mod 5)x x x x +--≡，
因为5和7互为质数，所以对于任意的正整数x 都有9370(mod 35)x x x x +--≡
所以方程9730(mod 35)x x x x +--≡的正整数解的个数为35.
【点睛】关键点睛：本题的关键是充分理解新定义，然后结合带余除法以及费马小定理等初等数论知识即可顺利求解.。