运筹学-16最小费用最大流
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费用=20+2 9=38
画出对应的增广网络 图(可调整量,单位费用)
2
(+3, v4)
2
(+2, v1)
前向,后向都有调整量
只有后向弧可以调整
可调整流，费用
把单位费用作为弧长,用标号法求从s到t的最短路
s:标(0 , )
(1,s)
min{(sv1)}={1,}=1
v1标号:(1,s)
(0, )
标不下去,已经找不到增广路
下方案总费用=14+3 3+11+43+2 4=34
求最小费用最大流 (容量,费用) 弧上数据(uj,cj)
uj 为弧的容量
Cj 为从这条弧运 送物资的费用
注意:
这两图 的权的 含义不 同
解: 设图中每条弧上的流量fj都为零,得到下图 (可调整流量,费用)
画出与上图对应的增广网络图,弧上权为(弧上流量的可调整 量,单位费用)
Min{(v1v3)(v1v4)}={1+4,1+3}=4
(4,v3)
(4, v1)
v4标号:(4, v1) Min{ (v4t)(v1v3)}={4+5 , 1+4}=5
v3标号:(5, v1) v2标号:(4, v3)
Min{(v3t)(v4t)(v3v2)}={5+3,4+5,5-1}=4 Min{(v3t)(v4t)(v2v4)}={5+3,4+5,4+6}=8
容量、费用、流量
(+1, v1)
1
3
(+2, v3)
前向,后向都有调整量 只有后向弧可以调整
可调整流，费用
把单位费用作为弧长,用标号法求从s到t的最短路
s:标(0 , ) (1,s)
min{(sv1)}={1,}=1
(0, )
v1标号:(1,s)
(9, v4)
Min{ (v1v4)}={1+3}=4 v4标号:(4, v1)
t标号:(8, v3) 最短路(费用最小的路)s v1v3 t ;费用8
把该最短路作为增广路,调整流量
s:标(0 , ) v1标:(+4,s)
(+4,s)
v3:标(+1, v1) t:标(+1, v3)
1
(0, )
在增广路上作=1的调整
费用=12+1 8=20
画出对应的增广网络 图(可调整量,单位费用)
min{(v1v3)(v1v4)(v2v3)(v2v4)}={1+4,1+3,2+1,2+6}=3
v3标号:(3, v2)
最短（费用）路
nin{(v1v4)(v2v4)(v3 t)}={1+3,2+6,3+3}=4
v4标号:(4, v1)
sv2 v3 t
min{(v4 t) (v3 t)}={4+5, 3+3}=6 t标号:(6, v3)
造船交货问题
• 某造船厂根据合同要在当年算起的连续三年年末各提供三条规格 相同的大型轮船。已知该厂今后三年的生产生产能力及生产成本 如下表
• 已知加班生产情况下每条货轮成本比正常生产时高出70万元。又 知造出的货轮如果当年不交货，每条轮船每积压一年，增加维护 保养等损失为40万元。在签订合同时给厂已有两条积压未交货的 货轮，该厂希望在第三年末在交完合同任务后能储存一条备用。 问该厂应如何安排计划，使在满足上述要求的条件下，使总的费 用支出为最少？
至第j年交货.
年 正常生产时可完 加班生产时可完 正常生产时每条
度 成的货轮数
成的货轮数
货轮成本/万元
1
2
3
500
2
4
2
600
3
1
3
550
城市煤 炭分配
问题(解)
甲1 甲2 乙 丙1 丙2 产量
A 15 15 18 22 22 400
B
21
21
25
16
16 450
销量 290 30 250 270 80
程图
画出对应的增广网络N2, (可调整量,单位费用cj) 前向弧 (Uj, cj, fj) (可调整量Uj - fj,单位费用cj) 后向弧 (Uj, cj, fj) (可调整量fj,单位费用- cj)
在 N2中以cj为弧长, 求N2的最短路PS,
PS存在
PS不存在 为所求得最小费用最大流
以为增广路,取=min{可调整量};调整N2.
城市煤炭分 配问题(解)
最短路 首先满足最 低要求的需 求 最短路 s A Y t 费用18
调整量 =110
费用=8670+18 110=10650
城市煤炭分 配问题(解)
最短路 s B Y t 费用25
调整量 =140 费用=10650+25 140=14150
画出对应的增广网络 图(可调整量,单位费用)
前向不能调整,后向能调整
可调整流，费用
前向可以调整2个单位,后向也可以调整2个单位
把单位费用作为弧长,用标号法求从s到t的最短路
s:标(0 , ) min{(sv1)}={1,}=1 v1标号:(1,s)
可调整流，费用
(1,s)
(5, v1)
(0, )
(8, v3)
最小费用最大流的方案找到
sv2 v3 t 费用=26=12 s v1v3 t 费用=1 8=8 s v1v4 t 费用= 2 9=18 总费用=12+8+18=38
无流费用网络N0(容量Uj,单位费用cj) 有流费用网络N1(容量Uj,单位费用cj,流量fj=0 )
最小费用 最大流流
把单位费用作为弧长,用标号法求从s到t的最短路
s:标(0 , )
(1,s)
(3, v2)
min{(sv1)(sv2)}={1,2}=1
(0, )
v1标号:(1,s)
(2,s)
(4, v1)
(6, v3)
min{(sv2)(v1v3)(v1v4)}={0+2,1+4,1+3}=2 v2标号:(2,s)
(4, v1)
可调整流，费用
Min{ (v4t)}={4+5}=9
t标号:(9, v4)
最短路(费用最小的路)s v1v4 t ;单位费用9
把该最短路作为增广路,调整流量
s:标(0 , ) v1标:(+3,s)
(+3,s)
容量、费用、流量
v4:标(+2, v1) t:标(+3, v4) (0, ) 3 在增广路上作=2的调整
年 正常生产时可完 加班生产时可完 正常生产时每条
度 成的货轮数
成的货轮数
货轮成本/万元
1
2
3
500
2
4
2
600
3
1
3
550
造船交货问题 (解)
用x1和x2分别表示该 厂正常生产和加班生
产的状态,(x1, vj)表示 第j年正常生产的货轮,
(x2, vj)表示第j年加班 生产的货轮, (vi, vj)表 示第i年生产的货轮留
第8章 图与网络分析
4 最小费用流
（最小费用最大流）
一个网络的最大流不唯一
3 1
1
3 1
1
最小费用 最大流问题
上,下两个方案都已达到最大运
2
输能力.可以任选一个方案.
如已知从不同管道输送10000L源自4原油的费用如下表
单位费用
V1 V2
t
2
s
13
V1
1
4
4
V2
2
上方案总费用=13+3 4+10+43+2 4=35
该条路上一 个单位的费 用为6
把该最短路作为增广路,调整流量 容量、费用、流量
s:标(0 , ) v2:(+2,s)
v3:(+2, v2) t:(+4, v3) (0, )
调整量=min{2,2,4}=2
2
调整: 前向弧+2
(+2,s )
(+2, v2 ) 2 (+4, v3)
2
费用=26=12
城市煤炭分 配问题(解)
最短路 s B B2 t 费用16
调整量 =40 费用=14150+16 40=14790
城市煤炭分 配问题(解)
A 甲 290 A 乙 110 B 乙 140 B 丙 270 B 丙 40
总费用=14790
作业
• P.174
•
6.15
(容量,单位费用,流量) 虚拟弧,费用为零
最低 要求 满足
最短路
s A G1 t 费用15
调整量 =290
费用=15 290=4350
城市煤炭分 配问题(解)
最短路 s A G2 t 费用15 后考虑
最短路 s B B1 t 费用16 调整量 =270
费用=4350+16 270=8670
画出对应的增广网络 图(可调整量,单位费用)
2
(+3, v4)
2
(+2, v1)
前向,后向都有调整量
只有后向弧可以调整
可调整流，费用
把单位费用作为弧长,用标号法求从s到t的最短路
s:标(0 , )
(1,s)
min{(sv1)}={1,}=1
v1标号:(1,s)
(0, )
标不下去,已经找不到增广路
下方案总费用=14+3 3+11+43+2 4=34
求最小费用最大流 (容量,费用) 弧上数据(uj,cj)
uj 为弧的容量
Cj 为从这条弧运 送物资的费用
注意:
这两图 的权的 含义不 同
解: 设图中每条弧上的流量fj都为零,得到下图 (可调整流量,费用)
画出与上图对应的增广网络图,弧上权为(弧上流量的可调整 量,单位费用)
Min{(v1v3)(v1v4)}={1+4,1+3}=4
(4,v3)
(4, v1)
v4标号:(4, v1) Min{ (v4t)(v1v3)}={4+5 , 1+4}=5
v3标号:(5, v1) v2标号:(4, v3)
Min{(v3t)(v4t)(v3v2)}={5+3,4+5,5-1}=4 Min{(v3t)(v4t)(v2v4)}={5+3,4+5,4+6}=8
容量、费用、流量
(+1, v1)
1
3
(+2, v3)
前向,后向都有调整量 只有后向弧可以调整
可调整流，费用
把单位费用作为弧长,用标号法求从s到t的最短路
s:标(0 , ) (1,s)
min{(sv1)}={1,}=1
(0, )
v1标号:(1,s)
(9, v4)
Min{ (v1v4)}={1+3}=4 v4标号:(4, v1)
t标号:(8, v3) 最短路(费用最小的路)s v1v3 t ;费用8
把该最短路作为增广路,调整流量
s:标(0 , ) v1标:(+4,s)
(+4,s)
v3:标(+1, v1) t:标(+1, v3)
1
(0, )
在增广路上作=1的调整
费用=12+1 8=20
画出对应的增广网络 图(可调整量,单位费用)
min{(v1v3)(v1v4)(v2v3)(v2v4)}={1+4,1+3,2+1,2+6}=3
v3标号:(3, v2)
最短（费用）路
nin{(v1v4)(v2v4)(v3 t)}={1+3,2+6,3+3}=4
v4标号:(4, v1)
sv2 v3 t
min{(v4 t) (v3 t)}={4+5, 3+3}=6 t标号:(6, v3)
造船交货问题
• 某造船厂根据合同要在当年算起的连续三年年末各提供三条规格 相同的大型轮船。已知该厂今后三年的生产生产能力及生产成本 如下表
• 已知加班生产情况下每条货轮成本比正常生产时高出70万元。又 知造出的货轮如果当年不交货，每条轮船每积压一年，增加维护 保养等损失为40万元。在签订合同时给厂已有两条积压未交货的 货轮，该厂希望在第三年末在交完合同任务后能储存一条备用。 问该厂应如何安排计划，使在满足上述要求的条件下，使总的费 用支出为最少？
至第j年交货.
年 正常生产时可完 加班生产时可完 正常生产时每条
度 成的货轮数
成的货轮数
货轮成本/万元
1
2
3
500
2
4
2
600
3
1
3
550
城市煤 炭分配
问题(解)
甲1 甲2 乙 丙1 丙2 产量
A 15 15 18 22 22 400
B
21
21
25
16
16 450
销量 290 30 250 270 80
程图
画出对应的增广网络N2, (可调整量,单位费用cj) 前向弧 (Uj, cj, fj) (可调整量Uj - fj,单位费用cj) 后向弧 (Uj, cj, fj) (可调整量fj,单位费用- cj)
在 N2中以cj为弧长, 求N2的最短路PS,
PS存在
PS不存在 为所求得最小费用最大流
以为增广路,取=min{可调整量};调整N2.
城市煤炭分 配问题(解)
最短路 首先满足最 低要求的需 求 最短路 s A Y t 费用18
调整量 =110
费用=8670+18 110=10650
城市煤炭分 配问题(解)
最短路 s B Y t 费用25
调整量 =140 费用=10650+25 140=14150
画出对应的增广网络 图(可调整量,单位费用)
前向不能调整,后向能调整
可调整流，费用
前向可以调整2个单位,后向也可以调整2个单位
把单位费用作为弧长,用标号法求从s到t的最短路
s:标(0 , ) min{(sv1)}={1,}=1 v1标号:(1,s)
可调整流，费用
(1,s)
(5, v1)
(0, )
(8, v3)
最小费用最大流的方案找到
sv2 v3 t 费用=26=12 s v1v3 t 费用=1 8=8 s v1v4 t 费用= 2 9=18 总费用=12+8+18=38
无流费用网络N0(容量Uj,单位费用cj) 有流费用网络N1(容量Uj,单位费用cj,流量fj=0 )
最小费用 最大流流
把单位费用作为弧长,用标号法求从s到t的最短路
s:标(0 , )
(1,s)
(3, v2)
min{(sv1)(sv2)}={1,2}=1
(0, )
v1标号:(1,s)
(2,s)
(4, v1)
(6, v3)
min{(sv2)(v1v3)(v1v4)}={0+2,1+4,1+3}=2 v2标号:(2,s)
(4, v1)
可调整流，费用
Min{ (v4t)}={4+5}=9
t标号:(9, v4)
最短路(费用最小的路)s v1v4 t ;单位费用9
把该最短路作为增广路,调整流量
s:标(0 , ) v1标:(+3,s)
(+3,s)
容量、费用、流量
v4:标(+2, v1) t:标(+3, v4) (0, ) 3 在增广路上作=2的调整
年 正常生产时可完 加班生产时可完 正常生产时每条
度 成的货轮数
成的货轮数
货轮成本/万元
1
2
3
500
2
4
2
600
3
1
3
550
造船交货问题 (解)
用x1和x2分别表示该 厂正常生产和加班生
产的状态,(x1, vj)表示 第j年正常生产的货轮,
(x2, vj)表示第j年加班 生产的货轮, (vi, vj)表 示第i年生产的货轮留
第8章 图与网络分析
4 最小费用流
（最小费用最大流）
一个网络的最大流不唯一
3 1
1
3 1
1
最小费用 最大流问题
上,下两个方案都已达到最大运
2
输能力.可以任选一个方案.
如已知从不同管道输送10000L源自4原油的费用如下表
单位费用
V1 V2
t
2
s
13
V1
1
4
4
V2
2
上方案总费用=13+3 4+10+43+2 4=35
该条路上一 个单位的费 用为6
把该最短路作为增广路,调整流量 容量、费用、流量
s:标(0 , ) v2:(+2,s)
v3:(+2, v2) t:(+4, v3) (0, )
调整量=min{2,2,4}=2
2
调整: 前向弧+2
(+2,s )
(+2, v2 ) 2 (+4, v3)
2
费用=26=12
城市煤炭分 配问题(解)
最短路 s B B2 t 费用16
调整量 =40 费用=14150+16 40=14790
城市煤炭分 配问题(解)
A 甲 290 A 乙 110 B 乙 140 B 丙 270 B 丙 40
总费用=14790
作业
• P.174
•
6.15
(容量,单位费用,流量) 虚拟弧,费用为零
最低 要求 满足
最短路
s A G1 t 费用15
调整量 =290
费用=15 290=4350
城市煤炭分 配问题(解)
最短路 s A G2 t 费用15 后考虑
最短路 s B B1 t 费用16 调整量 =270
费用=4350+16 270=8670