一类矩阵方程的扰动边界

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矩阵方程X+A ＊X n A=1的Hermite正定解的扰动分析

矩阵方程＋Ａ＊－Ｉ的ＸＡ－
Ｈｅｍｉ正定解的扰动分析ｒｔｅ
杨树林张怀涛，
（．国石油大学胜利学院信息与计算科学系．东东营２７９；．阳师范学院数学科学学院．南安阳４５０１中山５０７２安河５００）
２００８年１２月
中国石油大学胜利学院学报
ＪｕｎｌｆＳｅｇｉｌｇｉａＵｎｖｒｉｙｏｅｒｌｕｏｒａｈｎｌＣｏｌｅＣｈｎｉｅｓｔｆＰｔｏｅｍｏｅ
Ｄｅ．２０８ｃ０
第２２卷
第４期
Ｖｏ１２２Ｎｏ．４．
１）序列（收敛，口ｉ那么１ ≤ｄｌ且口是）令一ｌｍａ，一＾＜方程（一＾）＝１１一口的最小解；
２）序列｛｝敛，收令＝ｌ．么１＾＜ｌ且是ｉａｒ那一 ≤
在现实生活中．线性矩阵方程来源相当广泛，括控非包制理论、型网络分析、态规划、计及椭圆型偏微分方程梯动统的差分解法等多个领域。Ｒｅｒｇｕｉｓ对方程ｘ＋Ａ’ ＪｎＸＡ：（＜ｒ１的ＨｒｔＯ＜）ｅｍｉｅ正定解的存在及唯一性进行了讨论，随后又对唯一解进行了扰动分析【，扰动结果依赖于唯一１但］
即
Ｆ（ ≤ ，一Ｘ）
Hale Waihona Puke （Ｊ≤ （）１一）Ｊ— ｐＪ

矩阵特征值的几个扰动定理

矩阵特征值的几个扰动定理（1）矩阵特征值性质扰动定理矩阵特征值性质扰动定理指出，对于任意实对称矩阵A，如果将A中的某几个元素（可以是增加也可以是减少）做给定的扰动，则新生成的矩阵B的特征值λi和特征向量xi（i=1,2,⋯,n）之间存在某种关系。

具体地，可用以下式来表示：λi(B)= λi(A)+Ddii+2Σi≤j≤mDdijxiXj其中，Ddii和Ddij是给定的扰动元素，其第i行第j列的元素值是扰动的数量。

（2）矩阵特征值扰动周期定理矩阵特征值扰动周期定理指出，任意给定的实对称矩阵A，若它的特征值经历了批量扰动，可得到它的修正特征值λi(B)，那么当它经历一次独立的扰动，使其修正特征值恢复至初始状态，即λi(A)时，要经历的回归周期T有：T=1/∣Δλi∣其中，Δλi=λi(A)-λi(B)是矩阵A的特征值改变了一次扰动对应的变化量。

（3）特征值扰动不可撤销定理特征值扰动不可撤销定理指出，不论矩阵A经历任意次特征值扰动，这些扰动发生后仍无法把原来的特征值λi恢复，也就是说这些扰动是不可撤销的。

通俗来讲，就是说扰动后矩阵A的特征值会产生永久的变化，无法恢复到原先的状态。

（4）互不相容特征值扰动定理互不相容特征值扰动定理指出，任意的实对称矩阵A经历任意次特征值扰动，其扰动后的特征值项必不可能成为原特征值项的任何线性组合。

也就是说，两次特征值扰动后新生成的特征值向量彼此之间不可能只有一个关联系数可以将这些特征值恢复到原来的特征值向量。

（5）有限特征值扰动定理有限特征值扰动定理指出，对于任意给定的实对称矩阵A，多次特征值扰动后生成的新矩阵B特征值的变化量是有限的，而特征值的变化量|λ1 - λ2|的上界值被称为特征值immediately上界改变量（IUIBC）。

经典的有限特征值扰动定理实际上就是求IUIBC的过程。

矩阵范数理论及其应用

第四章矩阵范数理论及其应用知识要点：1、向量范数及其性质（范数与赋范空间，n 维向量的1-范数1x 、2-范数2x 、p -范数px 和∞范数x∞，pp lim xx ∞→∞=，aP a xPx =，2H H PxPx x P Px ==，有限维赋范空间的范数是等价的）2、矩阵范数及其相容性（Frobenius 范数，FEn =，相容性：AB A B ≤，1E ≥）3、算子范数（定义，列范数，行范数，谱范数）4、矩阵范数的应用（矩阵序列及幂级数的收敛性，矩阵条件数，摄动理论、矩阵的谱半径）§4.1 向量范数及其性质一、范数与赋范线性空间定义1：如果线性空间V 中的任一向量x ，都对应—个实值函数()f x （记为x ），并满足以下三个条件（称为范数公理）：(1)非负性：0x ≠时, x ＞0；0x =时, x =0。

(2)齐次性：ax =a x ,a K ∈，x V ∈。

(3)三角不等式：x y +≤x +y ，,x y V ∈。

则称x 为V 上向量x 的范数（norm ），V 称为赋范线性空间（normed linear space ）。

易证x y -满足距离公理，称之为x 与y 的范数诱导的距离。

若0n x x -→，则称nx 收敛于x ，记为n x x →。

例1：对于连续函数空间[,]C a b 中的向量()f x ，可如下定义范数为：1()()baf t f t dt =⎰，()max ()a t bf t f t ∞≤≤=，1()()bpppa f t f t dt ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰，1p ≤<∞。

分别称之为1-范数，∞-范数，p -范数。

注：需要用到数学专业的一些函数不等式，才能证明上述范数的正确性。

性质1：对于赋范线性空间V 上任意的x ，定义实函数()f x x =，则()f x 为V 上的连续函数，即0x x →时，0()()f x f x →，其中0x V ∈。

矩阵方程X+A ＊X-qA=Q(q≥1)的Hermitian正定解及其扰动分析

２ｏ￣９月ｏ８
高等学校计算数学学报
第３０卷第３期
矩阵方程ｘ＋Ａ木ｑ＝Ｑ（１的Ｘ— Ａｑ）
Ｈｅｍｉａ正定解及其扰动分析ｒｔｎｉ
段雪峰
廖长（大学数学与计量经济学院，沙４０８）湖南１０２
（沙大学数学研究所，长长沙４００／１０３湖南大学数学与计量经济学院，长沙４０８）１０２
中图法分类号
Ｏ２１，５．１４．Ｏ１１２６
湖南省自然科学基金资助课题（３Ｊ６２）０ＪＹ０８
收稿日期：０６０ —７２０．５１．
２０年９月０８
高等学校计算数学学报
２１８
１引言
本文研究矩阵方程ｘ＋一Ａ＝Ｑ（）１
ａｌｉｒｉｃｓｅｎａｙｓｓａｅｄｓｕｓｄ．Ｋｅｗｏｄｓｎｎｌｅｒｍａｒｘｅｕａｉｎ，ｐｉｉｅｄｆｔｏｕｉｎ，ｍｉｍａｏｕｙｒｏｉａｔｉｑｔｏｎｏｓｔｖｅｎｉｅｓｌｔｏｉｎｉｌｓｌ－
ＤｕｎＸｕｆｎａｅｅｇ
（ｏｌｅｏｔｅｔｓｎｃｎｍｅｒｓＨｎｎＵｉｅｓｙＣａｇｈ１０２ＣｌｇｆｅＭａｈｍａｉｄＥｏｏｔｃ，ｕａｎｖｒｔ，ｈｎｓａ０８）ｃａｉｉ４
ＬａｐｎｉｏＡｎｉｇ
（ｓｉｔｏｔｅｔｓＣａｇｈｎｖｒｉ，ｈｎｓａ１０３Ｉｔｕｅｆｈｍａｉ，ｈｎｓａＵｉｅｓｙＣａｇｈ００／ｎｔＭａｃｔ４ＣｌｇｆｔｅｔｓｎｃｎｍｅｒｓＨｎｎＵｉｒｔ，ｈｎｓａ１０２ｏｌｅｈｍａｉｄＥｏｏｔｃ，ｕａｎｖｓｙＣａｇｈ０８）ｅｏＭａｃａｉｅｉ４

【国家自然科学基金】_sylvester矩阵方程_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140802

2008年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
科研热词推荐指数线性系统 2 高斯消去法 1 非平面9杆巴氏桁架 1 辗转相除法 1 结式消元法 1 灵敏度分析 1 扰动界 1 广义sylvester矩阵方程 1 对偶luenbeger观测器 1 参数化方法 1 位移分析 1 sylvester矩阵方程 1
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2014年序号 1 2 3 4 5 6 7
2014年科研热词跟踪控制海洋平台最优控制控制时滞张量-矩阵乘积张量块张量推荐指数 1 1 1 1 1 1 1
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
科研热词输出反馈离散周期系统极点配置广义系统多变元sylvester结式多变元sylvester矩阵多余因子参数化方法区域极点配置 sylevster方程
2012年序号 1 2 3 4
科研热词辐射噪声水下螺旋桨参数估计三参数功率谱曲线模型
ห้องสมุดไป่ตู้
推荐指数 1 1 1 1
2013年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
科研热词隐式共轭梯度法迭代解法迭代法误差方程梯度极小范数解最小二乘解最佳收敛因子张量-矩阵乘法 tucker分解 sylvester矩阵方程 sylvester张量方程
2009年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
科研热词高斯消去法辗转相除法结式消元法旋转矩阵并联机构封闭解基于梯度法的递归神经网络向量化位置正解位移分析 sylvester结式 sylvester方程 matlab仿真 kronecker乘积 9杆巴氏桁架

Hille-Yosida算子的无界扰动与一类抽象边值问题的适定性

引言
Ｇｅｅ在文［］ｒｉｒｎ１中提出时滞方程、差分方程以及扩散方程等泛函微分方程均可转化成如下抽象边值问题
ｆ（）＝Ａｆｔ．ｔ厂ｍ（）∈ Ｘ，ｔ０ ≥
（Ｐ）Ｌ（）＝厂ｔＸ，Ｂ厂ｔ（）Ｅａｔ≥ ０
性概念同［］．４）
１预备知识
定义１１令Ａ厂＝Ａ，Ａ）＝ｔＡ，ｆ：｝．讧Ｄ（ｆＥＤ（）Ｌ
则（Ｐ）ｎ以写成Ｂ，可
ｃ删，。
收稿日期：０５— １１２００— ０
作者简介：费明稳（９８一）男，１７，安徽六安人，研究方向：算子半群理论及其应用
维普资讯
第３０卷１期２００７年１月
安徽师范大学学报（自然科学版）ＪｕｎｌｆｈｉｏｍａＵｎｖｒｉＮｔｒｌｃｎｅｏｒａｏｕＮｒｌｉｓｙ（ａｕａＳｉｃ）Ａｎｅｔｅ
（２：：ＡＩ是Ｘ上的ＨｉｅＹｓａ子（［］即（１Ｍ ≥ １得（Ｕ，０（ｐＡｏＳ）Ａｏ＝ｌ－ｏｉ算ｌｄ见４，ＵＥＲ，使（１＋Ｏ）二（）二
且ＶＥＮ有
ＩＡＡ０ＩＲ（，）郴） ≤
［］不同的是，４）边界扰动是指改变生成元的定义域，不是改变生成元本身映射的形式．［］的方法相继而文１被应用于半线性问题和年龄结构人口方程等（见文［］［］［］．６，７，８）在文［］Ｎｉｅ使用算子矩阵和生成元加法扰动系统得到了文［］的结果并给出了当是无界时２中ｃｌｋ１满足一定条件后（ｅ）仍具有适定性的一种判别方法．在文［］文［］中均假设ＡＢ但１和２在ＫｒｅＬ上的限制

矩阵迹最小问题的求解

第39卷第3期2019年6月Vol.39,No.3Jun.2019桂林电子科技大学学报Journal of Guilin University of Electronic Technology矩阵迹最小问题的求解谭婕，彭振赟(桂林电子科技大学数学与计算科学学院，广西桂林531003)摘要:为了探究方程组AXB=C的不定最小二乘问题的解及解的存在条件，利用矩阵相关理论及双曲QR分解理论，给出了一类矩阵迹最小问题有解、有唯一解的充分必要条件和矩阵迹最小问题的解存在时解的计算算法。

用数值例子验证该问题有解时计算算法的可行性&关键词：矩阵;不定最小二乘问题;矩阵迹最小问题;双曲QR分解中图分类号：0231.2文献标志码：A文章编号：1673-808X(2019)03-0248-06Solving the minimum problem of matrix traceTAN Jie,PENG Zhenyun(School of Mathematics and Computational Science,GuilinUniversity of Electronic Technology,Guilin541004,China)Abstract:In order to explore the solution of the indefinite least squares problem of the system of equations and the existence condition of the ing matrix theory and hyperbolic QR decomposition theory,A necessary and sufficient condition for a class of matrix trace minimization problem to have a solution and a unique solution is given,and a method for calcula--ing the solution of the matrix trace minimization problem is given when the solution exists.Numerical example is used to verify the feasibility of the algorithm when the problem is solved.Key words：matrix；indefinite least squares problem；minimum problemof matrix trace；hyperbolic QR decomposition不定最小二乘问题min(Ax—b)T J(Ax—4),(1)其中J=diag(九,—!$!和！为单位矩阵,在总体最小二乘问题、几何近似和斜映射问题等的应用中具有十分重要的作用&对于不定最小二乘问题(1),文献［23］利用QR分解、Cholesky分解方法给出了求解该问题的QR-Cholesky法和向后稳定法。

浅谈数理方程中线性边界条件的分类

浅谈数理方程中线性边界条件的分类摘要：数学物理方程中有定解离不开初始条件和边界条件，其反映了具体问题所处的环境和背景。

本文针对线性边界条件的分类进行归纳。

关键词：数学物理方程线性边界条件分类一、引言物理课程中所研究论述的物理规律是物理量在空间和时间中变化的规律。

物理规律用数学表达是：物理量u 在各个地点和各个时刻所取值之间的联系。

通过这种联系，我们就可以由边界条件和初始条件推算出物理量在任意地点和任意时刻的u(x,y,z,t)。

同时它也是解决问题的依据。

为了解算具体问题，应该考虑到所研究的区域所处的环境。

边界条件和初始条件就是反映具体问题所处的环境和背景。

二、线性边界条件的分类物理规律反映的是物理量在时间和空间上的联系，与特定的周围环境和历史有关。

物理中的联系总是要通过中介，周围环境的影响是通过边界传给其研究对象，所以，周围环境的影响体现于边界所处的物理状况，即边界条件。

而不同的物理过程，因其具体的条件不同，结果也不一样。

下面，将对线性边界条件进行简单的归纳。

1、第一类边界条件这类边界条件直接规定了所研究的物理量在边界上的数值。

()(),,,U x y z t 00000边界x ,y ,z 0,=f t,x ,y ,z ，又称狄利克雷()Dirichlet 边界条件。

首先以弦振动为例：取一根长为L 的弦，把它的两端0X =和X L =固定起来，然后让它振动。

边界条件0X =和X L =既然是固定的，那位移U 当然始终为零。

()0,0x U x t ==()()()()()000000,,000,,,,,,0,0,,,0x x tx x ax lx y z x a U x t N U x t N f z t u x t uuf t x y z nkUn ρϕ=========∂=∂=边界(),0x t U x t ==对于细杆导热问题，如果杆的某一端点x=a 的温度U 按已知的规律f (t)变化，则该点的边界条件是：()(),x aU x t f t ==特别是如果该端点恒温u 0 ,则边界条件成为()()0,x aU x t f u ==再如，半导体扩散工艺的“恒定表面浓度扩散”中，硅片周围环境是携带着充足杂质的氮气，杂质通过硅片表面向内部扩散，而硅片表面的杂质浓度保持一定。

同宿环、异宿环分支问题及矩阵方程的振动性问题

同宿环、异宿环分支问题及矩阵方程的振动性问题【摘要】：本文主要研究反转系统中具有倾斜翻转和同时具有轨道翻转和倾斜翻转的异宿环分支问题,异维环分支问题,一般动力系统中的同宿风箱结构以及线性和超线性矩阵微分方程的振动性。

全文内容分为六章。

第一章主要介绍了本论文的研究背景,意义及主要工作。

众所周知,反转系统在量子力学,流体力学和光学等物理学分支中不仅有着广泛的应用背景,而且有着重要的理论价值。

1998年,ChampneysA.R.[20]提出一个问题:反转系统是否可以发生倾斜翻转?其分支情况与轨道翻转的情况下有何不同?受其启发,本文第二章主要采用文献[114,115]首先引入并经文献[50-52]等改进的方法(即在异宿轨道附近建立局部活动坐标系,构造新坐标系下的Poincaré映射,并导出分支方程的方法),首先对具有倾斜翻转的余维2异宿环分支进行了研究,然后对同时具有轨道翻转和倾斜翻转的余维3异宿环分支也进行了探讨。

由文献[64]可知,具有异维环的系统是很常见的,而且异维环的存在性往往隐含着动力学行为的极端复杂性。

因此,研究异维环的分支问题也有着极其重要的物理意义和实际背景。

本文第三章主要采用先前[114,115]引入的方法研究了四维空间中的异维环在满足非通有条件下-轨道翻转和倾斜翻转下的分支问题,给出了异维环保存及同宿环,周期轨存在的条件与分支曲面。

值得一提的是,本文还得到了关于保存的异维环与分支出的周期轨共存以及一族周期轨道的存在性结果,从而揭示了具有倾斜翻转的异维环与无倾斜翻转的异宿环(异维环除外)在分支性态方面的差别。

我们已经知道,后者即使在带有共振,对称或轨道翻转等退化情况下,也不会有保存的异宿环与分支出的周期轨道(或同宿轨道)共存的可能性。

近几年来,在许多物理模型中出现的一种称为风箱结构的现象引起了许多学者的注意。

这种结构的基本特点就是:两条同宿轨道沿同一正方向跑出奇点和沿同一负方向进入奇点。

用扰动方程研究可压缩边界层中扰动的演化

ｒ－材ｈｌＵｆ广＋ｒ圳＋ｒ ’ 如，
的特征值进行分裂，则这两组特征值在空间分裂的
位置可能不一样，因此，不能用统一地给出分裂就后扰动通量的表达式。为了能统一地给出的
ｒｒ材ｒ砷 ’ 二＋；＝，Ｕ＋，
中图分类号：０５．３７４文献标识码：Ａ
０引言
通常研究可压缩流动所采用的方程是完整的Ｎ－方程，这种方法对于计算定常流动是合适的，Ｓ
但在研究扰动演化时，如果基本流和扰动一起计
可压缩流动的扰动方程为
收稿日期：２０－４１０７０－７
基金项目：国家自然科学基金重点资助项目（．１６２５）Ｎｏ０３００
作者简介：张华（９１）女，河南兰考人。硕士。主要研究方向为流动稳定性。１８－
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第３期
１
Ｕ－ｃ＞
－
［）警
一
Ｏ：
＝材一ｃ，
＝０
号ｉ）ａｖ
Ｖ
材＜：十０，一ｃ０一
＝一ｃ材
但在扰动方程中，通量的扰动由瞬时通量蹄基
本流的通量两部分组成，即＝。在通量分一
ｄ
裂时，果瞬时通量和基本流的通量分别根据自己如
０
其中
．
算，在采用计算格式上可能产生矛盾，适合基本流
的计算格式可能不适合计算扰动，适合扰动的计算
格式可能不适合计算基本流，而且基本流的计算精度往往会对扰动量的计算精度产生很大的影响，使得扰动的计算精度降低很多。研究不可压缩流动在时，有人采用扰动方程进行。在可压缩混合层中扰动演化问题的研究中，沈清等 Ⅲ也采用了扰动方程，这样对扰动方程可以采用更适合的差分格式。

一类非C 2扰动泛函的Duffing方程组边值问题解的研究

一
类非Ｃ扰动泛函的ＤｆｎＩ２ｕｆｇ方程组ｉ边值问题解的研究
江正仙，文华黄
（南大学理学院，苏无锡２４２）江江１１２
［摘要］研究了Ｄｆｎｕｆｇ方程组的边值问题，利用黄文华和沈祖和２０ｉ０５年在ＮｎｉｅｒＡａｓＭ中证明的ｏｌａｎ理研究这一问题的惟一解的存在性，给出了一个存在惟一性定理．［关键词］Ｈｉｅ空间，ｌｒｂｔ解的存在惟一性，ｍｎｍｘ定理，ｕｎ方程组，ｉｉａＤｆｇｉｆ谱
［中图分类号］０７［１５文献标志码］Ａ［文章编号］０１６６２１）３０５０１０－１（０２０－２－４０６
ＳｔｄｎｔｌｉｎｆｔｕｎａｙＶａｕｏｌｍｓｏａｓｏｕｙｏｈｅＳｏｕｔｏｓｏｈｅＢｏｄｒｌｅＰｒｂｅｆａＣｌｓｆＤｕｆｎｇＳｓｅｓＷｉｈＮｏＣＰｅｔｂａｉｎｆｉｙｔｍｔｎ－ｒｕｒｔｏＦｕｎｔｏｌｃｉｎａ
ＪａｇＺｈｎｘａＨｕｎｅｈａｉｎｅｇｉｎ，ａｇＷｎｕ
（ｃｏｌｆｃｅｃｓＪａｇａｎｖｒｉ，ｘ２４２，ＣｉａＳｈｏｉｅ，ｉｎｎｎＵｉｅｓｙＷｕｉ１１２ｈｎ）ｏＳｎｔ
ＡｂｔａｔＴｉａｅｅｌｉｏｎａｙｖｕｒｂｅｆｒＤｆｎｙｔｍ．Ｔｅｘｓｅｃｆｕｉｕｏｕｉｎｆｒｔｅｓｒｃ：ｈｓｐｐｒｄａｓｗｔａｂｕｄｒａｅｐｏｌｍｏｕｆｇｓｓｅｈｌｉ — —ｅｉｔｎｅｏｎｑｅｓｌｔｈｏｏｈｐｏｌｍｔｄｅｙｕｉｇａｍｉｉｘｔｅｒｍｒｖｄｂａｇＷｅｈａａｄＳｅｕｅｉｎｉｅｒＡｎｌｓＭＡｒｂｅｉｓｕｉｄｂｓｎｎｍａｈｏｅｐｏｅｙＨｕｎｎｕｎｈｎＺｈｎＮｏｌａａｙｉＴｓｎｓ

一类非线性系统的扰动估计

文中针对一类非线性系统，设计了扰动观测器并证明了估计误差的无偏性。对两轴机械臂
其中 ∈ ＲＡ是中立稳定的。，对系统（）设计扰动观测器如下：１，
ｒ乏一（ — Ｚ））＋Ａｐ（一Ａ（ｗ（Ｃ））
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・
３２３・
弹箭与制导学报
一
类非线性系统的扰动估计
王敏，东华周
（华大学自动化系，京１０８）清北００４
［要］针对一类非线性系统的未知扰动．究了基于观测器的扰动估计问题。在未知扰动的输人矩阵列满摘研
秩且对合的情况下．明了估计的准确性。对两轴机械臂模型进行了仿真．证了该方法的有效性。证验
［键词］观测器；动估计；轴机械臂关扰两［图分类号］Ｔ２３中Ｐ７［文献标志码］Ａ
模型进行了仿真，得了比较满意的估计效果。获
文中的方法可以看作是文献［］１的扩展。
ｊ ‘‘ ｐｆｇ “ ３１十（ ‘ｃ＋‘ ‘ （ｗ ’‘ ＋）一）
Ｉ — Ｃｄ８
２系统描述和扰动观测器的设计
泛的应用Ｌ。Ｊ』
Ｐ是列满秩和对合的。
注ｌ △ 对合Ｅ］即对于任意的ｒ ∈△，ｒ ∈ ，２和ｚ

波动方程的边界问题

波动方程的边界问题波动方程是数学中一个重要的部分，研究波动方程的边界问题也是理论学者和实践工作者长期以来解决的问题。

边界问题指的是波动问题发生在一个有限区域内的情况，而这个区域的边界并不是无限大或者不存在的。

解决边界问题需要结合数学公式和实际情况进行研究。

为了让我们更加了解波动方程的边界问题，我们需要先了解波动方程的一些基本概念和公式。

波动方程的本质是描述一个物理现象的变化过程。

在数学中，波动方程可以表示为：∂^2u/∂t^2=c^2∇^2u其中u代表波动的幅度，t表示时间，c是波速，∇^2是拉普拉斯算子。

这个方程表达的是波动的传递过程中，波的幅度随时间的变化关系。

当波动的区域有边界时，我们可以根据不同的边界条件给出不同的解法。

下面我将分别介绍自由边界、固定边界和混合边界的解法。

自由边界是指边界上既没有力也没有位移，即：∂u/∂n=0其中∂/∂n代表边界上法向的求导。

自由边界的情况下，可以采用反射合成方法来求解。

固定边界是指边界上有力且没有位移，即：u=0这种情况下，可以采用分离变量法来求解边界问题。

分离变量法可以将波动方程转化为一个特定的形式，然后通过这个形式寻找适合的边界条件来解决问题。

混合边界是指边界上既有力也有位移，即：∂u/∂n=a(u-b)其中a和b是常数。

当出现混合边界的问题时，需要采用叠加原理来求解。

叠加原理指的是将边界条件进行分离，然后分别求解，再将求解结果进行合成。

除了这些解法，还有一些特殊情况需要特殊处理，例如当边界上有突变点或角点的时候，需要使用适当的方法来求解。

总结一下，波动方程的边界问题是数学中重要的一个部分，需要结合实际情况进行研究，可以采用反射合成法、分离变量法、叠加原理等方法来求解。

对于一些特殊情况，需要使用特殊方法来求解。

在实际应用中，需要结合具体问题采用合适的方法来解决问题，以达到最优的结果。

对于我们普通人来说，虽然未必直接用得到波动方程的边界问题，但是我们应该能够了解到这种数学理论在实际应用中的重要性。

扰动误差分析

第２章线性代数方程组数值解法I ：直接法考虑方程组 b Ax = （n n R A ⨯∈非奇异,n R b ∈ 且0≠b ） (2．6.1) 设A 有误差 b A ,δ有误差b δ,则因此引起解x 有误差,即有扰动方程组 b b x x A A δδδ+=++))((现在来研究如何通过A δ和b δ对x δ的影响作出估计。

定理2．6.1 设方程组(2.6．１)中b A ,分别有扰动A δ，b δ,因而解向量有误差x δ；又A δ足够小,使得 11<-A A ，则有误差估计式 )(111bbAAAAA A xxδδδδ+-≤--证明由 b x A x A x A δδδδδ=++))(()( ))(()(111x A A x A A b A x δδδδδ-----= 两边取范数有x A A x A A b A x δδδδδ111---++≤得到x A A b A x A A x δδδδδ111---+≤- )()1(11x A b A x A A δδδδ+≤--- 得到 )(111x A b AAA x δδδδ+-≤--又注意到b Ax =有 b x A ≥ 从而得到bA x ≤1，故上述不等式左边乘以x 1,右边圆括号第一项乘以x 1，第二项乘以bA ,并从括号中提出A ，则得（2.6．3) 定理的结果实际包含两种特殊情形: (1)A 精确，即 0=A δ,b 有扰动b δ，从而b b x x A δδ+=+)(bbAA xxδδ1-≤(2) A 有扰动A δ，b 精确，即0=b δ,这时b x x A A =++))((δδAAA AA A xxδδδ111---≤当A A δ1-很小时，上式可近似表示为AAAA xxδδ1-≈2.条件数与病态方程组定义 2．6.1 设A 为非奇异矩阵，称数A A 1- 即 A A A cond 1)(-= 为矩阵A 的条件数。

矩阵A 的条件数的一些基本性质: (1) 任何非奇异矩阵A ,对任一算子范数均有1)(≥A cond )()(1-=A cond A cond )()(A cond A cond =α(2) 根据定义 )(max 2A A A T λ= ，可得 )()()(min max 2212A A A A A AA cond T T λλ==-(3) 若 U 为正交阵,即I UU T =，则 1)(2=U cond又A 非奇异，则222)()()(UA cond AU cond A cond == (4）设 1λ与n λ为A 按模最大和最小的特征值，则nA cond λλ1)(≥特别地，若T A A =(即A 对称)，则nA cond λλ1)(=若A 对称正定，则 nA cond λλ12)(=证明略定理２.6．2 (事后误差估计）设方程组 b Ax =,A 非奇异，0≠b ，x 是精确解,-x 是近似解,剩余向量 --=x A b r ，则有估计式 br A cond xx x b r A cond )()(1≤-≤-证明：因b Ax =，得 )(----=-=-=x x A x A Ax x A b r ，从而r A x x 1--=-,于是r A x x 1--≤-，又由bA x ≤1,于是得估计式右端br A cond bA rA xxx )(1=≤---类似地,由上述 )(--=x x A r ,得--≤x x A r ，或--≤x x Ar ，由 b A x 1-=得b A x 1-≤,综合两式得估计式两端xx x bA A r b r A cond ---≤≤1)(1例 2.６.1３．事后误差估计定理 2.6.2 设方程组b≠b,x是精确解,-xAx=,A非奇异,A非奇异，0是近似解,剩余向量-br,则有估计式=xA-例题讲解2例题２.1 对方程组Ａx ＝b, Ａ非奇异不一定能作顺序G ａuss 消去过程,或者说，A 非奇异不一定有LU 分解。

特征向量和奇异向量的扰动界

特征向量和奇异向量的扰动界刘干中（广州电大增城分校，广东增城 511300）摘要：本文主要研究利用残余量来确定特征向量和奇异向量的加法绝对扰动界及其相对扰动界。

关键词：特征向量；奇异向量；扰动界；正交投影中国分类号：0151.24 文献标识码：A 文章编号：1008—3006（92001）03—0053—03一、引言矩阵的扰动分析理论是当前国际上数学界学术研究的热点之一。

它包括特征值与奇异值的扰动分析，特征空间与奇异空间的扰动分析以及最小二乘问题的扰动分析等。

若λ是一个精确的数据，而λ是~λ的一个近似值（比如是通过计算机算出来的）。

研究 |λ -~λ| 误差界称为绝对误差界（或称为绝对扰动界）。

研究||||~λλλ-的误差界称为相对误差界（或相对扰动界）。

目前许多学者在从事有关相对扰动界的研究（见[3][4][5]）。

本文主要给出近似特征向量和近似奇异向量的加法绝对扰动界及它们的相对扰动界。

本文使用的符号：*A 表示A 的共轭转置，||A||表示矩阵A 的谱范数或向量的Eudlidean 长度，表示+Y 的Moore – Penrose 逆，k(Y)=|| +Y || ||Y||表示Y 的谱条件数，range(Y)表示Y 的列向量张成的子空间，range ⊥)(Y 表示range(Y)的正交补空间。

二、特征向量的扰动界设A 是n n ⨯可对角化矩阵，A 的谱分解为1-Λ=XA A ，其中),,(21n diag λλλΛ=Λ，i λ为A 的特征值。

给定一个实数~λ是A 的近似特征值，向量~x 为与~λ相对应的A 的近似单位特征向量，即||~x ||=1。

我们主要确定~x 的误差界。

我们将A 特征值进行分块，使得1Λ包含所有与~λ距离最近的特征值，2Λ包含其余的特征值：即⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΛΛ=Λ21s 其中||1Λ-~λ||=||)(||/1||||||min1~2~1~1-≤≤-Λ<-Λ-I i ni λλλλ和。

E第五章小扰动方程

x方向力的小扰动线化方程为 ΔX Δu = − g Δθ cos θ 0 m ΔY 同理得 v= + gϕ cos θ 0 − u0 r m ΔZ w= − g Δθ sin θ 0 + u0 q m
5.4 方程线化
绕x轴的滚转力矩方程非线性方程
L = I x p − I zx (r + pq ) − ( I y − I z )qr L0 + ΔL = I x p − I zx (r + pq ) − ( I y − I z )qr
5.5 力和力矩的线化
⎡ Yv ⎢ m ⎢ I N ⎢ I z Lv + zx v 2 2 ⎢ A = ⎢ I x I z − I zx I x I z − I zx ⎢ I zx Lv I N + x v2 ⎢ 2 I x I z − I zx I x I z − I zx ⎢ ⎢ 0 ⎣ Yδ a ⎡ ⎢ m ⎢ I zx Nδ a ⎢ I z Lδ a + ⎢ 2 2 B = ⎢ I x I z − I zx I x I z − I zx ⎢ I zx Lδ I x Nδ a a + ⎢ 2 2 I x I z − I zx I x I z − I zx ⎢ ⎢ 0 ⎣ Yp m I z Lp IxIz − I I zx Lp
X 0 + ΔX − mg sin(θ 0 + Δθ ) = m(Δu + qw0 rv) − 0
根据小扰动假设，忽略二阶小量，
X 0 + ΔX − mg sin(θ 0 + Δθ ) = mΔu sin(θ 0 + Δθ ) = sin θ 0 cos Δθ + cos θ 0 sin Δθ = sin θ 0 + Δθ cos θ 0 ⇒ X 0 + ΔX − mg (sin θ 0 + Δθ cos θ 0 ) = mΔu

矩阵方程A^TXA=D扰动分析

矩阵方程A^TXA=D扰动分析
杨兴东;周月军;何青泉;邵保刚
【期刊名称】《南京气象学院学报》
【年(卷),期】2008(31)3
【摘要】利用矩阵分块与矩阵范数的性质,研究矩阵方程ATXA=D,获得该方程的扰动界,这些结果可用于模型修正中的数值计算。

【总页数】5页(P447-451)
【关键词】矩阵方程;对称解;正定解;扰动
【作者】杨兴东;周月军;何青泉;邵保刚
【作者单位】南京信息工程大学数理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.矩阵方程X+A*XnA=I的Hermite正定解的扰动分析 [J], 杨树林;张怀涛
2.矩阵方程X+A*XqA=I(0《q《1)Hermite正定解的扰动分析 [J], 李磊;渐令
3.矩阵方程X+A*X2A=P的Hermite正定解及扰动分析 [J], 李磊;刘国栋
4.矩阵方程ATXA=D扰动分析 [J], 杨兴东;周月军;何青泉;邵保刚
5.矩阵方程X+A∗X-2A=I极大解的扰动分析 [J], 马伟;高景利
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带扰动的状态空间方程

带扰动的状态空间方程在控制系统中，状态空间模型是一种常用的描述系统动态行为的数学模型。

它由状态方程和输出方程组成，可以用于分析系统的稳定性、可控性和可观性等性能指标。

然而，在实际应用中，系统往往会受到外部扰动的影响，这就需要将扰动考虑进状态空间方程中。

为了更好地理解带扰动的状态空间方程，我们先来了解一下状态空间模型的基本概念。

状态空间模型描述了系统的状态、输入和输出之间的关系。

其中，状态是系统的内部变量，可以用来描述系统在不同时间点的状态；输入是系统的控制信号，可以用来改变系统的状态；输出是系统的响应信号，可以用来反映系统的动态特性。

在常见的一阶状态空间模型中，状态方程的一般形式为：x(t) = A*x(t-1) + B*u(t-1) + w(t-1)其中，x(t)表示系统在时间t的状态，A是状态转移矩阵，B是输入矩阵，u(t)表示系统在时间t的输入，w(t)表示系统的过程噪声。

输出方程的一般形式为：y(t) = C*x(t) + D*u(t) + v(t)其中，y(t)表示系统在时间t的输出，C是输出矩阵，D是前馈矩阵，v(t)表示系统的测量噪声。

当系统受到外部扰动的影响时，我们可以将扰动考虑进状态空间方程中。

假设系统受到的扰动为d(t)，我们可以将状态方程和输出方程修改为：x(t) = A*x(t-1) + B*u(t-1) + G*d(t-1) + w(t-1)y(t) = C*x(t) + D*u(t) + H*d(t) + v(t)其中，G是状态扰动矩阵，H是输出扰动矩阵。

通过引入扰动项，我们可以更准确地描述系统的动态行为。

在实际应用中，带扰动的状态空间模型可以用于分析系统的鲁棒性和容错性。

鲁棒性是指系统对于扰动的抵抗能力，容错性是指系统在扰动存在的情况下依然能够保持稳定运行的能力。

鲁棒性分析可以通过对状态空间方程进行稳定性分析来实现。

稳定性分析的目标是确定系统的状态是否会在有限时间内收敛到一个稳定的值。

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ｘ一
Ａｘ一
Ｉ
，
（１）
的正定解，记为Ｘ，并且任意给定初值ＸｏＰ（ｎ），迭代序列
ｘ：Ｉ＋ＡＡ
总是收敛到Ｘ，￣［１ｌｉｍＸ：Ｘ．
ｎ —＋ ∞
接下来．我们开始讨论唯一正定解的扰动边界２．扰动边界
探讨『Ｊ］．中国科教创新导论，２０１０（１６）．
浅谈数学课中 “问题探究教学＂的策略
肖勇
（常熟市谢桥中学，江苏常熟摘要：前苏联教学论专家马赫穆托夫在《现代的课》中是这样对“ 问题教学 ” 作阐述的：教师有意地创设问题情境，组织学生的探索活动。让学生提出学习问题和解决这些问题，或由教师自己提出这些问题并解决它们，在此同时，向学生说明在该探索情境下的思维逻辑。作者认为马赫穆托夫的这段理论可作这样的概括：就是让学生自己思考怎么做甚至做什么，
参考文献：
主学习、合作学习和探究学习．对预科学生来说，这就是很好的学习方法。在预科阶段，教学有一个非常重要的目标，就是
慢慢引导学生从高中的学习模式转化到大学的学习模式，从被动学习转化到主动学习。在课堂中，结合数学的教学和学习．逐步引导学生自主学习，引导学生有计划地学习，有目标
地学习，充分利用图书馆资源，网络资源，合理安排自己的时间．拓展学习的广度和深度，逐渐找到适合自己的学习方法，
学会学习
６０
初探与实践［Ｊ］．科技信息（科学教研），２００７（１６）．『４］彭国荣．关于少数民族预科学生高等数学教学质量的
＝＋ｃＡＡ：… Ａ
［ｘｘ．．ｘ］
ｈ（ＡＸ）： ∑Ｂｆ．ＡｘＸｘＸＡＸ（Ｉ＋ＸＡＸＢ）
一
△Ａ
ＡＸ（Ｉ＋ＸＡＸ）～Ｂｉ
合的方式，最后小结解题技巧，以期达到综合提高。３．加强学习方法的指导。在中学阶段．学生对数学的学习方法只有背公式、记定义．为掌握基本的解题方法、解题技能进行大运动量的重复训练。教师的目的是让学生熟能生巧，没想到事与愿违，重复机械的训练．以及学习中的重结果轻过程，最终导致学生熟能生笨，熟能生厌。当前基础教育课程改革提出新的学习方式：自
一类矩阵来自方程的
扰
动
边
界
高东杰
（菏泽学院数学系，山东菏泽
摘要：扰动理论是研究方程稳定性的重要工具．扰动边界是扰动理论的重要组成部分．文章研究了一类非线性的矩
２７４０１５）
＝Ｉ＋ＡＩＸ～Ａｌ＋．．・＋ＡＡ
所Ｉ）２Ｅｑ．（１）是方程
Ｘ＝Ｑ＋Ａ（Ｘ — Ｃ）Ａ．的特殊形式．
由以上推导和 …的结论，我们给出有关Ｅｑ．（１）唯一正定解的以下结论，证明比较容易，可参考文献［１］．定理１ … 对任意的矩阵ＡＥＣ（ｎ），Ｅｑ．（１）总是存在唯一
：
阵方程ｘ一萎Ａｘ～Ａｉ＝Ｉ，此类方程源自一个差值问题，利用一
般的扰动理论．给出了矩阵方程的扰动边界．关键词：矩阵方程正定解扰动边界
Ｉ＋２Ａ：Ｘ一Ａ
＋Ｉ
我们令矩阵Ａ；和Ｘ进行轻微扰动，并且记Ａ．＝Ａ．＋ △Ａ，和ｘ
＝Ｘ＋Ａｘ，其中 △ Ａ， ∈Ｃ（ｎ）， △ｘ ∈Ｈ（ｎ）．则Ｅｑ．（１）扰动后
变为
～ ’ １～
．
一
～
．
ｘ一
ＡｘＡ＝Ｉ．
『１］邓学清．大学预科数学教些什么［Ｊ］．数学教育学报，
１９９８．５．第７卷（２）．『２］杨仕椿，蒲永锋．对民族预科数学衔接教学的思考［Ｊ］
阿坝师范高等专科学校学报，２００６．１２，Ｖ０Ｌ２３．『３］周琴，严水仙，方云．《高等数学》课程实施分层教学的
四、结语
近年来，我们采取边研究、边探索的方法，深化教学内容，更新教学方法，以及做好高中数学和大学数学之间的衔接，对预科数学教学不断进行探索与实践，取得了一定的效果，我们将继续努力探索、实践，提高民族预科数学教学质量。
（２）
利用（２）式减去（１）式可得
１ ’ ｛
Ａ：
ｌＡ２ｌ
ＡＸ＋
ＢＡＸＢ＝Ｅ＋ｈ（ＡＸ），
．
（３）
Ｂ＝ＸＡ（１＝ｌ，２， … ｍ）
。．
●一＾
Ｅ＝２２（Ｂ。ＡＡ＋ＡＡ．Ｂｉ＋ＡＡ．ＸＡＡ）