流体力学第五章相似原理和量纲分析-35页文档资料
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L T M L 1 T 1 M 1 a 1 L 2 T 2 M 2 a 2 L n T n M n an
第五节 量纲分析法（瑞利法）
• 方程两边量纲一致
1a12a2nan 1a12a2nan 1a12a2nan
Ma v c
马赫数；是惯性力 与弹性力的比值。
c为音速
第二节 动力相似准则
（６）表面张力相似（韦伯准则）
We v2l
韦伯数；是惯性力与 张力的比值。
第三节 流动相似条件
二流动相似的必要和充分条件：
• （１）由相同的微分方程所描述；同一类流动。 • （２）单值条件（包括几何条件、边界条件、物
第二节 动力相似准则
• 牛顿相似准则
F F m maaVVdvddvdtt
F F
l2v2 l2v2
kF 1
k
k
2 l
k
2 v
Ne F
l 2v2
牛顿数，是作用力与 惯性力的比值
流场动力相似： N eNe
第二节 动力相似准则
• （１）重力相似准则（弗劳德准则）
在重力作用下相似的流动，其重力场必须相似
kFW WV Vggkkl3kg
v
v
gl12 gl12
k v kl k g
12
1
弗劳德数，是惯性力
Fr
v
gl 1
2
与重力的比值
流场重力作用相似： F rFr
第二节 动力相似准则
• （２）黏滞力相似准则（雷诺准则）
性条件、初始条件）相似。
• （３）相似准则数相等。
例题
• 当通过油池底部的管道向外输油时，如果池内油深
太小，会形成大于油面的旋涡，并将空气吸入输油 管。为了防止这种情况发生，需要通过模型试验去 确定油面开始出现旋涡的最小油深hmin。已知输油管 内径d＝２５０mm，油的流量qｖ＝０.１４m ３／ s，运动黏度γ＝７.５×１０－５m２／s。若长度比例 尺kl＝１／５ ，为了保证流动相似，模型输出管 的内径、模型内液体的流量和运动黏度应等于多少？ 在模型上测得h‘min＝６０mm，油池的最小油深hmin 应等于多少？
第五节 量纲分析法（基本概念）
量纲分析：是研究自然现象物理量量纲之间 固有联系的理论。
作用： （1）导出相似准则数 （2）通过试验建立复杂流动的运动规律。
第五节 量纲分析法（基本概念）
1、量纲 是物理量的单位种类，又称因次，如长度、宽
度、高度、深度、厚度等都可以用米、英寸、公 尺等不同单位来度量，但它们属于同一单位，即 属于同一单位量纲(长度量纲），用L表示。
纲常数时，具体数值由实验确定； 3）不能区别量纲相同而意义不同的物理量。
谢谢你的阅读
知识就是财富 丰富你的人生
kV
V V
kl3
二、运动相似
• 模型与原型的流场所有对应点上、对应时刻的流速方向相
同而速度大小的比例相等，即速度场相似。
v v kv
速度比例尺
时间比例尺：kt
t t
l l
v v
kl kv
加速度比例尺：ka
a v t kv a vt kt
kv2 kl
体积流量比例尺，运动黏度比例尺，角速度比例尺
• π定理表述：
如果一个物理过程涉及到n个物理量和m个 基本量纲，则这个物理过程可以用n 个物 理量组成的n-m个无量纲的函数关系来表 示。这些无量纲量用πi来表示。
第五节 量纲分析法（ π定理）
若
F x1,x2, ,xn0
且 a1,a2, ,am (m n) 为基本量纲（m个基本量纲）
基本比例尺：kρ，kl，kv
其他如：力的比例尺，力矩的比例尺，压强的比例尺，功率比例 尺，动力黏度比例尺
四、三种相似条件的关系
• 几何相似是力学相似的前提条件，动力相
似是运动相似的主导因素，运动相似是几 何相似和动力相似的表现。
• 模型与原型的几何相似、运动相似和动力
相似是两个流场完全相似的重要特征。
第五节 量纲分析法（基本概念）
4 无量纲量 指该物理量的量纲为1，用L0M0T0表示，实际
是一个数，但与单纯的数不一样，它是几个物理 量组合而成的综合物理量，如相似准则数：
[Re]vl LL2TT 11L1
[Sr]vl t LTL1T1
第五节 量纲分析法（方法）
三、动力相似
• 模型与原型的流场所有对应点作用在流体微团上的各种力彼此方
向相同，大小成比例。即动力场相似。
Fp Fp
F F
WFi W Fi
kF
总
切重
惯
力
压
向
性的
力
力力
力
比
例
尺
三、动力相似
密度比例尺： kF F ii a a V V kk ak F Vkk l2k F v 2
第五章 相似原理和量纲分析
是流体力学实验研究的理论基础
相似原理
实物
相似原理
模型
相似理论：模型流场再现实物流场的准则——指导模型实验。
实验结果推广到原型以及应用到相似的流动中。 实验设备：
水池、水槽、风洞。
第一节 流动的力学相似
流动空间各对应点上和各对应时刻，表征流动过程的所 有物理量各自互成一定比例。
第五节 量纲分析法（基本概念）
2 基本量纲 导出量纲 基本量纲是具有独立性的量纲，在流体力 学领域中有三个基本量纲：长度量纲L，时 间量纲T，质量量纲M。
导出量纲由基本量纲组合表示， 如加速度的量纲 [a]=LT-2 力的量纲 [F]=[ma]=MLT-2
任何物理量B的量纲可写成 [B]=MLT
在黏性力作用下相似的流动，其黏性力分布必须相似
kFF F d dvxxv //d dyy A A kkvkl
kkvkl 1 k
kvkl 1 k
vl vl
vl vl
Re vl vl 雷诺数，惯性力
与黏性力之比
得到无量纲方程 f(1,2, ,nm )0
假设有三个基本量纲，需要选择三个基本量 xn2,xn1,xn
xx x x i
ai bi ci i n2 n1 n
xi
i
ai bi ci
x x x n2 n1 n
原方程转化为： f(1, 2, , n 3,1 ,1 ,1 )0
第五节 量纲分析法（基本概念）
3 基本量 导出量 一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理
量（基本量）和其他物理量（导出量），后者可 由前者通过某种关系得到，前者互为独立的物理 量。基本量个数取基本量纲个数，所取定的基本 量必须包括三个基本量纲在内，这就是选取基本 量的原则。
如、v 、l可以构成一组基本量，包含了 [L] 、[M] 、[T]这三个基本量纲，而a 、v 、l 就不能构成基本量，因为不包含基本量纲M。
力
几何相似
表征流场几何形状
学
相
运动相似
表征流体微团运动状态
似
动力相似
表征流体微团动力性质
一、几何相似
• 模型与原型的全部对应线长度的比例相等。
模型
l l
kl
原型
特征长度
如：圆柱的直径d，管道的长度l，翼型的翼弦长b，管壁的绝对 粗糙度ε
一、几何相似
• 面积比例尺
kA
A A
k2 l
•体积比例尺
第五节 量纲分析法（ π定理）
• 不可压缩黏性流体在粗糙管内定常流动时，沿管
道的压降Δp与管道长度l、内径d、绝对粗糙度ε、 平均流速v、流体密度ρ和动力黏度µ 有关。求导 出压强降的表达式。
第五节 量纲分析法
• 注意事项：
1）必须知道流动所包含的全部物理量； 2）在表征流动过程的函数关系式中存在无量
lf v
斯特劳哈尔数，也称 谐时数；是当地惯性 力与迁移惯性力的比
值
第二节 动力相似准则
• （５）弹性力相似准则（柯西准则）
对于可压缩模型实验，保证压缩引起的弹性 力场必须相似
Ca v2
K
柯西数；是惯性力 与弹性力的比值。
Ｋ为体积模量
第二节 动力相似准则
（５）弹性力相似准则对于气体（马赫准则）
第五节 量纲分析法（瑞利法）
• 不可压缩黏性流体在粗糙管内定常流动时，沿管
道的压降Δp与管道长度l、内径d、绝对粗糙度ε、 平均流速v、流体密度ρ和动力黏度µ 有关。求导 出压强降的表达式。
第五节 量纲分析法（瑞利法）
• 达西-魏斯巴赫公式：
hf
l d
v2 2g
第五节 量纲分析法（ π定理）
• 依据：方程量纲一致性原则。
• 两种方法：瑞利法和π定理。
第五节 量纲分析法（瑞利法）
• 瑞利法表述：
如果一个物理过程涉及的物理量为y、x1、x2……，xn，它
们之间待定函数一般表示为
y=f（ x1，x2，……，xn ）
由于各物理量只能由基本量纲导出，
yk1a x1x2a2 xnan
用基本量纲表示为：
例题
• 为了探索用输油管道上的一段弯管的压强降去计
量油的流量，进行了水模拟实验。选取长度比例 尺kl＝１／５。已知输油管内径d＝１００mm， 油的流量qv＝２０Ｌ／s，运动黏度γ＝０.６２５ ×１０-６m２／s，密度ρ＝７２０kg／m３，水的 运动黏度γ’＝１.０×１０-６m２／s，密度ρ‘＝９ ９８kg／m３，保证流动相似，求水流量。如果测 得在该流量下模型弯管的压强降Δp’＝1.177 ×１ ０4pa,试求原型弯管在对应流量下的压强降。
黏性力作用相似： ReRe
第二节 动力相似准则
• （３）压力相似准则（欧拉准则）
在压力作用下相似的流动，其压力分布必须相似
或者：
Eu p
v2
Eu p
v2
欧拉数，是总压力与 惯性力的比值
第二节 动力相似准则
• （４）非定常相似准则
保证模型与原型的流动随时间变化相似
Sr l vt
第五节 量纲分析法（瑞利法）
• 方程两边量纲一致
1a12a2nan 1a12a2nan 1a12a2nan
Ma v c
马赫数；是惯性力 与弹性力的比值。
c为音速
第二节 动力相似准则
（６）表面张力相似（韦伯准则）
We v2l
韦伯数；是惯性力与 张力的比值。
第三节 流动相似条件
二流动相似的必要和充分条件：
• （１）由相同的微分方程所描述；同一类流动。 • （２）单值条件（包括几何条件、边界条件、物
第二节 动力相似准则
• 牛顿相似准则
F F m maaVVdvddvdtt
F F
l2v2 l2v2
kF 1
k
k
2 l
k
2 v
Ne F
l 2v2
牛顿数，是作用力与 惯性力的比值
流场动力相似： N eNe
第二节 动力相似准则
• （１）重力相似准则（弗劳德准则）
在重力作用下相似的流动，其重力场必须相似
kFW WV Vggkkl3kg
v
v
gl12 gl12
k v kl k g
12
1
弗劳德数，是惯性力
Fr
v
gl 1
2
与重力的比值
流场重力作用相似： F rFr
第二节 动力相似准则
• （２）黏滞力相似准则（雷诺准则）
性条件、初始条件）相似。
• （３）相似准则数相等。
例题
• 当通过油池底部的管道向外输油时，如果池内油深
太小，会形成大于油面的旋涡，并将空气吸入输油 管。为了防止这种情况发生，需要通过模型试验去 确定油面开始出现旋涡的最小油深hmin。已知输油管 内径d＝２５０mm，油的流量qｖ＝０.１４m ３／ s，运动黏度γ＝７.５×１０－５m２／s。若长度比例 尺kl＝１／５ ，为了保证流动相似，模型输出管 的内径、模型内液体的流量和运动黏度应等于多少？ 在模型上测得h‘min＝６０mm，油池的最小油深hmin 应等于多少？
第五节 量纲分析法（基本概念）
量纲分析：是研究自然现象物理量量纲之间 固有联系的理论。
作用： （1）导出相似准则数 （2）通过试验建立复杂流动的运动规律。
第五节 量纲分析法（基本概念）
1、量纲 是物理量的单位种类，又称因次，如长度、宽
度、高度、深度、厚度等都可以用米、英寸、公 尺等不同单位来度量，但它们属于同一单位，即 属于同一单位量纲(长度量纲），用L表示。
纲常数时，具体数值由实验确定； 3）不能区别量纲相同而意义不同的物理量。
谢谢你的阅读
知识就是财富 丰富你的人生
kV
V V
kl3
二、运动相似
• 模型与原型的流场所有对应点上、对应时刻的流速方向相
同而速度大小的比例相等，即速度场相似。
v v kv
速度比例尺
时间比例尺：kt
t t
l l
v v
kl kv
加速度比例尺：ka
a v t kv a vt kt
kv2 kl
体积流量比例尺，运动黏度比例尺，角速度比例尺
• π定理表述：
如果一个物理过程涉及到n个物理量和m个 基本量纲，则这个物理过程可以用n 个物 理量组成的n-m个无量纲的函数关系来表 示。这些无量纲量用πi来表示。
第五节 量纲分析法（ π定理）
若
F x1,x2, ,xn0
且 a1,a2, ,am (m n) 为基本量纲（m个基本量纲）
基本比例尺：kρ，kl，kv
其他如：力的比例尺，力矩的比例尺，压强的比例尺，功率比例 尺，动力黏度比例尺
四、三种相似条件的关系
• 几何相似是力学相似的前提条件，动力相
似是运动相似的主导因素，运动相似是几 何相似和动力相似的表现。
• 模型与原型的几何相似、运动相似和动力
相似是两个流场完全相似的重要特征。
第五节 量纲分析法（基本概念）
4 无量纲量 指该物理量的量纲为1，用L0M0T0表示，实际
是一个数，但与单纯的数不一样，它是几个物理 量组合而成的综合物理量，如相似准则数：
[Re]vl LL2TT 11L1
[Sr]vl t LTL1T1
第五节 量纲分析法（方法）
三、动力相似
• 模型与原型的流场所有对应点作用在流体微团上的各种力彼此方
向相同，大小成比例。即动力场相似。
Fp Fp
F F
WFi W Fi
kF
总
切重
惯
力
压
向
性的
力
力力
力
比
例
尺
三、动力相似
密度比例尺： kF F ii a a V V kk ak F Vkk l2k F v 2
第五章 相似原理和量纲分析
是流体力学实验研究的理论基础
相似原理
实物
相似原理
模型
相似理论：模型流场再现实物流场的准则——指导模型实验。
实验结果推广到原型以及应用到相似的流动中。 实验设备：
水池、水槽、风洞。
第一节 流动的力学相似
流动空间各对应点上和各对应时刻，表征流动过程的所 有物理量各自互成一定比例。
第五节 量纲分析法（基本概念）
2 基本量纲 导出量纲 基本量纲是具有独立性的量纲，在流体力 学领域中有三个基本量纲：长度量纲L，时 间量纲T，质量量纲M。
导出量纲由基本量纲组合表示， 如加速度的量纲 [a]=LT-2 力的量纲 [F]=[ma]=MLT-2
任何物理量B的量纲可写成 [B]=MLT
在黏性力作用下相似的流动，其黏性力分布必须相似
kFF F d dvxxv //d dyy A A kkvkl
kkvkl 1 k
kvkl 1 k
vl vl
vl vl
Re vl vl 雷诺数，惯性力
与黏性力之比
得到无量纲方程 f(1,2, ,nm )0
假设有三个基本量纲，需要选择三个基本量 xn2,xn1,xn
xx x x i
ai bi ci i n2 n1 n
xi
i
ai bi ci
x x x n2 n1 n
原方程转化为： f(1, 2, , n 3,1 ,1 ,1 )0
第五节 量纲分析法（基本概念）
3 基本量 导出量 一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理
量（基本量）和其他物理量（导出量），后者可 由前者通过某种关系得到，前者互为独立的物理 量。基本量个数取基本量纲个数，所取定的基本 量必须包括三个基本量纲在内，这就是选取基本 量的原则。
如、v 、l可以构成一组基本量，包含了 [L] 、[M] 、[T]这三个基本量纲，而a 、v 、l 就不能构成基本量，因为不包含基本量纲M。
力
几何相似
表征流场几何形状
学
相
运动相似
表征流体微团运动状态
似
动力相似
表征流体微团动力性质
一、几何相似
• 模型与原型的全部对应线长度的比例相等。
模型
l l
kl
原型
特征长度
如：圆柱的直径d，管道的长度l，翼型的翼弦长b，管壁的绝对 粗糙度ε
一、几何相似
• 面积比例尺
kA
A A
k2 l
•体积比例尺
第五节 量纲分析法（ π定理）
• 不可压缩黏性流体在粗糙管内定常流动时，沿管
道的压降Δp与管道长度l、内径d、绝对粗糙度ε、 平均流速v、流体密度ρ和动力黏度µ 有关。求导 出压强降的表达式。
第五节 量纲分析法
• 注意事项：
1）必须知道流动所包含的全部物理量； 2）在表征流动过程的函数关系式中存在无量
lf v
斯特劳哈尔数，也称 谐时数；是当地惯性 力与迁移惯性力的比
值
第二节 动力相似准则
• （５）弹性力相似准则（柯西准则）
对于可压缩模型实验，保证压缩引起的弹性 力场必须相似
Ca v2
K
柯西数；是惯性力 与弹性力的比值。
Ｋ为体积模量
第二节 动力相似准则
（５）弹性力相似准则对于气体（马赫准则）
第五节 量纲分析法（瑞利法）
• 不可压缩黏性流体在粗糙管内定常流动时，沿管
道的压降Δp与管道长度l、内径d、绝对粗糙度ε、 平均流速v、流体密度ρ和动力黏度µ 有关。求导 出压强降的表达式。
第五节 量纲分析法（瑞利法）
• 达西-魏斯巴赫公式：
hf
l d
v2 2g
第五节 量纲分析法（ π定理）
• 依据：方程量纲一致性原则。
• 两种方法：瑞利法和π定理。
第五节 量纲分析法（瑞利法）
• 瑞利法表述：
如果一个物理过程涉及的物理量为y、x1、x2……，xn，它
们之间待定函数一般表示为
y=f（ x1，x2，……，xn ）
由于各物理量只能由基本量纲导出，
yk1a x1x2a2 xnan
用基本量纲表示为：
例题
• 为了探索用输油管道上的一段弯管的压强降去计
量油的流量，进行了水模拟实验。选取长度比例 尺kl＝１／５。已知输油管内径d＝１００mm， 油的流量qv＝２０Ｌ／s，运动黏度γ＝０.６２５ ×１０-６m２／s，密度ρ＝７２０kg／m３，水的 运动黏度γ’＝１.０×１０-６m２／s，密度ρ‘＝９ ９８kg／m３，保证流动相似，求水流量。如果测 得在该流量下模型弯管的压强降Δp’＝1.177 ×１ ０4pa,试求原型弯管在对应流量下的压强降。
黏性力作用相似： ReRe
第二节 动力相似准则
• （３）压力相似准则（欧拉准则）
在压力作用下相似的流动，其压力分布必须相似
或者：
Eu p
v2
Eu p
v2
欧拉数，是总压力与 惯性力的比值
第二节 动力相似准则
• （４）非定常相似准则
保证模型与原型的流动随时间变化相似
Sr l vt