高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.4 直线、平面平行的判定与性质真题演练集训 理 新人教A版(

质真题演练集训理新人教A版
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与性质真题演练集训理新人教A版
1．[2016·山东卷节选］在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．已知G，H分别为EC，FB的中点，求证:GH∥平面ABC.
证明：设FC的中点为I,连接GI，HI，在△CEF中，因为点G是CE的中点，
所以GI∥EF.
又EF∥OB,所以GI∥OB.
在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC。

又HI∩GI＝I,OB∩BC＝B，
所以平面GHI∥平面ABC。

因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC。

2．[2016·新课标全国卷Ⅲ节选］如图,四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB ＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．证明：MN∥平面PAB。

证明：由已知得AM＝错误!AD＝2。

取BP的中点T,连接AT,TN。

由N为PC的中点知，TN∥BC，TN＝错误!BC＝2.
又AD∥BC,故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.
因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB，
所以MN∥平面PAB。

3．［2015·江苏卷节选]如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中,已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：DE∥平面AA1C1C。

证明：由题意知，E为B1C的中点,
又D为AB1的中点，因此DE∥AC.
又因为DE⊄平面AA1C1C,AC⊂平面AA1C1C，
所以DE∥平面AA1C1C。

4．[2014·新课标全国卷Ⅱ节选]如图，四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．证明：PB∥平面AEC.
证明：连接BD交AC于点O，连接EO。

因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．
又E为PD的中点，所以EO∥PB.
又因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
所以PB∥平面AEC.
课外拓展阅读
立体几何中的探索性问题
1．条件追溯型问题
［典例1］如图所示,已知在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,AD⊥DC，AB∥DC，DC＝DD1＝2AD ＝2AB＝2。

(1）求证：DB⊥平面B1BCC1；
(2)设E是DC上一点,试确定点E的位置，使得D1E∥平面A1BD，并说明理由．
（1)［证明]因为AB∥DC,AD⊥DC，
所以AB⊥AD，在Rt△ABD中,AB＝AD＝1，
所以BD＝错误!，易求BC＝错误!，
因为CD＝2,所以BD⊥BC.
又BD⊥BB1，B1B∩BC＝B，
所以BD⊥平面B1BCC1。

(2)［解]点E为DC的中点．理由如下：
如图所示,连接BE，
因为DE∥AB，DE＝AB，
所以四边形ABED是平行四边形．
所以AD∥BE。

又AD∥A1D1,所以BE∥A1D1，
所以四边形A1D1EB是平行四边形，
所以D1E∥A1B。

因为D1E⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，
所以D1E∥平面A1BD。

方法探究
立体几何中的条件追溯型问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断．解题策略一般是先假设结论成立，然后以该结论作为一个已知条件，再结合题目的其他已知条件，逆推（即从后往前推)，一步一步地推出所要求的条件．此类问题的难点是如何应用“执果索因”．在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否,误将必要条件当作充分条件，应引起注意．
2．存在探索型问题
［典例2］如图所示，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC,BC，PB的中点．
(1）求证：DE∥平面BCP；
（2)求证：四边形DEFG为矩形；
(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？请说明理由．
[思路分析］（1)利用DE∥PC证明线面平行;
（2)利用平行关系和已知PC⊥AB证明DE⊥DG;
(3)Q应为EG的中点．
(1）[证明］因为D，E分别是AP，AC的中点,
所以DE∥PC。

又DE⊄平面BCP,所以DE∥平面BCP.
(2)[证明］因为D，E，F，G分别为AP,AC，BC，PB的中点，
所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF。

所以四边形DEFG为平行四边形．
又PC⊥AB，所以DE⊥DG.
所以四边形DEFG为矩形．
(3）［解]存在满足条件的点Q.理由如下：
连接DF，EG,如图所示，设Q为EG的中点，
由（2）知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝错误!EG。

分别取PC，AB的中点M，N，
连接ME，EN，NG，MG，MN。

与(2）同理，可证四边形MENG为矩形,其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN＝错误!EG，所以Q为满足条件的点．
方法探究
解决与平行有关的存在性问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明;若导出与条件或实际情况相矛盾的结果，则说明假设不成立，即不存在．。