江苏省七校联盟高考数学压轴专题《数列的概念》难题汇编 百度文库

一、数列的概念选择题
1．数列{}n a 的前n 项和记为n S ，()*
11N ,2n n n a a a n n ++=-∈≥，12018a =，
22017a =，则100S =（ ）
A ．2016
B ．2017
C ．2018
D ．2019
2．数列{}n a 的通项公式是2
76n a n n =-+，4a =（ ）
A ．2
B ．6-
C ．2-
D ．1
3．已知数列{}n a ，若(
)12*
N
n n n a a a n ++=+∈，则称数列{}n
a 为“凸数列”.已知数列{}
n
b 为“凸数列”，且11b =，22b =-，则数列{}n b 的前2020项和为（ ） A ．5
B ．5-
C ．0
D ．1-
4．已知数列{}n a 的通项公式为23n
n a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则数列{}n a 中的最大项为（ ） A ．
89
B ．
23
C ．
6481
D ．
125
243
5．数列23451,,,,,3579
的一个通项公式n a 是（ ） A ．
21n
n + B ．
23
n
n + C ．
23
n
n - D ．
21
n
n - 6．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（ ）
A ．()2
1n a n n =-- B ．2
1n a n =-
C ．()
12
n n n a +=
D ．()
12
n n n a -=
7．若数列的前4项分别是
1111,,,2345
--，则此数列的一个通项公式为（ ） A ．1(1)n n
--
B ．(1)n n -
C ．1
(1)1
n n +-+
D ．(1)1
n n -+
8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1221,1n n a a S a +===-，则下列命题错误的
是
A ．21n n n a a a ++=+
B ．13599100a a a a a ++++=
C ．2499a a a a ++
+=
D ．12398100100S S S S S +++
+=-
9．在数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，则下列结论正确的是（ ）
A ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤.
B ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≥.
C ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≤.
D ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≥. 10．已知数列{}n a 满足()()*
6
22,6,6
n n p n n a n p
n -⎧--≤=∈⎨
>⎩N ，且对任意的*
n ∈N 都有
1n n a a +>，则实数p 的取值范围是（ ）
A ．71,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．101,
7⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．()1,2
D ．10,27⎛⎫
⎪⎝⎭
11．已知数列{}n a 的前5项为：12a =，232a =，343
a =，454a =，56
5a =，可归纳得
数列{}n a 的通项公式可能为（ ） A ．1
+=
n n a n
B ．2
1
n n a n +=
+ C ．3132
n n a n -=-
D ．221
n n
a n =
- 12．已知数列{}n a 的首项为1，第2项为3，前n 项和为n S ，当整数1n >时，
1
1
12()n
n
n
S S S S 恒成立，则15S 等于（ ）
A ．210
B ．211
C ．224
D ．225
13．已知数列{a n }满足112,0,2
121, 1.
2n n n n n a a a a a +⎧
≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩
若a 1=35,则a 2019 = ( )
A ．
1
5
B ．
25
C ．
35
D ．
45
14．数列{}n a 满足12a =，111
1
n n n a a a ++-=+，则2019a =（ ） A ．3-
B ．12-
C ．
13
D ．2
15．已知在数列{}n a 中，112,1
n n n
a a a n +==+，则2020a 的值为（ ） A ．
1
2020
B ．
1
2019
C ．
11010
D ．
11009
16．已知数列{}n b 满足1
2122n n b n λ-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
，若数列{}n b 是单调递减数列，则实数λ的
取值范围是（ ） A ．
10
1,
3
B ．110,23⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．(-1，1)
D ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭
17．设数列{}n a 的通项公式为2
n n a n
+=，要使它的前n 项的乘积大于36，则n 的最小值为（ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
18．已知数列{}n a 满足1N a *
∈，1,2+3,n
n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数
，若{}n a 为周期数列，则1a 的
可能取到的数值有（ ） A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．无数个
19．已知数列{}n a 满足00a =，()11i i a a i +=+∈N ，则20
1
k
k a
=∑的值不可能是（ ） A ．2
B ．4
C ．10
D ．14
20．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ，则下面结论错误的是（ ） A ．1(1)n n a a n n --=> B ．20210a =
C ．1024是三角形数
D ．123111121
n n
a a a a n +++⋯+=+ 二、多选题
21．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：
1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列
数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．1055a = B ．2020a 是偶数
C ．202020182022
3a a a =+
D ．123a a a +++…20202022a a +=
22．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ） A ．0,2,n n a n ⎧=⎨
⎩为奇数
为偶数
B ．1(1)1n n a -=-+
C ．2sin
2
n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+
23．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足140(2)n n n a S S n -+=≥，114
a =，则下列说法错误的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为4n S n = B ．数列{}n a 的通项公式为1
4(1)
n a n n =
+
C ．数列{}n a 为递增数列
D ．数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为递增数列
24．设数列{}n a 的前n 项和为*
()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是
（ ）
A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列
B ．若2
n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列
C ．若()11n
n S =--，则{}n a 是等比数列
D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*
32()n n S S n N -∈也成等差数列
25．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有
m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）
A ．11285a a a a +=+
B ．56110a a a a <
C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103
a = D ．数列n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为递减的等差数列 26．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A ．4
B ．5
C ．7
D ．8
27．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（ ）
A ．1d =-
B ．413a a =
C ．n S 的最大值为8S
D ．使得0n S >的最大整数15n =
28．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =
C ．95S S >
D ．6S 与7S 均为n S 的最大值
29．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．70a =
C ．95S S >
D ．67n S S S 与均为的最大值
30．在数列{}n a 中，若22*
1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数
列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列
C ．若{}n a 是等方差数列，则{}(
)*
,kn a k N
k ∈为常数)也是等方差数列
D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 31．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*
n N ∈，公差0d ≠，6
90S
=，7a 是3a 与9
a 的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =-
B ．1
20a =-
C ．当且仅当10n =时，n S 取最大值
D ．当0n
S <时，n 的最小值为22
32．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥
时，)
2
11n a =
-，则关于数列
{}n a 说法正确的是（ ）
A ．28a =
B ．数列{}n a 为递增数列
C ．数列{}n a 为周期数列
D ．2
2n a n n =+
33．无穷数列{}n a 的前n 项和2
n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）
A ．{}n a 可能为等差数列
B ．{}n a 可能为等比数列
C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列
D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列
34．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（ ） A ．a 6＞0 B ．24
37
d -
<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
中最小项为第7项 35．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．当9n =或10时，n S 取最大值 C ．911a a <
D ．613S S =
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、数列的概念选择题 1．A
解析：A 【分析】
根据题意，由数列的递推公式求出数列的前8项，分析可得数列{}n a 是周期为6的数列，且1234560a a a a a a +++++=，进而可得1001234S a a a a =+++，计算即可得答案． 【详解】
解：因为12018a =，22017a =，()
*
11N ,2n n n a a a n n +-=-∈≥，
则321201720181a a a =-=-=-， 432(1)20172018a a a =-=--=-， 543(2018)(1)2017a a a =-=---=-， 654(2017)(2018)1a a a =-=---=， 76511(2017)2018a a a a =-=--==，
8762201812017a a a a =-=-==，
…，所以数列{}n a 是周期数列，周期为6， 因为12560a a a a ++⋅⋅⋅++=，所以
()100125697989910016S a a a a a a a a =++⋅⋅⋅++++++
12342016a a a a =+++=．
故选：A ． 【点睛】
本题考查数列的递推公式的应用，关键是分析数列各项变化的规律，属于基础题．
2．B
解析：B 【分析】 令4n = 代入即解 【详解】
令4n =，2
447466a =-⨯+=-
故选：B. 【点睛】
数列通项公式n a 是第n 项与序号n 之间的函数关系，求某项值代入求解.
3．B
解析：B 【分析】
根据数列的递推关系可求得数{}n b 的周期为6，即可求得数列{}n b 的前2020项和. 【详解】
()*
21N n n n b b b n ++=-∈，且11b =，22b =-，
∴345673,1,2,3,1,b b b b b =-=-===
∴{}n b 是以6为周期的周期数列，且60S =， ∴20203366412345S S b b b b ⨯+==+++=-，
故选：B. 【点睛】
本题考查数列的新定义、数列求和，考查运算求解能力，求解时注意通过计算数列的前6项，得到数列的周期.
4．A
解析：A 【分析】
由12233n
n n n a a +-⎛⎫
-=⋅ ⎪⎝⎭
，当n <2时，a n ＋1－a n >0，当n <2时，a n ＋1－a n >0，从而可得
到n ＝2时，a n 最大. 【详解】
解：112222(1)3333n n n
n n n a a n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭， 当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；
当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，
所以数列{}n a 中的最大项为a 2或a 3，且2328
239
a a ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.
故选：A . 【点睛】
此题考查数列的函数性质：最值问题，属于基础题.
5．D
解析：D 【分析】
根据数列分子分母的规律求得通项公式. 【详解】
由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为21
n n
a n =-. 故选：D 【点睛】
本小题主要考查根据数列的规律求通项公式，属于基础题.
6．C
解析：C
【分析】
首先根据已知条件得到410a =，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】
由题知：410a =，
对选项A ，()2
444113a =--=，故A 错误；
对选项B ，2
44115a =-=，故B 错误；
对选项C ，()
4441102a ⨯+==，C 正确； 对选项D ，()
444162
a ⨯-==，故D 错误. 故选：C 【点睛】
本题主要考查数列的通项公式，属于简单题.
7．C
解析：C 【分析】
根据数列的前几项的规律，可推出一个通项公式. 【详解】
设所求数列为{}n a ，可得出()11
1
111
a
+-=
+，()21
2
121
a
+-=
+，()31
3
131
a
+-=
+，()41
4
141
a
+-=
+，
因此，该数列的一个通项公式为()1
11
n n
a n +-=
+.
故选：C. 【点睛】
本题考查利用数列的前几项归纳数列的通项公式，考查推理能力，属于基础题.
8．C
解析：C 【分析】
21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到A 正确；由A 选项得到
13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=进而得到B
正确；同理可得到C 错误；由21n n S a +=-得到
12398S S S S +++⋯+=123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-=100100.S -进
而D 正确. 【详解】
已知21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到2121n n n n n n a a a a a a ++++=-⇒=+，故A 正确；根据A 选项得到
13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=，故B 正
确；
24698a a a a +++⋯+=2234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=
1234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=97991S a =-，故C 不正确；根据2123981n n S a S S S S +=-+++⋯+=
，123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-= 100100.S -
故D 正确. 故答案为C. 【点睛】
这个题目考查了数列的应用，根据题干中所给的条件进行推广，属于中档题，这类题目不是常规的等差或者等比数列，要善于发现题干中所给的条件，应用选项中正确的结论进行其它条件的推广.
9．A
解析：A 【分析】
运用数列的单调性和不等式的知识可解决此问题. 【详解】
数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，
121n n n n a a a a +++∴≥--，
设1n n n d a a +=-，则1n n d d +≥，
∴数列{}n d 是递减数列.
对于A ，由11a =，20192019a =， 则201911220182019a a d d d =+++=，
所以1220182018d d d ++
+=，又1232018d d d d ≥≥≥
≥，
所以1122018201820182018d d d d d ≥++
+≥，
故120181d d ≥≥，2018n ∴≥时，1n d ≤，
02019N ∃=，2019n >时， 20192019202012019111n n a a d d d n -=+++
≤++++=
即存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤，故A 正确；
结合A ，故B 不正确；
对于C ，当n →+∞，且0n d >时，数列{}n a 为递增数列， 则n a 无最大值，故C 不正确；
对于D ，由数列{}n d 是递减数列，当存在0n d <时，则n a 无最小值，故D 不正确； 故选：A
【点睛】
本题考查了数列的单调性以及不等式，属于基础题.
10．D
解析：D 【分析】
根据题意，得到数列是增数列，结合通项公式，列出不等式组求解，即可得出结果. 【详解】
因为对任意的*n ∈N 都有1n n a a +>， 则数列{}n a 单调递增；
又()()*622,6,6
n n p n n a n p n -⎧--≤=∈⎨>⎩N ， 所以只需6
7201p p a a ->⎧⎪>⎨⎪<⎩，即21106p p p p
<⎧⎪
>⎨⎪-<⎩，解得1027p <<. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查由数列的单调性求参数，属于基础题型.
11．A
解析：A 【分析】
将前五项的分母整理为1,2,3,4,5，则其分子为2,3,4,5,6，据此归纳即可. 【详解】
因为12a =，232a =
，343
a =，454a =，56
5a =，
故可得1223,12a a ==, 343
a =，454a =，56
5a =，
故可归纳得1
+=n n a n
. 故选：A. 【点睛】
本题考查简单数列通项公式的归纳总结，属基础题.
12．D
解析：D 【分析】
利用已知条件转化推出1122n n a a a +-==，说明数列是等差数列，然后求解数列的和即可． 【详解】
解：结合1
1
12()n
n
n S S S S 可知，11122n n n S S S a +-+-=，
得到1122n n a a a +-==，故数列{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列，则12(1)21n a n n =+-=-，所以1529a =，
所以11515()15(291)15
22522
a a S ++=
==， 故选：D ． 【点睛】
本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列求和，是基本知识的考查．
13．B
解析：B 【分析】
根据数列的递推公式，得到数列的取值具备周期性，即可得到结论． 【详解】
∵112,02
121,1
2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩
，又∵a 135=，∴a 2＝2a 1﹣1＝235⨯-115=，
a 3＝2a 225
=
， a 4＝2a 3＝22455
⨯
=， a 5＝2a 4﹣1＝245⨯
-135
=， 故数列的取值具备周期性，周期数是4， 则2019a ＝50443a ⨯+＝32
5
a =， 故选B ． 【点睛】
本题主要考查数列项的计算，根据数列的递推关系是解决本题的关键．根据递推关系求出数列的取值具备周期性是解决本题的突破口．
14．B
解析：B 【分析】
由递推关系，可求出{}n a 的前5项，从而可得出该数列的周期性，进而求出2019a 即可. 【详解】 由1111
n n n a a a ++-=
+，可得111n
n n a a a ++=-，
由12a =，可得23a =-，312
a =-
，41
3a =，52a =，
由15a a =，可知数列{}n a 是周期数列，周期为4， 所以201931
2
a a ==-. 故选：B.
15．C
解析：C 【分析】
由累乘法可求得2
n a n
=，即可求出. 【详解】
11n n n a a n +=
+，即11n n
a n a n +=+， 12
321123
2112321
21232n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n --------∴=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⨯--2n
=， 202021
20201010
a ∴=
=. 故选：C.
16．A
解析：A 【分析】
由题1n n b b +>在n *∈N 恒成立，即16212n
n λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭
，讨论n 为奇数和偶数时，再利用数列单调性即可求出. 【详解】
数列{}n b 是单调递减数列，1n n b b +∴>在n *∈N 恒成立，
即()1
22112+1222n
n n n λλ-⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
恒成立，
即16212n
n λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭
， 当n 为奇数时，则()6212n
n
λ>-+⋅恒成立，
()212n n -+⋅单调递减，1n ∴=时，()212n n -+⋅取得最大值为6-，
66λ∴>-，解得1λ>-；
当n 为偶数时，则()6212n
n λ<+⋅恒成立，
()212n n +⋅单调递增，2n ∴=时，()212n n +⋅取得最小值为20，
620λ∴<，解得103
λ<
， 综上，1013
λ-<<. 故选：A. 【点睛】
关键点睛：本题考查已知数列单调性求参数，解题的关键由数列单调性得出
16212n
n λ⎛⎫
-<+ ⎪⎝⎭
恒成立，需要讨论n 为奇数和偶数时的情况，这也是容易出错的地方. 17．C
解析：C 【分析】
先求出数列{}n a 的前n 项的乘积为n D ，令0n D >解不等式，结合*n N ∈，即可求解. 【详解】
记数列{}n a 的前n 项的乘积为n D ，则
()()12
11245
1232312
n n n n n n n D a a a a n n -++++=⋅⋅=⨯⨯⨯
⨯
⨯=- 依题意有
()()12362
n n ++>
整理得()()2
3707100n n n n +-=-+> 解得：7n >，
因为*n N ∈，所以min 8n =， 故选：C
18．B
解析：B 【分析】
讨论出当1a 分别取1、2、3、4、6时，数列{}n a 为周期数列，然后说明当19a ≥时，分1a 为正奇数和正偶数两种情况分析出数列{}n a 不是周期数列，即可得解. 【详解】
已知数列{}n a 满足1N a *
∈，1,2
+3,n
n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数
. ①若11a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，
，以此类推，可知对任意的
n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；
②若12a =，则21a =，34a =，42a =，51a =，
，以此类推，可知对任意的
n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；
③若13a =，则26a =，33a =，46a =，
，以此类推，可知对任意的n *∈N ，
2n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；
④若14a =，则22a =，31a =，44a =，52a =，
，以此类推，可知对任意的
n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；
⑤若15a =，则28a =，34a =，42a =，51a =，64a =，，以此类推，可知对任意
的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑥若16a =，则23a =，36a =，43a =，
，以此类推，可知对任意的n *∈N ，
2n n a a +=，
此时，{}n a 为周期数列；
⑦若17a =，则210a =，35a =，48a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2
n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑧若18a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2
n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列.
下面说明，当19a ≥且1N a *
∈时，数列{}n a 不是周期数列.
（1）当(
34
12,2a ⎤∈⎦
且1N a *
∈时，由列举法可知，数列{}n a 不是周期数列； （2）假设当(
()1
12,23,k k a k k N +*⎤∈≥∈⎦
且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列，那么当(
()1
212
,23,k k a k k N ++*
⎤∈≥∈⎦
时. 若1a 为正偶数，则(11
22,22
k k a a +⎤=
∈⎦，则数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，从而可知，数列{}n a 不是周期数列； 若1a 为正奇数，则(
(1
213
2132
3,232,2k k k k a a ++++⎤⎤=+∈++⊆⎦⎦且2a 为偶数，
由上可知，数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，进而可知数列{}n a 不是周期数列.
综上所述，当19a ≥且1N a *
∈时，数列{}n a 不是周期数列.
因此，若{}n a 为周期数列，则1a 的取值集合为{}1,2,3,4,6. 故选：B. 【点睛】
本题解题的关键是抓住“数列{}n a 为周期数列”进行推导，对于1a 的取值采取列举法以及数学归纳法进行论证，对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据数列的基本性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．
19．B
解析：B 【分析】
先由题中条件，得到2
12
21i i i a a a +-=+，由累加法得到20
2211
221k k a a ==-∑
，根据00a =，
()11i i a a i +=+∈N ，逐步计算出221a 所有可能取的值，即可得出结果.
【详解】
由11i i a a +=+得()2
221121i i i i a a a a +=+=++，
则21221i i i a a a +-=+， 所以2221121a a a -=+， 2232221a a a -=+，
……，
2202022121a a a -=+，
以上各式相加可得：()21120
2
21
0221
2 (20202)
k
k a a a a a a
=-
=+++++=∑，
所以20
22121
1220
k k a a a ==--∑
，
又00a =，所以2
12
0211a a a =++=，则20
2211
221
k k a a ==-∑
，
因为()11i i a a i +=+∈N ，00a =，则0111a a =+=，所以11a =±，则2110a a =+=或
2，
所以20a =或2±；则3211a a =+=或3，所以31a =±或3±；则4310a a =+=或2或
4，所以42a =±或4±或0；则5411a a =+=或3或5，所以51a =±或3±或5±；……，
以此类推，可得：211a =±或3±或5±或7±或9±或11±或13±或15±或17±或19±或
21±，
因此221a 所有可能取的值为222222222221,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21，
所以22112
2a -所有可能取的值为10-，6-，2，14，30，50，74，102，134，
170，210；
则
20
1
k
k a
=∑所有可能取的值为10，6，2，14，30，50，74，102，134，170，210，
即ACD 都有可能，B 不可能. 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：
求解本题的关键在于将题中条件平方后，利用累加法，得到20
22121
1220
k k a a a ==--∑
，将问题
转化为求221a 的取值问题，再由条件，结合各项取值的规律，即可求解.
20．C
解析：C 【分析】
对每一个选项逐一分析得解. 【详解】
∵212a a -=，323a a -=，434a a -=，…，由此可归纳得1(1)n n a a n n --=>，故A 正确；
将前面的所有项累加可得1(1)(2)(1)
22
n n n n n a a -++=+=，∴20210a =，故B 正确； 令
(1)
10242
n n +=，此方程没有正整数解，故C 错误； 12
1111111
1212231n a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++
=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，故D 正确. 故选C 【点睛】
本题主要考查累加法求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
二、多选题 21．AC 【分析】
由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】
对于A ，，，，故A 正确；
对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误； 对于C ，，故C 正确； 对于D ，，，， ， 各式相加
解析：AC 【分析】
由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】
对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确； 对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；
对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确； 对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，
32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=，
各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++， 所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.
22．BD 【分析】
根据选项求出数列的前项，逐一判断即可. 【详解】
解：因为数列的前4项为2，0，2，0， 选项A ：不符合题设； 选项B ： ，符合题设； 选项C ：， 不符合题设； 选项D ： ，符合题设
解析：BD 【分析】
根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】
解：因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0， 选项A ：不符合题设；
选项B ：0
1(1)12,a =-+=1
2(1)10,a =-+=
23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；
选项C ：，12sin
2,2
a π
==22sin 0,a π==
332sin
22
a π
==-不符合题设； 选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=
3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.
故选：BD. 【点睛】
本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
23．ABC 【分析】
数列的前项和为，且满足，，可得：，化为：，利用等差数列的通项公式可得，，时，，进而求出． 【详解】
数列的前项和为，且满足，， ∴，化为：，
∴数列是等差数列，公差为4， ∴，可得
解析：ABC 【分析】
数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（）
，且满足1402n n n a S S n -+=≥（），11
4
a =，可得：1140n n n n S S S S ---+=，化为：1114n n S S --=，利用等差数列的通项公式可得1
n
S ，n S ，2n ≥时，()()
111144141n n n a S S n n n n -=-=
-=---，进而求出n a ． 【详解】
数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（）
，且满足1402n n n a S S n -+=≥（），11
4
a =， ∴1140n n n n S S S S ---+=，化为：
1
11
4n n S S --=， ∴数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列，公差为4，
∴()1
4414n n n S =+-=，可得14n S n
=， ∴2n ≥时，()()
1111
44141n n n a S S n n n n -=-=
-=---， ∴()
1
(1)4
1(2)41n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，
对选项逐一进行分析可得，A ，B ，C 三个选项错误，D 选项正确.
故选：ABC. 【点睛】
本题考查数列递推式，解题关键是将已知递推式变形为
1
114n n S S --=，进而求得其它性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题
24．BCD 【分析】
利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】
选项A: ,得是等差数列，当时不是等比数列，故错; 选项B: ,,得是等差数列，故对; 选项C: ,,当时也成立，是等比数列
解析：BCD 【分析】
利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】
选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:
2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;
选项C: ()11n
n S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，
12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;
选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*
32()n n S S n N -∈是等差数
列，故对; 故选：BCD 【点睛】
熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.
25．AC 【分析】
令，则，根据，可判定A 正确；由，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；，根据，可判定D 错误. 【详解】
令，则，因为，所以为等差数列且公差，故A 正确； 由，所以，故B 错误；
解析：AC 【分析】
令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由2
56110200a a a a d -=>，可
判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；122n d d n a n S ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭，根据02>d ，可判定D 错误. 【详解】
令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正确；
由(
)()22
2
256110111
19209200a a a a a a d d
a
a d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B
错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以1
3x =，213
x -=， 故101110
9333
a =
+⨯=，故C 正确； 由()111222n
n n na d
S d d n a n
n -+
⎛⎫=
=+- ⎪⎝
⎭，因为02>d ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是递增的等差数列，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】
解决数列的单调性问题的三种方法；
1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；
2、作商比较法：根据1
(0n n n
a a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.
26．BD 【分析】
依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为，公差即每一层比上一层多的根数为，设一共放层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】
依据题意，根数从上至下构成等差
解析：BD 【分析】
依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】
依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设
一共放()2n n ≥层，则总得根数为：
()()
111110022n n n d n n S na na --=+
=+= 整理得1200
21a n n
=
+-， 因为1a *
∈N ，所以n 为200的因数，()200
12n n
+-≥且为偶数， 验证可知5,8n =满足题意. 故选：BD. 【点睛】
关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题.
27．BCD 【分析】
设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得，再逐项判断即可得解. 【详解】
设等差数列的公差为， 由题意，，所以，故A 错误； 所以，所以，故B 正确； 因为， 所以当
解析：BCD 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得1
2
15d a =-⎧⎨=⎩，再逐
项判断即可得解. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，
由题意，11154111051122
15
a d a d a ⨯⨯⎧
+
=+⎪⎨⎪=⎩，所以1215d a =-⎧⎨=⎩，故A 错误； 所以1131439,129a a d a d a =+==+=-，所以413a a =，故B 正确； 因为()()2
211168642
n n n a n d n n n S -=+
=-+=--+，
所以当且仅当8n =时，n S 取最大值，故C 正确；
要使()2
8640n S n =--+>，则16n <且n N +∈， 所以使得0n S >的最大整数15n =，故D 正确. 故选：BCD.
28．BD 【分析】
设等差数列的公差为，依次分析选项即可求解. 【详解】
根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项： 是等差数列，若，则，故B 正确； 又由得，则有，故A 错误； 而C 选项，，即，可得，
解析：BD 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项即可求解. 【详解】
根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：
{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；
又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误； 而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>， 又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的. ∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确； 故选：BD. 【点睛】
本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题.
29．ABD 【分析】
由，判断，再依次判断选项. 【详解】 因为，，
，所以数列是递减数列，故，AB 正确； ，所以，故C 不正确；
由以上可知数列是单调递减数列，因为可知，的最大值，故D 正确. 故选：AB
解析：ABD 【分析】
由1n n n S S a --=()2n ≥，判断6780,0,0a a a >=<，再依次判断选项. 【详解】
因为5665600S S S S a <⇒->⇒>，677670S S S S a =⇒-==，
788780S S S S a >⇒-=<，所以数列{}n a 是递减数列，故0d <，AB 正确；
()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；
由以上可知数列{}n a 是单调递减数列，因为6780,0,0a a a >=<可知，67n S S S 与均为的最大值，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和的最值，重点考查等差数列的性质，属于基础题型.
30．BCD 【分析】
根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】
对于A ，若是等差数列，如，
则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误； 对于B ，数列中，是常数， 是等方差数
解析：BCD 【分析】
根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】
对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，
则12222
(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}
n a 不是等方差数列，故A 错误；
对于B ，数列
(){}1n
-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，
{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；
对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ，
数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，
，
()(
)()()
2222222212132221k k k k k k k k a
a a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加得()()()()
22
222
2221
2
1
3
2
221k k
k k k k k k a
a a a a a a a kp +++++--+-+-+
+-=，222k k a a kp ∴-=，
()
221kn k n a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确； 对于D ，
{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+
{}n a 是等方差数列，
()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，22
10n n a a --=是常数，故D 正确.
故选：BCD. 【点睛】
本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题.
31．AD 【分析】
运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由解不等式可判断D ． 【详解】
等差数列的前n 项和为，公差，由，可
解析：AD 【分析】
运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由0n S <解不等式可判断D ．
【详解】
等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即
12530a d +=，①
由7a 是3a 与9a 的等比中项，得2
739a a a =，即()()()2
111628a d a d a d +=++，化为
1100a d +=，②
由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222n a n n =--=-，
21
(20222)212
n S n n n n =+-=-，
由2
2144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝
⎭，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由2
102n S n n -<=，解得21n >，则n 的最小值为22.
故选：AD 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题.
32．ABD 【分析】
由已知递推式可得数列是首项为，公差为1的等差数列，结合选项可得结果. 【详解】
得， ∴，
即数列是首项为，公差为1的等差数列， ∴，
∴，得，由二次函数的性质得数列为递增数列，
解析：ABD 【分析】
由已知递推式可得数列2=，公差为1的等差数列，结合选项
可得结果. 【详解】
)
2
11n a =
-得)
2
11n a +=
，
1=，
即数列
2=，公差为1的等差数列，
2(1)11n n =+-⨯=+，
∴2
2n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，
所以易知ABD 正确， 故选：ABD. 【点睛】
本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.
33．ABC 【分析】
由可求得的表达式，利用定义判定得出答案． 【详解】 当时，． 当时，． 当时，上式＝． 所以若是等差数列，则
所以当时，是等差数列， 时是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列．
解析：ABC 【分析】
由2
n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．
【详解】
当1n =时，11a S a b c ==++．
当2n ≥时，()()2
21112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+． 当1n =时，上式＝+a b ．
所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴=
所以当0c 时，{}n a 是等差数列， 0
0a c b ==⎧⎨≠⎩
时是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二
项开始是等差数列． 故选：A B C 【点睛】
本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题．
34．ABCD 【分析】
S12＞0，a7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a6+a7＞0，a6＞0．再利用a3＝a1+2d ＝12，可得＜d ＜﹣3．a1＞0．利用S13＝13a7＜0．可得Sn ＜0
解析：ABCD 【分析】
S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得24
7
-
＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断
出D 是否正确． 【详解】
∵S 12＞0，a 7＜0，∴
()
67122
a a +＞0，a 1+6d ＜0．
∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0， 又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴24
7
-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝
()
113132
a a +＝13a 7＜0．
∴S n ＜0时，n 的最小值为13．
数列n n S a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0．
对于：7≤n ≤12时，n
n
S a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0，
但是随着n 的增大而减小，可得：
n
n
S a ＜0，但是随着n 的增大而增大． ∴n ＝7时，
n
n
S a 取得最小值． 综上可得：ABCD 都正确． 故选：ABCD ． 【点评】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
35．AD 【分析】
由求出，即，由此表示出、、、，可判断C 、D 两选项；当时，，有最小值，故B 错误. 【详解】
解：，，故正确A.
由，当时，，有最小值，故B 错误. ，所以，故C 错误. ，
，故D 正确.
解析：AD 【分析】
由1385a a S +=求出100a =，即19a d =-，由此表示出9a 、11a 、6S 、13S ，可判断C 、D 两选项；当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误. 【详解】
解：1385a a S +=，111110875108,90,02
d
a a d a a d a ⨯++=+
+==，故正确A. 由190a d +=，当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误.
9101110,a a d d a a d d =-==+=，所以911a a =，故C 错误.
61656+
5415392
d
S a d d d ⨯==-+=-， 131131213+
11778392
d
S a d d d ⨯==-+=-，故D 正确. 故选：AD 【点睛】
考查等差数列的有关量的计算以及性质，基础题.。