2020届四川省绵阳南山中学2017级高三三诊模拟考试数学（理）试卷参考答案

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绵阳南山中学2020年绵阳三诊模拟考试理科数学参考答案
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
A
C D
D
A C
B A B B D D
1.选.A {|0,2}A x x x 或，{|1}B x x
，{|2}A
B
x x
.故选.A 2.选.C 331z i zi ，13132
2
1
3i z i i
，1322
z
i ，1z z
.故选.
C 3.选.
D 2
2
2
2
2
12cos 3
4234()
372
c
a
b
ab C
，37c
.故选.
D 4.选.D 圆心到直线的距离2
2
2ab d
a
b
，由2
2
2(0)a
b
ab ab 得1d
.故选 D.
5.选.A 211()333
AE
AO
AC
AB
AD ，213
3
ED
AD AE
AD
AB .故选.
A 6.选.C ∵函数2
x
a a y x
x
x
在区间(0,)a 上单调递减,在区间(,
)a 上单调递增,而1
6a .要
使函数2
x
a y
x
在区间[2,)上单调递增,则2a
,得14a
，∴413(1
4)
.61
5
P a
故选.
C 7.选.B (1)
()
ln
1
x
x x e f x e
()(1)ln
()1x
x
x e f x e
，所以()f x 是偶函数，()f x 图象关于y 轴对称，排除
,A D ；1(1)
ln
01
e f e ，当0x 时，()
f x ，排除.C 故选.
B 8.选.A 边长4CD ,CD 上的高23BE
,侧棱AB 在底面上的射影
433
BG ,三棱锥的高
46
3
AG
,设OA OB r ,则2
2
24643()
()3
3
r
r 6r .
2
424S r
球表面积
.选.
A 9.选.
B 5
1(1)x
x
可看成五个1(1)x x 相乘,展开式的项为常数项,分3种情况:(1)5
个括号都选1,1T ;
(2)两个括号选x ,两个括号选1()x
,一个括号选
1,22
2
2
531(
)1
30T C x
C x ;(3)一个括号选x ，一个括号
选1(
)x
，三个括号选
1，1
1
541()1
20T C x C x
；所以展开项的常数项为1302011T
.故选.B 10.选.B 1cos 602
A
A
；
sin 12sin sin sin(60
)
sin 2
C C
B
C B
3
tan 3
C
，30.C
故选.
B 11.选.D 法一：将(0,0)O
C mOA nOB m n
平方得2
2
1
2cos m
n
mn AOB ，
2
2
1cos 2m
n
AOB mn 2
1()
22m n mn
mn
311
22
mn
(当且仅当1m
n 时等号成立)，
∵0
AOB
，∴
AOB 的最小值为
23
.
法二：已知
AB 与OC 的交点为M ，设
OM
OC
mOA nOB ，因为,,A B M 三点共线，则
1m
n
，即
2m n
,M 是OC 的中点.过M 作弦AB ,在同一圆中相等弦所对的圆心角相等
,且较短弦所对的圆心
角也较小,可知当AB
OC 时
AOB 最小. AB
OC 且互相平分,四边形OACB 菱形,
23
AOB
.故选.
D E
O
C
A
B
D
E
A
B
C
D
G O
D
E
B
M
O
A
C
B
M
O
A
C
F
D B
M
O A
C
答案共4页，第2页
12选.D 设1122(,),(,)A x y B x y .联立
214y kx x
y
得2
440x kx ，则
2
16(1)k
,
2
1
2
1
2
1
24,()
2
42x x k y y k x x k
，则2
1
2
||44AB y y p
k
．由2
4x y ，得2
1,4
2
x
y
y
x ，
设00(,)P x y ，则0
12
x k ，02x k ，2
0y k ．2
(2,)P k k ,则点P 到直线1y
kx 的距离2
1d
k
，
从而2
2
1||2(1)12
S AB d
k
k
.2
2
2
3
2
||2(1)14(1)24(1).
S AB k
k
k
d
d d
令3
2
2
()
24(1),()68f x x x x f x x
x 则，当41
3
x
时()0f x ;当4
3x
时()0f x ;
2
447,,3
39
x
d
k
即时，min
4
64()()3
27
f x f ，即||S AB 的最小值为
6427
．故选.
D 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分
13.
3；14.
2； 15.
(
,1]； 16.
1{0}
[,
)
213.填：
3. 由()
2sin
3
f x x ,得最小正周期6T ,且(1)
(2)
(6)0,
f f f 故(1)(2)
(2020)f f f (1)(2)(3)(4)
3.f f f f 故填：
3
14. 填：2．画出可行域如右图，由题意目标函数2z
x
y 在点(3,1)B 取得最大值7,在点(1,1)A 处取得
最小值1，∴直线AB 的方程是：2
0x y ，∴2a
b c
a
．故填：
2.
15.填：(,1]. 2
()
2(2)f x kx
k
x .①显然0k 符合题意.②当0k
时，2
()27f x x
，符合题意.
③当0k
时,由()0f x 对(0,2)x
恒成立得(0)0f 且(2)0f ,0
1k
.综上:(
,1]k
. 填(,1]. 16.填：1
{0}
[,)2
.函数2()2
4
x a
x a
f x 在区间(2,)的零点
方程224
x
a
x a
在区间(2,
)的根，
所以|2|2||x a x a ，解得14x a ，2
0x .
因为函数2()2
4
x a
x a
f x 在区间(2,
)上有且仅有一个零点，所以
40a
或42a ，
即0a
或12a
.故填：0a 或12a ；即
1
{0}[,)2
. 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.解析：(1)由12311232
n
n n a a a na a ，知当2n 时，123
1
23(1)2
n
n n
a a a n a a ，
两式作差1
12
2
n n
n n n na a a ,即1
(1)3n
n n a na (2n ),即数列{}n na 从第二项起是公比为
3的等比数列,
又1
1a ，得2
1a ，于是2
22a ，故2n
时，2
23
n n
na ，于是2
1
(1)23(2)
n
n n a n
n
.
(2) (1)1
n n a a n n ，
当1n 时，11112
a ；
当2n 时，
2
231(1)
n n a n
n n ，
设2
23()
(2,)(1)
n f n n
n
N n n
,则(1)31()
2
f n n f n n ，()f n 单增，min
1()(2)
3
f n f .
所以所求实数的最小值为
1.
318.解析:(1)350.025450.15550.2650.25750.225850.1950.05
65
EZ 故
65,
21014.5, 2
(65,14.5)
N ∴(50.5
79.5)0.6287P Z ,(3694)
0.9545P Z .
综上, (36
94)
(50.5
79.5)
0.95450.628
(36
79.5)
0.81862
2
2
P Z P Z P Z
.
x
y
94
79.565
36
50.5
O
x
y
2x+y=0
4
4
C(1,3)
A(1,-1)
B(3,1)
O
l
x
y
A
B
O
P
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(2).易知1()
2
P Z
P Z
获奖券面值X 的可能取值为
20,40,60,80,12024255
P X ;
11144215
5
5
40
2
2
50
P X
;141445
5
1160
;
2
2
5
5
25P X 115
110
5
.
2
508P X
X 的分布列为:
36.
EX 19.解析：(1).取1CC 的中点O ,连接11,,AC OA OB . 在菱形11ACC A 中,
1
60ACC ，∴1ACC △是等边三角形,∴1
CC OA . 在菱形11CBB C 中,
1160CC B ，∴11B CC △是等边三角形,∴11CC OB 又1OA OB O ，∴1CC 平面1AOB ，又1AB 平面1AOB ,∴11AB CC .
(2).由(1)及2AC
知, 1
3AO
OB ，又1
6AB ，∴2
2
2
1
1AO
OB AB ，∴1AO
OB ，
11,,OB OC OA 两两互相垂直，∴以O 为坐标原点, 11,,OB OC OA 的方向分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立
空间直角坐标系,则111(3,0,0),(0,1,0),(0,0,3),(0,2,3)B C A A ,(0,1,0)C , ∴11
11
(
3,2,3),(
3,1,0)B A B C ,(0,1,
3)AC
,1(
3,1,0)B C
.
平面111A B C 的法向量(1,3,1)m
;平面1ACB 的法向量(1,3,1)n
.
设平面111A B C 与1ACB 所成的锐二面角的平面角为,则||33cos
=
5
||||
5
5
m n m n .
20.解析：(1).ln y x 在点2
(,2)e 处的切线2
2
12
()y
x
e e
，即2
11y
x
e
.令切线与曲线
()
x
f x e
mx 相
切于点0
00(,)x x e
mx ,则切线0
0()(1)x x y
e
m x e x ,∴
00
2
01
x x x e m e
e
x e
，
法一：0
2
x m e e ，0
0(1)1x e x ；令()(1)x
h x e x ，则()
x
h x xe ，()h x 在(,0)增，(0,)减，max ()(0)1h x h ，00x ，21.
m e 法二：0
2
x e m e ,2
ln()x m
e ,2
2
()1ln()
1m
e m
e ,令2
m e
t ,则(1ln )
1t t ，
记()(1ln )g t t t ，()
1(1ln )ln g t t t ，于是，()g t 在(0,1)上单调递增，在(1,
)上单调递减，
∴max
()(1)1g t g ，于是2
1t
m e
，2
1m e .
(2).法一：()x
f x e
m ，
①当0m 时()
0f x 恒成立,()f x 在R 单增且(0)
0f ,1
1(
)1
0m f e m
,∴()f x 在R 有且仅有一个零点；
②当0m 时，()x
f x e 在R 上没有零点；
③当0m 时, ()f x 的增区间(ln ,)m ,减区间(,ln )m ，∴min
()(1ln )f x m m .
ⅰ）若0m
e ，则min
()(1ln )0f x m m ，()f x 在R 上没有零点；
ⅱ）若m e ，则()x
f x e
ex 有且仅有一个零点；
ⅲ）若m e ，则min
()(1ln )
0f x m m .2
(2ln )
2ln (2ln )f m m
m m m m
m ，
令()
2ln h m m m ，则2()
1
h m m
，∴当m
e 时，()h m 单调递增，()
()
0h m h e .
∴(2ln )(2ln )
(2)
0f m m m m m e 又∵(0)
1
0f ，∴()f x 在R 上恰有两个零点，
综上所述，当0m
e 时，函数()
f x 没有零点；
当0m
或m
e 时，函数
()f x 恰有一个零点；当m
e 时，()
f x 恰有两个零点.
法二：0x 不成立；当0x 时，x
e m x
. 令
()
(0)x
e
x x
x
，则
2(1)()
x
e x x x
，()x 在(
,0)减且
()
0x ，
在(0,1)减，在(1,)增，
()(1)
x e 极小值
.
综上:当0
m
e 时没有零点;当0m
或m e 时恰有一个零点
;当m e 时有两个零点.
X 20
40
60
80
P
25
2150
425
150
x
y
y=e x
(1-x)
O
x
y
y=
e x
x
(1,e)
O
B 1
A 1
O
C
C 1
B
A
x
y
z
B 1
A 1O
C
C 1
B
A
x=lnm
x
y
1
m>e
y=e x -mx
O
答案共4页，第4页
法三：x e mx , (1)当0m 时，若x
y
e 与y mx 相切，设切点00(,)x x e ，则切线0
0()x x y e
e x x 过点(0,0)，0
1x ，切点(1,)e ，m
e 时有两个零点，m
e 时只有一个零点，
m
e 时没有零点，
(2)当0m 时，显然只有一个零点；(3) 当0m 时，显然没有零点综上:当0m e 时没有零点;当0m 或m e 时恰有一个零点;当m e 时有两个零点.
21.解析：(1).设12(,0),0F c F c c (-,0),,则2
12
33
99(1,
)(1,
)12
24
4
PF PF c c c ,所以1c .
因为122||
||4a PF PF ,所以2a
.所以2
3b
故椭圆C 的标准方程为
22
14
3
x y
.
(2).(ⅰ)设1l 方程为3(1)2
y k x ,与2
2
3412x
y 联立,
消y 得2
2
2
(3
4)4(32)(3
2)
120k x
k k x k ,由题意知
2
36(21)
0k
,得12
k
.
因为直线2l 与1l 的倾斜角互补,所以2l 的斜率是
12
. 设直线2l 方程:1
2y x t ,1122(,),(,),M x y N x y 联立2
2
12
3412y x t x
y , 整理得2
2
3
0x
tx t
,由
2
1230t
,得2
4t ,12
x x t ,2
12
3x x t
;
直线,PM PN 的斜率之和1
21
2
33221
1
PM
PN y y k k x x 12121313222211
x t x t x x 122
1121
313()(1)(
)(1)
22
22
(1)(1)
x t x x t x x x 121212(2)()(23)
(1)(1)x x t x x t x x 0,
所以,PM PN 关于直线1x 对称,即
MPK
NPK ,(PK 为
NPM 的角平分线)
在
PMK 和PNK 中,由正弦定理得
sin
sin
PM MK PKM
MPK ,sin
sin
PN NK PKN
NPK
,
又因为MPK
NPK ,180PKM PKN ,所以
PM MK PN
NK
,故||||||||PM KN PN KM 成立.
(ⅱ)由(ⅰ)知,0PM PN
k k ,1
1
2
l
k , 2
1
2
l
k .假设存在直线2l ,满足题意.不妨设,,(0)PM
PN
k k k k k
若
11,,,22
k k 按某种排序构成等比数列,设公比为q ,则1q 或21q 或31q .所以1q
,则12k
,
此时直线PN 与2l 平行或重合,与题意不符,故不存在直线2l ,满足题意. 22.解析：(1).曲线1C 的直角坐标方程: 2
2
40x x y
,极坐标方程:4cos . (2).法一：由2
2
40x x y
和3y 得(1,3),(3,3)A B ， 3.
AOB
S
法二:由4cos sin
3
有4sin cos
3得(sin
3si 0,cos
02
)n 2∴26
k
或2()
3
k
k Z 当
2()6k
k
Z 时, 23；
当
2()3
k k
Z 时,
2.1C 和2C 交点极坐标
(232),(2,2)()6
3
A k
B k
k
Z ,,∴1sin
32
AOB
S AO BO AOB
,故 3.
AOB
S 23.解析：(1).∵函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称,∴2
()
()
2g x f x x
x ,
∴原不等式可化为2
12x x ,即2
12x x 或2
12x x ,解得不等式()()1g x f x x 的解集为1
[1,]2
.
(2).不等式()()
1g x c
f x x 可化为2
1
2x x
c ,即2
2
212x
c
x x
c ,
即
22
2(1)02(1)
x x c x
x
c ,为使原不等式恒成立,则只需
18(1)018(1)
c c ,解得c 的取值范围是9(
,]8.
l 1
l 2
x
y
K
N
P
F 1
O
F 2
M y=mx x y
y=e x
O。