圆的方程(含解析)新人教A版
圆的一般方程 高二数学 (人教A版2019选择性 必修第一册
= 12
∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
本例也可以设成圆的
标准方程，请同学们
自己完成。
（三）典型例题
【变式探究】
若本例改为：已知圆过A(2,2)，C(3，－1)，
且圆关于直线y＝x对称，求圆的一般方程．
【类题通法】用待定系数法求圆的方
≤
，∴圆的半径r的取值范围为0＜r≤
.
7
7
7
（三）典型例题
2.圆的方程的求法
例2.已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC外接圆的方程．
【解析】设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
8 + 2 + 2 + = 0
= −8
由题意得 34 + 5 + 3 + = 0 ,得 = −2
=
= −12
∴所求的圆的方程为x2＋y2＋x＋y－12＝0.
(2)如果已知条件和圆心或半径都无直
接关系，一般采用圆的一般方程，再
用待定系数法求出参数D，E，F.
（三）典型例题
【巩固练习2】已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径
为 2，求圆的一般方程．
【解析】(1)设动点M的坐标为(x，y)，
1
∵A(2,0)，B(8,0)，|MA|＝2|MB|，
1
4
(2)设点N的坐标为(x，y)，
∵A(2,0)，N为线段AM的中点，
∴点M的坐标为(2x－2,2y)．
又点M在圆x2＋y2＝16上，
∴(x－2)2＋y2＝ [(x－8)2＋y2]．化简得x2＋y2＝16，
高一数学人教版A版必修二课件：4.1.1 圆的标准方程
解析答案
(2)求y－x的最大值和最小值；
解 设y－x＝b，即y＝x＋b，
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，
|2－0＋b| 此时 2 ＝ 3.
即 b＝－2± 6.
故 y－x 的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
解析答案
(3)求x2＋y2的最大值和最小值. 解 x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知， 它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值， 又圆心到原点的距离为2， 故(x2＋y2)max＝(2＋ 3)2＝7＋4 3， (x2＋y2)min＝(2－ 3)2＝7－4 3.
第四章 § 4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
学习目标
1.掌握圆的定义及标准方程； 2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标 准方程.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 圆的标准方程
新知探究 点点落实
思考1 确定一个圆的基本要素是什么？ 答案 圆心和半径. 思考2 在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径 的圆能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4来表示？ 答案 能. 1.以点(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标 准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2.以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
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圆的方程 课件 高二 人教A版(精品)
[解析] 设圆心 的坐标为 ，圆的半径为 ，因为圆心 在直线 上，所以 。因为 ，所以 ，解得 , ,所以 。所以方程为 。
二、易错题
4.（错用点与圆的位置关系致误）若点 在圆 的内部，则实数 的取值范围是( )A. B. C. 或 D.
A
[解析] 设圆心为 ，半径为 ，圆 被 轴分成两部分的弧长之比为 ，则其中劣弧所对圆心角为 ，由圆的性质可得 ，又圆被 轴截得的弦长为4，所以 ，所以 。变形为 ，即 在双曲线 上，易知双曲线 上与直线 平行的切线的切点为 ，此点到直线 的距离最小。设切线方程为 ，由
类型二 与圆有关的轨迹问题
【例2】（1） 平面内到两定点 ， 的距离之比等于常数 （ 且 ）的动点 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆。已知 , , ，则点 的轨迹围成的平面图形的面积为( )A. B. C. D.
B
[解析] 设 ，由 ，得 , , ， ，则点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆，所以所求面积 。
2.（微考向2）已知点 为圆 上一点， 为圆心，则 （ 为坐标原点）的取值范围是( )A. B. C. D.
C
[解析] 将圆 的方程 化为 ，所以圆心 的坐标为 。所以 。而 ，所以 。因为 ，所以 ，所以 。因为 ，所以 ，所以 ,即 。因此 ，从而 （ 为坐标原点）的取值范围为 。故选C。
2.点与圆的位置关系 平面上的一点 与圆 之间存在着下列关系：
（1） 在_______，即 在圆外；
（2） 在_______，即 在圆上；
（3） 在_______，即 在圆内。
圆外
圆上
圆内
小题·微演练
一、基础题
1.圆 的圆心坐标是( )A. B. C. D.
[解析] 由题意可设点 的坐标为 ，因为满足 ，由两点间的距离公式可得 ，即 ，所以 即为点 的轨迹方程。故选B。
圆的一般方程课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册 (2)
标准方程
2.一般方程
展开
3.方程形式的选用：
①若知道或涉及圆心和半径, 采用圆的标准方程;
②若已知三点求圆的方程, 采用圆的一般方程求解.
4.轨迹方程的求法：待定系数法、相关点法
两点；
（2）经过A（4,0），B（3，-3），C（1,1）三点
分析：方法一：待定系数法：设圆的一般方程，根据已知条件，
建立关于D,E,F的方程组；解方程组，求出D,E,F的值
方法二：直接法。即根据条件直接求出圆心和半径，得到圆的方
程，这种方法一般用在圆心比较明确，易于确定圆心坐标的题目。
答案：（1）x2+y2-2x-2y-3=0
答案:D
2.若圆x2+y2-2kx-4=0关于直线2x-y+3=0对称,则k等于(
3
2
A.
答案:B
3
2
B.-
C.3
D.-3
)
课堂小结
1.任何一个圆的方程可以写成2 + 2 + + + = 0（1）的形式，但方程（1）表示的不一定是圆，只
1
有2 + 2 − 4 > 0时，方程表示圆心 − 2 , − 2 为半径为 = 2 2 + 2 − 4.
圆的一般方程: 2 ＋ 2＋＋＋＝0（2 + 2 − 4 > 0）
结构特征：
①方程中二次项2， 2的系数相等且均为1；
②方程中不含x与y的乘积项
圆的标准方程与
圆的一般方程各
有什么特点？
①圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半
径，几何特征明显；②圆的一般方程明确
表明其形式是一种特殊的二元2-4F>0是否成立来判断,也可把左端配方,看右端是否
圆的一般方程 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
2
2
0
2
2
7 2
4
2
整理得( x - ) + ( y - 2) = .
3
9
7 2
4
2
∴点M的轨迹方程为( x - ) + ( y - 2) = .
3
9
•
1
O
4
x
小结
1. 圆心为(a，b)，半径为r 的圆的标准方程为：
(直接法)
例题小结
方法总结：
求动点轨迹方程的常用方法：
（1）代入法：找到所求动点与已知动点的关系，带入已知
动点所在方程；
（2）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程。
课堂练习
【巩固训练】已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,
点M在直线AB上, 且满足 AM = 2 MB , 求点M的轨迹方程.
D 2
E 2 D 2 + E 2 - 4F
(x + ) + ( y + ) =
.
2
2
4
(1)当D2+E2-4F>0时,
D E
表示以( - 2 ,- 2
)为圆心,以(
①
1
D 2 + E 2 - 4F
2
)为半径的圆
D E
D
E
2
2
(2)当D +E -4F=0时,方程只有一组解 x = - ，y = - ，表示一个点( - 2 ,- 2
(1) x 2 + y 2 - 6 x = 0 ;
人教A版高中数学必修二课件：圆的方程的综合应用 (共49张PPT)
1 求圆弧C2的方程； 2曲线C上是否存在点P，满足PA 30PO？若存
在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；
3已知直线l：x my 14 0与曲线C交于E、F两
点，当EF 33时，求坐标原点O到直线l的距离．
解析：（1）圆弧C1所在圆的方程为x2 y2 169，
5
解：令圆心坐标为（ a，b），半径为 r，
y
则r2 12 a2 ①
由（2）知 ACB 90 r 2 b ②
由（3）
a 2b 12 (2)2
5 5
a 2b 1 ③
. 1 r C
|a| |b| r
oA
Bx
联立①②消去 r 2b2 a2 1 ④
③④
a 2b2
2b a2
1
2 方法1：当t＝0时，圆C：x 2＋y 2＝4；
当t＝1时，圆C：x2＋y2－2x－2y＝0.
解方程组
x 2
x2
y2 y2
4 2x
2
y
, 解得 0
x
y
0或 2
x
y
2 0
将
x y
0 2
代入圆C的方程，左边＝－4t
2＋4t不恒等于0；
将
x
y
2 0
代入圆C的方程，左边＝0＝右边，
故圆C过定点2, 0．
方法2：将圆C的方程整理为( x 2＋y 2－4)
＋(－2x＋4)t＋(－2y)t 2＝0.
x2 y2 4 0
令 2x 4 0 2 y 0
,
解得
x
y
2 0
.
故圆C过定点2, 0．
动圆过定点问题有两种解法： 一是先从动圆系中取出两个已知圆，求出它们 的交点坐标，再将求得的坐标代入动圆中验证； 二是将动圆方程改写为关于参数t的等式，再 利用多项式恒等理论列出关于x，y的方程组，解得 定点坐标．
2022-2023学年人教A版 选择性必修第一册 圆的一般方程 课件(47张)
其中圆心为__－__D2_，__－__E2___，圆的半径为 r＝_12__D_2_＋__E_2－__4_F_.
5
(2)对方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 的讨论
①D2＋E2－_，_－__E2__.
③D2＋E2－4F＜0 时，不表示任何图形．
32
1．在本例条件不变的情况下，求过点 B 的弦的中点 T 的轨迹方 程．
[解] 设 T(x，y)． 因为点 T 是弦的中点，所以 OT⊥BT. 当斜率存在时有 kOT·kBT＝－1. 即yx×yx－－11＝－1，整理得 x2＋y2－x－y＝0. 当 x＝0 或 1 时点(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)也都在圆上． 故所求轨迹方程为 x2＋y2－x－y＝0.
(3)圆的标准方程与一般方程可以相互转化．
()
(4)利用待定系数法求圆的一般方程时，需要三个独立的条件．
[提示] (1)× (2)× (3)√ (4)√
()
8
2．若方程 x2＋y2＋2λx＋2λy＋ 2λ2―λ＋1＝0 表示圆，则 λ 的取
值范围是( )
A．(1，＋∞) C．(1，＋∞)∪－∞，15
37
课堂 小结 提素 养
38
1．求圆的方程时，如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或 需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再 用待定系数法求出 a，b，r；如果已知条件与圆心和半径都无直接关 系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数 D，E，F.
39
2．圆的方程的几种特殊情况
2
情景 导学 探新 知
3
(1)把(x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开是一个什么样的关系式？ (2)把 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 配方后，将得到怎样的方程？这个 方程一定表示圆吗？在什么条件下一定表示圆？ 这就是今天我们将要研究的问题．
新教材人教A版高中数学选择性必修第一册-第二章-直线和圆的方程-精品教学课件(共270页)可修改全文
探究二
素养形成
当堂检测
方法总结光的反射问题中,反射角等于入射角,但反射光线的斜率
并不等于入射光线的斜率.当镜面水平放置时,它们之间是互为相
反数的关系.另外,在光的反射问题中也经常使用对称的方法求解.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练一束光线从点A(-2,3)射入,经x轴上点P反射后,通过点
B(5,7),求点P的坐标.
作用 (2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线
上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可
点析倾斜角还可以这样定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴
相交的直线,把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直
线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.并规定:与x轴
平行或重合的直线的倾斜角为0°.
>0,解得
+1-2
1<m<2.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
延伸探究2若将本例中的“N(2m,1)”改为“N(3m,2m)”,其他条件不变,
结果如何?
-1-2
=1,解得
+1-3
解:(1)由题意知
m=2.
1
(2)由题意知 m+1=3m,解得 m=2.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
一题多解——利用斜率解决反射问题
A.2
B.1
1
C.
2
D.不存在
答案:A
)
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
直线的倾斜角
例1已知直线l过原点,l绕原点按顺时针方向转动角α(0°<α<180°)后,
高中数学 4.14.1.2圆的一般方程课件 新人教A版必修2
种形式的方程中的一种；②根据所给条件，列出关于 D， 栏
目
E，F 或 a，b，r 的方程组；③解方程组．求出 D，E，
链 接
F 或 a，b，r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到
所求的圆的方程．
第二十七页，共39页。
跟踪 训练
2．(1)已知圆经过 A(2，－3)和 B(－2，－5)，若圆心 在直线 x－2y－3＝0 上，求圆的方程．
第十九页，共39页。
跟踪 训练
1．求出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1)x2＋y2－6x＝0；
(2)x2＋y2＋2by＝0(b≠0)；
栏
目
(3)x2＋y2－2ax－2
3y＋3a2＝0－
6 2 <a<
26.
链 接
解析：(1)原方程化为(x－3)2＋y2＝32，因此该圆的圆 心为(3,0)，半径为 3.
第十四页，共39页。
栏 目 链 接
第十五页，共39页。
题型一 圆的一般方程的概念(gàiniàn)
例1 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心(yuánxīn)和
半径．
栏
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
目 链
接
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－5x＝0.
第二十页，共39页。
跟踪 训练
(2)原方程化为 x2＋(y＋b)2＝b2(b≠0)，因此该
圆的圆心为(0，－b)，半径为|b|.
栏
目
(3)原方程化为(x－a)2＋(y－ 3)2＝3－2a2.因为
链 接
表示圆，所以 3－2a2>0，从而该圆的圆心为(a， 3)，
新教材人教A版高中数学选择性必修第一册2.4.2 圆的一般方程 精品教学课件
[解析] (1)x2＋y2－4x＋2y＋4＝0 可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝1， 所以半径和圆心分别为 r＝1，(2，－1)． (2)因为 x2＋y2－x＋y＋m＝0 表示圆， 则 1＋1－4m＞0，所以 m＜12．
题型二
求圆的一般方程
典例 2 圆C过点A(1,2)，B(3,4)，且在x轴上截得的弦长为6， 求圆C的方程．
即点 M 的轨迹方程为 x2＋y2－4x－3y＋241＝0．
解法二：设点 M 的坐标为(x，y)，连接 OC、PC，取线段 OC 的中点 A，连接 MA．
圆 C 的方程可化为(x－4)2＋(y－3)2＝4，圆心 C(4,3)，|CP|＝2．则点 A 的坐标为(2，32)．
如图，在△OCP 中，M、A 分别是 OP、 OC 的中点，
由①②③得D＝12，E＝－22，F＝27，或D＝－8，E＝－2， F＝7．
故圆C的方程为x2＋y2＋12x－22y＋27＝0或x2＋y2－8x－2y＋7 ＝0．
[规律方法] 圆的方程的求法
求圆的方程时，如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或 需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准 方程，再用待定系数法求出a，b，r；如果已知条件与圆心和 半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数 法求出常数D，E，F．
(3)当 D2＋E2－4F＜0 时，方程不表示任何图形．
思考1：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0都表示圆吗？ 提示：不一定，当D2＋E2－4F＞0时才表示圆．
知识点2 圆的一般方程
(1)方程：当___D__2＋__E_2_－_4_F_＞__0____时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0称为圆的一般方程． (2)本质：圆的方程的另一种表示形式，更具有方程特征．
高中数学(人教A版)选择性必修一课后习题：圆的标准方程(课后习题)【含答案及解析】
圆的方程圆的标准方程 课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P (3,2)( )A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外(3-2)2+(2-3)2=2<4,∴点P 在圆内.2.已知点A (-4,-5),B (6,-1),则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A.(x+1)2+(y-3)2=29 B.(x+1)2+(y-3)2=116 C.(x-1)2+(y+3)2=29 D.(x-1)2+(y+3)2=116A (-4,-5),B (6,-1),所以线段AB 的中点为C (1,-3),所求圆的半径r=12|AB|=12√102+42=√29,所以以线段AB 为直径的圆的方程是(x-1)2+(y+3)2=29,故选C .3.方程x=√1-y 2表示的图形是( ) A.两个半圆 B.两个圆 C.圆 D.半圆x ≥0,方程两边同时平方并整理得x 2+y 2=1,由此确定图形为半圆,故选D .4.一个动点在圆x 2+y 2=1上移动时,它与定点A (3,0)的连线中点的轨迹方程是( ) A.(x+3)2+y 2=4 B.(x-3)2+y 2=1 C.(2x-3)2+4y 2=1D.x+322+y 2=12M (x 0,y 0)为圆上的动点,则有x 02+y 02=1,设线段MA 的中点为P (x ,y ),则x=x 0+32,y=y 0+02,则x 0=2x-3,y 0=2y ,代入x 02+y 02=1,得(2x-3)2+(2y )2=1,即(2x-3)2+4y 2=1.5.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心是 ,半径是 .-3) √26.圆(x+1)2+y 2=5关于直线y=x 对称的圆的标准方程为 .(x+1)2+y 2=5的圆心坐标为(-1,0),它关于直线y=x 的对称点坐标为(0,-1),即所求圆的圆心坐标为(0,-1),所以所求圆的标准方程为x 2+(y+1)2=5.2+(y+1)2=57.若直线3x-4y+12=0与两坐标轴交点为A ,B ,则以线段AB 为直径的圆的方程是 .解析由题意得A (0,3),B (-4,0),AB 的中点-2,32为圆的圆心,直径AB=5,以线段AB 为直径的圆的标准方程为(x+2)2+y-322=254.答案(x+2)2+y-322=2548.已知圆M 过A (1,-1),B (-1,1)两点,且圆心M 在直线x+y-2=0上. (1)求圆M 的方程;(2)若圆M 上存在点P ,使|OP|=m (m>0),其中O 为坐标原点,求实数m 的取值范围.设圆M 的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0),根据题意得{a +b -2=0,(1-a )2+(-1-b )2=r 2,(-1-a )2+(1-b )2=r 2,解得{a =1,b =1,r =2,所以圆M 的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. (2)如图,m=|OP|∈[2-√2,2+√2].关键能力提升练9.若直线y=kx 与圆(x-2)2+y 2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k ,b 的值分别为( ) A.12,-4B.-12,4C.12,4D.-12,-4y=kx 与圆(x-2)2+y 2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,直线2x+y+b=0的斜率为-2,所以k=12,并且直线2x+y+b=0经过已知圆的圆心,所以圆心(2,0)在直线2x+y+b=0上,所以4+0+b=0,所以b=-4.故选A .10.已知圆O :x 2+y 2=1,点A (-2,0)及点B (2,a ),从A 点观察B 点,要使视线不被圆O 挡住,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,-1)∪(-1,+∞) B .(-∞,-2)∪(2,+∞) C .-∞,-4√33∪4√33,+∞D .(-∞,-4)∪(4,+∞)方法1)(直接法)写出直线方程,将直线与圆相切转化为点到直线的距离来解决.过A ,B 两点的直线方程为y=a 4x+a 2, 即ax-4y+2a=0, 令d=√a 2+16=1,化简后,得3a 2=16,解得a=±4√33.再进一步判断便可得到正确答案为C . (方法2)(数形结合法)如图,设直线AB 切圆O 于点C 在Rt △AOC 中,由|OC|=1,|AO|=2,可求出∠CAO=30°.在Rt △BAD 中,由|AD|=4,∠BAD=30°,可求得BD=4√33,再由图直观判断,故选C .11.(2020四川成都石室中学高二上期中)已知实数x ,y 满足x 2+y 2=1,则√3x+y 的取值范围是( ) A.(-2,2) B.(-∞,2] C.[-2,2]D.(-2,+∞)解析因为x 2+y 2=1,所以设x=sin α,y=cos α,则√3x+y=√3sin α+cos α=2sin α+π6,所以√3x+y 的取值范围是[-2,2].故选C .12.(多选题)若经过点P (5m+1,12m )可以作出圆(x-1)2+y 2=1的两条切线,则实数m 的取值可能是( ) A.110B.113C.-113D.-12P 可作圆的两条切线,说明点P 在圆的外部,所以(5m+1-1)2+(12m )2>1,解得m>113或m<-113,对照选项知AD 可能.13.(多选题)设有一组圆C k :(x-k )2+(y-k )2=4(k ∈R ),下列命题正确的是( ) A.不论k 如何变化,圆心C 始终在一条直线上 B.所有圆C k 均不经过点(3,0) C.经过点(2,2)的圆C k 有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π(k ,k ),在直线y=x 上,故A 正确;令(3-k )2+(0-k )2=4,化简得2k 2-6k+5=0,∵Δ=36-40=-4<0,∴2k 2-6k+5=0无实数根,故B 正确;由(2-k )2+(2-k )2=4,化简得k 2-4k+2=0,∵Δ=16-8=8>0,有两个不等实根,∴经过点(2,2)的圆C k 有两个,故C 错误;由圆的半径为2,得圆的面积为4π,故D 正确.故选ABD .14.已知点A (8,-6)与圆C :x 2+y 2=25,P 是圆C 上任意一点,则|AP|的最小值是 .82+(-6)2=100>25,故点A 在圆外,从而|AP|的最小值为√82+(-6)2-5=10-5=5.15.已知圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,且圆心到直线3x+4y+4=0的距离等于半径长,则圆C 的标准方程为 .(a ,0),且a>0,则点(a ,0)到直线3x+4y+4=0的距离为2,即|3×a+4×0+4|√3+4=2,所以3a+4=±10,解得a=2或a=-143(舍去),则圆C 的标准方程为(x-2)2+y 2=4.x-2)2+y 2=416.矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,1),AB 边所在直线的方程为x-2y-4=0,点T (-1,0)在AD 边所在直线上.(1)求AD 边所在直线的方程; (2)求矩形ABCD 外接圆的方程.因为AB 边所在直线的方程为x-2y-4=0,且AD 与AB 垂直,所以直线AD 的斜率为-2.又因为点 T (-1,0)在直线AD 上,所以AD 边所在直线的方程为y-0=-2(x+1),即2x+y+2=0.(2)由{x -2y -4=0,2x +y +2=0,解得{x =0,y =-2,所以点A 的坐标为(0,-2),因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,1),所以M 为矩形外接圆的圆心.又|AM|=√(2-0)2+(1+2)2=√13,从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=13.学科素养创新练17.设A (x A ,y A ),B (x B ,y B )为平面直角坐标系内的两点,其中x A ,y A ,x B ,y B ∈Z .令Δx=x B -x A ,Δy=y B -y A ,若|Δx|+|Δy|=3,且|Δx|·|Δy|≠0,则称点B 为点A 的“相关点”,记作B=τ(A ). (1)求点(0,0)的“相关点”的个数.(2)点(0,0)的所有“相关点”是否在同一个圆上?若在,写出圆的方程;若不在,请说明理由.因为|Δx|+|Δy|=3(Δx ,Δy 为非零整数),所以|Δx|=1,|Δy|=2或|Δx|=2,|Δy|=1,所以点(0,0)的“相关点”有8个.(2)是.设点(0,0)的“相关点”的坐标为(x ,y ).由(1)知|Δx|2+|Δy|2=5,即(x-0)2+(y-0)2=5,所以所有“相关点”都在以(0,0)为圆心,√5为半径的圆上,所求圆的方程为x 2+y 2=5.。
人教A版高中数学必修二4.1.1 圆的标准方程 课件(共16张PPT)
六.小结
1.圆心是 A(a,b)，半径为r的圆A的标准方程是(x–a)2+(y–b )2=r2 2.点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系
几何法 先求出点M与圆心A的距离d
（1）若点M在圆A上，则d=r; （2）若点M在圆A内，则 d<r; （3）若点M在圆A外，则 d>r.
数与形,本是相倚依 焉能分作两边飞 数无形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘,几何代数统一体 永远联系莫分离
—— 华罗庚
O
平面直角坐标系
数
直线方程 1.点斜式方程 ������ − ������������ = ������(������ − ������������)
r2
③
展开平方后，
(x–2)2+(y+3)2=y25.
① ②得:a 2b 8 0
A(5,1)
③-②得:a b 1 0
几
解得a=2,b=-3,r=5.
代
何
O M
(6,-1) x B(7,-3)
∴ △ABC的外接圆方程为
数
(x–2)2+(y+3)2=25.
法
C(2,-8)
kAB 2
(1 a)2 (1 b)2 r 2
(2 a)2 (2 b)2 r 2
ab1 0
a 3 解得 b 2
r 5
∴圆C方程是(x-3)2+(y-2)2=25.
代
何
O
x
数
法
C
高中数学(新人教A版)选择性必修一：圆的标准方程【精品课件】
这也是求轨迹方程的步骤！
新知探究
探究二：求圆的标准方程
课堂练习
例1 求圆心为(， − )，半径为5的圆的标准方程，并判断点
y
(−
两个点中，一个
，
(， − )，,
，−
)是否在这个圆上.
在圆上，一个点在圆内；
解:圆心为A(2，−3)
，半径为5的圆的标准方程是
那我们该如何判断点与圆
数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：
①设——设所求圆的方程为(－)＋(－)＝；
②列——由已知条件，建立关于，，的方程组；
③解——解方程组，求出，，；
④代——将，，代入所设方程，得所求圆的方程．
随堂练习
1.写出下列圆的标准方程:
(1)圆心为C(− 3，4)，半径是 ;
(2)圆心为C(− 8，3)，且经过点M(− 5，− 1).
解析：(1) + + − =
(2) + + − = .
随堂练习
3.已知 (4，9)， (6，3）两点，求以线段 为直径的圆的
标准方程，并判断点 (，)，(，)，(，) 在圆上、圆内，
求△AOB的外接圆的标准方程.
解析：设圆的标准方程为 − + − = (r>0)
∵ A(4，0)，O(0，0)，B(0，3)都在圆上，
− + =
∴ + − =
+ =
=
，解得 = .
=
∴ △AOB外接圆的标准方Байду номын сангаас是 −
圆的一般方程(20张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
第二章直线和圆的方程2.4.2圆的一般方程
0 1在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.0 2能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题.0 3初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法Dx+E y+F=0 叫做圆的一般方程，且D²+E²-4F >0,
圆的一般方程
为圆心，
将方程x²+y²+Dx+Ey+ F=0(2) 的左边配方，并把常数项移到右 边 ，( 1 ) 当D²+E²-4F>0 时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程(2)表示 为圆心， 为半径的圆；( 2 ) 当D²+E²-4F=0 时，方程(2)只有实数解 声 手它表示一个点( 3 ) 当D²+E²-4F<0 时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.
例题巩固例1 求过三点0(0,0),M ₁(1,1), M ₂ (4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0.①因为0 ,M₁ ,M₂ 三点都在圆上，把它们的坐标依次代入方程①,
所以所求圆的方程是x²+y²-8x+6y=0.故所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径
解得
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a,b,r 或 D,E,F 的方程组；(3)解出a,b,r 或 D,E,F, 得到标准方程或一般方程.
求圆的方程常用待定系数法的步骤
例2已知线段 AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)²+y²=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
第2章 2.4 2.4.1 圆的标准方程-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册课件
小 结
·
探 新
因为|P2C|＝ 1＋32＋－1＋42＝5，
提 素
知
养
合
所以 P2(1，－1)在圆上；
作
课
探 究
因为|P3C|＝ 3＋32＋－4＋42＝6>5，
时 分
层
释 疑
所以 P3(3，－4)在圆外.
作 业
难
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·
22
·
求圆的标准方程
情
课
景
堂
导 学
【例 2】
求过点 A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线 x＋y－2
作 业
难
判断出点与圆的位置关系．
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·
17
·
情
2x＋y－1＝0， x＝0，
课
景 导 学
[解] 解方程组x－2y＋2＝0， 得y＝1，
堂 小 结
·
探 新
∴圆心 M 的坐标为(0,1)，
提 素
知
养
半径 r＝|MP|＝ 52＋1－62＝5 2.
合
作 探
∴圆的标准方程为 x2＋(y－1)2＝50.
课 时
素 养
合
②列—由已知条件，建立关于 a，b，r 的方程组；
作
课
探 究
③解—解方程组，求出 a，b，r；
时 分
层
释
疑
④代—将 a，b，r 代入所设方程，得所求圆的方程．
作 业
难
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·
30
·
情
[跟进训练]
课
景
堂
导 学
2．已知圆 C 经过 A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在 x 轴上，则 C 的
高中数学-人教A版-必修第一册-第二章(直线和圆的方程)2.4圆的方程
题型探究 题型一 求圆的标准方程 【例 1】求满足下列条件的圆的标准方程. (1)圆心为(3，4)且经过坐标原点； (2)圆心为(1，1)且与直线 x＋y＝4 相切； (3)以 A(2，0)，B(2，－2)为直径； (4)经过 A(3，1)，B(－1，3)，且圆心在直线 3x－y－2＝0 上.
又 P(x，y)是圆 C 上的任意一点，而圆 C 的半径为 2，结合 图形易知点 P 到直线 x－y＋1＝0 的距离的最大值为 2 2＋ 2，最小值为 2 2－2.
类题通法 利用数形结合法是解题关键．设圆上点的坐标为(x，y), (1) （x－a）2＋（y－b）2 表示圆上的点到点(a，b) 的距离. (2)求圆外的点到圆上点的距离的最值，先求该点到圆心的距离， 再加减半径长即可. (3)求圆上的点到一条直线的距离的最值，先求圆心到直线的距离， 再根据直线与圆的位置关系，加减半径长．
方法三：由已知可得线段 AB 的中点坐标为(0，0)， kAB＝1－－（1－－11）＝－1. 所以弦 AB 的垂直平分线的斜率为 k＝1， 所以 AB 的垂直平分线的方程为 y－0＝1·(x－0)， 即 y＝x，则圆心是直线 y＝x 与 x＋y－2＝0 的交点．
联立方程组xy＋＝yx－，2＝0，解得yx＝＝11，， 即圆心为(1，1)， 圆的半径为 （1－1）2＋[1－（－1）]2＝2， 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
解：方法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
（1－a）2＋（－1－b）2＝r2，
由已知条件知（－1－a）2＋（1－b）2＝r2， a＋b－2＝0，
a＝1，
解此方程组，得b＝1， r2＝4.
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
2022-2023学年人教A版选择性必修第一册 2-4-2 圆的一般方程 课件(37张)
[自我排查] 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“ ”) (1)圆的标准方程与一般方程可以互化．( √ ) (2)方程 2x2＋2y2－3x＝0 是圆的一般方程．( ) (3)方程 x2＋y2－x＋y＋1＝0 表示圆．( )
(1) 解析：圆的标准方程与一般方程可以互化． (2) 解析：方程 2x2＋2y2－3x＝0 不是圆的一般方程． (3) 解析：因为(－1)2＋12－4×1＝－2<0，所以方程不表示任何图形．
[巧归纳]
求圆的方程的策略
(1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程；
(2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于 a，b，r 或 D，E，
解得 D＝－2，E＝0，F＝0， 所以圆的方程为 x2＋y2－2x＝0.
强研习•重点难点要突破
研习 1 圆的一般方程的辨析 [典例 1] 若方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 表示圆，求： (1)实数 m 的取值范围； (2)圆心坐标和半径．
[自主记]解：(1)据题意知 D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 即 4m2＋4－4m2－20m>0， 解得 m<15， 故 m 的取值范围为－∞，15.
第二章 直线和圆的方程
2．4 圆的方程
2.4.2 圆的一般方程
新课程标准
新学法解读 1.结合教材实例了解二元二次方程与圆的
回顾确定圆的几何要素，在 一般方程的关系．
平面直角坐标系中，探索并 2．会求圆的一般方程．
掌握圆的一般方程.
3．能利用圆的一般方程解决相关的问题，
会求简单的动点的轨迹方程.
2．圆：x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心坐标和半径分别为( C )
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圆的方程
一、选择题
1．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )．
A．x＋y＝2
C．x＋y＝1
解析 AB的中点坐标为：(0,0)，
|AB|＝[1－?－1?]＋?－1－1?＝2，
∴圆的方程为：x＋y＝2.
答案 A
2．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1，则原点与圆的位置关系是
( )． B．原点在圆外 D．不确定 22222222B．x＋y＝2 D．x＋y＝4 2222A．原点在圆上 C．原点在圆内
解析将圆的一般方程化为标准方程(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0<a<1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2>0，所以原点在圆外．
答案 B
3．已知圆C1：(x＋1)＋(y－1)＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )
A．(x＋2)＋(y－2)＝1
B．(x－2)＋(y＋2)＝1
C．(x＋2)＋(y＋2)＝1
D．(x－2)＋(y－2)＝1
解析只要求出圆心关于直线的对称点，就是对称圆的圆心，两个圆的半径不变．设圆C22222222222
a－1b＋1??2－2－1＝0，
的圆心为(a，b)，则依题意，有?b－1??a＋1＝－1，
??a＝2，解得??b＝－2，? 对称圆的半径不变，为1.
答案 B
4．若圆(x－3)＋(y＋5)＝r上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径222
r的取值范围是( )．。