四年级下册数学试题-奥数专题讲练：第5讲 数学方法与思想(二) 精英篇(解析版)全国通用

第五讲数学方法和思想(二)
内容概述
学习数学的一个重要方面就是要掌握一定的解题方法，数学的题型千变万化，如果仅靠题海战术，而不去总结规律，寻找解题方法，将永远是大海捞针，失去方向！遇到题型发生变化，就会一筹莫展，这节课我们将介绍几种重要的解题方法，希望同学能体会贯通，举一反三。

从简单情况考虑
有时候我们碰到的题目很复杂，乍一看似乎无从入手，这时候我们往往可以先从简单的情况出发，看看有什么规律。

很多情况下我们可以通过这种方法解决一些看起来很难的问题。

【例1】3×3的末位数字是9，3×3×3的末位数是7，3×3×3×3的末位数字是1．求35个3相乘的结果的末位数字是几?
分析：从简单情况做起，列表找规律：
仔细观察可发现，乘积的末位数字出现有周期性的规律，4个一组，35个3相乘是其第34项，所以末位数字是7。

【例2】444444444888888888÷666666666的商是_____________
分析：这个题目我们当然可以列一个竖式来做，但这样是不是太麻烦了，观察算式的特点，4，8，6都有9个，那我们就先来看一下如果4，8，6分别各有1个，2个，3个商分别是多少，这个计算起来是非常简单的：48÷6=8 ，4488÷66=68 ，444888÷666=668 …同学们找到规律了吗？
对了，444444444888888888÷666666666=666666668（8个6 ，一个8）。

【例3】① 12345678987654321是_________的平方
② 1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1是_______的平方？
③ 12345678987654321×（1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1）是_______的平方，
分析：（1）从简单得情况入手，找规律：
1的平方是1；
11的平方是121；
111的平方是12321；
1111的平方是1234321；
因此111111111的平方是12345678987654321；
（2）再来看小括号里的数，从1加到9再加到1，我们从简单情况入手，
1+2+1=4=2的平方
1+2+3+2+1=9=3的平方
1+2+3+4+3+2+1=12=4的平方
发现规律后就知道：1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9的平方。

（3）因此原来的算式12345678987654321×（1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1），
就是111111111×9即999999999的平方。

【例4】（第三届“华杯赛”决赛）将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分
成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线?请说明．
分析：我们来一条一条地画直线．画第一条直线将圆形纸片划分成2块．画第二条直线，如果与第一条直线在圆内相交，则将圆形纸片划分成4块(增加了2块)，否则只能划分成3块．类似地，画第三条直线，如果与前两条直线都在圆内相交，且交点互不相同(即没有3条直线交于一点)，则将圆形纸片划分成7块(增加了3块)，否则划分的块数少于7块．下图是画3条直线的各种情形
由此可见，若希望将纸片划分成尽可能多的块数，应该使新画出的直线与原有的直线都在圆内相交，且交点互不相同．这时增加的块数等于直线的条数．这样划分出的块数，列表如下：
直线条数纸片最多划分成的块数
1 1+1
2 1+1+2
3 1+1+2+3
4 l+1+2+3+4
5 1+1+2+3+4+5
……
不难看出，表中每行右边的数等于1加上从l到行数的所有整数的和．因为1+1+2+3+…+10=56，1+1+2+3+…+9=46，可见第9行右边还不到50，而第lO行右边已经超过50了．所以至少要画10条直线．
【例5】用数字摆成下面的三角形，请你仔细观察后，推断第20行的各数
之和是多少？
分析：要求第20行的各数之和，我们不妨先来看看开始的几行数。

至此，我们可以推断，第20行各数之和为219。

[本题中的数表就是著名的杨辉三角，这个数表在组合论中将得到广泛的应用]
从极端情况考虑
从问题的极端情况考虑，对于数值问题来说，就是指取它的最大或最小值；对于一个动点来说，指的是线段的端点，三角形的顶点等等。

极端化的假设实际上也为题目增加了一个条件，求解也就会变得容易得多。

【例6】新上任的宿舍管理员拿着20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能打开其中的一个门，但不知道哪一把钥匙开哪一个门，现在要打开所有关闭的20个门，他最多要开多少次？
分析：从最不利的极端情况考虑：打开第一个房间要20次，打开第二个房间需要19次……共计最多要开20＋19＋18＋…＋1=210（次）。

【例7】某轮船往返于两港之间，设该轮船在静水中的速度不变，那么当水的流速增大时，轮船往返一次所用时间（）。

A、不变
B、减少
C、增加
分析：由于题目并未交代水流速度增加多少，因此我们可以考虑从极端情况考虑，假设水速非常大，大到非常接近轮船的静水速度，那么当轮船逆水行进的时候，逆水速度将“非常”小，因此所用时间将“非常”多，所以轮船往返一次所用时间一定增加了，故选C。

例6的考虑方法多用于不需要步骤的填空题或选择题，在解答题时尽量不要使用。

从特殊情况考虑
对于一个一般性的问题，如果觉得难以入手，那么我们可以先考虑它的某些特殊情况，从而获得解决的途径，使问题得以“突破”，这种方法称为特殊化。

其实从问题的极端情况考虑，也是从特殊情况考虑。

对问题的特殊情况进行研究，一方面是因为研究特殊情况比研究一般情况较为容易；另一方面是因为特殊的情况含有一般性，所以对特殊情况的研究常能揭示问题的结论或启发解决问题的思路，它是探索问题的一种重要方法。

运用特殊化方法进行探索的过程有两个步骤，即先由一般到特殊，再由特殊到一般。

通过第一步骤得到的信息，还要回到一般情况予以解答。

但我们能熟练使用这种方法后，就只需在特殊状态下得到答案即可。

【例8】如右图，四边形ABCD和EFGH都是正方形，且边长均为2cm。

又E点是正方
形 ABCD的中心，求两个正方形公共部分（图中阴影部分）的面积S。

分析：我们先考虑正方形EFGH的特殊位置，即它的各边与正方形ABCD
的各边对应平行的情况。

此时，显然有S=2×2×1/4=1。

【例9】长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上
任意一点，问阴影部分面积是多少?
分析：法1：找H 点的特殊点，不妨研究H 点在D 时的状态。

那么图形可变为右下图：
那么阴影部分的面积就是三角形DEF 的面积。

设长方形的宽为x ，那么
长为36/x ，则有
ABCD ADE EBF DCF
2113611136113636X X X 22X 222X 22X 369 4.59
13.5cm S S S S S =---=-••-•••-•••=---=阴（）
法2：我们可以找到长方形ABCD 的特殊状态正方形ABCD ，再找H 点在D 时
的状态，则原图可看成右图：
正方形边长为6 ，那么极易得：阴影面积=36-9-4.5-9=13.5 cm 2 。

这种方法找了两次特殊情况，大大简化了计算。

我们上节课学习的例2 ，也是从特殊情况考虑，教师在此要提到此点，附加题目中也有相似类型。

从反面考虑问题
解数学题，需要正确的思路。

对于很多数学问题，通常采用正面求解的思路，即从条件出发，求得结论。

但是，如果直接从正面不易找到解题思路时，则可改变思维的方向，即从结论入手或从条件及结论的反面进行思考，从而使问题得到解决。

【例10】 某次数学测验一共出了10道题，评分方法如下：每答对一题得4分，不答题得0分，答错一题倒扣1分，每个考生预先给10分作为基础分。

问：此次测验至多有多少种不同的分数？
分析：最高的得分为50分，最低的得分为0分。

但并不是从0分到50分都能得到。

从正面考虑计算量较大，故我们从反面考虑，先计算有多少种分数达不到，然后排除达不到的分数就可以了。

最高的得分为50分，最低的得分为0分。

列表分析：
答对 不答 答错 得分
10
0 0 50 9
1 0 46 9
0 1 45 8
2 0 42 8
1 1 41 8
0 2 40 7
3 0 38 7 2 1 37
7 1 2 36
7 0 3 35
…
不答相对与答对少的4分，答错相对与答对少得5分，这样的话不答和答错之间少1分，所以比38分少的分数的情况都存在。

所以，在从0分到50分这51个分数中，有49，48，47，44，43，39这6种分数是不能达到的，故此次测验不同的分数至多有51-6=45（种）。

【例11】一次考试有4道题，100人参加了考试，考试结果，第一题有91人答对，第二题有83人答对，第三题有89人答对，第四题有95人答对，请问四道题全答对的至少有多少人？
分析：从反面考虑问题，题目要我们求全答对的人数至少是多少，我们考虑每个题目分别有几人答错，第一题有9人答错，第二题17人答错，第三题11人答错，第四题5人答错。

所以所有人错的题目之和为9+17+11+5=42题
要使得全答对的人最少，那么应该尽量让每人错1题，42个错题最多可以使42个人无法全对，因此四道题全答对的至少有100-42=58人
当我们计算阴影部分面积时，常常不能直接计算出结果，可从反面思考，从整体中去除空白部分面积，就是阴影部分面积。

从整体考虑问题
有时候具体的去分析局部的细节会感到却少条件，无从下手，这时候如果我们站的高一点，看的远一点，从整体出发去考虑问题，往往会起到意想不到的效果。

【例12】现有一个3×4的长方形，现在任意横着切2刀，竖着切4刀，把长方形分成了15个小长方形，求这15个小长方形的周长之和是多少？
分析：很明显，这15个小长方形中任何一个的周长我们都求不出，如果从局部
出发，是不可能求出来的。

因此我们要从整体出发去考虑
观察发现，每横着切一刀，那么长方形就增加了两条长为4的边，即周长和增
加8，而每竖着切一刀，那么长方形就增加了两条长度为3的边，即周长和增加
6。

因为长方形的周长为2×（3+4）=14，所以横着切2刀，竖着切4刀后周长
和为：
14+2×8+4×6=54 。

注：这个题目也可以用从特殊情况考虑，考虑每个长方形都一样的特殊情况那么长和宽分别为1和0.8 周长和为(1+0.8)×2×15=54
这与我们的第一种方法的答案是一致的。

【例13】某杂志每期定价2元，全年共出12期。

某班部分同学订半年，其余同学订全年，共需订费480元；如果订半年的改订全年，订全年的改订半年，那么共需120元。

问：这个班共有多少名学生？
分析：从总体考虑（480＋120）元是全班同学订1年半的钱，所以有25名同学。

附加题目
【附1】平面上有101条直线，它们最多有多少个不同的交点？
分析：题目条件里的直线太多，因此我们从简单情况出发，先考虑2条，3条……直线的情况，
直线条数交点最多的个数
2 1
33=1+2
46=1+2+3
510=1+2+3+4
从上面的简单情况可以看出，平面上n条直线最多有：[1+2+3+4+……+（n-1）]个不同的交点，本题中是101条直线，因此最多有1+2+3+……+100=5050条直线。

【附2】如果一对成熟的兔子第一个月后能生一对小兔，小兔一个月后就长成了大兔子，于是，下一个月也能生一对小兔子，这样下去，假定一切情况均理想的话，每一对兔子都是一公一母，兔子的数目将按一定的规律迅速增长，那么1年后一共有多少对小兔？
分析：规律为：1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233，一年后共有233对小兔。

【附3】把若干个苹果分给幼儿园的小朋友，如果同时分给大班和小班，那么每个小朋友将分到6个苹果，如果只分给大班，那么每个小朋友将分到10个苹果，那么如果只分给小班，每个小朋友分到几个苹果？
分析：看了这个题目，我们会想，如果知道有几个苹果就好了。

可惜条件没告诉我们，可是，仔细想一想会发现，无论有多少个苹果，题目的答案应该是一定的。

因此我们从特殊情况考虑，假设有30个苹果，那么大班和小班一共有30/6=5人，大班有30/10=3人，因此小班有5-3=2人，每人可以分到30/2=15个苹果。

问题得到了顺利的解决，如果题目是解答题不允许我们这么做怎么办呢？既然知道苹果数就好求了，我们不妨设有x个苹果，下面的做法是完全类似的，请同学们自己试一下。

【附4】满满一杯牛奶，小明先喝了半杯；然后添水加满，之后再喝去半杯；再一次添水加满，最后把它全部喝完．请问小明一共喝了多少杯牛奶多少杯水?
分析：小明共喝了一杯牛奶和一杯水．因为原来就有一杯牛奶，最后喝光了；后来又加了两次水，每次半杯，合起来是一杯水，最后也喝光了．
【附5】甲、乙两人同时从相距30千米的两地出发，相向而行．甲每小时走3.5千米，乙每小时走2.5千米．与甲同时、同地、同向出发的还有一只狗，每小时跑5千米，狗碰到乙后就回头向甲跑去，碰到甲后又回头向乙跑去，……这只狗就这样往返于甲、乙之间直到二人相遇而止，则相遇时这只狗共跑了多少千米？
分析：从整体思考：当甲、乙相会时，甲、乙和狗走路的时间都是一样的．30÷（3.5+2.5）=5（小时），5×5=25（千米）。

【附6】 在前1000个自然数中不是8的倍数的有多少个？
分析：反面考虑，是8的倍数的有1000÷8=125 ，不是8的倍数的有1000-125=875个。

习题五 1.11111112222222÷3333333=？ 解答：12÷3=4，1122÷33=34 ，111222÷333=334 …… 11111112222222÷3333333=3333334 。

2． 求222……2(共2005个2)被7除所得的余数
解答：(利用规律)2÷7=0……2，22÷7=3……1 ，222÷7=31……5 ，2222÷7=317……3 ，22222÷7=3174……4 ，222222÷7=31746……0 ；2005÷6=334……1，所以余数是2 。

3．下面这枚色子, 1和5相对,2和6相对,3和4相对, 先向前转16次，再向右转4次，向上的
一面应该是几个黑点？
解答：无论怎样翻转,四次一循环,上面的黑点还是1。

4．有一个四边形ABCD(任意四边形)面积为1，连接各边的中点得到四边形DEFG
求四边形DEFG 的面积？
解答：从特殊情况考虑1/2。

5．如右图，正方形ABCD 的边长为12,P 是边AB 上的任意一点，M ，N ，J ，H 分别
是边BQ AD 上的三等分点，E ，F ．G 是边CD 上的四等分点，图中阴影部分的面积
是
解答：特殊值方法 因为P 是边AB 上的任意一点，那么我们可以找P 与B 重合时
的状态如右下图：
6． 把若干个苹果分给幼儿园的小朋友，如果同时分给大班和小班，那么每个小朋友将分到4个苹果，如果只分给大班，那么每个小朋友将分到6个苹果，那么如果只分给小班，每个小朋友分到几个苹果？ 解答：设有12个苹果,同时分给大班和小班,12÷4=3人,只分给大班,12÷6=2人，3-2=1人，12÷1=12个。

=112112112 =()12+()12+()12232424
=24+18+18
=60DHB ∆⨯⨯⨯⨯⨯⨯DGB EFB
阴S S +S +S
7．现有1个立方体，其棱长为2厘米，从横、竖、纵3个方向各切1刀，将其分成了8个小长方体，此时这8个小长方体的表面积的和是多少？
解答：从整体考虑，原立方体表面积是：6×2×2=24平方厘米，总的表面积为：2×24=48平方厘米。

数学童话
八戒卖醋
八戒开了一家副食小店。

一天，猴侄小猕猴来为家里打一斤醋。

小猕猴来到师叔的小店，喊道：“师叔，打醋！”八戒问小猕猴打多少醋。

小猕猴说：“不多，就打一两。

”八戒吃惊地问道：“打一两醋干啥？”小猕猴说：“当然是吃呗！”八戒又问：“一两够吗？”小猕猴说：“不够，再打一两吧！”八戒又问：“二两也不多呀？”小猕猴说：“那再打一两吧。

”八戒又打了一两。

小猕猴说：“还打一两，再打一两……”这样，小猕猴共计打了十两醋，也就是一斤醋。

八戒打完醋，说：“共计一斤醋，8角4分钱。

”小猕猴不慌不忙地掏出8角钱给了师叔八戒。

八戒接过钱，说：“不要耍赖，还差4分钱呢！”小猕猴问：“师叔，打一两醋多少钱？”八戒说：“一两醋当然是8分4厘，4厘钱就舍去。

收8分钱。

”小猕猴说：“这么说来，一两醋就是8分钱了。

”八戒说：“那当然。

”小猕猴又说：“十两醋就是8角钱了！”八戒说：“算得正确。

”小猕猴说：“我给了你8角钱，你怎么说还差4分钱呢？”八戒无言以对，只好又亏了4分钱，望着小猕猴提着醋走了。