湖北省部分重点中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文

某某省部分重点中学2015-2016学年度下学期高二期中考试
数学试卷（文）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）。

1．函数
在点（1，1）处的切线方程为（）
A ．x ﹣y ﹣2=0
B ．x+y ﹣2=0
C ．x+4y ﹣5=0
D ．x ﹣4y+3=0 2．抛物线21
4x y =
的焦点到准线的距离为（） A ．2B ．4C ．18D ．
1
2
3．函数()cos x
f x e x =在点(0,(0))f 处的切线斜率为（）
A ．0
B ．1-
C ．1
D ．
22
4．K 为小于9的实数时，曲线与曲线一定有相同的（）
A ．焦距
B ．准线
C ．顶点
D ．离心率
5. 曲线2()1x a f x x =＋＋在点(1,(1))f 处切线的倾斜角为34
π
，则实数a =（）
A ．1
B ．－1
C ．7
D ．－7
6．设21,F F 是椭圆E ：)0(12222>>=+b a b
y a x 的左，右焦点，P 为直线23a
x =上一点，
21PF F ∆是底角为 30的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为（）
A ．
21B ．32C ．43D ．5
4
7．已知函数()sin cos f x x x =+，且'
()3()f x f x =，则x 2tan 的值是（）
A.34-
B.34
C.43-
D.43
8．实半轴长等于
，并且经过点B （5，﹣2）的双曲线的标准方程是（） A ．
或
B ．
C ．
D ．
9．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足0120AFB ∠=. 过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||
||
MN AB 的最大值为（）
A ．
3
3
B ．1
C ．233
D ．2
10．设双曲线22221x y a b -=的两条渐近线与直线2
a x c
=分别交于A,B 两点，F 为该双曲线的
右焦点．若6090AFB ︒<∠<︒, 则该双曲线的离心率的取值X 围是( )
A ．(1,2)
B ．(2,2)
C ．(1,2)
D ．(2,)+∞
11.函数()f x 的定义域为R ，(-2)=2013f ，对任意的x R ∈，都有()2f x x '<成立，则不等式2
()2009f x x <+的解集为（）
A ．（-2，+∞）B. （-2,2）C.（-∞，-2）D.（-∞，+∞）
12. 已知椭圆22
122:1(0)x y C a b a b
+=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，
过P 作圆的切线PA,PB,切点为A,.B 使得3
π
=∠BPA ，则椭圆1C 的离心率的取值X 围是（）
A ．23
[,]22
B ．1[,1)2
C ．2[
,1)2D ．3[,1)2 第II 卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）。

13．设点P 、Q 分别是曲线(x
y xe e -=是自然对数的底数）和直线3y x =+上的动点，则P 、
Q 两点间距离的最小值为
14．设P 为曲线
2
:1C y x x =-+上一点,曲线C 在点P 处的切线的斜率的X 围是]3,1[-,则点P 纵坐标．．．的取值X 围是_______． 15．已知P （x ，y ）是双曲线=1上任意一点，F 1是双曲线的左焦点，O 是坐标原点，
则
的最小值是。

16．已知f （x ）＝x 3
＋3x 2
＋a （a 为常数），在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f （x ）
的最大值是___________。

三、解答题（本大题共6小题，共70分）。

17．已知函数()3
ln 42
x a f x x x =
+--，其中a R ∈，且曲线()y f x =在 点()()1,1f 处的切线垂直于直线1
2
y x =
（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间及极值．
18．直线4y x =-与抛物线2
4y x =交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点，求△ABF 的面积。

19．已知函数2
2
()()x
f x x ax a e x =-+-，a R ∈
（1）若函数()f x 在(0,)+∞内单调递增，求a 的取值X 围； （2）若函数()f x 在0x =处取得极小值，求a 的取值X 围.
20．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点分别为12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，过点
2
(,0)a E c
的直线与椭圆相交于,A B 两点，且1212//,2F A F B F A F B =． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）求直线AB 的斜率．
21．设函数2
1()ln 2
f x x m x =
-，2()(1)g x x m x =-+，0m >．
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）当1m ≥时，讨论函数()f x 与()g x 图象的交点个数．
22．已知圆2221y )1(r x F =++：
与圆2222)4(y )1(r x F -=+-：)40(<<r 的公共点的轨迹为曲线E ,且曲线E 与y 轴的正半轴相交于点M ．若曲线E 上相异两点A 、B 满足直线
MA ,MB 的斜率之积为
（Ⅰ）求E 的方程；
（Ⅱ）证明直线AB 恒过定点，并求定点的坐标； （Ⅲ）求ABM ∆的面积的最大值．
某某省部分重点中学2015-2016学年度下学期高二期中考试
数学试卷（文）
13．2
14. 334⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
1516.57 三、解答题 17. 【答案】（Ⅰ）
54
；（Ⅱ）()f x 的递增区间为()5,+∞，递减区间为()0,5，极小值为()5ln5f =-，无极大值．
【解析】（Ⅰ）对()f x 求导得x
x a x f 1
41)('2--=
，
由在点()()
1,1f 处的切线垂直于直线12y x =，知()/3
124
f a =--=- ， 解得5
4
a =
，所以，a 的值为54．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()53
ln 442
x f x x x =+-- ，则()22
45'4x x f x x --= ， 令()/
0f
x =，解得1x =- 或5x = ，因1x =-不在()f x 的定义域()0,+∞内，
故舍去．
当()0,5x ∈时， ()'
0f
x <，故()f x 在()0,5内为减函数；
当()5,x ∈+∞时，()'0f x >，故()f x 在()5,+∞内为增函数． 由此知函数()f x 在5x =时取得极小值()5ln5f =-
综上得，()f x 的递增区间为()5,+∞，递减区间为()0,5，极小值为()5ln5f =-，无极大值．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的单调性、函数的极值． 18. 【答案】56
试题解析：设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，
直线交x 轴于C(4,0)点，知F(1,0)，3=FC …………2分
解⎩⎨
⎧=-=x
y x y 442
得 y 2
-4y-16=0 ……………… 4分 得|y 2-y 1|=45……………… 8分
S △ABF =||||2
1
12y y FC -⋅⋅=21×3×45＝65………10分
割法求三角形的面积
19. 【答案】（1）a 的取值X 围是(,0]-∞，'()0f x ≥在(0,)+∞，参变分离后即可求解；（2）求导可得2
'()(2)x x f x xe x a e
=+-
-，函数22x
x a e +--的零点0x 的取值分类讨论，结合条件()f x 在0x =处取得极小值即可求解.
数判断函数的单调性；2.构造函数的数学思想；3.分类讨论的数学思想. 20．（Ⅰ）3
e =
（Ⅱ）23±．
试题解析：（Ⅰ）由12//F A F B ，且122F A F B =，得221112
EF F B EF F A ==，从而2
212a c c a c c
-=+， 整理，得22
3a c =，故离心率3e =
（Ⅱ）由（Ⅰ）得2222
2b a c c =-=，所以椭圆的方程可写为2
2
2
236x y c +=，
设直线AB 的方程为2
()a y k x c
=-，即(3)y k x c =-．
由已知设1122(,),(,)A x y B x y ，则它们的坐标满足方程组222
(3)
236y k x c x y c
=-⎧⎨
+=⎩，
消去y 整理，得222222
(23)182760k x k cx k c c +-+-=，
依题意，2
2
48(13)0c k ∆=->，得k <<．．．．．．．．．．．．．．．．．．（* ） 而2122
1823k c
x x k +=+， ① 222
122
27623k c c x x k -=+， ②
由题设知，点B 为线段AE 的中点，所以1232x c x += ③
联立①③解得221222
9292,2323k c c k c c
x x k k -+==++，
将12,x x 代入②中，解得3k =±
满足（*）式，故所求k 的值是3
±． 考点：1、椭圆的几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、直线的斜率．
21. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，
()f x '=
当0x <<()0f x '<，函数()f x 的单调递减，
当x >
时，()0f x '>，函数()f x 的单调递增．
22．（1）
2
2
14
3
x y +
=，（2）(0,23)N ，（3）
2
3
试题解析：（Ⅰ）设⊙1F ，⊙2F 的公共点为Q ,由已知得，r QF r QF F F -===4,,22121，故1QF +
2124QF F F =>, 因此曲线E 是长轴长24,a =焦距22c =的椭圆，且3222=-=c a b ，所以曲线
E 的方程为
2
2
14
3
x y +
=；
（Ⅱ）由曲线E 的方程得，上顶),,(),,(),3,0(2211y x B y x A M 记题意知，
0,021≠≠x x ，若直线AB 的斜率不存在，则直线AB 的方程为1x x =，故12y y =-，且
2
22
1123(1)4
x y
y ==-
，
因此
MA k
⋅21212
12133
4MB
y y y k x x x ---=⋅=-=
， 与已知不符，因此直 线AB 的斜率存在，设直线:AB
y kx m
=+，代入椭圆E 的方程
2
2
1
4
3
x y +
=得：
0)3(4843222=-+++m kmx x k ）（…．①因为直线AB 与曲线E 有公共点A ，B ，所以方
程①有两个非零不等实根12,x x ，所以122
834km
x x k +
=-
+，
2122
4(3)34m x x k -=+
所
以化简得
：260m -+=
，故m =
m =120x x ≠
知m =AB
恒过定点N ．
（Ⅲ）由0∆>
且
m =得：
3
2
k <-
或
32
k >
，又
ABC ANM BNM S S S ∆∆∆=-=
211
2
MN x x ⋅-
6
=
+
≤
，当且仅当12942
=-k ，即时，ABM
∆
考点：1．求椭圆的标准方程；2．证明直线过定点；3．求三角形面积的最值；。