数理统计第五章总结

x1 ,, xn .
(2).主要类型

(1).性质：二重性

随机性 确定性
完全样本 分组样本
第五章 知识点总结
x1 ,, xn ~ F ( x ), (3).简单随机样本：
(4).样本的联合分布函数： F ( x1 ,, xn )
0, k (5). 经验分布函数: Fn ( x ) , n 1, x x( 1 )
n 2 n ![ F ( z ) F ( y )] p( y ) p( z ) p1n ( y, z ) . (n 2)!
( y z)
第五章 知识点总结
(3). 次序统计量的函数及其分布
①. 样本中位数:
n 2k 1， x( n21 )， x n x n (2) ( 2 1) ， n 2k . 2
i 1 j i 1 n j n ![ F ( y )] [ F ( z ) F ( y )] [ 1 F ( z )] p( y ) p( z ) pij ( y, z ) . (i 1)!( j i 1)!(n j )!
( y z)

次序统计量 ( x(1) , x(n) ) 的联合密度函数为
若 X ~ 2 (n), 则 E ( X ) n, Var( X ) 2n. 若 X ~ 2 (m ), Y ~ 2 (n), 且 X 与 Y 独立， 则
X Y ~ 2 (m n).
2 2. 分布的分位数： P( 2 1 (n)) 1 .
第五章 知识点总结
第20页
6. 对来自总体N(2,4) 的样本 y1 , y2 ,, y25 , S 2 是样本方差， 若 2 b s 2 ~ 2 (24), 则b = ( ).
2 X ~ N ( 0 , 1 ), Y ~ (n), 且 X 与Y 相互独立，则 7. 若随机变量
第五章 知识点总结
第 1页
第五章 统计量及其分布
§5.1 总体与样本 §5.2 样本数据的整理与显示
§5.3 统计量及其分布
§5.4 三大抽样分布
§5.5 充分统计量
第五章 知识点总结 一、总体与样本
1.总体

第 2页
总体可以用数集表示. 总体可以用随机变量X或其分布F(x)表示.
2. 样本:
注： 样本 x1 , x2 ,, xn 独立同分布.

次序统计量 x(1) , x( 2) ,, x( n) 未必独立， 也未必同分布.
第五章 知识点总结
(2). 次序统计量的分布

第11页
次序统计量 x(k) 的密度函数为
n! pk ( x ) [ F ( x )]k 1[1 F ( x )]n k p( x ). ( k 1)! ( n k )!
i . i .d .
第 3页
F ( x ).
i 1 i
n
x( k ) x x( k 1) ( k 1, , n 1) x x( n )
(6). 经验分布函数与总体分布函数的关系

当样本量n 相当大时， Fn(x) 依概率收敛于F(x). E[Fn(x)] F(x), Var[Fn(x)] F(x) [1- F(x) ]/n.
第五章 知识点总结
第18页
五、充分统计量
1.充分统计量

若样本的条件分布 F ( x1 , x2 ,, xn | T t ) 与参数θ无关， 则称统计量 T ( x1 , x2 ,, xn ) 为参数θ的充分统计量.
2.充分统计量的判定： 因子分解定理：

统计量 T ( x1 , x2 ,, xn ) 为参数θ的充分统计量
(1).样本k 阶原点矩：
第 9页
(2). 样本k 阶中心矩：
1 n k ak xi . n i 1
(3). 样本偏度：
b3 ˆ s 3/ 2 b2
1 n bk ( xi x )k . n i 1
(4). 样本峰度：
b4 ˆ k 2 3 b2
第五章 知识点总结
第五章 知识点总结 四、三大抽样分布
2 (一). 分布(卡方分布) 2 1. 分布的构造：
第14页

2 若 X 1 ,, X n ~ N (0,1), 则
2
i . i .d
2 2 2 ( X X ) ~ ( n). 1 2 i 1
n
2. 分布的性质：

X ~ ( Y /n
). ). ).
8. 若随机变量 X ~ t (n), 则 1 X 2 ~ ( 9. 若随机变量 X ~ t (n), 则 X 2 ~ (
第五章 知识点总结 三、选择题
则下列样本的函数不是统计量的是（ ）.
第21页
2 2 1. 设 x1 ,, xn 为来自于总体 N ( , )的样本， 其中 , 未知，
A. max{x1 ,, xn }.
B. min{ x1 ,, x3 }.
1 n D. ( x i ) 2 / 2 . n i 1
x1 xn C. . n 2. 设 x1 ,, x100 是来自于总体N(1, 42 ) 的样本， x 为样本均值，
若 ax b ~ N (0,1), 则(
2
n 1 2 s2 n ( x x ) i i n 1 i 1
1 n 2 2 ni xi n x . n 1 i 1
第五章 知识点总结
(2). 样本均值、样本方差的数字特征：
第 8页
E( X ) , 若 2 Var ( X )
第五章 知识点总结
第 4页
二、样本数据的整理与显示

频数频率分布表 频数直方图

直方图
频率直方图
频率/组距直方图

茎叶图
普通茎叶图 背靠背茎叶图
第五章 知识点总结 三、统计量及其分布
1. 统计量： T(x)

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样本 x ( x1 ,, xn ) 的函数. 表达式中不含有总体中的任何未知参数. 有用的统计量的抽样分布必须与参数有关， 精确分布 渐进分布 (小样本场合使用) (大样本场合使用)
第五章 知识点总结
(四).抽样基本定理

第17页
若 x1 ,, xn ~ N ( , 2 ), (1). x ~ N ( , 2 / n); (2). x 与 s 独立； (3).
2
i . i .d
则
( n 1) s 2
2
~ 2 ( n 1).
注： (4).
n( x ) ~ t ( n 1). s
则
E( x) , 2 Var ( x ) , n 2 2 E ( s ) , 2 n 2 E ( s* ) . n1
2 ( x x ) 的自由度. i 1 i n
注：

n 1 称为偏差平方和
第五章 知识点总结
4.样本矩及其函数
X2 / n

若 X ~ F ( m, n),
1 ~ F ( n, m ). 则 X
3. F 分布的分位数: 注:
P( F F1 (m, n)) 1
F1 (m, n) 1 / F (n, m ).
第五章 知识点总结
(三). t 分布
第16页
1. t 分布的构造：

若 X 1 ~ N (0,1), X 2 ~ 2 (n), X1 || X 2 , 则 t
二、填空题
1. 查 t 分布分位数表得 t0.95(5) 2.015, 则 t0.95(5)+ t0.05(5) ( 2. 查 t 分布分位数表得 t0.975(8) 2.306, 则 t0.025(8) ( 4. 若 F0.95(5,10) 3.33, 则 F0.05(10,5) ( 5. 若 F0.95(12,6) 4.00, 则 F0.05(6,12) ( ). ). ). 3. 由F 分布分位数表得 F0.95(10,5) 4.74, 则 F0.05(5,10) (
n 1; E ( X ) 0, 若 X ~ t (n), 则 n Var( X ) , n 2. n2
2. t 分布的性质：

X1 ~ t ( n). X2 / n

若 X ~ t (n), 则 X 2 ~ F (1, n).
3. t 分布的分位数: P(t t1 (n)) 1 注: t ( n) t1 ( n).
2
第五章 知识点总结
(二). F 分布
第15页
1. F 分布的构造：

2 若 X1 ~ (m), X 2 ~ 2 (n), X1 || X 2 , 则 F X 1 / m ~ F (m, n).
2. F 分布的性质：

n E ( X ) , n 2; n2 若 X ~ F ( m, n), 则 2 2 n ( m n 2) Var ( X ) , n 4. 2 m ( n 2) ( n 4)
5.次序统计量及其分布
(1). 次序统计量：x(1) , x( 2) ,, x( n)

第10页
x1 , x2 ,, xn ; 最大次序统计量：x( n) max
最小次序统计量： x(1) min差： Rn x( n) x(1) .
第 7页
(1). 样本方差的类型： 完全样本方差：
n 1 2 s* ( xi x )2 n i 1

分组样本均值：
1 n 2 s ( x x ) i n 1 i 1 1 n 2 2 xi n x . n 1 i 1 2 n n 1 1 2 x x i i n1 n i 1 i 1
.
).
A. a 5, b 5.
C. a 5 2 , b 5 2 .
第13页
②.样本p 分位数:
np Z， x([ np 1])， m p x( np ) x( np 1) ， np Z . 2
m0.5
1 ~ N x0.5 , 4n p 2 ( x ) . 0.5
p ( 1 p ) . ~ xp, N 2 n p ( x ) p


抽样分布
第五章 知识点总结
2.样本均值及其抽样分布 (1). 样本均值的类型：

第 6页
完全样本均值： x1 x n x . n 样本所有偏差之和为0：

分组样本均值：
x1n1 xk nk x , n

(2). 样本均值的性质：

偏差平方和最小：
n 2 n
i 1 ( xi x ) 0.

f ( x1 ,, xn ; ) g(T ( x1 ,, xn ), ) h( x1 ,, xn ).
第五章 知识点总结 一、判断题
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1. 数理统计与概率论的推理方法不同，前者是演绎推理，后者 是归纳推理.( ) 2. 抽自总体 F(x) 的样本 x1 ,, xn 的经验分布函数 Fn(x) 满足 E[Fn(x)] F(x). ( ) ). ).
注：

最小次序统计量x(1)的密度函数为
. p1 ( x) n[1 F ( x)]n1 p( x) .

最大次序统计量x(n)的密度函数为
pn ( x) n[F ( x)]n1 p( x) .
第五章 知识点总结

第12页
次序统计量 ( x(i) , x(j) ) ( i < j ) 的联合密度函数为
n
2 ( x x ) ( x c ) . i 1 i i 1 i
(3). 样本均值的分布：

x ~ N ( , n) 或 x ~ N ( , n),
2
2

E( X ) . 其中 2 Var ( X )
第五章 知识点总结
3.样本方差及其性质