甘肃省兰州市2018届高考实战考试二模数学(理)试题含答案

兰州市2018年高三实战考试
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合2{|40}A x x =-<，则R C A =（ ）
A ．{|2x x ≤-或2}x ≥
B ．{|2x x ≤-或2}x >
C ．{|22}x x -<<
D ．{|22}x x -≤≤ 2. 已知在复平面内，复数z 对应的点是(1,2)Z - ，则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．2i - B ．2i + C ．12i - D ．12i +
3. 等比数列{}n a 中各项均为正数，n S 是其前n 项和，满足2124283,16S a a a =+=，则4S = （ ） A ．9 B ．15 C ．18 D ．30
4. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，若曲线C 的方程为210(0,0)x y x y +-=>>，则落入阴影部分的点的个数的估计为（ ）
A ．5000
B ．6667
C ．7500
D ．7854
5. 已知非零单位,a b 向量满足a b a b +=-，则a 与b a -的夹角为（ ） A ．
6π B ．3π C ．4
π D ．34π
6. 已知点(1,0),(1,0)A B -为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点，点M 在双曲线上，ABM ∆为等腰三
角形，且顶角为0120 ，则该双曲线的方程为（ ）
A ．22
14y x -= B ．22
1x y -= C ．2213y x -= D ．2212
y x -= 7.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
6y x =的焦点为F ，准线为,l P 为抛物线上一点，,PA l A ⊥为垂足，若
直线AF 的斜率k =PF 的长为 （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《九章算术》中提出多项式求值的秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，依次输入a 的的值为2,2,5，则输出的x = （ ） A ．7 B ．12 C ．17 D ．34
9. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．． D
10. 设n N +∈ =（ ）
A ．33
3n
B ．21
33
3n - C ．21
333n - D ．233
3n
11.已知函数()sin 2cos x
f x x
=+，如果0x >时，函数()f x 的图象恒过在直线y kx =的下方，则k 的取值范围是
（ ）
A ．1[,
33 B ．1[,)3+∞ C ．[)3+∞ D ．[]33
-
12. 已知()f x 是定义在R 上的可导函数，若在R 上()()3f x f x '>有恒成立，且()3
1(f e e =为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）
A ．()01f =
B ．()01f <
C ．()6
2f e < D ．()6
2f e >
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知变量,x y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，
若y 关于x 的回归方程为ˆ 1.31y
x =-，则m = ． 14.若变量,x y 满足约束条件22343x y x y x y -≤⎧⎪
+≤⎨⎪-≥-⎩
，则目标函数2z y x =-的最大值是 ．
15.26
1
()x x
-的展开式中，常数项的值为 ．（用数字作答）
16.已知数列{}n a 满足121
1,3
a a ==
，若111123(2,)n n n n n n a a a a a a n n N +-+-++=≥∈，则数列{}n a 的通项n a = ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（一）必做题
17. 已知向量(sin ,3cos ),(cos ,cos )a x x b x x ==-，函数()3f x a b =⋅+. （1）求函数()y f x =的图象对称轴的方程； （2）求函数()f x 在[0,
]2
π
上的最大值和最小值.
18. 如图所示，四边形ABCD 是边长为a 的菱形，060,
BAD EB ∠=⊥平面,ABCD FD ⊥平面ABCD ，
2EB FD ==.
（1）求证：EF AC ⊥
（2）求直线CE 与平面ABF 所成角的正弦值.
19.某智能共享单车备有,A B 两种车型，采用分段计费的方式营用A 型单车每30分钟收费0.5元（不足30分钟的部分按30分钟计算），B 型单车每30分钟收费1元（不足30分钟的部分按30分钟计算）
，现有甲乙丙三人，
分别相互独立第到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲乙丙不超过30分钟还车的概率分别为321
,,
432
，并且
三个人每人租车都不会超过60分钟，甲乙均租用A 型单车，丙租用B 型单车. （1）求甲乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；
（2）设甲乙丙三人所付费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望.
20. 已知12,F F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b
+=>>的左右焦点，点3
(1,)2P 在椭圆上，且124PF PF +=.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）过1F 的直线12,l l 分别交椭圆E 于,A C 和,B D ，且12l l ⊥，问是否存在常数λ，使得11
,,AC BD
λ等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 21.已知函数()ln mx
f x x
=，曲线()y f x =在点22(,())e f e 处的切线与直线20x y +=垂直（其中e 为自然对数的底数）
（1）求()f x 的解析式及单调递减区间； （2）若存在[,)x e ∈+∞，使函数()()21ln ln 22
a e g x ae x x x f x a +=+-⋅≤成立，求实数a 的取值范围. 22.已知直线l 的极坐标方程是sin()03
π
ρθ-
=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立
平面直角坐标系，曲线C 的参数方程是2cos (22sin x y α
αα
=⎧⎨=+⎩为参数）.
（1）求直线l 被曲线C 截得的弦长；
（2）从极点作曲线C 的弦，求各位中点轨迹的极坐标方程. 23.设函数()21f x x x a =-++.
（1）当1a =时，求()y f x =的图象与直线3y =围成的区域的面积； （2）若()f x 的最小值为1，求a 的值.
试卷答案
一、选择题
1-5: ADBDD 6-10: BCCAA 11、B 12：C
二、填空题
13. 3.1 14. 14 15. 15 16.
1
21
n - 三、解答题
17.解：（1）由已知()21sin cos sin 2cos 2)2222
f x x x x x x =+
=-++
1sin 22sin(2)23
x x x π
==-， 对称轴的方程为23
2
x k π
π
π-
=+
，即5,212
k x k Z ππ
=
+∈.
（2）因为[0,
]2
x π
∈，则22[,]3
33x π
ππ
-
∈-
，所以sin(2)[32
x π-∈-， 所以()(
)max min 1,2
f x f x ==-
. 18.（1）证明：连接BD ，交AC 于M ，由菱形性质，有AC BD ⊥， 又EB ⊥平面,ABCD AC ⊂平面ABCD ，所以AC EB ⊥； 所以AC ⊥平面BDFE ，而EF ⊂平面BDFE ，所以AC EF ⊥.
（2）以M 为原点，MA 为x 轴，MB 为y 轴，过M 且垂直于平面ABCD ，方向向上的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系，
则,0),(0,,0),((0,),(0,222a a a A B a C E F -，
33(,,0),(22a a a AB AF
=-
=--，则(,,)n x y z =， 则1
002031302ay n AB n AF ay ⎧
+=⎪⎧⋅=⎪⎪
⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩-+=⎪⎩
，令1x =的平面ABF 的一个法向量(1
,3,2)n =， 设直线CE 与平面ABF 所成的角为θ， 因为3(
,)22a
CE =，所以36sin cos ,n CE n CE n CE
θ⋅==
=⋅19.解：（1）由题意，甲乙丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为111
,,432
， 设“甲乙两人所付费用之和等于丙所付费用”为事件A , 则3211117
()43243224
P A =
⋅⋅+⋅⋅=； （2）随机变量ξ所有可能取值有2,2.5,3,3.5,4， 则32113111215(2),( 2.5)432443243224P P ξξ==
⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯=， 32111173111215
(3),( 3.5)4324322443243224P P ξξ==⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯=，
1111
(4)43224
P ξ==⨯⨯=
所以甲乙丙三人所付费用之和的分别为
所以15751672 2.53 3.5442424242424
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯= 20.解：（1）因为124PF PF +=，所以
242a a =⇒=，椭圆的方程为22
214x y b +=， 将3(1,)2P 代入可得2
3b =，所以椭圆的方程为
222
14x y b +=； （2）若AC 的斜率为零或不存在，易知
11117
3412
AC BD +=+=, 存在满足条件的7
24λ=
，使11,,AC BD
λ成等差数列；
若AC 的斜率为(0)k k ≠，设AC 的方程为(1)y k x =+，代入方程
22
2
14x y b +=， 化简得2222(34)84120k x k x k +++-=，
设1122(,),(,)A x y B x y ，则有221212228412
,3434k k x x x x k k -+=-=++，
于是2122
12(1)
34k AC x k
+=-==+， 同理，由于直线BD 的斜率为1
k -，2212(1)43k BD k +=+，
同理，由于直线BD 的斜率为1
k -，22
12(1)43k BD k +=+，
所以2222
1134437
12(1)12(1)12
k k AC BD k k +++=+=++， 总之，存在满足条件7
12λ=
，使得11,,AC BD
λ成等差数列.
21.解：（1）因为ln 0,0x x ≠>，所以()2
(ln 1)
(0,1)
(1,),(ln )
m x x f x x -'∈+∞=
， 所以()
2
1242m f e m '=
=⇒=，所以()2ln x
f x x =，此时()2
2(ln 1)(ln )x f x x -'=，
由()0f x '<得01x <<或1x e <<，
所以函数()f x 的单调递减区间为()0,1和()1,e ；
（2）()()2211ln ln ln ()222
a e g x ae x x x f x ae x x a e x +=+
-⇒=+-+， 若存在[,)x e ∈+∞，使函数()2
1ln ()2
g a x ae x x a e x ≤=+-+成立，只需[,)x e ∈+∞时，()min g x a ≤，
因为()2()()()()ae x a e x ae x a x e g x x a e x x x
-++--'=+-+==， 若a e ≤，则()0g x '≥在[,)x e ∈+∞时恒成立，所以()g x 在[,)e +∞上单调递增，
()()22min
1()22e g x g e ae e e a e ==+-+=-，所以2
2
e a ≥-，
又a e ≤，则()g x 在[,)e a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增， 所以()g x 在[,)e +∞上的最小值为()()min g x g a =，
又()()2
2e g a g e <=-，而a e >，所以一定满足条件，
综上，实数a 的取值范围是2
[,)2
e -+∞.
22.解：（1）由题意可知，直线l 的直角坐标方程是y =， 曲线C 的普通方程是22(2)4x y +-=，
其圆心到直线l 的距离是1
d =
=，所求的弦长是=（2）从极点作曲线C 的弦，弦的中点的轨迹C '的参数方程为cos (1sin x y α
αα=⎧⎨=+⎩
为参数）
且33[0,
)(,2)22
ππ
απ∈，其普通方程为22(1)1(0)x y y +-=≠， 极坐标方程2
2sin 0ρρθ-=，化简得2sin (0)ρθρ=≠. 23.解：（1）当1a =时
()3,112112,1213,2
x x f x x x x x x x ⎧
⎪-<-⎪
⎪
=-++=-+-≤<⎨⎪
⎪≥⎪⎩，
()y f x =的图象与直线3y =围成区域的面积为1
33[1(1)](3)222
---=
；
（2）当12a ->
，即1
2
a <-时， ()()min 131,21111,()1122231,x a x f x x a x a f x f a x a x a ⎧--+<⎪⎪
⎪
=--≤<-⇒==--=⎨⎪
+-≥-⎪⎪⎩
，所以32a =-，
当12a -≤
，即1
2
a ≥-时， ()()min 31,1111,()311222131,2
x a x a f x x a a x f x f a x a x ⎧
⎪--+<-⎪
⎪
=---≤<⇒==⨯+-=⎨⎪
⎪
+-≥⎪⎩，所以12a =，
所以32a =-或12
a =.。