2019年高考数学一轮复习 小题精练系列 专题16 排列与组合(含解析)理
高考数学一轮复习之排列与组合问题
排列与组合【教学目标】1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．2.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.【考查方向】以理解和应用排列、组合的概念为主，常常以实际问题为载体，考查分类讨论思想，考查分析、解决问题的能力，题型以选择、填空为主，难度为中档.【知识点击】1．排列与组合的概念2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示．3．排列数、组合数的公式及性质(1)A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n－m(2)C m n＝A m nA m m ＝n n－1n－2n－m＋1m！＝n！m n－m【知识点击1】排列问题【典型例题1】1．用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有( )A．96个 B．78个 C．72个 D．64个2．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)【对点演练1】3．6名同学站成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有________种不同站法．【知识点击2】组合问题【典型例题2】男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名．现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员．【对点演练 2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？【知识点击3】排列与组合的综合问题【典型例题3】1.（相邻问题） 3名男生、3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为( )A．2 B．9 C．72 D．362.（相间问题）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A．72 B．120 C．144 D．1683.（特殊元素位置问题）大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )A．18种B．24种C．36种D．48种【对点演练3】1.把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有____种．2.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法．(用数字作答)【基础训练】1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( )(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．( )(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( )(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.( )(5)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立．( )(6)k C k n＝n C k－1n－1.( )2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A．144 B．120 C．72 D．243．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )A．8 B．24 C．48 D．1204．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A．192种 B．216种 C．240种 D．288种5．为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为( )A．180 B．240 C．540 D．6306．寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有______种．(用数字作答)7．7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为( )A．120 B．240 C．360 D．4808．设三位数n＝abc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有多少个？9．用0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的能被3整除的三位数的个数是( )A．20 B．24 C．36 D．4010．设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7)|x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5,6,7}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋…＋|x7|≤4”的元素个数为( )A．938 B．900 C．1 200 D．1 300【目标评价】1．“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中China又可以简写为CN，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有( ) A．360种 B．480种 C．600种 D．720种2．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有( )A．240种 B．192种 C．96种 D．48种3．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为( )A．16 B．18 C．24 D．324．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A．12种 B．18种 C．24种 D．36种5．互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，先要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法( )A．A55种B．A22种C．A24A22种D．C12C12A22A22种6．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．48 C．60 D．727．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种．(用数字作答)8．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)9．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有________种．(用数字作答)10．用数字0,1,2,3,4组成的五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有________个．11．将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，则一共有________种放法．12．某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法．(用数字作答)。
高考数学一轮复习排列与组合专项练习(附解析)
高考数学一轮复习排列与组合专项练习（附解析）排列组合与古典概率论关系紧密。
以下是查字典数学网整理的排列与组合专题练习，请考生认真练习。
一、填空题1.市内某公共汽车站有6个候车位(成一排)，现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是________.[解析] 由于题目要求的是奇数，那么关于此三位数能够分成两种情形：奇偶奇，偶奇奇.假如是第一种奇偶奇的情形，能够从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共322=12种;假如是第二种偶奇奇的情形，个位(3种情形)，十位(2种情形)，百位(不能是0,1种情形)，共321=6种，因此总共12+6=18种情形.[答案] 182.若从1,2,3，，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________种.[解析] 满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C=5(种);二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有CC=60(种);三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，因此满足条件的取法共有5+60+1=66(种).[答案] 663.(2021福州调研)若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，称那个数为伞数.现从1,2,3,4,5,6这六个数字中取3个数，组成无重复数字的三位数，其中伞数有________个.[解析] 分类讨论：若十位数为6时，有A=20(个);若十位数为5时，有A=12(个);若十位数为4时，有A=6(个);若十位数为3时，有A=2(个).因此一共有40个.[答案] 404.一个平面内的8个点，若只有4个点共圆，其余任何4点不共圆，那么这8个点最多确定的圆的个数为________.[解析] 从8个点中任选3个点有选法C种，因为有4点共圆因此减去C种再加1种，共有圆C-C+1=53个.[答案] 535.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有________种.[解析] 分两种情形：选2本画册，2本集邮册送给4位朋友有C=6(种)方法;选1本画册，3本集邮册送给4位朋友有C=4(种)方法，不同的赠送方法共有6+4=10(种).[答案] 106.用数字1,2,3,4,5,6六个数字组成一个六位数，要求数字1,2都不与数字3相邻，且该数字能被5整除，则如此的五位数有________个.[解析] 由题可知，数字5一定在个位上，先排数字4和6，排法有2种，再往排好的数字4和6形成的3个空位中插入数字1和3，插法有6种，最后再插入数字2，插法有3种，依照分步乘法计数原理，可得如此的六位数有263=36个.[答案] 367.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法有________种.[解析] 第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法CC=264(种);第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C-3C=220-12=208(种).由分类计数原理知不同的取法有264+208=472(种).[答案] 4728.在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的三位数共有________个.[解析] 在1,2,3,4,5这五个数字中有3个奇数，2个偶数，要求三位数各位数字之和为偶数，则两个奇数一个偶数，符合条件的三位数共有CCA=36(个).[答案] 36二、解答题9.从3名骨科、4名脑外科和5名内科大夫中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科大夫都至少有1人的选派方法种数是多少?(用数字作答).[解] 分三类：选1名骨科大夫，则有C(CC+CC+CC)=360(种);选2名骨科大夫，则有C(CC+CC)=210(种);选3名骨科大夫，则有CCC=20(种).骨科、脑外科和内科大夫都至少有1人的选派方法种数是360+210+20 =590种.10.四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.(1)若每个盒子放一球，则有多少种不同的放法?(2)恰有一个空盒的放法共有多少种?[解] (1)每个盒子放一球，共有A=24(种)不同的放法;(2)法一先选后排，分三步完成.第一步：四个盒子中选一只为空盒，有4种选法;第二步：选两球为一个元素，有C种选法;第三步：三个元素放入三个盒中，有A种放法.故共有4CA=144(种)放法.法二先分组后排列，看作分配问题.第一步：在四个盒子中选三个，有C种选法;第二步：将四个球分成2,1,1三组，有C种放法;课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。
高考数学一轮总复习排列与组合问题求解
高考数学一轮总复习排列与组合问题求解高考数学一轮总复习排列与组合问题求解排列与组合是高中数学中的一个重要分支，也是高考数学中的常见考点。
在解决排列与组合问题时，我们需要灵活运用相关的概念和公式，同时注意分析问题的特点和限制条件。
以下是一些常见的排列与组合问题的求解方法。
问题一：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，有多少种不同的取法？解析：这是一个典型的组合问题，我们需要从n个不同元素中选出m个元素，而不考虑它们的顺序。
根据组合的定义，我们可以使用组合数的公式进行求解。
组合数的计算公式为C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)，其中！表示阶乘。
例如，假设有8个不同的球，要从中选择5个球，可以计算出C(8,5) = 8! / (5!(8-5)!) = 8! / (5!3!) = (8 × 7 × 6) / (3 × 2 × 1) = 56种不同的取法。
问题二：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，其中某几个元素必须被选取，有多少种不同的取法？解析：对于这种情况，我们需要先确定必须被选取的元素，然后从剩余的元素中选择剩下的m-必选元素个数。
例如，如果有5个不同的球，其中2个必须被选取，我们需要从剩下的3个球中再选择1个球。
根据组合的定义，我们可以先计算必选元素的选择方式，即C(2,2)，然后再计算剩余元素的选择方式，即C(3,1)。
最后将两部分的选择方式相乘即可得到最终的结果。
例如，假设有5个不同的球，其中2个必须被选取，我们可以计算出C(2,2) × C(3,1) = 1 × 3 = 3种不同的取法。
问题三：在一排叠盘子中，每个盘子可以是红色、黄色、蓝色中的任意一种颜色。
如果有10个盘子，其中4个红色、3个黄色、3个蓝色，连续的盘子不允许有相同颜色。
请问有多少种不同的叠法？解析：这是一个排列问题，我们需要注意到连续的盘子不允许有相同颜色，因此我们需要分别考虑第一个盘子的颜色，并与之后的盘子进行排列。
高考数学专题：排列与组合
高考数学专题：排列与组合在高考数学中，排列与组合是一个重要的知识点，也是很多同学感到头疼的部分。
但别担心，让我们一起来深入了解它，掌握解题的关键。
首先，我们要明白什么是排列，什么是组合。
排列，简单来说，就是从给定的元素中取出一些，然后按照一定的顺序排成一列。
比如说，从 5 个不同的数字中选出 3 个排成三位数，这就是排列问题。
而组合呢，只关注选取的元素，不考虑它们的顺序。
比如，从 5 个不同的水果中选出 3 个，这就是组合问题。
那为什么要区分这两者呢？因为在计算方法上，它们是不同的。
排列的计算方法是用排列数公式：A(n, m) ＝ n! ／（n m)！。
这里的“！”表示阶乘，比如 5! ＝ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。
组合的计算方法是用组合数公式：C(n, m) ＝ n! ／ m! ×（n m)！。
我们通过一些具体的例子来理解。
比如，有 5 个不同的球，分别标有数字 1、2、3、4、5 。
从中取出 3 个排成一排，有多少种排法？这就是一个排列问题。
第一步，从 5 个球中选 3 个，有 C(5, 3) 种选法；第二步，选出的 3 个球进行排列，有 A(3, 3) 种排法。
所以总的排法就是 C(5, 3) × A(3, 3) ＝ 60 种。
再比如，从 5 个不同的球中选出 3 个组成一组，有多少种选法？这就是组合问题，直接用组合数公式 C(5, 3) ＝ 10 种。
在解决排列组合问题时，有几个重要的原则和方法需要掌握。
一个是分类加法原则。
如果完成一件事情有 n 类不同的办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
举个例子，从甲地到乙地，有 3 条陆路可走，2 条水路可走。
那么从甲地到乙地共有 3 ＋ 2 ＝ 5 种走法。
第一轮复习排列组合常见题型及解法
排列组合常见题型及解法排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口,实践证明，解决问题的有效方法是：题型与解法归类、识别模式、熟练运用。
一．处理排列组合应用题的一般步骤为：①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。
二．处理排列组合应用题的规律（1）两种思路：直接法，间接法。
(2)两种途径：元素分析法，位置分析法。
1 重复排列“住店法”重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。
把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题。
例1 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）2. 特殊元素（位置）用优先法:把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），可优先将它（们）安排好，后再安排其它元素。
对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。
例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？例2（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种（用数字作答）。
例3 5个“1”与2个“2”可以组成多少个不同的数列？3. 相邻问题用捆绑法:对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”“捆绑”为一个“大元素：与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。
例1. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？例2（1996年上海高考题）有8本不同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有____________种（结果用数字表示）。
4. 相离问题用插空法:元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。
高考 专题16 排列与组合-2019年高考数学母题题源系列(浙江专版)(解析版)
专题16 排列与组合【母题来源一】【2018年高考浙江卷】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成______________个没有重复数字的四位数．（用数字作答） 【答案】1260【解析】若不取0，则排列数为224534C C A ； 若取0，则排列数为21135333C C A A ，因此一共可以组成224534C C A +21135333C C A A 1260=个没有重复数字的四位数． 故答案为1260．【母题来源二】【2017年高考浙江卷】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______________种不同的选法．（用数字作答） 【答案】660 【解析】由题意可得，从8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队， 总的选择方法为411843C C C ⨯⨯种，其中“服务队中没有女生”的选法有411643C C C ⨯⨯种， 则满足题意的选法有411411843643C C C C C C 660⨯⨯-⨯⨯=种． 故答案为660．【名师点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．【命题意图】考查排列数、组合数公式，考查运算求解能力、分类讨论的思想及分析问题与解决问题的能力．【命题规律】排列、组合问题一般以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类和分步计数原理，难度中等．【答题模板】求解排列、组合问题，一般步骤如下：第一步：分清分类和分步；第二步：分清排列与组合，确定解题方向，根据问题有序和无序，确定是排列问题还是组合问题；第三步：正确应用公式运算求解．【方法总结】1．解排列、组合综合应用问题的思路解排列、组合综合应用问题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手，“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．2．排列问题与组合问题的识别方法若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关；若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素顺序无关．3．解排列、组合题的“24字方针，12个技巧”（1）“24字方针”是解排列、组合题的基本规律：即排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加、分步为乘．（2）“12个技巧”是速解排列、组合题的捷径．即：①相邻问题捆绑法；②不相邻问题插空法；③多排问题单排法；④定序问题倍缩法；⑤定位问题优先法；⑥有序分配问题分步法； ⑦多元问题分类法； ⑧交叉问题集合法； ⑨至少(多)问题间接法； ⑩选排问题先取后排法； ⑪局部与整体问题排除法； ⑫复杂问题转化法．1．【浙江省杭州高级中学2019届高三上学期期中考试】有甲、乙、丙3项任务，甲需要2人承担，乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有 A ．1260 B ．2520 C ．2025D ．5040【答案】B【分析】首先分析题目求不同的选法种数，故可先从10人中选出4个人，再在这4个人中选两个从事甲任务，剩下的两个人从事乙或丙任务，即可列出式子，求解得到答案．【解析】分析题目先从10人中选出4个人，再在这4个人中选两个从事甲任务，剩下的两个人从事乙丙任务，故不同的选法有4221042C C A 2520 种． 故选B ．【名师点睛】排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏． 2．【浙江省2019年高考模拟训练卷三】已知5辆不同的白颜色和3辆不同的红颜色汽车停成一排，则白颜色汽车至少2辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有 A ．1880 B ．1440 C ．720D ．256【答案】B【分析】先从5辆白色汽车选3辆全排列后视为一个整体，再将剩余2辆白色汽车全排列后视为一个整体，再将这两个整体全排列，共有3个空，3辆不同的红颜色汽车插空排列即可．【解析】由题意知，白颜色汽车按3，2分两组，先从5辆白色汽车选3辆全排列共35A 种排法， 再将剩余2辆白色汽车全排列共22A 种排法，再将这两个整体全排列，共22A 种排法，排完后有3个空，3辆不同的红颜色汽车插空共33A 种排法， 由分步计数原理得共32235223A A A A 1440=种． 故选B ．【名师点睛】本题主要考查排列中的相邻与不邻问题，常用捆绑与插空法解决，应用了分步计数原理，理解题意是解题得关键，属于中档题．3．【2019年湖北省武汉市高考数学(5月)模拟】用0，1，2，3，4可以组成数字不重复的两位数的个数为 A ．15 B ．16 C ．17D ．18【答案】B【解析】若个位数是0，则有14C 4=个； 若个位数不是0，则有24A 12=个， 则共有41216+=个． 故选B ．【名师点睛】对于排数问题，我们有如下策略：（1）特殊位置、特殊元素优先考虑，比如偶数、奇数等，可考虑末位数字的特点，还有零不能排首位等；（2）先选后排，比如要求所排的数字来自某个范围，我们得先选出符合要求的数字，再把它们放置在合适的位置；（3）去杂法，也就是从反面考虑． 4．【浙江省七彩联盟2018-2019学年第一学期高三11月期中考试】将8本不同的书全部分发给甲、乙、丙三名同学，每名同学至少分到一本，若三名同学所得书的数量各不相同，且甲同学分到的书比乙同学多，则不同的分配方法种数为 A ．1344 B ．1638 C ．1920D ．2486【答案】A【分析】由题意可得8本不同的书有(1，2，5)，(1，3，4)两种分组的方法，再根据甲同学分到的书比乙同学多，分类求出即可．【解析】8本不同的书全部分发给甲、乙、丙三名同学，每名同学至少分到一本，若三名同学所得书的数量各不相同，则有(1，2，5)，(1，3，4)两种分组的方法， 由于甲同学分到的书比乙同学多，当乙分的1本时，此时的种数为C 81(C 72+C 73)A 22=896当丙分的1本时，此时的种数为C 81(C 72+C 73)=448，故不同的分配方法种数为986+448=1344种， 故选A ．5．【浙江省余姚中学2018届高三选考模拟卷二】用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是 A ．48 B ．60 C ．72D ．120【答案】A【分析】对数字2分类讨论，结合数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论．【解析】数字2出现在第2位时，数字1，3，5中相邻的数字出现在第3，4位或者4，5位，共有C 32A 22A 22=12个;数字2出现在第4位时，同理也有12个;数字2出现在第3位时，数字1，3，5中相邻的数字出现在第1，2位或者4，5位，共有C 21C 32A 22A 22=24个;故满足条件的不同的五位数的个数是48个． 故选A ．【名师点睛】本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字2分类讨论，属于基础题． 6．【江西省临川一中2019届高三年级考前模拟】十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员（含A 、B 两市代表团）安排至a ，b ，c 三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A 、B 两市代表团必须安排在a 宾馆入住，则不同的安排种数为 A ．6 B ．12 C ．16D ．18【答案】B【解析】如果仅有A 、B 入住a 宾馆，则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆，共有2232C A 6=种； 如果有A 、B 及其余一个代表团入住a 宾馆，则余下两个代表团分别入住,b c ，共有1232C A 6=种， 综上，共有不同的安排种数为6612+=． 故选B ．【名师点睛】本题考查排列、组合计数，注意要先分组再分配，否则容易出现重复计数的错误． 7．【河南省濮阳市2019届高三5月模拟】安排A ，B ，C ，D ，E ，F ，共6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A 不安排照顾老人甲，义工B 不安排照顾老人乙，则安排方法共有A ．30种B ．40种C ．42种D ．48种【答案】C【解析】6名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有2264C C 90=种安排方法， 其中A 照顾老人甲的情况有1254C C 30=种， B 照顾老人乙的情况有1254C C 30=种，A 照顾老人甲，同时B 照顾老人乙的情况有1143C C 12=种．综上，符合题意的安排方法有9030301242--+=种， 故选C ．【点睛】本题考查利用排列组合解决实际问题，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解． 8．【浙江省金丽衢十二校2018届高三第二次联考】用0，1，2，3，4可以组成的无重复数字的能被3整除的三位数的个数是 A ．20 B ．24 C ．36D ．48【答案】A【分析】先根据能被3整除的三位数字组成为012，024，123，234四种情况，再分类讨论排列数，最后相加得结果．【解析】因为能被3整除的三位数字组成为012，024，123，234四种情况，所以对应排列数分别为2A 22，2A 22，A 33，A 33，因此一共有2A 22+2A 22+A 33+A 33=20个能被3整除的三位数，故选A ．【名师点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：（1）元素相邻的排列问题——“捆邦法”；（2）元素相间的排列问题——“插空法”；（3）元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；（4）带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法．9．【湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟三】本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有 A ．72种 B ．144种 C ．288种D ．360种【答案】B【解析】第一步排语文，英语，化学，生物4科，且化学排在生物前面，有24A 12=种排法； 第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有24A 12=种排法， 所以不同的排表方法共有1212144⨯=种． 故选B ．【名师点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题．10．【浙江省宁波市2018届高三5月模拟】若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案数有A ．48种B ．72种C ．96种D ．216种【答案】C【解析】如图，按照以下顺序涂色，A ：C 41→B ：C 31→D ：C 21→C ：C 21→E ：C 11→F ：C 21， 所以由乘法分步原理得总的方案数为C 41⋅C 31⋅C 21⋅C 21⋅C 21=96种．故选C ．【名师点睛】（1）本题主要考查排列组合计数原理的应用，意在考查学生的逻辑思维能力和排列组合的基本运算能力．解答排列组合时，要思路清晰，排组分清；（2）解答本题时，要注意审题，“有公共顶点的两个格子颜色不同”，如C 和D 有公共的顶点，所以颜色不能相同．11．【浙江省浙南名校联盟2019届高三上学期期末联考】甲、乙二人均从5种不同的食品中任选一种或两种吃，则他们一共吃到了3种不同食品的情况有 A ．84种 B ．100种 C ．120种D ．150种【答案】C【分析】由分步乘法计数原理先由5种食物中选择3种，共35C 种情况；第二步，将3种食物编号，用列举法列举所有情况即可．【解析】由分步乘法计数原理：第一步，由5种食物中选择3种，共35C 种情况；第二步，将3种食物编号为A ，B ，C ，则甲、乙选择的食物的情况有：(,)AB C ，(,)AB AC ，(,)AB BC ，(,)AC B ，(,)AC BC ，(,)BC A ，(,)A BC ，(,)BC AC ，(,)B AC ，(,)BC AB ，(,)AC AB ，(,)C AB ，共12种情况，因此他们一共吃到了3种不同食品的情况有3512C 120 种． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查分步乘法计数原理，按定义逐步计算，最后求乘积即可，属于常考题型． 12．【浙北四校2019届高三12月模拟】有6个人站成前后二排，每排3人，若甲、乙两人左右、前后均不相邻，则不同的站法种数为 A ．384 B ．480 C ．768D ．240【答案】A【分析】若甲站在边上甲有4个位置可选，乙有3个位置可选，其余的4人任意排，此时的排法种数为4×3×A 44；如果甲站在中间，甲有2个位置可选，乙有2个位置可选，其余的4人任意排，此时的排法种数是2×2×A 44，把这两个结果相加即得所求．【解析】如果甲站在边上甲有4个位置可选，乙有3个位置可选，其余的4人任意排，此时的排法种数为4×3×A 44=288．如果甲站在中间，甲有2个位置可选，乙有2个位置可选，其余的4人任意排，此时的排法种数是2×2×A 44=96．根据分类计数原理，所有的不同的站法种数为288+96=384， 故选A ．【名师点睛】本题主要考查排列与组合及两个基本原理，排列数公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．13．【浙江省杭州第十四中学2019届高三8月月考】将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法的种数为______________．（用数字作答） 【答案】30【分析】先计算小球放入3个不同的盒子的放法数目，再计算红球和蓝球放到同一个盒子的放法数目，两个相减得到结果．【解析】将4个小球放入3个不同的盒子，先在4个小球中任取2个作为1组，再将其与其它2个小球对应3个盒子，共2343C A 36=种情况，若红球和蓝球放到同一个盒子，则黑、黄球放进其余的盒子里，有33A 6=种情况， 则红球和蓝球不放到同一个盒子的放法种数为36－6=30．【名师点睛】本题考查排列组合及简单的计数原理的应用，注意用间接法，属于基础题．14．【河北省唐山市2019届高三第二次模拟】将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有______________种．（用数字作答） 【答案】660【解析】若甲校2人，乙、丙、丁其中一校2人，共有223643C C A 种， 若甲校3人，乙、丙、丁每校1人，共有3363C A 种， 则不同的分配方案共有223643C C A +3363C A 660=种．15．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有______________种．（结果用数字表示） 【答案】336【分析】根据相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法进行求解．【解析】先不考虑红球与黄球不相邻，则4个小球有44A 种排法，再安排空盒，有2252C A 种方法， 再考虑红球与黄球相邻，则4个小球有3232A A 种排法，再安排空盒，有2242C A 种方法， 因此所求放法种数为42222452223324A A A C A C A 336-=．16．【河北省衡水市2019届高三四月大联考】现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有______________种．（用数字作答） 【答案】8【解析】先按排甲，其选座方法有14C 种，由于甲、乙不能相邻， 所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有22A 种， 所以共有坐法种数为1242C A 428⋅=⨯=种．【点睛】排列、组合问题由于其思想方法独特、计算量大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则，先取后排原则，先分组后分配原则，正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向．同时解答组合问题时必须考虑周全，做到不重不漏，正确解题．17．【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】甲、乙、丙3人同时参加5个不同的游戏活动，每个游戏最多有2人可以参与（如果有2人参与同一个游戏，不区分2人在其中的角色），则甲、乙、丙3人参与游戏的不同方式总数是______________． 【答案】120【分析】分类：第一类，每一个游戏只有一个人参加；第二类，有一个游戏有两人参加，另一个游戏有一人参加，求出结果．【解析】第一类，每一个游戏只有一个人参加，则有A 53=60种参与方法；第二类，有一个游戏有两人参加，另一个游戏有一人参加，则有C 31∙A 52=60种参与方法．综上，符合题意得参与方法一共有60+60=120种参与方法．【名师点睛】本题考查了排列组合的运用，在不同人选取不同游戏的时候，进行了分类讨论，依据题目中每个游戏最多有2人可以参与讨论一个参加和两人参加，较为基础．18．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末联考】某高中高三某班上午安排五门学科(语文，数学，英语，化学，生物)上课，一门学科一节课，要求语文与数学不能相邻，生物不能排在第五节，则不同的排法总数是______________． 【答案】60【分析】由题意可以分两类，根据分类计数原理可得．【解析】若第五节排语文或数学中的一门，则第四节排英语，化学，生物中的一门，其余三节把剩下科目任意排，有113233A A A 36=种排法，若第五节排英语，化学中的一门，剩下的四节，将语文和数学插入到剩下的2门中，有122223A A A 24=种排法，根据分类计数原理共有362460+=种．【名师点睛】本题考查了分类计数原理，关键是分类，以及特殊元素特殊处理，属于中档题． 19．【浙江省衢州市五校联盟2019届高三年级上学期联考】元宵节灯展后，如图悬挂有6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，共有______________种不同取法．（用数字作答）【答案】90【分析】问题转化为求六个元素排列，其中甲在乙前；丙在丁前，戊在己前的排列数，先将六个元素全排列共有A 66种排法，结合甲乙顺序确定；丙丁顺序确定，戊己顺序确定，从而可得结果．【解析】因为取灯时每次只能取一盏，所以每串灯必须先取下面的灯，即每串两个灯取下的顺序确定，问题转化为求六个元素排列，其中甲在乙前，丙在丁前，戊在己前的排列数，先将六个元素全排列共有A 66种排法，因为甲乙顺序确定；丙丁顺序确定，戊己顺序确定，所以六个元素排列甲在乙前、丙在丁前、戊在己前的排法数为A 66A 22A 22A 22=7202×2×2=90， 故取下6盏不同的花灯，每次取1盏，共有90种不同取法．【名师点睛】本题主要考查排列的应用，属于中档题．常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数．20．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】某超市内一排共有6个收费通道，每个通道处有1号，2号两个收费点，根据每天的人流量，超市准备周一选择其中的3处通道，要求3处通道互不相邻，且每个通道至少开通一个收费点，则周一这天超市选择收费的安排方式共有______________种．【答案】108【分析】先选择通道，再考虑每个通道处收费点的开通方式，利用分步乘法计数原理可得答案．【解析】设6个收费通道依次编号为1，2，3，4，5，6，从中选择3个互不相邻的通道，有135，136，146，246共4种不同的选法．对于每个通道，至少开通一个收费点，即可以开通1号收费点，开通2号收费点，同时开通两个收费点，共3种不同的安排方式．由分步乘法计数原理，可得超市选择收费的安排方式共有343108⨯=种．21．【浙江省重点中学2019届高三12月期末热身联考】如图，有7个白色正方形方块排成一列，现将其中4块涂上黑色，规定从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有______________种．【答案】14【分析】用黑白两种颜色随机地涂如图所示表格中7个格子，每个格子都有2种染色方法，利用分类讨论方法求出出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子个数．【解析】由题意可判断第一格涂黑色，则在后6格中有3个涂黑色，共有36C 20=种涂法，满足从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总少于白色方块的有：①第2，3格涂白色共4种涂法，②第3，4，5格涂白色共1种涂法，③第2，4，5格涂白色共1种涂法．所以满足从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有36C 41114---=种．【名师点睛】本题考查计数原理，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用． 22．【湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练五】习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为配合国家精准扶贫战略，某省示范性高中安排6名高级教师（不同姓）到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，因工作需要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为______________．【答案】360【解析】方法1：根据甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，可分四种情况： （1）甲校安排1名教师，分配方案种数有11422325542532C C C A C C A 150+=（）； （2）甲校安排2名教师，分配方案种数有213222543242C C C A C C 140+=（）； （3）甲校安排3名教师，分配方案种数有31225322C C C A 60=；（4）甲校安排4名教师，分配方案种数有411521C C C 10=；由分类计数原理，可得共有1501406010360+++=（种）分配方案．方法2：由6名教师到三所学校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4，1，1；3，2，1；2，2，2， （1）对于第一种情况，由于李老师不去甲校，李老师自己去一个学校有12C 种，其余5名分成一人组和四人组有4252C A 种，共421522C A C 20=（种）；李老师分配到四人组且该组不去甲校有312522C C A 40=（种），则第一种情况共有204060+=（种）；（2）对于第二种情况，李老师分配到一人组有32215222C C A C 40=（种），李老师分配到三人组有22125222C C C A 120=（种），李老师分配到两人组有11325242C C C C 80=（种），所以第二种情况共有4080120240++=（种）； （3）对于第三种情况，共有11225242C C C C 60=（种）；综上所述，共有6024060360++=（种）分配方案．【点睛】本题主要考查了分类计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中解答中认真审题，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．23．【浙江省嘉兴市2019届高三第一学期期末检测】浙江省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外，考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目，成绩计入高考总分．已知报考某高校A 、B 两个专业各需要一门科目满足要求即可，A 专业：物理、化学、技术；B 专业：历史、地理、技术．考生小李今年打算报考该高校这两个专业的选考方式有______________种．（用数字作答）【答案】27【分析】根据题意，分四种情况讨论即可，最终将每种情况的个数加到一起．【解析】根据题意得到分情况：当考生选择技术时，两个专业均可报考，再从剩下的6门课中选择两科即可，方法有26C 15=种； 当学生不选技术时，可以从物理化学中选择一科，再从历史，地理选一科，最后从政治生物中选择一科，有2228⨯⨯=种方法；当学生同时选物理化学时，还需要选择历史，地理中的一科，有2中选择，当学生同时选择历史，地理时，需要从物理化学中再选择一科，也有2种方法，共有4种；综上，共有158427++=种选考方式．【名师点睛】（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解． 24．【浙江省温州九校2019届高三第一次联考】4名学生参加3个兴趣小组活动，每人参加一个或两个小组，那么3个兴趣小组都恰有2人参加的不同的分组共有______________种．【答案】90。
2019年高考数学一轮复习排列、组合的综合应用问题
答案：A
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
课后练习
5．(2017· 新课标卷Ⅱ)安排 3 名志愿者完成 4 项工作， 每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方 式共有( ) B．18 种 D．36 种
A．12 种 C．24 种
解：由题意可得其中 1 人必须完成 2 项工作，其
2 2 他 2 人各完成 1 项工作，可得安排方式为 C1 · C · A 3 4 2＝
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
课后练习
解：(1)分两类，第一类，首位为奇数的奇偶相间． 第一步：把1,3,5三个数排列在奇数位上，有A3 3种方法； 第二步：把0,2,4三个数排在偶数位上，有A3 3种方法．
3 根据分步计数原理，共有A3 × A 3 3＝36个．
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结
课后练习
(3)正难则反原则：若从正面直接解决有困难，则考虑 事件的对立事件，从不适合题目的情况入手，再整体排 除． (4)策略针对性原则：针对一些如相邻问题、不相邻问 题、定序问题等计数问题，常常有一些固定的模式可遵 循．
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
课后练习
解决排列组合的综合应用应遵循计数问题的四种基本 原则： (1)特殊优先原则：在有限制的排列组合问题中，可 以以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他 元素；也可以以位置为主体，即先满足特殊位置的要求， 再考虑其他位置． (2)先组合后排列原则：对于有限制的条件的排列问 题，常可分步进行，先组合后排列，即先取出元素再安排 元素，这是分步乘法计数原理的典型应用．
1 解：本题分两类：若小张或小赵入选，则有选法C 1 2C2 2 2 A3 ＝ 24 种；若小张、小赵都入选，则有选法 A 3 2 A 3 ＝12
2019届浙江省新高考数学一轮复习讲练测：排列与组合
2019届浙江省新高考数学一轮复习讲练测：排列与组合讲知识【考纲解读】【知识清单】1. 排列与组合1. 排列的相关概念及排列数公式(1)排列的定义：从n 个不同元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n 个不同元素中取出m (m n ≤)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m 个元素的排列数，用mn A 表示．(3)排列数公式：()()()121m n A n n n n m =---+这里,n m N ∈æ并且m n ≤(4)全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，()()1221!n n A n n n n =--⋅⋅=(叫做n 的阶乘).排列数公式写成阶乘的形式为()!!mnn A n m =-，这里规定0!1=.2．组合的相关概念及组合数公式(1)组合的定义：从n 个不同元素中取出m (m n ≤)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n 个不同元素中取出m (m n ≤)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示．(3)组合数的计算公式：()()()()121!!!!mmnnm m n n n n m A n C A m m n m ---+===-，由于0!1=，所以01n C =.(4)组合数的性质：①m n m n n C C -=；②11m m m n n n C C C -+=+；③11r r n n rC nC --=.3.区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．4.解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．5.要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果．【重点难点突破】考点1 排列与组合【1-1】【2018年理新课标I 卷】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 【答案】16【1-2】【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三上期中】某校的A 、B 、C 、D 四位同学准备从三门选修课中各选一门，若要求每门选修课至少有一人选修，且A,B 不选修同一门课，则不同的选法有（ ）A. 36种B. 72种C. 30种D. 66种 【答案】C【解析】先从4人中选出2人作为1个整体有246C =种选法，减去A B 、在同一组还有5种选法，再选3门课程有33A 种选法，利用分步计数原理有33530A =种不同选法.选C.【1-3】【2018年浙江卷】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 【答案】1260【领悟技法】1. 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数． 2. 解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等； (3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决； (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．3. 有条件的排列问题大致分四种类型．(1)某元素不在某个位置上问题，①可从位置考虑用其它元素占上该位置，②可考虑该元素的去向(要注意是否是全排列问题)；③可间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个数． (2)某些元素相邻，可将这些元素排好看作一个元素(即捆绑法)然后与其它元素排列． (3)某些元素互不相邻，可将其它剩余元素排列，然后用这些元素进行插空(即插空法)． (4)某些元素顺序一定，可在所有排列位置中取若干个位置，先排上剩余的其它元素，这个元素也就一种排法．4. 对于有条件的组合问题，可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误． 【触类旁通】【变式一】【2017课标II ，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 【答案】D 【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有24C 种方法，然后进行全排列33A 即可，由乘法原理，不同的安排方式共有234336C A ⨯=种方法. 故选D.【变式二】【2017浙江卷16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______中不同的选法．（用数字作答） 【答案】660【变式三】【河南省2018年高考一模】2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中班、班，班、班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学乘同一辆车的4名同学不考虑位置，其中班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有A． 18种 B． 24种 C． 48种 D． 36种【答案】B【解析】由题意，第一类，一班的名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为种，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为，故有种；第二类，一班的名同学不在甲车上，则从剩下的个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为，这时共有种，根据分类计数原理得，共有种不同的乘车方式故选考点2 有附加条件的排列组合问题（1）相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【2-1】,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有（）A、60种B、48种C、36种D、24种【答案】D【解析】把,A B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A 种，答案：D.（2）相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【2-2】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种 【答案】B【解析】除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .（3） 定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.【2-3】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种 【答案】B【解析】B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . （4） 标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.【2-4】将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 【答案】B【解析】先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .（5） 有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.【2-5】有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种 【答案】C（6） 全员分配问题分组法:【2-6】4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？ 【答案】36【解析】把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. （7） 名额分配问题隔板法:【2-7】10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 【答案】84【解析】10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.（8） 限制条件的分配问题分类法:【2-8】某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 【答案】（9）多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计. 【2-9】由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种 【答案】B【解析】按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A 个，1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计300个,选B .（10）交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂.【2-10】从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？ 【答案】252【解析】设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.（11）定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素.【2-11】1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？ 【答案】72【解析】老师在中间三个位置上选一个有13A 种，4名同学在其余4个位置上有44A 种方法；所以共有143472A A =种.（12）多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.【2-12】6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ） A 、36种 B 、120种 C 、720种 D 、1440种 【答案】C【解析】前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共66720A =种，选C .【2-13】8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？ 【答案】5760（13）“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:【2-14】从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （ ）A 、140种B 、80种C 、70种D 、35种 【答案】C 【解析】（14）选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.【2-15】四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？【答案】2344144C A =【解析】先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有24C 种，再排：在四个盒中每次排3个有34A 种，故共有2344144C A =种.【2-16】9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？ 【答案】120【解析】先取男女运动员各2名，有2254C C 种，这四名运动员混和双打练习有22A 中排法，故共有222542120C C A =种.（15）部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求. 【2-17】以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ） A 、70种 B 、64种 C 、58种 D 、52种 【答案】58【解析】正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C 四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有481258C -=个.【2-18】四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ） A 、150种 B 、147种 C 、144种 D 、141种 【答案】D【解析】10个点中任取4个点共有410C 种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为46C ，四个面共有464C 个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是44106436141C C ---=种.（16）复杂排列组合问题构造模型法:【2-19】马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？ 【答案】10【解析】把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯35C 种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.（17）元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:【2-20】设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？【答案】20【解析】（18）复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:【2-21】30030能被多少个不同偶数整除？【答案】32【解析】先把30030分解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为012345 55555532C C C C C C+++++=个.【2-22】正方体8个顶点可连成多少队异面直线？【答案】174【解析】因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有481258C-=个，所以8个顶点可连成的异面直线有3×58=174对.（19）利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理. 【2-23】圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？【答案】410C【2-24】某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A 到B 的最短路径有多少种？【答案】47C【解析】可将图中矩形的一边叫一小段，从A 到B 最短路线必须走7小段，其中：向东4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定路径，因此不同走法有47C 种.【领悟技法】排列、组合综合应用问题的常见解法：①特殊元素(特殊位置)优先安排法；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排法；④相邻问题捆绑法；⑤不相邻问题插空法；⑥定序问题倍缩法；⑦多排问题一排法；⑧“小集团”问题先整体后局部法；⑨构造模型法；⑩正难则反、等价转化法．6. 在计算排列组合问题时，可能会遇到“分组”问题，要特别注意是平均分组还是不平均分组．可从排列与组合的关系出发，用类比的方法去理解分组问题，比如将4个元素分为两组，若一组一个、一组三个共有1343C C 种不同的分法；而平均分为两组则有224222C CA 种不同的分法．【触类旁通】【变式一】某校在一天的8节课中安排语文、数学、英语、物理、化学、选修课与2节目自修课，其中第1节只能安排语文、数学、英语三门中的一门，第8节只能安排选修课或自修课，且选修课与自修课、自修课与自修课均不能相邻，则所有不同的排法共有__________种.（结果用数字表示）AB【答案】1296【变式二】【湖南省长沙市周南中学2018届三模】元旦晚会期间，高三二班的学生准备了6 个参赛节目，其中有 2 个舞蹈节目，2 个小品节目，2个歌曲节目，要求歌曲节目一定排在首尾，另外2个舞蹈节目一定要排在一起，则这 6 个节目的不同编排种数为A． 48 B． 36 C． 24 D． 12【答案】C【解析】分步进行：①歌曲节目排在首尾，有种排法.②将个小品节目安排在歌曲节目的中间，有种排法.③排好后，个小品节目与个歌曲节目之间有3个空位，将个舞蹈节目全排列，安排在中间的个空位，有种排法.则这个节目出场的不同编排种数为种，故选C.【易错试题常警惕】易错典例：有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有多少种？易错分析：实际问题意义不清，计算重复、遗漏致误，本题第二步若取出一等品则与第一步取出的一等品有了先后顺序，从而使取法重复．按分步原理，第一步确保1个一等品，有C116种取法；第二步从余下的19个零件中任意取2个，有C219种不同的取法，故共有C116C219＝2 736种取法．正确解析：法一将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类计数原理有：C116C24＋C216C14＋C316＝1 136(种)．法二考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：C320－C34＝1 136(种)．温馨提醒：排列组合问题由于其思想方法独特计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向.同时解答组合问题时必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题. “至少、至多型”问题不能利用分步计数原理求解，多采用分类求解或转化为它的对立事件求解【学科素养提升之思想方法篇】排列组合中的“分组分配”问题分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分组三种，无论分成几组，应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．【典例1】5名志愿者分到了3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有()A．150种B．180种C．200种D．280种【答案】A【典例2】【江西省南昌市2018届二轮测试（七）】为庆祝中国人民解放军建军90周年，南昌市某校打算组织高一6个班级参加红色旅游活动，旅游点选取了八一南昌起义纪念馆，南昌新四军军部旧址等5个红色旅游景点．若规定每个班级必须参加且只能游览1个景点，每个景点至多有两个班级游览，则这6个班级中没有班级游览新四军军部旧址的不同游览方法数为（）A． 3600 B． 1080 C． 1440 D． 2520【答案】C【解析】由于每个班级必须参加且只能游览个景点，且每个景点至多有两个班级游览，因此可以把问题看成是将个班级分配到除新四军军部旧址外的四个景点或三个景点，可以分两种情况：第一种，先将个班级分成四组，分别为再分配到四个景点，温馨提醒：(1)类型一：整体均匀分组在解决整体均分型题目时，要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n(n为均分的组数)，避免重复计数．(2)类型二：部分均匀分组解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组中有几个这样的均匀分组就要除以这样的全排列数．(3)类型三：不均匀分组解答本类题，只需先分组，后排列，注意分组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．练基础A基础巩固训练1．【2018届河南省师范大学附属中学高三8月】()412x-展开式中第3项的二项式系数为（）A. 6B. -6C. 24D. -24【答案】A【解析】试题分析：第3项的二项式系数为246C=,选A.2.在nx⎛+⎝的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则3x的系数为（）A ．15B ．45C ．135D ．405 【答案】C3. 612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（ ）A ．1516 B ．1516- C ．52 D ．52- 【答案】D 【解析】4． 821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中7x 的系数为__________ (用数字作答) .【答案】56-【解析】展开式通项为()()821631881C 1C rrr rr rr T xx x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.令1637r -=，得3r =，所以7x 的系数为()3381C 56-=-． 5．【浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟考试（一）】若()223nx x --的展开式中所有项的系数之和为256，则n =______，含2x 项的系数是______（用数字作答）. 【答案】 4 108B 能力提升训练1．已知6(1)ax +的二项展开式中含3x 项的系数为52，则a 的值是（ ）A ．18B ．14C ．12D ．2【答案】C【解析】6(1)ax +6(1)ax =+，含3x 的项为336()C ax 3336C a x =，因此33652C a =，12a =．故选C ． 2．【2018届湖南省益阳市、湘潭市高三9月调研】若()2018201801201813,x a a x a x x R -=+++∈，则22018122018333a a a ⋅+⋅++⋅的值为（ ）A. 201821-B. 201881-C. 20182D. 20188 【答案】B【解析】令0x =，得01a =. 令3x =，得()20182201820180122018333198a a a a +⋅+⋅++⋅=-=.所以22018201820181220180333881a a a a ⋅+⋅++⋅=-=-.故选B.3．【2018届山西省孝义市高三上学期入学】1231261823n nn n n n C C C C -+++⋯+⨯= ( )A. 2123n + B. ()2413n - C. 123n -⨯ D. ()2313n -【答案】B4． 5)(x ax +的展开式中3x 项的系数为20，则实数a = ． 【答案】4【解析】二项式5)(x ax +展开式的通项为210551r rrr xC aT --+=，令3210=-r，解得4=r ，故展开式中3x 项的系数为2045=aC ，解得4=a .5.若二项式的展开式中各项的系数和为，则该展开式中含项的系数为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题设及二项式定理可得，则，由题意，即，所以展开式中含项的系数为.应选答案B.C 思维拓展训练 1．()4x y z ++的展开式共（ ）项A. 10B. 15C. 20D. 21 【答案】B 【解析】因为()()()()()()444320122334444444x y z x y z C x y C x y z C x y z C x y z C z ⎡⎤++=++=++++++++⎣⎦所以再运用二项式定理展开共有5432115++++=项，应选答案B .2．【2018届江西省新余市第一中学毕业年级第二模拟】在二项式3nx ⎫⎪⎭的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且72A B +=，则展开式中常数项的值为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】B3．【2018届广东省深圳市南山区高三上学期入学】1212618323n nn n n C C C C -++++⨯= ( )A. 2123n + B. ()2413n - C. 123n -⨯ D. ()2313n -【答案】B【解析】1212618323n nn n n C C C C -++++⨯=()()12200122223333333133n n nn n n n n n n n C C C C C C C =⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯-()()221314133nn ⎡⎤=+-=-⎣⎦选B.4．【浙江省台州中学2018届高三模拟】二项式的展开式中常数项为__________．所有项的系数和为__________．【答案】 32 【解析】展开式的通项为，令，解得，所以展开式中的常数项为，令，得到所有项的系数和为，得到结果.5．在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）．【答案】45测能力一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A． 12种 B． 18种 C． 24种 D． 36种【答案】D2.【北京市2019届一轮训练】 GZ新闻台做“一校一特色”访谈节目, 分A, B, C三期播出, A期播出两间学校, B期，C期各播出1间学校, 现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务, 不同的选法共有A． 140种 B． 420种 C． 840种 D． 1680种【答案】C【解析】从8间候选学校中选出4间，共有方法种方法，4所选出2所，共有方法种方法，再进行全排，共有方法种方法，共有种方法，故选：C．3.【2017届广东省韶关市高三4月高考模拟】5位大学毕业生分配到3家单位,每家单位至少录用1人,则不同的分配方法共有( )A. 25种B. 60种C. 90种D. 150种【答案】D【解析】因为5 位大学毕业生分配到3 家单位,每家单位至少录用1 人，所以共有两种方：，一是，一个单位1 名，其他两个单位各2 名，有1235432290C C A A ⨯=种分配方法；二是 ，一个单位3 名，其他两个单位各1 名，有335360C A ⨯=种分配方法，共有9060150+= 种分法，故选D.4．【广州市岭南中学高三上期中】将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有（ ） A ． 150种 B ． 180种 C ． 240种 D ． 540种 【答案】A 【解析】5.学校周三要排语文、数学、英语、物理、化学和生物6门不同的课程，若第一节不排语文且第六节排生物，则不同的排法共有（ ）A ．96种B ． 120种C ．216种D ．240种 【答案】A【解析】因为生物课时固定的，语文不排在第一节，那么语文的排法有14A ，其它课任意排，不同的排法共有4414A A ⋅=96种．故选A ． 6. 如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有( )。
排列与组合 2019年高考数学(理)一轮复习Word版含解析
典例在线某单位现需要将“先进个人”、“业务精英”、“道德模范”、“新长征突击手”、“年度优秀员工”五种荣誉分配给3个人，且每个人至少获得一种荣誉，五种荣誉中“道德模范”与“新长征突击手”不能分给同一个人，则不同的分配方法共有A．114种B．150种C．120种D．118种【参考答案】A【解题必备】（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．学霸推荐1．要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A 、B 、C 三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A 班的分法种数为A ．6B ．12C ．24D ．36 2．计算：（1）222223410C C C C ++++= . （2）若34A 6C n n =，则n 的值为 .3．有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求：（1）5位同学站成一排，有多少种不同的方法？（2）5位同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？（3）将5位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？1．【答案】B【解析】甲和另一个人一起分到A 班有1232C A =6种分法，甲一个人分到 A 班的方法有：2232C A =6种分法，共有12种分法.故答案为B.2．【答案】（1）165 （2）73．【答案】（1）120；（2）24；（3）150.【解析】（1）5位同学站成一排，全排列即可，共有55A 120=种不同的方法．（2）5位同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，可将甲、乙进行捆绑，丙、丁再插空，共有222223A A A 24=种不同的方法．【解题必备】求解排列、组合问题常用的解题方法：（1）元素相邻的排列问题——“捆邦法”；（2）元素相间的排列问题——“插空法”；（3）元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；（4）带有“含”、“不含”、“至多”、“至少”的排列组合问题——间接法．。
【高中教育】最新高考数学第01期小题精练系列专题16排列与组合理含解析
——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高考数学第01期小题精练系列专题16排列与组合理含解析______年______月______日____________________部门1.6人站成一排，其中甲不在两端，甲、乙不相邻的站法种数为（）A．72 B．120 C．144 D．288【答案】D【解析】试题分析：先排甲，再排乙，，故选D.324434288C C A=考点：排列与组合.2.某学校为了更好的培养尖子生，使其全面发展，决定由名教师对个尖子生进行“包教”，要求每名教师的“包教”学生不超过人，则不同的“包教”方案有（）352A． B． C．D．9060150120【答案】A【解析】试题分析：方法数有种.2235332290 C CAA⋅=考点：排列组合.3.甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则有多少种坐法（）A．10 B．16 C．20 D．24【答案】C 【解析】考点：排列组合.4. 20xx 年3月8日，马肮航班客机从吉隆坡飞往北京途中失联,随后多国加入搜救行动，同时启动水下黑匣子的搜寻，主要通过水机器人和娃人等手段搜寻黑匣子 .现有个水下机器人和个蛙人,各安排一次搜寻任务，搜寻时每次只能安排个水下机器人或个蛙人下水，其中不能安排在第一个下水,和必须相邻安排，則不同的搜寻方式有（ ）370MH 3,,A B C 2,a b 11C A aA ．种B ．种C ．种D ．种24364860 【答案】B 【解析】试题分析：和捆绑，相当于个，先排第一位，则方法数有种.A a 41333236C A ⨯⋅=考点：排列组合．5.如图，图案共分9个区域，有6种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有（ ） A ．360种 B ．720种 C ．780种 D ．840种 【答案】B 【解析】试题分析：先排，有种方法，再排有种方法，故一共有种.162,3,4,545A456720A ⋅=考点：排列组合．6．甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为（ ）A.72种B.52种C.36种D.24种 【答案】C 【解析】考点：排列组合．7．8个人坐成一排，现要调换其中个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同调换方式有（ ）3A ．B ．C ．D ．38C 3388C AC 3282C C 383C 【答案】C 【解析】考点：排列、组合的实际应用.8．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为的个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3,5,7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）种92,1 9A ．18B ．36C ．72D ．108 【答案】D 【解析】试题分析：．故选D ．3(1222)(1222)⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+108= 考点：分类加法原理与分步乘法原理．9．20xx 年3月8日，马肮航班客机从吉隆坡飞往北京途中失联,随后多国加入搜救行动，同时启动水下黑匣子的搜寻，主要通过水机器人和娃人等手段搜寻黑匣子.现有个水下机器人和个蛙人,各安排一次搜寻任务，搜寻时每次只能安排个水下机器人或个蛙人下水，其中不能安排在第一个下水,和必须相邻安排，則不同的搜寻方式有（ ）370MH 3,,A B C 2,a b 11C A aA ．种B ．种C ．种D ．种24364860 【答案】B 【解析】试题分析：和捆绑，相当于个，先排第一位，则方法数有种.A a 41333236C A ⨯⋅=考点：排列组合．10.有4名优秀大学毕业生被某录用。
2019版高考数学(理)高分计划一轮：10.2 排列与组合
10.2 排列与组合[知识梳理]1．排列与组合的概念2．排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示．3．排列数、组合数的公式及性质4．常用结论(1)①A m n＝(n－m＋1)A m－1n；②A mn ＝n n －mA mn －1； ③A mn ＝nA m －1n －1. (2)①nA nn ＝A n ＋1n ＋1－A nn ； ②A mn ＋1＝A mn ＋mA m －1n .(3)1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！＝(n ＋1)！－1. (4)①C mn ＝n －m ＋1m C m －1n ；②C m n ＝n n －mC mn －1； ③C mn ＝n m C m －1n －1.(5)①kC kn ＝nC k －1n －1；②C rr ＋C rr ＋1＋C rr ＋2＋…＋C rn ＝C r ＋1n ＋1. [诊断自测] 1．概念思辨(1)从1,2,3，…，9任取两个不同的数，分别填入和式□＋□中求和有多少个不同的结果？此题属于排列问题．( )(2)从2,4,6,8任取两个数，分别作对数“log □□”的底数、真数，有多少个不同的对数值？此题属于排列问题．( )(3)甲、乙、丙、丁四个好朋友相互发微信，共有多少条微信？此题属于组合问题．( ) (4)若组合式C xn ＝C mn ，则x ＝m 成立．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2．教材衍化(1)(选修A2－3P 18例3)6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( ) A ．720种 B ．360种 C ．240种 D ．120种 答案 C解析 先把甲、乙两人“捆绑”在一起看成一个人，因而有A 55种不同排法，再把两人“松绑”，两人之间有A 22种排法，因此所求不同排法总数为A 55A 22＝240.故选C.(2)(选修A2－3P 28A 组T 17)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是( )A ．18B ．24C ．30D ．36 答案 C解析解法一：选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有C24C13＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有C14C23＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有C24C13＋C14C23＝30种．故选C.解法二：从7名同学中任选3名的方法数，再减去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即C37－C34－C33＝30.故选C.3．小题热身(1)某学校要召开期末考试总结表彰会，准备从甲、乙等7名受表彰的学生中选派4人发言，要求甲、乙2名同学至少有1人参加，那么不同的发言种数为( )A．840 B．720 C．600 D．30答案 B解析由题知可分两种情况．第一种：甲、乙2人中恰有1人参加，方法种数为C12·C35·A44＝480，第二种：甲、乙2人同时参加，方法种数为C25·A44＝240.根据分类计数原理，不同的发言种数为480＋240＝720.故选B.(2)从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有________个．答案300解析符合条件的四位数的个位必须是0或5，但0不能排在首位，故0是其中的特殊元素，应优先安排．按照0排在个位，0排在十、百位和不含0为标准分为三类：①0排在个位能被5整除的四位数有A11·(C14C24)A33＝144个；②0排在十、百位，但5必须排在个位有A12·A11(C14C13)·A22＝48个；③不含0，但5必须排在个位有A11· (C13C24)A33＝108个．由分类加法计数原理得所求四位数共有300个．题型1 排列问题典例7位同学站成一排：(1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(3)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？(4)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(5)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？(6)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(7)甲总在乙的前面的排法有多少种？解(1)其中甲站在中间的位置，共有A66＝720种不同的排法．(2)甲、乙只能站在两端的排法共有A 22A 55＝240种． (3)7位同学站成一排，共有A 77种不同的排法； 甲排头，共有A 66种不同的排法； 乙排尾，共有A 66种不同的排法； 甲排头且乙排尾，共有A 55种不同的排法； 故共有A 77－2A 66＋A 55＝3720种不同的排法．(4)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有A 66种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A 22种方法，所以这样的排法一共有A 66A 22＝1440种．(5)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有：解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A 25种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A 44种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A 22种方法，所以这样的排法一共有A 25A 44A 22＝960种方法．解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素．若丙站在排头或排尾有2A 55种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有(A 66－2A 55)·A 22＝960种方法． 解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A 14种方法．再将其余的5个元素进行全排列共有A 55种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有A 14A 55A 22＝960种方法．(6)甲、乙两同学不能相邻的排法共有： 解法一：(间接法)A 77－A 66·A 22＝3600种．解法二：(插空法)先将其余五个同学排好有A 55种方法，此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有A 26种方法，所以一共有：A 26·A 55＝3600种．(7)甲总在乙的前面则顺序一定，共有A 77A 22＝2520种．[结论探究1] 若将本例结论变为“甲、乙、丙三个同学都不能相邻”，则有多少种不同的排法？ 解 先将其余四个同学排好，有A 44种方法，此时他们隔开了五个空位，再从中选出三个空位安排甲、乙、丙，故共有A 44A 35＝1440种方法．[结论探究2] 若甲、乙、丙三位同学不都相邻，则有多少种不同的排法？ 解 7位同学站成一排，共有A 77种不同的排法； 甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有A 55A 33＝720种． 故共有A 77－A 55A 33＝4320种不同的排法．[结论探究3] (1)若将7人站成两排，前排3人，后排4人，共有多少种不同的排法？(2)若现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加1人，后排加2人，其他人保持相对位置不变，则有多少种不同的加入方法？解(1)站成两排(前3后4)，共有A77＝5040种不同的排法．(2)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步计数原理有3×4×5×6＝360种方法．方法技巧1．求解有限制条件排列问题的主要方法2.解决有限制条件排列问题的策略(1)根据特殊元素(位置)优先安排进行分步，即先安排特殊元素或特殊位置．(2)根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类．提醒：(1)分类要全，以免遗漏．(2)插空时要数清插空的个数，捆绑时要注意捆绑后元素的个数及要注意相邻元素的排列数．(3)用间接法求解时，事件的反面数情况要准确．冲关针对训练(2018·北京西城区质检)把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．答案36解析记其余两种产品为D，E，将相邻的A，B视为一个元素，先与D，E排列，有A22A33种方法；再将C插入，仅有3个空位可选，共有A22A33C13＝2×6×3＝36种不同的摆法．题型2 组合问题典例某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561种，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334＝5984种．∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种．(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C120C215＝2100种．∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种．(4)选取2种假货有C120C215种，选取3件假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2100＋455＝2555种．∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种．(5)选取3件的总数为C335，因此共有选取方式C335－C315＝6545－455＝6090种．∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种．方法技巧1．组合问题的常见题型及解题思路(1)常见题型：一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题等．(2)解题思路：①分清问题是否为组合问题；②对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”，一般是先整体分类，然后局部分步，将复杂问题通过两个原理化归为简单问题．见本例(4)．2．两类带有附加条件的组合问题的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的题型：若“含有”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含有”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题目要重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解．见本例(2)，(5)．冲关针对训练(2018·武汉模拟)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种 答案 D解析 共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，∴共有不同的取法有C 45＋C 44＋C 25C 24＝66(种)．故选D.题型3 排列组合的综合应用角度1 排列组合的简单应用典例 有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解 解法一：(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：①取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C 14种选法；0可在后两位，有C 12种方法；最后剩下的三张中任取一张，有C 13种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有C 14C 12C 1322个．②取1不取0，同上分析可得不同的三位数C 24·22·A 33个． ③0和1都不取，有不同的三位数C 34·23·A 33个． 综上所述，共有不同的三位数：C 14C 12C 13·22＋C 24·22·A 33＋C 34·23·A 33＝432个．解法二：(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数C 35·23·A 33个，其中0在百位的有C 24·22·A 22个，这是不合题意的，故共有不同的三位数：C 35·23·A 33－C 24·22·A 22＝432个．角度2 分组分配问题典例 国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．答案 90解析 先把6个毕业生平均分成3组，有C 26C 24C 22A 33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90种分派方法．方法技巧1．解决简单的排列与组合的综合问题的思路 (1)根据附加条件将要完成事件先分类．(2)对每一类型取出符合要求的元素组合，再对取出的元素排列． (3)由分类加法计数原理计算总数，见角度1典例． 2．分组、分配问题的求解策略 (1)对不同元素的分配问题．①对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A nn (n 为均分的组数)，避免重复计数．②对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．见角度2典例．③对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．(2)对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．冲关针对训练将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种 答案 A解析 2名教师各在1个小组，给其中1名教师选2名学生，有C 24种选法，另2名学生分配给另1名教师，然后将2个小组安排到甲、乙两地，有A 22种方案，故不同的安排方案共有C 24A 22＝12种，故选A.1．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 答案 D解析 由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C 13·C 24·A 22＝36(种)，或列式为C 13·C 24·C 12＝3×4×32×2＝36(种)．故选D.2．(2018·豫南九校联考)某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有( )A．72种 B．36种 C．24种 D．18种答案 B解析A12(C23C13＋C13C23)＝36(种)．故选B.3．(2017·东北三省四市联考)甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则坐法有( )A．10种 B．16种 C．20种 D．24种答案 C解析一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座．∵要求每人的两旁均有空座，∴在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A25＝20(种)坐法．故选C.4．(2017·浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答) 答案660解析只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C12C36A24＝480(种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C26A24＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知共有480＋180＝660(种)不同的选法．[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2018·泉州模拟)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )A．18种 B．24种 C．36种 D．72种答案 C解析分两类，甲乙在一路口，其余3人中也有两人在一路口，则有C23A33种．当有3人在一路口时只能是甲、乙和其余三人中一个在一起，则有C13A33，所以共有C23A33＋C13A33＝36种，故选C.2．某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求体育不排在第一节课，数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为( )A．600 B．288 C．480 D．504答案 D解析对六节课进行全排列有A66种方法，体育课排在第一节课有A55种方法，数学课排在第四节课也有A55种方法，体育课排在第一节课且数学课排在第四节课有A44种方法，由排除法得这天课表的不同排法种数为A66－2A55＋A44＝504.故选D.3．某班级举办的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生、2位男生．如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为( )A．90 B．60 C．48 D．36答案 B解析先排3位女生，3位女生间及两端有4个空，从4个空中选2个排男生，共有A24A33＝72种排法．若女生甲排在第一个，则3位女生间及一端有3个空，从3个空中选2个排男生，有A23A22＝12种排法，所以满足条件的排法种数为72－12＝60.故选B.4．(2018·山西质量监测)A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有( )A．60种 B．48种 C．30种 D．24种答案 B解析由题意知，不同的座次有A22A44＝48(种)，故选B.5．(2018·福建福州八中模拟)甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有( )A．12种 B．24种 C．48种 D．120种答案 B解析甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有A44A22种排法，甲乙相邻且在两端有C12A33A22种排法，故甲乙相邻且都不站在两端的排法有A44A22－C12A33A22＝24(种)．故选B.6．(2017·黔江模拟)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．18 C．12 D．6答案 B解析根据所选偶数为0和2分类讨论求解．①当选数字0时，再从1,3,5中取2个数字排在个位与百位．∴排成的三位奇数有C23A22＝6个．②当选数字2时，再从1,3,5中取2个数字有C23种方法．然后将选中的两个奇数数字选一个排在个位，其余2个数字全排列．∴排成的三位奇数有C23C12A22＝12个．∴由分类加法计数原理，共有18个符合条件的三位奇数．故选B.7．(2018·河北衡水模拟)某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车．每辆车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有( ) A．24种 B．18种 C．48种 D．36种答案 A解析若大一的孪生姐妹乘坐甲车，则此时甲车中的另外2人分别来自不同年级，有C23C12C12＝12种，若大一的孪生姐妹不乘坐甲车，则有2名同学来自同一个年级，另外2名分别来自不同年级，有C13C12C12＝12种，所以共有24种乘坐方式，故选A.8．在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有( )A．34种 B．48种 C．96种 D．144种答案 C解析由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置中选一个位置把A排列，有A12＝2种结果．∵程序B和C在实施时必须相邻，∴把B和C看作一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有A44A22＝48种结果．根据分步计数原理知共有2×48＝96种结果，故选C.9．(2018·福建漳州八校联考)若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是( )A．540 B．480 C．360 D．200答案 D解析由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶，有C15C15A22＝50种排法；所有数位上的数字和为偶数，则百位数字是奇数，有C14＝4种满足题意的选法，故满足题意的三位数共有C14×C15C15A22＝200(个)．故选D.10．(2018·赣州摸底)甲、乙、丙3名教师安排在10月1日至5日的5天中值班，要求每人值班一天且每天至多安排一人，其中甲不在10月1日值班且丙不在10月5日值班，则不同的安排方法有( ) A．36种 B．39种 C．42种 D．45种答案 B解析当甲安排在10月2日值班时，则丙可以安排在1,3,4日中某一天，乙可以在剩余的3日中选一天，有C13C13＝9种排法，同理可得甲安排在10月3日，4日中的一天值班时，有C13C13＋C13C13＝18种排法；当甲安排在10月5日值班时，有A24＝12种排法，所以不同的安排方法有9＋18＋12＝39种，故选B.二、填空题11．(2017·江西八所重点中学联合模拟)摄像师要对已坐定一排照像的5位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有2人座位不调整，则不同的调整方案的种数为________．(用数字作答) 答案20解析从5人中任选3人有C35种，将3人位置全部进行调整，有C12·C11·C11种，故有N＝C35·C12·C11·C11＝20种调整方案．12．(2018·江西宜春模拟)将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，则一共有________种放法．答案150解析标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，故可分成(3,1,1)和(2,2,1)两组，共有C 35＋C 25·C 23A 22＝25种分法，再分配到三个不同的盒子中，共有25·A 33＝150种放法．13．(2017·河南天一大联考)如图，图案共分9个区域，有6种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有________种．答案 720解析 由题意知2,3,4,5的颜色都不相同，先涂1，有6种方法，再涂2,3,4,5，有A 45种方法，故一共有6·A 45＝720种．14．两个家庭的4个大人与2个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排2个爸爸，另外，2个小孩一定要排在一起，则这6人入园顺序的排法种数为________．答案 24解析 第一步：将2个爸爸排在两端，有2种排法；第二步：将2个小孩视为一人与2个妈妈任意排在中间的三个位置上，有A 33种排法；第三步：将2个小孩排序有2种排法．故总的排法有2×2×A 33＝24种．三、解答题15．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，求甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数？解 由于丙不入选，相当于从9人中选派3人．解法一：(直接法)甲、乙两人均入选，有C 22C 17种选法，甲、乙两人只有1人入选，有C 12C 27种选法． ∴由分类加法计数原理，共有C 22C 17＋C 12C 27＝49种选法．解法二：(间接法)从9人中选3人有C 39种选法，其中甲、乙均不入选有C 37种选法．∴满足条件的选派方法有C 39－C 37＝84－35＝49种．16．(2018·保定调研)已知集合M ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ，B ，C 为M 的非空子集，若∀x ∈A ，y ∈B ，z ∈C ，x<y<z 恒成立，则称“A —B —C ”为集合M 的一个“子集串”，求集合M 的“子集串”共有多少个．解 由题意可先分类，再分步：第一类，将6个元素全部取出来，可分两步进行：第一步，取出元素，有C 66种取法，第二步，分成三组，共C 25种分法，所以共有C 66C 25个子集串；第二类，从6个元素中取出5个元素，共C56种取法，然后将这5个元素分成三组共C24种分法，所以共有C56C24个子集串；同理含4个元素的子集串数为C46C23；含3个元素的子集串数为C36C22.所以集合M的子集串共C66C25＋C56C24＋C46C23＋C36C22＝111个．。
排列组合练习试题和答案解析
《排列组合》一、排列与组合1.从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？2.从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种不同选派方法？3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数是A.男同学2人，女同学6人B.男同学3人，女同学5人C. 男同学5人，女同学3人D. 男同学6人，女同学2人4.一条铁路原有m个车站，为了适应客运需要新增加n个车站（n>1），则客运车票增加了58种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票），那么原有的车站有A.12个B.13个C.14个D.15个5．用0，1，2，3，4，5这六个数字，（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？（5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？二、注意附加条件1.6人排成一列（1）甲乙必须站两端，有多少种不同排法？（2）甲乙必须站两端，丙站中间，有多少种不同排法？2.由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复数字且是6的倍数的五位数？3.由数字1，2，3，4，5，6，7所组成的没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排列起来，第379个数是A.3761B.4175C.5132D.61574. 设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有A.30种B.31种C.32种D.36种5.从编号为1，2，…，10,11的11个球中取5个，使这5个球中既有编号为偶数的球又有编号为奇数的球，且它们的编号之和为奇数，其取法总数是A.230种B.236种C.455种D.2640种6.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有1双同色的取法有A.240种B.180种C.120种D.60种7. 用0，1，2，3，4，5这六个数组成没有重复数字的四位偶数，将这些四位数从小到大排列起来，第71个数是。
排列与组合 2019高考绝密资料
排列与组合主标题：排列与组合副标题：为学生详细的分析排列与组合的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：排列，组合难度：2重要程度：4考点剖析：1．理解排列、组合的概念．2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3．能解决简单的实际问题.命题方向：排列、组合与二项式定理每年交替考查，主要以选择、填空的形式出现，难度中等或稍易．考查古典概型时，常以排列组合为工具，考查概率的计算．规律总结：1．熟练掌握：(1)排列数公式A m n＝n！(n－m)！；(2)组合数公式C m n＝n！m！(n－m)！，这是正确计算的关键．2．解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义．3．排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．知识梳理1．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取按照一定的顺序排成一列组合出m(m≤n)个不同元素合成一组2.排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫从n个不同元素中取出m个元素的组合数．3．排列数、组合数的公式及性质公式(1)A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！(2)C m n＝A m nA m m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！(n，m∈N*，且m≤n)．特别地C0n＝1.性质(1)0！＝1；A n n＝n！.(2)C m n＝C n－mn；C m n＋1＝C m n＋C m－1n.导数在研究函数中的应用主标题：导数在研究函数中的应用备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。
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2019年高考数学一轮复习 小题精练系列 专题16 排列与组合（含解
析）理
1．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（ ）
A ． 150种
B ． 180种
C ． 240种
D ． 540种
【答案】A
【解析】先将5个人分成三组， ()3,1,1或()1,2,2，分组方法有223
14255
252C C C C +=中，再将三组全排列有336A =种，故总的方法数有256150⋅=种．选A ．
2．2个男生和4个女生排成一排，其中男生既不相邻也不排两端的不同排法有( )
A ． 44A 23A 种
B ． 24A 66A 种
C ． 26A 46A 种
D ． 22A 4
4A 种
【答案】A
3．高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ）
A ． 1800
B ． 3600
C ． 4320
D ． 5040
【答案】B
【解析】试题分析：先排除了舞蹈节目以外的5个节目，共5
5A 种，把2个舞蹈节目插在6个
空位中，有26A 种，所以共有52563600A A =种． 考点：排列组合．
4．将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中．若每个盒子放2个，其中标号为1， 2的小球放入同一盒子中，则不同的方法共有（ ）
A ． 12种
B ． 16种
C ． 18种
D ． 36种
【答案】C 【解析】2343182
C A =，应选C ．
5．春天来了，某学校组织学生外出踏青，4位男生和3为女生站成一排合影留念，男生甲和乙要求站在一起，3位女生不全站在一起，则不同的战法种数是（ ）
A ． 964
B ． 1080
C ． 1152
D ． 1296
【答案】C
6．正整数a ， b ， c 是等腰三角形的三边长，并且24a bc b ca +++=，这样的三角形有（ ）个．
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
【答案】C
【解析】24a bc b ca +++=可以化为(a +b )(c +1)=24，其中a ，b ，c 都是正整数，并且其中两个数相等，
令a +b =A ，c +1=C 则A ，C 为大于2的正整数，
那么24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合2×12，3×8，4×6，6×4，3×8，2×12，
①、A =2，C =12时，c =11，a +b =2，无法得到满足等腰三角形的整数解；
②、A =3，C =8时，c =7，a +b =3，无法得到满足等腰三角形的整数解；
③、A =4，C =6时，c =5，a +b =4，无法得到满足等腰三角形的整数解；
④、A =6，C =4时，c =3，a +b =6，可以得到a =b =c =3，可以组成等腰三角形；
⑤、A =8，C =3时，c =2，a +b =8，可得a =b =4，c =2，可以组成等腰三角形，a =b =4是两个腰； ⑥、A =12，C =2时，可得a =b =6，c =1，可以组成等腰三角形，a =b =6是两个腰．
∴一共有3个这样的三角形． 故选C ．
7．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ）
A ． 85
B ． 56
C ． 49
D ． 28
【答案】C
【解析】试题分析：分两种情况:第一种甲乙只有1人入选，则有122742C C =种，第二种甲乙
都入选，有21277C C =种，所以共有42749+=种方法，故选C ．
考点：组合的简单应用．
8．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星
期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ）
A ． 40种
B ． 60种
C ． 100种
D ． 120种
【答案】B
考点：排列组合．
9．有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，问有
多少种不同的分配方案？( )
A ． 680
B ． 816
C ． 1360
D ． 1456
【答案】A
【解析】先给每个小朋友分三个苹果，剩余个苹果利用“隔板法”， 个苹果有个空，插入三个 “板”，共有680种方法，故有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，问有多少种不同的分配方案680 种，故选A ．
10．有4名优秀大学毕业生被某录用．该公司共有5个科室，由公司人事部门安排他们到其
中任意3个科室上班，每个科室至少安排一人，则不同的安排方案种数为（ ）
A ．120
B ．240
C ．360
D ．480
【答案】C
【解析】 试题分析：先将四个大学生分成三份，共有62
4=C 种可能，再在五个科室在选三个，共有
6035=A ，所以共有360606=⨯种，故应选C ． 考点：排列组合数公式及运用．
11．冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水
暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有 种．
【答案】150
【解析】
考点：排列组合．
12．甲与其四位朋友各有一辆私家车，车牌尾数分别是0，0，2，1，5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案总数为．
【答案】64
考点：分类计数原理和分步计数原理．。