2.5两个重要极限

例5 求 lim e x 1 . x0 x
解 令u ex 1,则x ln(1 u),当x 0时, u 0, 有
ex 1
u
1
lim
lim
lim
1
x0 x
u0 ln(1 u) u0 1 ln(1 u)
u
练习
7.lim n
1+
1 n
n1
1
8.lim 1 2 x x x0
9.lim x
1 2
练习
1.lim tan x x0 x
1 cos x
2.lim x0
x2
x sin 2x 3.lim
x0 x sin 2 x
sin5( x a ) 4.lim
xa x a
5.lim x0
1 x
sin
x+x
sin
1 x
6.lim x
1 x
sin
x+x
sin
1 x
二 、lim(1 1 )x e
2
22
当0 x ,有 cos x sin x 1
2
x
由sin x,cos x的奇偶性知
当0 x ,有 cos x sin x 1
2
x
由夹逼定理得 lim sin x 1 x0 x
我们不难证得: lim x 1
x0 sin x
例1 求 lim sinax (a为 非 零 常 数)
x
x2
x2
例3 求 lim(1 1 )3x .
解
x
lim(1
x
x 1 )3x x
lxim(1
1 x
)
x
3
lxim(1
1 x
)
x
3
e3
例4 求 lim ln(1 x) .
x0
x
解 lim ln(1 x) lim 1 ln(1 x)
x0
x
x0 x
1
lim ln(1 x) x ln e 1 x0
n 2!
1
)
1 n2
L
n( n 1 )L n!
2
1
1 nn
11 1 (1 1 )L 1 (1 1 )(1 2 )L (1 n 1 )
2! n
n! n
n
n
类似地
xn1
1
1
1 2!
(
1
n
1
1
)
L
1 (1 1 )(1 2 )L (1 n 1 )
n! n 1
n1
n1
1 (1 1 )(1 2 )L (1 n )
4、
lim
x0
x
cot 3x
_____3_____.
5、 lim sin x ____0______.
x x 1
6、 lim(1 x) x ___e______. x0
作业P49---习题2—5 --1,2,3,6,11,12.
练习P49---习题2—5 ---4,5,7,8,n1
n1
xn xn1
若将xn的展开式中各括号内的数都用较大的数1代替,并 注意到2n-1＜n!(n＞1),有
xn
11 1 L 2!
1 11 1 L
n!
2
1 2n
1
1
1 2n
1 1
1 3 2n1
3
2
可见xn单调递增且有上界,故
lim
x
xn存在．
可以证明 lim (1 1 )n e
1+
k x
x
10.lim x
x x
1 2
2x
1
11.lim cos x x2 x0
练习题
填空题:
1、 lim sinx _________.
x0 x
2、
lim
sin
2x
2
_____3_____.
x0 sin 3x
3、 lim arc cot x ____1______.
x0
x
1
中有
或记为
lim sin ( x) 1 (x)
sin ( x)
lim
1
( x)0 ( x)
其中 lim表示在某极限过程中(x)→0． ( x )0
例3 解
求
lim
x0
1
cos x2
x
.
1 cos x
2 sin2
lim
x0
x2
lim x0
x2
x 2
lim
1
x0 2
sin x 2
x
2
2
§2.5 两个重要极限 Two important limits
一 、lim sin x 1 x0 x 运用夹逼定理来证明
作一单位圆,在第一象限中取此 单位圆周上的两点A、B
设AOB x,0 x
2 △AOB面积＜扇形AOB面积＜ △DOB面积，
即
1
sin x
1
x
1 tan x
2
22
即 1 sin x 1 x 1 tan x
n
n
还可以证明:当x取实数趋向于+∞或-∞时,函数 (1 1 )的x
极限存在且都等于e,即
x
lim(1 1 )x e
x
x
令t 1 ,当x 时, t 0 ，则有
x
1
lim(1 t ) t e
t 0
综合起来,得到以下公式
lim(1 1 )x e
x
x
1
lim(1 x) x e
x0
推广：若 lim x =, 则：
x0 x
解
sinax lim
a sinax lim
sinax a lim
a
x0 x
x0 ax
x0 ax
例2 求 lim sin x .
x x 解 令t x ,则当x 时, t 0,
lim sin x lim sin(t ) lim sint 1
x x t0
t
t0 t
一般地,若在某极限过程中,lim(x)=0,则在该极限过程
x
x
先利用单调递增并有上界的数列必有极限证明
lim (1 1 )n e
n
n
记xn
xn
(1
(1
1 n
1 n
)n
)n
,由 二 项 式 定 理,有
C
0 n
C
1 n
1 n
C
2 n
1 n
2
L
C
n n
1 n
n
1
1
n(
n 2!
1
)
1 n2
L
n( n 1 )L n!
2
1
1 nn
xn
1
1
n(
1 x
lim 1+ x =e.
推广：若 lim x =0, 则：
1
lim 1+ x x =e
例1 求 lim(1 1 )x .
x
x
解
原式 lim[(1 1 ) x ]1
x
x
lim 1
x
(1
1 )x
1
x
.
e
例2 求 lim(3 x )2x . x 2 x
解
原式 lim[(1 1 ) x2 ]2 (1 1 )4 e 2 .