高考数学专题讲座_开放试题

高考数学专题讲座开放试题
主讲教师：孙福明（省常州高级中学）
【复习指导】
数学开放性问题是早在70年代出现的一种新题型，它不同于传统的封闭型试题（条件完备、结论确定），主要体现在试题的形式和内容的开放。

试题可给出结论让你去填写条件（一般只要填写一个与结论相适应的充分条件即可），这叫条件开放题。

若试题给出一部分条件让你定出结论的一部分（对于同一题目可以有好几个不同结果），这叫结论开放题。

对于同一试题学生可以用不同的方法去解（一题多解），这叫方法（思路）开放题。

也有一些问题只给了一定的情境，其条件、解题策略与结论都要求解题者在此情境中自行设计与寻找，这类题可称为综合开放题，开放型试题一般有“判断型”，“存在型”，“讨论型”，“猜测型”……等以给出某种运算法则让你用这种法则去进行运算，去解题，充分体现运用知识的能力。

数学开放题有利于学生创新意识的培养和良好思维品质的形成。

它要求在数学教学过程中强调整体性、思考性，强调解决问题的过程（思路与策略）而不单单是问题的结果。

与此同时，还必须强调学生的主体作用。

总之开放题有利于提高学生的情趣和学习积极性。

【基本题型】
1．结论存在型
由已知条件判断结论是否存在的探索性问题，这类题型常以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表述，解答这类问题，一般是先对结论作出肯定的假设，然后由此出发，结合已知条件进行推理论证。

若导出合理的结论，则存在性随之解决；若导出了矛盾，也就否定了存在性。

这类探索性问题在高考中最为普遍，也最容易设置，只需将明确的、定性的结论改造成需要探索的、讨论的设问方式就可以了。

如存在的话，请求出结果；如不存在的话，说明理由。

2．结论推广型
推广结论的探索性问题，题目只给出问题对象的一些特殊关系，要求探索出一般结论，并论证所得结论的正确性，解决这类问题的方法是归纳和猜想，然后加以证明。

对结论要注意它们的外在形式的特征，从中找出规律性的东西，并依此进行推广。

这类探索性问题，在高考中也较为普遍，目前只限于有关自然数命题的结论推广。

3．条件追溯型
一类是条件未知的探索性问题，这类问题的特点是题目给出了明确的结论，但成立的条件未知，需进行探寻和追索，解决这类问题可用执果索因的演绎法或由特殊到一般的归纳法。

另一类是缺少条件的探索性问题。

这类问题的特点是题目给出了明确的结论和部分条件，要求补足条件，解决这类问题一般是从结论出发，并利用已知条件，进行逆向推理，推得的终结点便是所求的条件。

这类题的答案往往是不唯一的，答案与已知条件对整个问题而言只要充分的、相容的、独立的，就视为正确的。

这类问题已在高考中出现，对于考查学生发散性思维能力有较好的作用。

4．命题组合型
给出几个论断，选择其中若干个论断为条件，某一个论断为结论，组合成符合问题要求的命题，这类命题组合性探索问题，在1999年的高考中已开始试验，评价很好，对于增强学生分析问题的能力和逻辑推理能力起到了较好的效果。

这类探索性问题，既注意了学生思维的发散性训练，又注意了思维的聚合性训练，是值得研究和探索的试题设置形式。

5．分类讨论型
条件都具备，但结论依赖于某个参数，必须对参数进行讨论，才能确定结论的详细情况，
这类探索性问题归为分类讨论型。

【例题】
例1、若四面体各棱长是1或2且该四面体不是正四面体，则其体积是______（只要写一个可能值）。

这是一道开放试题。

要求学生自己合理组合已知条件，从而计算出体积。

本题可有如下几种解法：
6
111411221
31CD S 3
1V AEF =⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅=
⋅=
①如图，
12
113114331AO S 3
1V BCD =
⋅⋅=
⋅⋅=
②如图，
1214141414121
31V =
⋅⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛
-⋅
⋅=
③如图，
例2、（1）设f
（x ）与f -1（x ）互为反函数。

试写出两个以上
的不同f （x ），使得f （x ）=f -1（x ），并说明其特征。

解：y=f （x ）=2-x ；y=f （x ）=
1
x x -；2
x 1x 2y --=
凡如对称式x+y=c （常数）皆是，形如f （x ）=d
cx b ax ++（c ≠0，ab ≠bc ）只要满足a=-d
皆是；
（2）若2
x sin x sin 1x sin 1=--+，当x ∈______时，则tgx=0
解：2
x sin
2
x cos
2x sin
2x cos
2x sin =--+
0≤
2
x ＜
4
π，0
2
x sin
2
x sin
2
x sin
2=⇒=，tgx=0
∴ 当x ∈[0，4
π]时，tgx=0
例3、A={（x ，y ）|y=3
-x+m ，m ∈R }，B={（x ，y ）|x=cos θ,y=sin
θ,0＜θ＜2π}
A ∩B={（cos θ1，sin θ1），（cos θ2，sin θ2）}，则m 的取值范围__________。

解： ：y=m
x 3+-
⊙C ：x 2+y 2=1，除去（1，0）
⇒
<++⋅=
12
m
003d -2＜m ＜2
当 过（1，0）时，亦不满足条件，∴m ≠3 ∴ m 取值范围为-2＜m ＜2，m ≠3
例4、△ABC 的低边BC 固定，其他两边的斜率之积等于m （m ≠0），求顶点A 的轨迹方程。

解：设|BC|=2a ，如图建立直角坐标系 B （-a ，0），C （a ，0），A （x ，y ）
m
a
x y a
x y ,m k k AC AB =-⋅
+=⋅（m ≠0）
1ma
y
a
x 2
22
2=-
①m ＞0，双曲线（y ≠0） ②m=1，等轴双曲线（y ≠0） ③m ＜0，椭圆（y ≠0） ④m=-1，圆（y ≠0）
进一步再开放一点
请写出适当条件，求出C 的轨迹方程
1 2 1 2 1，以A ，B 端点的曲线C 上的任一点到 2的距离与到点N 的距离相等，若△AMN 为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3，且|BN|=6，建立适当坐标系，求曲线段C 的方程。

解：本题是一道结论开放题，根据已知条件及所求曲线段AB 所在图的位置如何选择建立坐标系，使解题过程简洁明了，可充分发挥解题者的创新能力、运用知识能力。

解法一：以 1为x 轴， 2为y 轴建立直角坐标系如图（1）
2
2
|
DA |AM
||DM |y 3|AN
||
DA ||ME |x 2
2
A A =-=
=====
∵ △AMN 为锐角三角形
∴ 4|AE ||AN ||ME ||EN ||ME |x 22N =-+=+=
6
|BN ||BF |x B === 图（1）
∴ （x-x N ）2+y 2=x 2
∴ 曲线C ：y 2=8（x-2）（3≤x ≤6，y ＞0）
解法二：以 1为x 轴，线段MN 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系如图（2） 设C ：y 2=2px （p ＞0），p=|MN|，M （2
p -，0），N （
2
p ，
0）
∴
p
4x )2(9px
2)2p x )1(17px 2)
2p x (A A
2A A
2
A =
⇒⎪⎪
⎭
⎪
⎪
⎬⎫
=+-
=++
再代入（1）⎩⎨
⎧==1
x 4p A 或⎩⎨
⎧==2
x 2p A 图（2）
∵ △AMN 为锐角三角形 ∴
2
p ＞A x ，∴ ⎩⎨
⎧==2
x 2p A （舍）
∴ p=4，x A =1
B 点在曲线
C 上，∴4
2p |BN |x B =-
=
∴ 曲线C ：y 2=8x （1≤x ≤4，y ＞0）
解法三：以 1为x 轴，N 点为坐标原点建立直角坐标系可得曲线C ：
y 2=8（x+2）（-1≤x ≤2，y ＞0） 图（3） （推导过程此略）
例6、数列{b n },b n =na n （a ＞0），问{b n }是否存在最大项？证明你的结论。

解：b n+1-b n =（n+1）a n+1-na n =a n [（n+1）a-n]=a n [（a-1）n+a] ①a ＞1，b n+1-b n ＞0，无最大项； ②a=1，b n+1-b n =1，也无最大项； ③0＜a ＜1，b n+1-b n =a n （a-1）（n+1
a a -）
即b n+1-b n 与1
a a n -+有相反的正负值
当n 变化，
1
a a -为常数，设k 为不大于a
1a -的最大整数
b n+1-b n ⎪⎩
⎪⎨⎧><=≥<>)k n (0)k n (0)
k n (0
∴ 当0＜a ＜1时，{b n }存在最大项 例7、已知（E ）：
116
y
28
x
2
2
=+
焦点F 1，F 2，P
为（E ）上一点，
若∠F 1PF 2=900，则2
1
PF F S 等于 （ ）
A ．9
B ． 12
C ． 16
D ．
不存
在
解：设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2 a=5，b=4，c=3，2a=10
16
r r 2
1S 32
2
36
1002
)r r ()r r (r r 36)c 2(r r 21PF F 2
22
12
212122
22
12
1
==
=-=
+-+=
==+
（C ）对吗？其实不然。

由r 1+r 2=10，r 1r 2=32 r 1、r 2满足r 2-10r+32=0
△=（-10）2-4×32＜0不存在，r 1、r 2∈R ∴ （E ）不可能存在P 点，使∠F 1PF 2=900 （D ）对。

例8、如图，已知四面体A —BCD 的一个截面EFGH 为平行四边形，若要使EFGH 为正方形则应满足什么条件？
解：欲使EFGH 为正方形，只要EF ⊥FG 是EF=FG
∴ AC ⊥BD 且AC=BD ，则EFGH 必为正方形，或者AC ⊥BD 且EB
AE BD
AC =时，EFGH
必为正方形
∵
AE
BD AB EF AB
AE BD
EH ,
AC BE AB EF AB
BE AC
EF ⋅=⋅⇔=⋅=⋅⇔=
又
EB
AC BD AE ENB
AE BD
AC ⋅=⋅⇔=
∴ EF ·AB=EH ·AB ⇒EF=EH
∵ EH ∥BD ，EF ∥AC ，又AC ⊥BD ⇒EF ⊥EH ∴ EFGH 为正方形 例9、以椭圆
)1a (1y
a
x 2
2
2>=+的短轴端点B （0，1）为直角顶点作椭圆的内接等腰直
角△ABC ，问这样的三角形能作几个？
解析：问题实质上是问：满足∠B=900，且|AB|=|CB|的直线AC 存在多少条？ 设直线AB ：y=kx+1（k ＜0＝，则直线BC ：y=1
x k
1+-
，分别与椭圆联立，可得：
2
2
2
C 22
2
A a
k
k a 2x ,k
a 1k a 2x +=
+-
=
∴ |AB|=
2
22
2
2
2
2
2k
1k
a 1k a 2k 1k
a 1k a 2++-=+⋅+
|BC|=
2
2
2
2
k
1k
a
a 2+⋅+
令|AB|=|CB|，得到一个关于k 的方程 （k+1）[k 2+（a 2-1）k+1]=0 ①
方程k 2+（a 2-1）k+1=0中，△=（a 2-1）2-4
令△＞0，得a ＞3；令△=0，得a=3，这时方程①的解只有一个k=-1
综上所述：当1＜a ≤3时，方程①有且只有一解，则满足题设条件 等腰直角三角形只有一个；a ＞3时，方程①有三解，即满足题设条件的三角形有三个。

点拔：椭圆
1y
a
x 2
2
2=+（a ＞1）中的a 值是参数，a 变，椭圆形状随之改变，本题采用
对a 分类讨论确定三角形能作的个数。

【课外练习】
1、 △ABC 中，若a=3，b=4，试写出两个以上的正确命题。

2、已知y=ax 2+bx+c 其图像如图所示，试写出两个以上a 、b 、c 三者之间的数量关系式。

3、在直角坐标平面xOy 中，已知A （0，1），B （-2，0），C （2，0），试写出过这三点的圆锥曲线方程并画出草图。

4、 如图，直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，若要使A 1C ⊥B 1D 1，则需要满足什么条件？
5、是否存在关于x 的方程8x 2-6ma+2m+1=0，它的两根是直角三角形两锐角之余弦，求m 的值。

6、若点P （0，a ）到曲线1
2
x
y 2
-=
上点Q （x ，y ）的距离的最小
值为d min ，试确定a 的取值范围（a ＞1）
7、 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧θ-=θ+=--sin )e e (21y cos )e e (21x t t 1
t ，则点（x ，y ）轨迹是什么？
8、 设（E ）：1b
y a
x 2
22
2=+
（a ＞b ＞0），（P ）：x
1y =
，（E ）与（P ）在第一象限内只有
一个公共点P 。

（1）试用a 表示点P 的坐标；
（2）设A 、B 是（E ）两焦点，当a 变化时，求△ABP 的面积函数S （a ）的值域。

（3）记min{y 1，y 2，…，y n }为y 1，y 2，…，y n 中最小的一个，设g （a ）是以（E ）的半焦距为边长的正方形面积，试求f （a ）=min{g （a ），S （a ）}表达式。

9、如图，三棱锥S —ABC 中，若SA ⊥SB ，SB ⊥SC ，SC ⊥SA ，试写出三个以上关于三棱锥的侧面、底面面积、体积、棱长等之间的位置关系和数量关系（令SA=a ，SB=b ，SC=c ，高SO=h ）
10、如图，抛物线y 2=2px （p ＞0），F 为焦点， 为准线，AB 过F ；P 为AB 中点，Q 为MN 中点，AM ⊥ 于M ，BN ⊥ 于N 。

试写出线段FN ，AQ ，BQ ，FM ，FQ ，AB 之间的垂直关系（三个以上）（令A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），F （2
p ，0））
【参考答案】
1、（1）B ＞A （2）若c=5，△ABC 为直角三角形 （3）7＜c ＜5时，△ABC 为锐角三角形
2、（1）a-b+c ＞0 （2）abc ＞0 （3）|a+c|＜-b （4）a 4b
ac 42
-＞-1
3、（1）圆：4
25)
2
3y (x 2
2
=
+
+ （2）椭圆：
1y
4
x
2
2
=+或
17
64x
16
)3y (2
2
=+
+
（3）双曲线13
4x
)2y (2
2
=-
-（y ≤1）
（4）抛物线：x 2=-4（y-1）
4、A 1C 1⊥B 1D 1或A 1B 1C 1D 1为正方形或A 1B 1C 1D 1为菱形
5、9
10m -
=
6、当1＜a ≤4时，d min =a-1；当a ＞4时，d min =1a 2+
7、（1）t 为常数，θ为参数， 1) t ≠0，
14
)
e
e (y
4
)
e
e (x
2
t
t
22
t
t
2=-+
+--，焦点在x 轴上的椭圆
2) t=0，以（-1，0）和（1，0）为端点的线段
（2）θ为常数，t 为参数 1）θ=k π（k ∈Z ），表示射线⎩⎨⎧=≥0
y 1x ，或⎩⎨
⎧=-≤0
y 1x
2）θ=k π+
2
π（k ∈Z ），表示直线x=0
3）θ≠k π，θ≠2
k π+π（k ∈Z ）,
1sin
y cos
x 2
22
2=θ
-θ
，实数在x 轴上的双曲线右支。

8、S （a ）值域为（0，
2），⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧>-=≤<-===4442
2
6
a ,)a 41(2)a (S 6a 2,a 4a )a (g )a (S ),a (g min{)a (f
9、（1）侧面SAB ，SBC ，SCA 两两互相垂直
（2）底面△ABC 为锐角三角形，顶点S 在底面射影O 为△ABC 的垂心
（3）ABC AOB 2
ASB
S S S ⋅= （4）abc
6
1V =
，
2
2
2
2
22
22
22
c
b a b
a c
a c
b h
1++=
10、FM ⊥FN AQ ⊥BQ AQ ⊥FM BQ ⊥FN FQ ⊥AB。