微积分(二)模拟题(开卷)02
2023微积分模考卷参考答案
一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列函数中，在区间(0, +∞)上单调递增的是（）A. y = x^2B. y = x^2C. y = 1/xD. y = x^32. 函数f(x) = x^2 2x的极小值点是（）A. x = 0B. x = 1C. x = 2D. x = 13. 不定积分∫(1/x)dx的结果是（）A. ln|x| + CB. x^2 + CC. e^x + CD. 1/x + C4. 定积分∫_{0}^{1} xdx的结果是（）A. 1/2B. 1C. 0D. 无穷大5. 下列极限中，不存在的是（）A. lim(x→0) (sinx/x)B. lim(x→1) (x^2 1)/(x 1)C. lim(x→+∞) (1/x)D. lim(x→0) (1/cosx)二、判断题（每题1分，共5分）1. 微分学的中心思想是求导数和求极值。
（）2. 函数在某一点可导，则在该点必连续。
（）3. 无穷小量与有界函数的乘积一定是无穷小量。
（）4. 二重积分的积分区域一定是矩形。
（）5. 泰勒公式可以用来求函数的近似值。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = e^x在x = 0处的导数值为______。
2. 不定积分∫(sinx)dx的结果是______。
3. 曲线y = x^3 3x在点(1, 2)处的切线方程为______。
4. 若函数f(x) = x^2 + ax + b在x = 1处有极小值，则a的值为______。
5. 定积分∫_{0}^{π/2} (1 + cosx)dx的结果是______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述罗尔定理的条件和结论。
2. 什么是函数的极值？如何求函数的极值？3. 举例说明定积分在几何、物理中的应用。
4. 简述泰勒公式的意义。
5. 什么是反常积分？如何判断反常积分的收敛性？五、应用题（每题2分，共10分）1. 求函数f(x) = x^3 6x^2 + 9x的极值。
微积分(下)期终模拟试卷(二)解答
14
的敛散性； 若收敛， 判断 ∑ ( −1) ( n + 2 − n + 1 ) 的敛散性 ； 若收敛， 指 3、
n n =1
∞
出是绝对收敛还是条件收敛。 出是绝对收敛还是条件收敛 。
B
） 。
xy （A） 4 4 y −x
x2 + y2 （C） 4 4 y −x
x y （B） 4 4 y −x x2 y2 （D） 4 4 x −y
10
2
2
∂z 且可导, 若 4、 z = ln ϕ ( xy) , 其中 ϕ ( xy) > 0 且可导, 则 = （ ∂x
D
。 ）
yϕ ′ ( xy ) x （A） ϕ ( xy ) yϕ ′ ( xy ) x （C） 2ϕ ( xy )
微积分( 微积分(下)期终模拟 试卷( 试卷(二) 解答
1
一、填空题(每小题2分,共20分) 填空题(每小题2 20分
设 1、 ∑ un = S ,则 lim un =
n =1 ∞
n→ ∞
0
,
∑ un+ 2 =
n =1
∞
S − u1 − u2 。
f (x) ；
d x 上连续, 若 2、 f ( x ) 在 [a , b] 上连续 , 则 ∫ a f ( x ) dx = dx
1 ) dx 原式 = 2 ∫ (e + 2 0 1+ x
1 x
= 2e
x 1 0
+ 2 arctan x 0
1
(微积分II)课外练习题 期末考试题库
《微积分Ⅱ》课外练习题一、选择：1. 函数在闭区间上连续是在上可积的． ( )A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．无关条件2. 二元函数定义域是． ( ) B．D．比较大小：． ( )B． C． D．不确定4.微分方程的阶数是． ( )A．5 B．3 C．2 D．15.下列广义积分发散的是． ( )A． B． C． D．6.是级数收敛的条件． ( )A．必要非充分 B．充分非必要 C．充分必要 D．无关7．如果点为的极值点，且在点处的两个一阶偏导数存在,则点必为的． ( )最大值点 B．驻点 C．最小值点 D．以上都不对微分方程是微分方程． ( )A．一阶线性非齐次 B. 一阶齐次 C. 可分离变量的 D. 一阶线性齐次9 .设是第一象限内的一个有界闭区域，而且。
记，，，则的大小顺序是． ( )C. D.10. 函数的连续区域是． ( )B.D.1. ． ( )B. C. D.12．下列广义收敛的是． ( ) A． B． C． D．．下列方程中，不是微分方程的是． ( ) A． B． C． D．．微分方程的阶数是． ( )A．5 B．3 C．2 D．1．二元函数的定义域是． ( )A． B．C． D．．设，则 ( )A． B． C． D．．= 其中积分区域D为区域：． ( )A． B． C． D．18．下列等式正确的是． ( ) A．B．C．D．19．二元函数的定义域是． ( )A． B．C． D．20．曲线在上连续，则曲线与以及轴围成的图形的面积是．( )A．B．C．D．||．． ( )A． B． C． D．22．= 其中积分区域D为区域：． ( )A． B． C． D．23.下列式子中正确的是． ( )A． B．C． D．以上都不对24. 二元函数的定义域是 ( )A． B．C． D．25.二元函数在点的某一邻域内有连续的偏导数是函数在点的．( )A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．无关条件26.设，则． ( )A． B． C． D．. ． ( )A． B． C． D．. = 其中积分区域D为区域：． ( )A． B． C． D．29． ． ( )A． B． C． D．30． 则=． ( )A． B． C． D．31．函数的连续区域是． ( )A． B．C． D．32． ． ( )A． B． C． D．33．差分方程的阶数为． ( )A. B. C. D.34．微分方程的阶数是 ( )A． B． C． D．35．函数的定义域是． ( )A． B．C． D．36．级数的部分数列有界是该级数收敛的． ( )A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．无关条件37． ，其中积分区域D为区域． ( )A. B. C. D.38．微分方程的阶是． ( )A．一阶 B． 二阶 C．三阶 D．以上均不对 39．． ( )A． B． C． D．40．二元函数的定义域是 ( )A． B．C． D．以上都不对41．设，则 ( )A． B． C． D．42．下列式子中正确的是． ( )A． B． C． D．以上都不对43．， ( )A. B. C. D.44.微分方程是． ( )A．一阶线性非齐次微分方程 B．一阶齐次微分方程C．可分离变量的微分方程 D．不可分离变量的微分方程45. 设是第二象限内的一个有界闭区域，而且。
微积分II课程微积分2试题
第四章不定积分、填空题1若f (x)dx是f(x)的原函数，则-d[ f (x)dx]= ____________2 •若F (x)是F'(X)的原函数，则F'(x)dx= ______________3.3dx= ________4.(2x x2)dx= _________5.2 dx = ______x6.6e x dx = ______7.(e x -3cos x)dx = _______48.dx = ________+x9.( —1— dx = _______、3 + 2xIn x .10.dx= ________x11.2sin 2xdx = _______12、e7x dx = _______213.2xe x dx = _______114.dx=1+2x15.^^^^= dx = __________■—2x16.sin 3xdx = _______17.设e心是f (x)的一个原函数，则xf (x)dx = __________18.设f(x) = e「则.丄Tdx二____________x、单项选择题1 设 I 二(5x 7)3dx ，则 I =() 110(5x 7)4 c2.设 I = a 3x dx,则 I3. 设］「汐如则'10.设 I = arctanxdx,则 I 二()6. 7. 8. 9. A -4x* c B -丄 c 3x 3设 I = sin xcosxdx,贝UI = A --sin 2 x c B -cos 2x 2 2 若 f (x)dx = x 2e 2x c 则 f (x)= A 2xe 2x B 2x 2e 2x C 设 I = In xdx ，则 I 二() A 1 c B xlnx cxxe 2x 1 -3x 31cos2x c4cos2x cD 2xe 2x (1 x)C xlnx-x cD 1 (In x)222A 3(5x 7) c 26(5x 7) c加 7)4 c1 a 3xD c B 1ln3a 3xC 丄 a 3xIn a3xa cA 1ln|2 5x 2| c252ln |2 5x 2| cC 12ln 12 5x | c1o ln2|2 5x | c4. 设 I 二 cos-xdx ，则 I 二L 3 5. 2 2 3 A -sin x c B -sin 3 3 2 设 I = e sinx cosxdx,贝U I =3 cos —x2A sinxsinxe c B-ecC cosx ecosx_ex11.1 12.A xarctanx 」n 、x 2 1 cxarcta nx —In1 2 C x arcta nx x 1 i 亠 c 11.设 I 二 xsinxdx,贝U I 二 A xcosx sinx c xcosx -sin x c -xcosx sinx c 「xsin x sin x c D12.设 f(x)dx 二 F(x) c,则 e 」f(e 」)dx =() 1. 2.3. 4. 5. 6、7.8. 9.A F(e x ) c 、计算题5(2 -x)2dx 2x 2dx1 x 21e x -?dx xsin 3xdx er^dx e e x. x 1dxdx.x 3 x 23(1 -x 2)%lx2~2"dx (1 x ) 10.2 2x -a dx ^dx -4 B -F(e 」)c C F(e 」)cQc x-dx9x 2 -6x 7第五章 定积分及其应用ln(x 2 1)ck xe x dx csccosxdx Inx 2e »dx x 3(ln x)2dx e x s in xdx secxdx e x dx In In xsin x cos xdx x 2 In xdx13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.13.14.15.16. 设F x 二 e f dt, x 0,则F x 二x2sint 亠厂dt a1 cos213：,1 t2dtlimx 0ddx ■0设F x sin3tdt,「x 可导，则F x 二、填空题1.由l.a,b 1上连续曲线y二f x ,直线x二a,x = b a ■b和x轴围成的图形的面积为______d b22.sin x 1 dx 二 _________dx ai ___ ___3.设F x 二 *、1 tdt,则F x 二____________14•利用定积分的几何意义求xdx二$0 -------------------------------5 .积分1 x2ln xdx值的符号是 _________36.定积分:sin4x -sin5xdx值的符号是 _______________2 27•积分h In xdx与I2 In2 xdx的大小关系为_________________4 4 o8.积分— Jnxdx与I^3|n x d x的大小关系为--------------------------9.区间l.c, d\ la,b 1,且f x yO 则h = a f x dx与I2二为______10. f x 在la,b 1 上连续，则f x dx f x dxa b11.若在区间l.a,b 上，fx_0,贝U bfxdx 0 ，a12.定积分中值定理中设f x在la,bl上连续，则至少存在一点：a,b ,使得f x dx的大小关系xxsi ntdt17.x设f X = °t t -1 dt,则f x 的单调减少的区间是 _____________ 函数f x ^-3tdt 在区间0,11上的最大值是 , 最小值是 〜t 2—1+1Hx 3- 设 f x sint 3dt,则 f x 严____________________设F x 是连续函数f x 在区间〔a,b 1上的任意一个原函数，则bf x dx=_ a12x 3x dx --0~2 sinx . 2-cosxe dx =设 f x 在 1,3 1 上连续，贝U ：〔 f f 2x —dx = _______-d -sin 2 xdx = _________2 兀 2cos xdx = _________2 . 3x sin x ,4 dx 1 x 4a设f x 在l-a,a 1上连续，贝U .」sinx ||f『x f ? -x dx =x +1 x < 0 1 设 f (x )= 2 2 , ,则『f (x )dx =(X 2 , x^O yr_理)5cosx,x = .|—一 ,0 丨「“ 1设 f (x )=« j 2 丿,计算 J 兀 f (x )dx = ___________ e x ,10,1】2:1若广义积分 _______________________ -q dx 发散,则必有q1x q 11 若广义积分 _______________________ —p dx 收敛,则必有px p18.19. 20.21. 22.23. 24. 25. 26. 27.28.29.30. 31. 32.33.34. 35.dxXi 1 In x5D. A . cos x 2 - cosx 2xcosx 2 -cosxC . 2xsin x 2 -sin x2xsin x 2 sin x36.反常积分./ xe_xdx 二1 -x 21 JT曲线y = — sin2x,y =1,x =0,x 所围成的图形的面积为2 2、单项选择题1 .函数f x _0,x ：= la,b 且连续，则y = f x , x 轴，x = a 与x = b 围成图形的面积 S =()ba f xdxcJ f (a -x )dx =()~cf(x 连续，F (x )=( f(tdt ，则 F '(x )=()D.x 2设 I x sintdt,则 I x 产(*x37.38. 曲线y =x 2, y 2二X 所围成的图形的面积为 39. bJ a f(xpxD.f b f a b-a2.4 ・ 2J = J In xdx , 12 = J In 2 xdx ,则 h 与 I 2大小关系为()33A . -B . < C.D.::sf x 连续,I =t ^ f tx dx ,则下列结论正确的是（）A . I 是s 和t 的函数B . I 是s 的函数C . I 是t 的函数 是常数3.4 . f x 连续且满足f x 二 f 2a - x ,a = 0 , c 为任意cA. 2 0 f 2a -x dxB.c2 f 2a -x dx--cC.cf a - x dxD. 05. A .-e"fe"-fx B . -e^f e x f x C . e^f -f x6.. r si nx Q /7.当XT 0 时，f（x）=j0 sin t2dt 与g（x）=x'+x4比较是（）A.高阶无穷小 B .低阶无穷小 C .同阶但非等价无穷小D.等价无穷小8. f x厂x在点x = 0的某邻域内连续,且当x > 0时，f x是•• x的高阶无穷x x小，则x > 0 时，o f t sintdt 是o t t dt（）A.低阶无穷小 B .高阶无穷小D.等价无穷小x9 . f x为连续的奇函数，又F x = ° f t dt,则F -x =（.同阶但不等价无穷小A. F xB. -F xC. 0 .非零常数10.设F x说2f tdt, f 连续,则lim F x =()C . 2f 2 D. f 211 .设f x连续，x 0,且1x2f t d^x2 1 x ,则f 2 =( .2、. 2-12a -b13 .若a =114 .设e x=t,则D. e£dt 't t41 2 2D 2 a-bB . 1 a -b2X t2e -1 dt'X=0,且已知f x在x = 0点连续,则必有()x =0B . a = 2C. a2-b2D. a = -110 -.e x_e^e x—e10一十e1C.广r?dt15 . f x在给定区间连续,则ax3f xD. 12-2、212 .设「x 在l.a,b 上连续,且「a]=b, f b i〕=a,则.「x「x dx = ()2 l' 1 )2D.12匚血1… 20 .曲线y=e x 与其过原点的切线及y 轴所围平面图形的面积为（）1eeA . 0 e x -exdxB . J ny -yl ny dyC .计 e x - xe x dx 1D . s 2 :: % ：： s i22 .曲线y=：cosx, 「 x 与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转2 2体体积等于（）:1 2 2A .B . ■: C. D. ■:2 21D. 0 ln y - y ln y dy21 .在区间 la,b 上 f x 0, f x ： 0, f x 0,令& = [ f (x dx, S 2 = f (b J(b —a )忌=1 [f (b }+ f (a }](b _a ),则有()D.16. 17.18 .19 . 1 aA . 2 0 xf x dx a 0Xf X dxe In x 1V2 2积分A. x 0f tdtdx 的值是（） B.1 2e 22a 2 0xf x dx厂则0 . x f 三"(16 B . 8 C1 ——A .积分. x 2dx 的值是（） 1 21曲线y = — ,y =x,x = 2所围平面图形的面积为xA . 0B . 1 CD.2C.-2aC . 2 o xf x dxD. -1B •2x —1dx1 . xA . S | ：：勺：：s 3B . s 2 ：： q :: S 3C . s 3 ：：： ® ：：： s2 12y2-2_y dyX25. 无限长直线放在正实轴上 ,其线密度 C. 1:=e ,则其质量M =()D.226. A. e B.：： 12 一变力F 二右把一物体从x=0.9推到x=1.1,它所做的功W =() x1.112A ・。
微积分II真题含答案
微积分II真题含答案微积分II真题含答案一、填空题（每题3分，共30分）1、函数的定义域是____________. 2、设，则________________. 3、广义积分的敛散性为_____________. 4、____________ . 5、若 . 6、微分方程的通解是____. 7、级数的敛散性为 . 8、已知边际收益R/(x)=3x2+1000,R(0)=0,则总收益函数R(x)=____________. 9、交换的积分次序= . 10、微分方程的阶数为_____阶. 二、单选题（每题3分，共15分）1、下列级数收敛的是（）A，B，C，D，2、，微分方程的通解为（）A，B，C，D，3、设D为：，二重积分=（）A, B, C, D，0 4、若A, B, C, D, 5、=（）A, 0 B, 1 C, 2 D, 三、计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，共32分）1．已知2. 求，其中D是由，x=1和x轴围成的区域。
3. 已知z=f(x,y)由方程确定，求4.判定级数的敛散性. 四、应用题（本题共2小题，每小题9分，共18分）：1. 求由和x轴围成的图形的面积及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。
2. 已知x表示劳动力，y表示资本，某生产商的生产函数为，劳动力的单位成本为200元，，每单位资本的成本为400元，总1/ 14预算为*****元，问生产商应如何确定x和y，使产量达到最大？。
五、证明题（5分）一、填空题（每小题3分，共30分）1, 2，3，发散4，0 5，6，y=cx 7，收敛8，R(x)=x3+1000x 9，10，2 二、单选题（每小题3分，共15分）1，B 2，B 3，C 4，C 5，D 三、计算题（每小题8分，共32分）1、解：令2、3、整理方程得：4、先用比值判别法判别的敛散性，（2分）收敛，所以绝对收敛。
(交错法不行就用比较法) （8分）四、应用题（每小题9分，共18分）1、解：2、解：约束条件为200x+400y-*****=0 （2分）构造拉格朗日函数，（4分）,求一阶偏导数，（6分）得唯一解为：，（8分）根据实际意义，唯一的驻点就是最大值点，该厂获得最大产量时的x为40，y为230. （9分）五、证明题（5分）证明：设对等式两边积分，得：（2分）（4分）解得：题设结论得证。
微积分II期末模拟试卷3套含答案.docx
17、求曲线x3-xy+y3=l(x>0,y>0)±的点到坐标原点的最长距离和最短距离。
微积分II期末模拟试卷3(满分：100分；测试时间：100分钟) 三、填空题(3X5=15)
『1-/_“2
1、曲线<X=Joe du在(0, 0)处的切线方程为
y = t2ln(2-r2)
”=i2”=]n
(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与入有关
7、曲线y=y(x)经过点(0,-1),且满足微分方程y'+2y = 4兀，则当兀=1时，y=()
(A)0；(B)l；(C)2；(D)4
8、设q,是圆域D = {(x,y)|/+y2 si}的第£象限的部分，记Ik=^{y-x)dxdy.则
(A)/, >/2>1.(B) l>/j >/2.(C)I2>/j >1.(D)l>/2>/,.
五、计算题(5X10=50)
12、计算下列定积分
1
(1)j2|ycsi：兀力.(2)求y=cos x - sin x, y = 0(0 < x < —) ^ x轴旋转的旋转体体积
12、计算下列多元微积分
(1)设z=f[x2-y.(p{xy)],其中f(〃，0具有二阶连续偏导数，(p(u)二阶可导，求
y = Jo ln(l + u)du
dx cf
2te= 0< dt
x —o = °
16、设非负函数y = y(x)(xnO)满足微分方程尢y"-y+2 = 0,当曲线y = y(x)过原点
时，其与直线x = \&y =0围成平面区域Q的面积为2,求D绕y轴旋转所得旋转体体积。
微积分(2)练习题2_答案
《微积分（2）》练习题2答案一、求下列积分（4小题，每小题9分，共36分）3411(3)xx dx x+-⎰、 解：原式c xx x+++=34313ln 34122cos x xdx ⎰、 解：原式⎰+++=-=c x x x x x xdx x x x sin 2cos 2sin sin 2sin 22，13⎰、 解：令2t x =，原式)2ln 1(2)]1ln([2121010+=+-=+=⎰t t dt t t4134xx e dx ⎰、 解：原式)1(41|41411041044-===⎰e edx exx，二、求下列偏导数（3小题，每小题9分，共27分）45z 1sin(),z z x y x yδδδδ=+、 求， 解：)cos(4543y x x x z +=∂∂ )cos(5544y x y x z +=∂∂ 22z 2(,),z z f x y xy x yδδδδ=-、 求，解：y f x f xz 212'+'=∂∂x f y f xz 212'+'-=∂∂333z 3(,)x 31z z f x y y z xyz x yδδδδ=++-=、 由确定，求，解：两边对x 求偏导数： 0333322='--'+xx z xy yz z z x 得 xyzx yz xz 333322--=∂∂ 两边对y 求偏导数： 0333322='--'+y y z xy xz z z y 得 xyzy xz yz 333322--=∂∂三、解下列常微分方程（2小题，每小题9分，共18分） 21cos dx xdx =、 y 解：dx x dy y ⎰⎰=cos 2，c x y+=sin 313，224dy xy x dx+=、解：2)2(]4[22222+=+=⎰+⎰=--⎰x x x dx x dxx ce e c e dx e x c e y ， 四、求曲线22y x =-与直线y x =围成的面积（9分） 解：2/9)2/3/2()2(1223212=--=----⎰x x x dx x x五、(,)z z x y =由F(x-y,y-z,z-x)=0确定，求z z xyδδδδ+（10分）解：32F F F z '+'-='，31F F F x '-'='，21F F F y '+'-='，1-=''+''=∂∂+∂∂z y z x F F F F yz xz ，注：第三题第1小题 xdx dxy cos 2= 应改为 xdx dy y cos 2=；第二题、第五题中所有yz xz δδδδ 中的符号 δ 都要改成 ∂ ；。
微积分2参考答案
参考答案及提示第一章 函数习题一1、（1）-1、2、-3. （2）-4、23、.86443222-+--x x x x 、(3)有界. 2、略.3、解：∵362)(2-+=x x f x∴3623)(6)(2)(22--=--+-=-x x x x x f ∴64)]()([21)(2-=-+=x x f x f x ϕxx f x f x 12)]()([21)(=--=φ又∵)(646)(4)(22x x x x ϕϕ=-=--=-，即)(z ϕ是偶函数；)(6)(6)(x x x x ψψ-=-=-=-，即)(x ψ是奇函数.4、（1）解：由题知，设c bx ax x R ++=2)(且满足方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧++=++==0421*******0c b a cb ac b a c∴.4212x Rx +-=（2）解:由题列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅+=⋅+=⋅+=2510905030432c b a c b a c b a c b a即2510p Q ⋅+=.（3） 解：由题意有：⎩⎨⎧≤<⨯⨯-+⨯≤≤=10007009.0130)700(1307007000130x x x x R5、（1）解：∵Z k k x ∈≠+，＋21ππ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧±±=-+≠ ,2,1,0,12|k k x x ππ.（2）∵131≤-≤-x ,∴]4,2[∈x .（3）∵⎩⎨⎧≠≥-03x x ,∴]3,0()0,(⋃-∞.（4）∵,0ln ≥x ∴1≥x ,∴),1(+∞∈x .*6、解：由题有x e x f x -==1))(()(2ϕϕ，∴).1,(,)1ln()(-∞∈-=x x x ϕ7、（1）uy =u = 3x-1. (2)2u y = u = lgv v = arccosw 2x w =(3)y=au 3v u = v=1+x. * (4)ua y =u=sinv wv =12+=x w8、（1）47-=x y . （2）1)1(2-+=x x y . （3）2arcsin31x y =. （4）21-=-e x y*9、略.第一章 单元测验题1、（1）,8)2(,6)1(,4)0(πππ===g g g .2)2(,125)3(ππ=-=-g g2、解：由题知)3,2(]2,7[04913032⋃-∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-≠->-x x x x ，且342lg 1))7((+=-f f .3、解：令t x =ln ，即te x =，则ttee tf )1ln()(+=，∴ee xx x f )1ln()(+=.4、解：11)()(9333+=+=x x x f ， 12)1()]([36232++=+=x x x x f .5、证明：∵)(loglogloglog)()1()1(1)1()1)(1()1)((222222x f x f x x ax x ax x x x x x ax x a-=-====-++++++++-++-+-∴)(x f 为奇函数.6、解：由题知：⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0100011110111)(11)(01)(1)]([x x x ee e x g x g x g x gf xx x ， ⎪⎩⎪⎨⎧>=<=⎪⎩⎪⎨⎧>=<==--1||1||11||1||1||1||)]([1101)(x e x x e x e x e x e ex f g x f .第二章 极限与连续习题二1、（1）3231,1615,87,43,21 （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛564534235432,,,,2（3）5sin 51,82,63,21,0π（4）,!3)2)(1(,!2)1(,---m m m m m m !4)3)(2)(1(---m m m m ，!5)4)(3)(2)(1(----m m m m m2、（1）收敛 （2）收敛 （3）发散 （4）收敛3、（1）证明：对0>∀ε，]1[ε=∃N ，当Nn >时，ε<+=-+1111n n n ，则11lim =+∞→n n n ；（2）证明：对0>∀ε，]11[2+=∃εN ，当N n >时，ε<=-nn111，则01l i m=∞→nn .4、（1）2 （2）∞+ （3）∞- （4）∞ （5）∞+ （6）0 （7）∞ （8）0（9）不存在 （10）∞- （11）不存在 （12）不存在 （13）0 （14）∞ 5、提示：用左右极限来证. 证明：∵1lim lim==++→→x x x xx x ，1lim lim 0-=-=--→→xx x x x x∴xx xxx x -+→→≠0lim lim，即xx x 0lim →不存在.6、解: 1lim )(lim ,3)2(lim )(lim 1111-===-=++---→-→-→-→x x f x x f x x x x ，,3)(lim ,1)(lim 11==+-→→x f x f x x∵)(lim )(lim 11x f x f x x +-→→≠，∴)(lim 1x f x →不存在.7、（1）证明：对0>∀ε，01>=∃εM ，当M x >时，ε<=-xx101，则01lim=∞→xx ；（2）证明：对0>∀ε，0>=∃εδ，当δ<--)2(x 时，ε<+=--+-2)4(242x x x 成立则424lim22-=+--→x x x .8、（1）（2）（4）是无穷小. 9、（1）xsinx 是无穷小，x25是无穷大 （2）10,52x x-是无穷小，xex ),2lg(+是无穷大.10、当∞→→x x 或0时，f(x)是无穷大量，当21→x 时，f(x)是无穷小量.11、（1）∵1sin ≤n 为有界变量，且011lim =+∞→n n ，∴01sin lim=+∞→n n n .（2）∵2arctan π≤x 为有界变量，且01lim2=∞→xx ，∴0arctan lim2=∞→xx x .（3）∵当0→x 时，11cos ≤x为有界变量，且0lim 0=→x x ，∴01coslim 0=→x x x .（4）∵011lim1=+-→x x x ，∴∞=-+→11lim1x x x .12、（1）原式75342452=+⨯-⨯=； （2）原式213)1(4)1(212=--⨯+---=；（3）∵0123lim23=+-+-→x x x x ，∴原式∞=； （4）原式1lim 1)1(lim1221==--=→→t t t t t t ；（5）原式42221lim)22(lim)22()22)(22(lim-=+--=+--=+-+---=→→→t t t t t t t t t t t ；（6）原式＝0； （7）原式＝21；（8）原式＝)23)(4(23lim)23)(4()23)(23(lim22222-+-+-=-+--+--→→x x x x x x x x x x x x x x161)23)(2()1(lim)23)(2)(2()1)(2(lim22=-++-=-++---=→→x x x x x x x x x x x x ；（9）原式323)131(lim)131)(131()131(lim=++=++-+++=→→x x x x x x x x x ；*（10）原式21)11(11lim)11(1)11)(11(lim-=+++-=++++++-=→→t t t t t t t t t .13、解：∵+∞==--→→21lim)(lim xx f x x ，0)2(lim )(lim 20=-=++→→x x x f x x∴0→x 时，f(x)极限不存在.又∵0)2(lim )(lim 222=-=--→→x x x f x x ，0)63(lim )(lim 22=-=++→→x x f x x∴2→x 时极限存在. 由题知，01lim)(lim 2==-∞→-∞→xx f x x ，)(lim x f x +∞→不存在.14、解：由题知，当3→x 时，→+-k x x 22k= -3.*15、解：∵左边011)()1(lim11lim222=+-++--=+----+=∞→∞→x bx b a x a x bax bx axx x x ，∴⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-11001b a b a a . 16、（1）原式2211211lim=--=∞→nn ；（2）原式21)221(lim =-+=∞→n n n .*17、证明：（1）∵1)22(lim 21=++-→x x x ，11lim 1=-→x ，∴由夹逼定理有1)(lim 1=-→x f x .（2）∵2222212111nn nnn n nnn<++⋅⋅⋅++++<+且1lim2=+∞→nn nn ，1lim2=∞→nn n ，∴由夹逼定理有，原式＝1，得证.18、（1）原式1cos lim sin limcos sin lim===→→→x xx x xx x x x ；（2）原式2sin lim2sin sin 2lim2===→→xx xx xx x ；（3）原式xx xx n nn =⋅=∞→22sinlim； （4）原式353551sin513131sinlim=⋅⋅=∞→x x x x xxx .19、（1）原式222101)21(lim )21(lim ex x xx xx =+=+=⋅→→++； （2）原式22)11(lim e xx x =+=⋅∞→；（3）原式e x x x =++=-+∞→21212)1221(lim .20、（1）原式31111arccoslim arccoslim 2π=++=++=+∞→+∞→x xx x x x x ；（2）原式3ln 3113lnlim 313lnlim 2222=++=++=∞→∞→xxx x x x .21、（1）∵1lim )(lim 211==--→→x x f x x ，1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x ，∴1)(lim 1=→x f x .且==1)1(f )(lim 1x f x →，∴)(x f 在1=x 处连续.又∵)(x f 在其定义区间上均为初等函数，即)(x f 在 ]1,0[和]2,1(上连续，及)(x f 在]2,0[上连续.（2）∵1lim )(lim 1)(lim 111-==≠=++--→-→-→x x f x f x x x ，∴－1为)(x f 的其间断点.又∵)(lim 1lim )(lim 111x f x x f x x x +--→→→===，且1)1(=f ，∴)(x f 在1=x 处连续.又∵)(x f 在其定义区间上均为初等函数∴)(x f 在)1,(--∞与),1(+∞-内连续.22、解：∵22lim )(lim 11==--→→x x f x x ，d c d cx x f x x +=+=++→→)(lim )(lim 211且d c f +=)1(；dc d cxx f x x +=+=--→→4)(lim )(lim 222，84lim )(lim 22==++→→x x f x x 且d c f +=4)2(，又∵)(x f 在),(+∞-∞上连续，则⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+02842d c d c d c .23、（1）∵)(x f 在1-=x 处无定义，∴1-=x 为)(x f 的间断点.（2）∵2)1(lim 11lim)(lim 1211-=-=+-=-→-→-→x x x x f x x x ，且)(lim 6)1(1x f f x -→≠=∴1-=x 是)(x f 的间断点. （3）∵-∞=--=→→))1(1lim()(lim 211x x f x x ，即极限不存在，∴1=x 为)(x f 的间断点.（4）∵1)1(lim )(lim 22-=-=--→→x x f x x ，0)2(lim )(lim 222=-=++→→x x x f x x ，∴)(lim 2x f x →不存在，即2=x 为)(x f 的间断点.24、（1）证明：令32)(45---=x x x x f . ∵075)3(,05)2(>=<-=f f ,∴由介值定理的推论，)(x f 在)3,2(中至少存在一个根. （2）证明：令1)(2+-=x x x f . ∵034)2(,021)1(>-=<-=f f∴. 由介值定理的推论，)(x f 在)2,1(中至少存在一个根.第二章 单元测验题1、（1）原式0cos 1sinlim lim sin lim 21cos sin 21sinlim0000=⋅⋅=⋅⋅=→→→→x xx x x x x x x x x x x x ；（2）原式211lim 2=++=+∞→xx x x ；（3）原式2121lim 1134322321lim=+=+⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=∞→∞→n n n n n n n n . 2、解：∵55lim )(lim ,0lim )(lim 01a x a x f e x f x x x x x =+===++--→→→→∴由题知，要使)(x f 在整个数轴上连续，必须满足005=⇒=a a .3、解：∵01sin lim )(lim ,1ln )1ln(lim )(lim 01)1(1=-=-==-=++--→→--⋅-→→x x x f ex x f x x xx x∴)(lim 0x f x →不存在，0=x 是)(x f 的间断点.又∵∞=-=→→1sin lim)(lim 11x x x f x x ，即极限不存在，∴1=x 是)(x f 间断点.因此，)(x f 的连续区间为),1()1,0()0,(+∞⋃⋃-∞.4、解：∵111sinlim22=-+→axxx ， ∴左边＝aaxxx aaxaxx x x x 2)11(lim )sin (lim 1)11(sin lim220222=++⋅=++→→→，∴2=a .。
微积分2答案完整版
知识点：积分收敛性，中。
4．
答案：C
学霸解析：
可微
可微
可微
知识点：二元函数可微性，中。
5．
答案：C
学霸解析
知识点：求原函数，中。
三、计算题（共8题，每题6分，满分48分）
1．答案：
学霸解析：令
则
知识点：求定积分，中。
2．答案：
学霸解析：
3．
解：
知识点：二重积分，中。
4．
答案：
学霸解析：
二 、
1答案：A
学霸解析： 为偶函数, 为奇函数,且 有意义,则 是偶函数。
知识点：组合函数，易。
2、
答案：B
学霸解析：若函数 在 处不可导，则 在 处一定不可微。
知识点：可导和可微积，易。
3、
答案：D
学霸解析：收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是 .
知识点：二重求导，中。
4、
答案：B
学霸解析：
考查知识点：敛散性
(2)答案：
学霸解析：
考查知识点：级数收敛的函数
六、
答案：480
学霸解析：
考查知识点：求导运用
七、
答案：2/15
学霸解析：
考查知识点：双边求导
八、
1．答案：
右式
=左式
2.答案：
① 在（a,b）上恒成立
由于f（x）-x在（a，b）上连续
可知
故只能有f（x）=0
② 在（a,b）上恒成立
考查知识点：间断点
3.答案：B
学霸解析：可微的定义
考查知识点：可微的定义
4.答案：D
学霸解析：R(Q)导数减去C（Q）导数为0点为题目所求点
微积分模拟考试试题及答案
微积分模拟考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7x - 3的导数是：A. 6x^2 - 10x + 7B. 6x^2 - 10x + 6C. 6x^2 - 8x + 7D. 6x^3 - 10x^2 + 72. 曲线y = x^2 + 3x - 2在x = 1处的切线斜率是：A. 4B. 5C. 6D. 73. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 2/34. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的原函数是：A. -cos(x) + sin(x) + CB. -cos(x) - sin(x) + CC. cos(x) - sin(x) + CD. cos(x) + sin(x) + C5. 函数y = ln(x)的反函数是：A. e^xB. x^eC. 1/xD. √x二、填空题（每空1分，共10分）6. 函数f(x) = 3x^4 - 2x^3 + x^2 - 5的二阶导数是______。
7. 函数y = x^3 - 2x^2 + x - 3在x = 2处的切线方程是______。
8. 定积分∫[1,2] (3x + 1) dx的结果是______。
9. 函数f(x) = 2e^x的原函数是______。
10. 函数y = x^2的反函数是______。
三、简答题（每题5分，共15分）11. 求函数f(x) = x^2 + 2x + 1在区间[0, 2]上的定积分。
12. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x的极值点。
13. 证明函数f(x) = x^3在R上的单调性。
四、解答题（每题10分，共20分）14. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求其在x = 1处的泰勒展开式。
15. 利用定积分求曲线y = 2x - 1与x轴围成的面积。
五、综合题（每题15分，共15分）16. 一个物体从静止开始，以初速度0，加速度a = 3t^2（m/s^2）加速运动。
《微积分2》(经管大类A卷)试卷版 修改版
y 2 z 2 ) 在点 A(1, 0, 1) 处沿点 A 指向点 B(3, 2, 2) 方向的方向导数为 0.5
yz xz xy , 得 x y z 1, 所以切平面方程为 ( x 1) ( y 1) ( z 1) 0 1 1 1
x 1 y 5 z 8 x y 6, 21. 设有直线 L1 : 与 L2 : 则 L1 与 L2 的夹角为∏/3 1 2 1 2 y z 3,
2 2
8. 曲面 x 2 y 3z 21在点 A(1, 2, 2) 的法线方程为 x-1=(y+2)/(-4)=（z-2)/6
2 2 2 2 3 9. ( 单项选择题 ) 在曲线 x t , y t , z t 的所有切线中 , 与平面 x 2 y z 4 平行的切线
b a
π[m f ( x) g ( x)][ f ( x) g ( x)]dx
A卷 第 3 页 ( 共 4 页 ) 24. 若函数 u f (t , x, y), x (s, t ), y (s, t ) 均具有一阶连续偏导数, 则
u t
28. 设方程 y F ( x 2 y 2 ) F ( x y) 确定隐含数 y f ( x) (其中 F 可微), 且 f (0) 2,
3 A. F (3) F ( 2) 4
C. F (3)
5 B. F (3) F (2) 4
D. F ( 3)
微积分——期末考试模拟试卷以及答案
《微积分II 》练习题一、 填空题1．函数()y x z +=ln 1的定义域是_______________ 。
2．函数(,)f x y =，则定义域为 。
3． 。
4.设(,)(1)arcsin f x y xy y =+-(,1)x f x = _______ 。
5.设222lny x e z x +=，则=)1,1(dz 。
6．函数yx z =在（2，1）点处的全微分为_______________。
7.22()Dxyf x y dxdy +=⎰⎰。
（其中D ：由曲线221y x y ==与所围成）。
8. 改变积分次序210(,)xx dx f x y dy ⎰⎰= _________ 。
9.微分方程'sin cos x y y x e -+=的通解是 。
10.微分方程0=+'y y 满足初始条件10==x y的特解 。
11.计算_________________sin 21231=⎰⎰-dy y dx x12．微分方程02'"=+-y y 的通解是 。
13．差分方程02312=+-++t t t y y y 的通解是 。
14.计算极限.______________________)sin(42lim 00=+-→→xy xy y x二、选择题),(,),( 22=-=-y x f y x yxy x f 则1．极限).(2lim22)0,0(),(=+→yx xyy x（A ）;0 （B ）;1 （C ）;2 （D ）不存在。
2．二元函数z=f(x,y)在点),(00y x 处各偏导数存在是全微分存在的（ ） （A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）无关条件 （D ）充要条件 3.设 f(x,y) 在点（a,b ）处的偏导数存在，则=--+→xb x a f b x a f x ),(),(lim 0（ ）(A) 0 (B) ),2(b a f x ' (C) ),(b a f x ' (D) ),(2b a f x ' 4．若)y , (x f z =在点P （x ，y ）处x z ∂∂，yz ∂∂都存在，则下列结论正确的是（ ）。
微积分II期末模拟试卷三套及答案
微积分II 期末模拟试卷1（满分：100分；测试时间：100分钟） 一、填空题（3X5=15）1、幂级数∑∞=-112n n n n x 的收敛区间为__________2、由曲线23x y -=及直线x y 2=所围成平面区域的面积是____________ 3、改变⎰⎰--21222x x xfdy dx 的积分次序_______________________4、微分方程02=-'+''y y y 的通解=y5、设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于____________ 二、选择题（3X5=15） 6、定积分()dx ex x x⎰-+22的值是（ ）。
（A ） 0 ； （B ） 2 ； （C ） 2e 2+2； （D ） 26e7、一曲线在其上任意一点),(y x 处的切线斜率等于yx2-，这曲线是（ ） (A)直线； (B)抛物线； (C)圆； (D)椭圆 8、设函数()xy f xyz =，其中f 可微，则=∂∂+∂∂y z x z y x （ ） （A ）)('2xy yf （B ）)('2xy yf -（C ）)(2xy f x （D ）)(2xy f x- 9、设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点.()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点10、设级数10nn na∞==∑，且()11n n n n a a ∞-=-∑收敛，则级数1n n a ∞=∑（ ）（A ）收敛 （B ） 发散 （C ）不定 （D ） 与n a 有关 三、计算题（5X10=50）11、计算下列定积分 (1)⎰-2234dx x x ；(2)求抛物线342-+-=x x y 及其在)3,0(-和)0,3(处的切线所围成图形的面积。
高等数学微积分练习题集2(含答案)
高等数学试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=x-1，则[]ϕ=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x2．()002lim 1cos tt x x e e dt x -→+-=-⎰（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ）.lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ）A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D. 可导5．设C +⎰2-x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ）2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<=8．arctan lim _________x x x→∞= 9.已知某产品产量为g 时，总成本是2g C(g)=9+800，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC 10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________.12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________.13.设2ln 2,6a a π==⎰则___________.14.设2cos x z y =则dz= _______. 15.设{}2(,)01,01y D D x y x y xedxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰，则_____________.三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设1x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy.17.求极限0ln cot lim ln x x x+→18.求不定积分.dx19.计算定积分I=0.a⎰ 20.设方程2z x 2e 1y xz -+=确定隐函数z=z(x,y)，求','x y z z 。
微积分(二)模拟题(开卷)
《微积分二》模拟题（开卷）一． 计算题1. 求定积分:解:2. 分别绕x 轴与y 轴旋转产生的旋转体的体积。
解:作椭圆图形，由于图形与坐标轴对称，故只考虑第一象限内的曲边梯形绕坐标轴旋转 所产生的旋转体的体积.椭圆绕 x 轴旋转产生的旋转体的体积3． 解：4． 求yx y x z 2422)3(++=的偏导数。
解：.ln 51⎰xdx 45ln 5ln ln 1ln )'(ln ln ln )'(ln 51515151515151515151-=-=-=⋅--=⎰⎰⎰⎰⎰x x x dx x x dx x x x x dxx x x x xdx x xdx ＝＝例1 求椭圆12222=+by a x203222022220234)3(2)(22ab x x a a b dx x a a b dx y V a a a x ππππ=-=-==⎰⎰(2)椭圆绕 y 轴旋转产生的旋转体的体积b a dy y b b a dy x V bby 222220234)(22πππ=-==⎰⎰的收敛半径和收敛域。
求级数∑∞=--1213)1(n nn n nx ].31,31[,1)1(31).31,31(3131,1331,13313lim lim 1122221--±=-=>><<∴=⋅+=∑∞=-∞→+∞→径为因此，原级数的收敛半是收敛的交错级数，时，原级数当，收敛区间为径因此，原级数的收敛半时，原级数发散。
即时，原级数收敛；当即当直接利用比值判别法：n x R x x x x x x n nu u n n n n n n2ln 2)3ln()3(4)3)(24(64ln 62426ln 24,31222422124221122u u y vu v z u z z y x y x y x y x x u u x vu xv v z x u u z x z yv x v y y ux x u u u v z u v u zu z y x v y x u v v y x y x v v v v v ⋅⋅∂⋅∂+∂⋅∂=∂+++++⋅⋅∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂⋅=∂∂⋅=∂∂=+=+=-+-+--＋＝＝＋＝则，可得，则设5．计算 ， 其中区域D 是 所围成的区域。
12-2《微积分二》A卷
一、填空题（共5小题，每小题2分，满分10分）1．定积分=+-+⎰-1122512dx xx x x .2．设()()⎰+=0221ln xdt t x f ，则导数()='1f .3．将函数xxe 展开成x 的幂级数后，其中4x 的系数等于 ． 4．交换积分次序()=⎰⎰y ydx y x f dy ,10.5. 微分方程x e y y -=+'满足()10=y 的解为 .二、单项选择题（共5小题，每小题2分，满分10分）1．由曲线x y =，0=x ，1=y 围成的平面图形绕y 旋转一周后所成立体的体积等于 [ ](A) 5π (B) 54π (C) 2π (D) π2．下列命题正确的个数是 [ ] (A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个 1）设()x f 在[)+∞,0上连续且严格大于零，则当+∞→a 时()+∞→⎰adx x f 0．2）若()y x f ,在()00,y x 处的两个偏导()()0000,,,y x f y x f y x ''均存在，则极限()()()y x f y x y x ,lim00,,→也存在．3）若()y x f ,在()00,y x 处取得极小值，则()y x f ,0也在0y 处取得极小值．4）若()00,y x 是可微函数()y x f ,在有界闭区域D 内部的唯一驻点且极小值点，则()00,y x 是()y x f ,在D 上的最小值点． 3．反常积分⎰∞+1dx x p 收敛的充要条件是 [ ](A) 1<p (B) 1>p (C) 1-<p (D) 1->p 4．下列级数收敛的是 [ ](A) ()∑∞=-11n n(B) ∑∞=11cos n n (C) ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-2212n n n (D) ∑∞=12n n n5．下列命题错误的个数是[ ] (A)1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个1）绝对收敛的级数必然条件收敛． 2）若数列{}n u 单调递减、各项恒正且0lim =∞→n n u ，则交错级数()∑∞=-11n n nu 条件收敛． 3）若()∑∞=-+1212n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 也收敛． 4）若2lim1=+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散，但∑∞=1n n u 可能收敛． 三、计算题（共7小题，每小题6分，满分42分）1．求()⎰-21dx x f ，其中()⎩⎨⎧>≤-=1,1,22x x x x x f 2．判断⎰∞+-02dx xe x的敛散性．若收敛，求其值3．设()y x z 2cos =，求yx z ∂∂∂2 4．设()y x z z ,=由方程zye z x =2所确定，求()0,0,1dz5．求⎰⎰202sin ππxdy y ydx 6．求⎰⎰-Ddxdy x y ，其中(){}21,20,≤≤≤≤=y x y x D7．试求由曲面()22y x e z +-=，422=+y x ，0=z 所围成的封闭立体的体积四、（8分）判定级数()∑∞=-22tan1n nnπ的敛散性．若收敛，指明是绝对收敛还是条件收敛．五、（8分）设有幂级数∑∞=11n n x n，试求：1）该级数的收敛域；2）该级数在收敛域上的和函数．六、（7分）设某产品的生产仅需耗费资本和劳动力两种要素．经统计，该产品的产量Q 与这两种要素投入量L K ,的依赖关系为3231L K Q =．已知资本要素的价格为8，劳动力要素的价格为2．当产量限定为240时，试问：使得总成本最小的资本要素投入量K 与劳动力要素投入量L 各自为多少？七、（5分）设函数()x f 在[]1,0上连续，且满足()()⎰-=123dt t f x x x f ，试求()x f ．八、（共2小题，每小题5分，满分10分）1、已知()x f 在()+∞∞-,上连续，试证：()()⎰⎰+=10312121dx x f dx x f ．2、已知()x f 在[]b a ,上连续，()a a f =，且()222a b dx x f b a-=⎰，试证：存在()b a ,∈ξ，使得()()1+='+ξξξf f ．。
文科微积分2习题册_答案
1
y 0
1 lim 不存在 sin y
cos(x 2 ) 2z 2z 2z 6. 求下列函数的 2 , 2 和 ： （3） z ; x y x y y
2 z sin x 2 x 解： , x y
z cos x 2 x y2
2z 1 2sin x 2 4 x 2 cos x 2 2sin x 2 2 2 ( cos x ) 4 x x 2 y y y 2 z 2 x sin x 2 , xy y2 2 z 2 cos x 2 y 2 y3
1 1
左边 x
2
得证.
2 ( x y ) sin 4. 设 f ( x, y ) 0,
1 x y
2 2
, x2 y2 0 x2 y2 0
x 2 sin x 1
，求 f x (0,0), f y (0,0) 。
'
'
解： f x lim
x 0
f x, 0 f 0, 0 lim x 0 x0
x 2 lim x sin 1 0 x 0 x2
5
班级
学号
姓名
f y( 0 , 0 )
y2 f ( 0 ,y ) f (0, 0) lim lim y 0 y 0 y 0 y
y s i n
8. 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形： （1） x 2 ； （3） x y 4 ；
2 2
（2） y x 1 ； （4） x y 2 x （补充题）
2 2
解：见下表 方程 平面解析几何中 平行于 y 轴的直线 直线 圆（曲线） 双曲线 空间解析几何中 平行于 y0z 面的平面 平行于 z 轴的平面 圆柱面（母线平行 z 轴） 双曲柱面（母线平行 z 轴）
微积分模拟试题
微积分模拟试题1. 函数f(x) = x^2 + 3x - 2。
求f(x)的导函数f'(x)。
解答：首先，我们知道对于任意一元函数f(x)，导函数f'(x)表示了函数在某点的切线斜率。
对于二次函数f(x) = x^2 + 3x - 2，我们可以使用求导法则来求导。
使用幂函数的求导法则，我们将幂次降低1，并将指数乘以原来的系数，得到f'(x) = 2x + 3。
因此，函数f(x)的导函数f'(x)为2x + 3。
2. 求函数f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 1的驻点和拐点。
解答：驻点是指导函数f'(x)等于零的点，而拐点则是指二阶导函数f''(x)等于零的点。
首先，我们求解导函数f'(x) = 0，得到2x^2 - 4x + 1 = 0。
使用求根公式，我们可以求得x = (4 ± √12) / 4。
然后，我们求解二阶导函数f''(x)，得到f''(x) = 6x - 4。
将驻点x带入f''(x)中，我们可以求得两个拐点x = (√3 ± 1) / 3。
因此，函数f(x)的驻点为x = (4 ± √12) / 4，拐点为x = (√3 ± 1) / 3。
3. 函数f(x) = 2x^2 - 6x - 3在区间[-1, 3]上是否有极值？如果有，请求出该极值点。
解答：在区间[-1, 3]上，我们可以使用极值存在的充分条件：函数在该区间内的导函数的值在该点的左右两侧有不同的符号。
首先，计算导函数f'(x) = 4x - 6。
接下来，我们计算导函数在区间端点-1和3的值。
f'(-1) = -10，f'(3) = 6。
由于f'(-1)和f'(3)的符号相反，因此函数f(x)在区间[-1, 3]上存在极值点。
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，《微积分二》模拟题（开卷）（补）
一． 计算题
1. 求定积分:
2. 1201201x sin ,cos ,sin cos a 4=sin cos =ab a A y b A a A b AdA b a A b AdA ππ==∙=∙⎰
⎰
令因为π所以所求椭圆的面积4π 3．
4． 求y x y x z 2422)3(++=的偏导数。
5．计算 ， 其中区域D 是 所围成的区域。
6. 求定积分:
=1arcsin x C a a
+
7. 求不定积分
2
22211111arctan arctan arctan 222221x dx x x x C x x x x =-=-+++⎰ 8. 判定 -p 级数的 敛散性.
9. 判定级数 的敛散性.
当x 的绝对值小于1.级数收敛，当x 的绝对值大于等于一时，级数发散 .ln 5
1⎰xdx 例1 求椭圆122
22=+b
y a x 的收敛半径和收敛域。
求级数
∑∞=--1213)1(n n n n n
x ⎰⎰D
dxdy xy 22x y x y ==与221.dx a x -⎰∑
∞=-11n n nx .arctan ⎰xdx x
10.计算函数xy e z =在点)1,2(处的全微分. =2
2e dx edy +
11．求微分方程 x
y dx dy -=的通解. cxy=1(c 为任一实数 )
二. 证明题
1. 证明 不存在．
令y=k 3x ，将其代去原式得：32620000lim =lim 1k
x x y y x y k x y →→→→++，而此式的值与k 有关，故极限不存在
2. 求证
8. 计算抛物线y 2=2x 与直线y=x-4所围成的图形的面积
=0
24162238x dx ++=+=⎰ 2. =--→1)12sin(1
lim x x x B A. 1 B. 2 C.1/2 D. 0
7. 当0→x 时，下列变量中与x 2sin 为等价无穷小量的是C A. x B. x C. x 2 D. x 3 判定 -p 级数的 敛散性.
8、在曲线y=x 2
+2x-3上切线斜率为6的点是（ C ）
A:(1，0 ) b:（-3，0 ） c:（2，5 ） d:（-2，-3）
9、曲线y=x/(1- x 2)的渐渐线有（ B ）
2
6300lim y x y
x y x +→→5
)3(lim )2,1(),(=+→y x y x
A:1条 b:2条 c:3条 d:4条
10、下列曲线中有拐点（0，0）的是（ B）A:y= x 2 b: y= x 3 c: y= x4 d: y= x2/3。