高一上学期数学周练13答案

高一上学期数学周练13
一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．
． 1.已知函数()f x 的定义域为[]-2,2，则函数(
)()3g x f x = （ D ）
A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．[]1,1-
C ．123,⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
D ．22,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
2．设⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
-∈3,21,1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有的α的值为 （ A ）
A.1，3
B.-1，1
C.-1，3
D.-1，1，3 3．若幂函数()()
2
24
33m f x m m x -=--在()0,+∞上为减函数，则实数m =
（ B ）
A.41m m ==-或
B.1m =-
C. 21m m ==-或
D. 4m =
4．已知b
a c
b a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛=,2.0log ,313
12
.0，则c b a 、、的大小关系为
（ B ）
A 、c b a <<
B 、b a c <<
C 、b c a <<
D 、a c b <<
5．已知函数()()log 4(0a f x ax a =->且1a ≠)在[]0,2上单调递减,则a 的取值范围是 （ B ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()0,2 D ．[)2,+∞
6．已知函数()()()()21,11log ,013a
a x x f x x x ⎧->⎪
=⎨-<≤⎪⎩
，当1>0x ，20x >，且12
x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是 （ C ）
A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 7．函数()ln 1f x x =-的图象大致是 （ B ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知函数()3
122
x
x
f x x =+-，若()()2
120f a f a -+≤，则实数a 的取值范围为 （ D ）
春雨
教
育
A. (]1,1,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭
B. 1,12⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦ C. [)1,1,2⎛
⎤-∞-+∞ ⎥⎝
⎦ D.
11,2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）
9．（多选）下列各式比较大小，正确的是 （ BC ）
A ．1.72.5＞1.7
3 B ．24
331()22
-> C ．1.70.3＞0.93.1
D ．23
3423()()34
>
10．（多选）若,,()()(y)x y R f x y f x f ∀∈+=+有，则函数()f x 满足 （ ACD ）
A． (0)0f = B．为偶函数()f x C．()f x 为奇函数 D．(2020)2020(1)f f = 11．（多选）下列说法正确的是 （ ABD ）
A ．函数()2
4f x x x =-在区间()2,+?上单调递增
B ．函数()2
4x
x
f x e -=在区间()2,+?
上单调递增
C ．函数()()2
ln 4f x x x =-在区间()2,+?上单调递增
D ．若函数()()1f x x ax =-在区间()0,+?上单调递增，则0a ≤
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数“为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=．已知函
数1
()12
=-+x x
e f x e ，则关于函数()[()]g x f x =的叙述中正确的是 ( BC )
A．()g x 是偶函数 B．()f x 是奇函数
C．()f x 在R 上是增函数
D．()g x 的值域是{}1,0,1-
【解析】选BC ()()()1
11[012e g f e ==-=+，1
111(1)[(1)][[]112121e g f e e
-=-=-=-=-++，
()()11g g ∴≠-，则()g x 不是偶函数，故A 错误； 1
()12
=-
+x x e f x e 的定义域为R ， 111()()11121211x
x
x x x x x x e e e e f x f x e e e e
---+=-+-=+-++++11011x x x
e e e
=+-=++，()f x ∴为奇函数，故B 正确； 111111
()121221x x x x
x
e e
f x e e e +-=-=-=-+++， 又x e 在R 上单调递增，11
()21x
f x e ∴=-+在R 上是增函数，故C 正确；
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0x e > ，11x e ∴+>，则1
011x e <
<+，可得11112212x e -<-<+，即11()22
f x -<<． ()[()]{1
g x f x ∴=∈-，0}，故D 错误．故选BC.
三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．
． 13．已知定义在R 上的奇函数，当0x <时有3()2x f x x =-+，则()f x =____332,0
0,02,0x x x x x x x -⎧+>⎪
=⎨⎪-+<⎩
_____
14．若关于x 的函数12
(log )x y a =是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是
1
(,1)2
． 15
．设函数2()log )f x x =，若对任意的(1,)x ∈-+∞，不等式(ln )(24)0f x a f x -++<恒成立，则a 的取值范围是___(0,]e ____.
16．设函数()(
)()2,1
42,1x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩. ①若1a =，则()f x 的最小值为
____1-___；
②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是___[)1,12,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
____.
四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=4log 8log 22x x x f ，1
44
x ≤≤，
(1)求⎪⎭
⎫
⎝⎛41f 的值(2)若2log t x =，求t 取值范围；(3)求()f x 的最值，并给出最值时对应
的x 的值。

17.解：(1)441-=⎪⎭
⎫
⎝⎛f
(2)441,log 2≤≤=x x t 4log 4
1
log 22≤≤∴t
即22≤≤-t
(3)()()()6log log 4log log log 8log 22
22222-+=-⋅+=x x x x x f
令 2log (22)t x t =-≤≤，则4252162
2
-⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=-+=t t t y
∴当 12t =-
即1221log ,222
x x -=-==时，()425min -=x f
当42==x t 即时， ()0max =x f
18.已知幂函数()y f x =
的图象过点2,2⎛⎫
⎪⎝⎭
.（1）求此函数的解析式；
（2）证明：函数()f x 在()0,∞+上是单调递减函数；
（3）判断函数()f x 的奇偶性，并加以证明.
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18.解：（1）设幂函数为()f x x α
=，∵()f x
的图象过点2,
2⎛⎫
⎪⎝⎭
， ∴(
)222
f α
==，解得12α=-，∴()12f x x -
=，
（2）任取12,(0,)x x ∈+∞且12x x <，则
()(
)112
2
21210f x f x x x -
-
-=-=-=<，
∴()()12f x f x >，
∴函数()f x 在()0,∞+上是单调递减函数；
（3）函数的定义域为()0,∞+不关于原点对称，
∴函数既不是奇函数也不是偶函数.
19．定义在[4,4]-上的奇函数()f x ，已知当[4,0]x ∈-时，1()43x x
a
f x =+． （1）求()f x 在[0,4]上的解析式； （2）若[2,1]x ∃∈--使不等式1
1()23x x m f x -≤
-成立，求实数m 的取值范围． 19.解：（1）因为()f x 是定义在[4,4]-上的奇函数，[4,0]x ∈-时，1()43
x x a
f x =+，
所以001(0)043a f =+=，解得1a =-，所以[4,0]x ∈-时，11
()43
x x f x =-，
当[0,4]x ∈时，[4,0]x -∈-，所以11()4343
x x
x x f x ---=-=-，又()()f x f x -=-，
所以()43-=-x x f x ，()34x x f x =-，即()f x 在[0,4]上的解析式为()34x x f x =-.
（2）因为[2,1]x ∈--时，11
()43
x x f x =-，
所以11()23x x m f x -≤-可化为1111
4323
x x x x m --≤-，整理得
1121222323+⎛⎫⎛⎫≥+=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
x
x
x x x m ，
令()12223x
x
g x ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，根据指数函数单调性可得，12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭与23x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭都是减
函数，
所以()g x 也是减函数，()()2
2
max 121722232g x g --⎛⎫⎛⎫
=-=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以172m ≥，
故实数m 的取值范围是17,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
.
20.:已知函数()log a f x x =（0a >，且1a ≠），且()31f =.（1）求a 的值，并写出函数()f x 的定义域；
（2）设函数()()()11g x f x f x =+--，试判断()g x 的奇偶性，并说明理由；
（3）若不等式()()42x x
f t f t ⋅≥-对任意[]1,2x ∈恒成立，求实数t 的取值范围.
20.解：（1）()3log 31a f ==，3a =；()()3log 0f x x x =>
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（2）()()()11g x f x f x =+--∴10
10
x x +>⎧⎨
->⎩ ∴11x -<<()()()()11g x f x f x g x -=--+=- ∴()g x 为奇函数；
（3）()3log f x x =∴()f x 是单调递增函数
()()42x x f t f t ⋅≥-∴420x x t t ⋅≥->
∴()412x x
t +≥∴2114122x x x x
t ≥=++
令122
x
x y =+，[]1,2x ∈时该函数为增函数，
∴min 15222
y =+=∴
12
552
t ≥=
又∵20x t ->∴()
min 22x
t <=.综上2,25t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
.
【点睛】本题主要考查函数的定义域的求法，考查函数的奇偶性的判定，考查不等式的恒成立问题和函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21．已知函数1
2
1()log 1ax
f x x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数. （1）求a 的值；
（2）当(1,)x ∈+∞时，12
()log (1)f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围；
（3）若关于x 的方程12
()log ()f x x k =+在[2,3]上有解，求k 的取值范围.
21．解：（1）∵函数()f x 的图象关于原点对称，∴函数()f x 为奇函数，
∴()()f x f x -=-， 即1
11222
111log log log 111ax ax
x x x ax +--=-=----， 解得1a =-或1a =（舍）；
（2）()()()()11
112222
1log 1log log 1log 11x
f x x x x x ++-=+-=+-， 当1x >时，()12
log 11x +<-，
∵当()1,x ∈+∞时，()()12
log 1f x x m +-<恒成立， ∴1m ≥-；
（3）由（1）知，()()12log f x x k =+，即()()1122
1log log 1x f x x k x +==+-， 即
11x x k x +=+-,即2
11
k x x =-+-在[]2,3上有解， 因为()2
11
g x x x =
-+-在[]2,3上单调递减，所以()g x 的值域为[]1,1-， ∴[]1,1k ∈-.
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22．设函数()()1x
x
f x a k a
-=--，(0a >且1a ≠)是定义域为R 的奇函数，且()312
f =
. （1）求k ，a 的值；（2）求函数()f x 在[)1,+∞上的值域； （3）设()()222x
x g x a
a m f x -=+-⋅，若()g x 在[)1,+∞上的最小值为2-，求m 的值；
（4）对于（3）中函数()g x ，如果()0g x >在[)1,+∞上恒成立，求m 的取值范围. 22．解：（1）∵函数()()1x
x
f x a k a
-=--，(0a >且1a ≠)是定义域为R 的奇函数，
∴()00f =，即()110k --=，2k =，
∵()3
12f =
.∴132
a a -=，2a =， ∴2a =，2k =，
（2）1
()22
22x
x
x x f x -=-=-
是增函数， ∴1≥x 时，13()222f x ≥-=，即值域中3,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
；
（3）()()2222222x x x x
g x m --=+--，
设22x x t -=-，[)1,x ∈+∞，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，
∴()2
22k t t mt =-+，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
，
∵若()g x 在[)1,+∞上的最小值为2-，
∴()2
22k t t mt =-+，3,2
t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
的最小值为2-，
∴232
22m m ⎧≥⎪⎨⎪-+=-⎩或32
93224m m ⎧
<⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩ 即2m =，或25
12
m =(舍去)，故2m =； （4）()2
22k t t mt =-+，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
，∵()0g x >在[)1,+∞上恒成立，
∴()0k t >在3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，∴232
20m m ⎧≥⎪⎨⎪-+>⎩或32
93204m m ⎧
<⎪⎪⎨⎪-+>⎪
⎩， 解不等式得出x ∈∅或1712m <
，∴m 的取值范围为17,12⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭. 【点睛】方法点睛：本题考查指数函数的性质，考查奇偶性，由奇偶性同函数解析式，由单调性是函数的值域，在求函数()g x 的最值问题，不等式恒成立问题时，解题方法是换元法，即设22
x
x
t -=-，把指数函数转化为二次函数，然后利用二
次函数性质求解．
春雨
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育。