2019年高考数学专题复习含解析 (54)
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1 5 5 P2<ξ<2＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝ . 6
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
答案
结论探究
举例说明条件下，求 5ξ－1 的分布列．
解 由举例说明解析得 ξ 的分布列为
所以 5ξ－1 的分布列为
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
答案
1．分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为 1 可求参数的值及检查分布列的正 确性． (2)随机变量 X 所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可 以求随机变量在某个范围内的概率． 提醒：求分布列中的参数值时，要保证每个概率值均为非负数．
本讲一直是高考中的热点内容 .
2020 年将会考查： ①与排列组合及统计 知识结合的分布列；②与独立重复事件 结合的分布列 . 试题以解答题的形式 呈现，以现实生活中的事例为背景进行 考查，试题难度不大，属中档题型.
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
基础知识过关
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
1．离散型随机变量
01 随机变量 ， 随着试验结果变化而变化的变量称为 □ 常用字母 X， Y， ξ， 02 离散型随机变量． η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量，称为□
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
2．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，…，xi，…， xn，X 取每一个值 xi(i＝1,2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，则表 X P x1 p1 x2 … xi … p2 … pi … xn pn
则下列各式正确的是( 2 A．P(ξ＜3)＝ 5 2 C．P(2＜ξ＜4)＝ 5 答案 C
基础知识过关
)
4 B．P(ξ＞1)＝ 5 D．P(ξ＜0.5)＝0
经典题型冲关
课后作业
答案
解析
由离散型随机变量 ξ 的概率分布列得，
1 1 1 1 3 P(ξ＜3)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ， 故 10 5 10 5 5 1 2 3 A 错误；P(ξ＞1)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝ ＋ ＝ ，故 B 错误；P(2＜ξ＜4)＝P(ξ 5 5 5 2 1 1 3 ＝3)＝ ， 故 C 正确； P(ξ＜0.5)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＝ ＋ ＝ ， 故 D 错误． 5 10 5 10
[考纲解读]
1.理解取有限个值的离散
型随机变量及其分布列的概念，了解分 布列对于刻画随机现象的重要性． 2.能确定随机变量，求出随机变量发生 的概率， 正确列出分布列． (重点、 难点) 3.理解超几何分布，并能进行简单的应 用．
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
[考向预测 ]
从近三年高考情况来看， 预测
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
解析
(3)设随机变量 X 的分布列如下：
则 p 为( 1 A. 6
答案 C
) 1 B. 3 1 C. 4 1 D. 12
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
答案
解析
1 1 1 1 由分布列的性质得， ＋ ＋ ＋ ＋p＝1， 12 6 3 6
1 解得 p＝ . 4
基础知识过关
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
解析
2．设 X 是一个离散型随机变量，其分布列为：
则 q 的值为( A．1 3 33 C. － 2 6
答案 C
基础知识过关
) 3 33 B. ± 2 6 3 33 D. ＋ 2 6
经典题型冲关
课后作业
答案
解析
2－3q≥0， q2≥0， 由分布列的性质知 1 2 ＋ 2 － 3 q ＋ q ＝1， 3
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
解 由已知分布列为：
1 (1)由 a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得 a＝ . 15
3 3 4 3 4 5 4 (2)Pξ≥5＝Pξ＝5＋Pξ＝5＋P(ξ＝1)＝ ＋ ＋ ＝ . 15 15 15 5 1 3 2 2 4 ξ ≥ ξ ≤ ＋ 或 P ＝ 1 － P ＝ 1 － ＝ . 5 5 15 15 5
基础知过关
经典题型冲关
课后作业
答案
解析
经典题型冲关
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
题型 一 离散型随机变量分布列的性质
k Pξ＝5 ＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
设随机变量 ξ 的分布列 (1)求常数 a 的值； (2)求 (3)求
3 P ξ≥ ； 5 1 7 < ξ < P . 10 10
基础知识过关 经典题型冲关 课后作业
答案
(2)随机变量 X 服从超几何分布，X 的可能取值为 0,1,2. ∵在 20 名学生中，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有 8 名，
1 1 C2 33 C 48 12 8C12 ∴P(X＝0)＝ 2 ＝ ，P(X＝1)＝ 2 ＝ ， C20 95 C20 95
01 概率分布列 ，简称为 X 的□ 02 分布列 ，有 称为离散型随机变量 X 的 □ 03 P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n 表示 X 的分 时为了表达简单，也用等式 □
布列．
基础知识过关 经典题型冲关 课后作业
(2)离散型随机变量的分布列的性质 04 pi≥0(i＝1,2，…，n) ； ①□ ②
1 2 3 2 ＝ ＋ ＋ ＝ . 15 15 15 5
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
答案
条件探究 求
a 若将举例说明条件变为“P(ξ＝n)＝ (n＝1,2,3,4)．” nn＋1
1 5 < ξ < P 的值． 2 2
a 解 ∵P(ξ＝n)＝ . nn＋1 a a a a 5 ∴ ＋ ＋ ＋ ＝1，∴a＝ . 2 6 12 20 4
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
解 (1)用 A 表示“从这 20 名参加测试的学生中随机抽取一人， 抽到语言 表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”， ∵语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有(6＋n)名， 6＋n 2 ∴P(A)＝ ＝ ，解得 n＝2， 20 5 ∴m＝4， 用 B 表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取 2 名，其 中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生”， C2 7 6 ∴P(B)＝1－ 2＝ . C9 12
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
答案
2 C1 C 12 4 3 P(X＝2)＝ 3 ＝ ， C7 35
C3 1 3 P(X＝3)＝ 3＝ ， C7 35 ∴X 的分布列为
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
答案
1．超几何分布的两个特点 (1)超几何分布是不放回抽样问题． (2)随机变量为抽到的某类个体的个数． 2．超几何分布的应用条件 (1)考察对象分两类． (2)已知各类对象的个数． (3)从中抽取若干个个体，考察某类个体个数 ξ 的概率分布．
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
3．求超几何分布的分布列的步骤
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
某高校一专业在一次自主招生中，对 20 名已经选拔入围的学生进行语 言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
由于部分数据丢失， 只知道从这 20 名参加测试的学生中随机抽取一人， 2 抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为 . 5 (1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取 2 名，求其中至 少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率； (2)从参加测试的 20 名学生中任意抽取 2 名，设语言表达能力优秀或逻 辑思维能力优秀的学生人数为 X，求随机变量 X 的分布列．
C2 14 8 P(X＝2)＝ 2 ＝ ，∴X 的分布列为 C20 95 X 0 33 P 95
基础知识过关 经典题型冲关
1 2 48 14 95 95
课后作业
答案
题型 三 求离散型随机变量的分布列 角度 1 与互斥事件有关的分布列问题
基础知识过关 经典题型冲关 课后作业
答案
1 7 1 2 3 (3)因为 <ξ< 只有 ξ＝ ， ， 满足， 10 10 5 5 5 故
1 7 < ξ < P 10 10
1 2 3 ξ ＝ ξ ＝ ξ ＝ ＝P ＋ P ＋ P 5 5 5
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
解 (1)设事件 A：选派的 3 人中恰有 2 人会法语，
2 1 C5 C2 4 则 P(A)＝ 3 ＝ . C7 7
(2)依题意知，X 服从超几何分布，X 的可能取值为 0,1,2,3， C3 4 4 P(X＝0)＝ 3＝ ， C7 35
1 C2 C 18 4 3 P(X＝1)＝ 3 ＝ ， C7 35
经典题型冲关
课后作业
解析
(4)从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，则所选 3 人中女 生人数不超过 1 人的概率是________．
4 答案 5
解析 设所选女生人数为 x，则 x 服从超几何分布，
其中 N＝6，M＝2，n＝3，则
0 3 1 2 C2 C4 C2 C4 4 P(x≤1)＝P(x＝0)＋P(x＝1)＝ 3 ＋ 3 ＝ . C6 C6 5
，k＝0,1,2，…，m，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，
M≤N，n，M，N∈N*.
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
如果随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几 何分布．
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
1．概念辨析 (1)随机试验的结果与随机变量是一种映射关系， 即每一个试验结果都有 唯一的随机变量的值与之对应. ( √ ) (2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( √ )
答案 C
解析 由于只有 2 件次品，所以 ξ 的可能取值为 0,1,2.
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
答案
解析
(2)抛掷两枚质地均匀的硬币，则正面向上的个数 X 的分布列为(
)
答案 C
基础知识过关 经典题型冲关 课后作业
答案
1 解析 因为 P(X＝1)＝ ，所以 A，B 不正确；又因为 2 P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝1.所以 D 不正确，故选 C.
05 pi＝1 □ i 1
＝
n
.
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
3．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量 X 服从两点分布，即其分布列为
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
(2)超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中， 任取 n 件， 其中恰有 X 件次品， 则 P(X
n－k Ck C M N－M 02 □ n C N ＝k)＝
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
(3)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个 值的概率之和．( √ ) (4)若随机变量 X 的分布列由下表给出， X P 则它服从两点分布．( × ) 2 0.3 5 0.7
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
2．小题热身 (1)已知 8 件产品中有 2 件次品，从中任取 3 件，取到次品的件数为随 机变量 ξ，那么 ξ 的可能取值为( A．0,1 C．0,1,2 B．1,2 D．0,1,2,3 )
3 33 解得 q＝ － . 2 6
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
解析
题型 二 超几何分布 (2018· 济南模拟)某外语学校的一个社团中有 7 名同学， 其中 2 人只会法 语，2 人只会英语，3 人既会法语又会英语，现选派 3 人到法国的学校交流 访问．求： (1)在选派的 3 人中恰有 2 人会法语的概率； (2)在选派的 3 人中既会法语又会英语的人数 X 的分布列．
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
2．随机变量 X 的线性组合的概率及分布列问题 (1)随机变量 X 的线性组合 η＝aX＋b(a，b∈R)是随机变量． (2)求 η＝aX＋b 的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概 率写出分布列.
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
1．设离散型随机变量 ξ 的分布列如下表所示：
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
答案
结论探究
举例说明条件下，求 5ξ－1 的分布列．
解 由举例说明解析得 ξ 的分布列为
所以 5ξ－1 的分布列为
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
答案
1．分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为 1 可求参数的值及检查分布列的正 确性． (2)随机变量 X 所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可 以求随机变量在某个范围内的概率． 提醒：求分布列中的参数值时，要保证每个概率值均为非负数．
本讲一直是高考中的热点内容 .
2020 年将会考查： ①与排列组合及统计 知识结合的分布列；②与独立重复事件 结合的分布列 . 试题以解答题的形式 呈现，以现实生活中的事例为背景进行 考查，试题难度不大，属中档题型.
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课堂合作研究
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课后课时精练
基础知识过关
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1．离散型随机变量
01 随机变量 ， 随着试验结果变化而变化的变量称为 □ 常用字母 X， Y， ξ， 02 离散型随机变量． η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量，称为□
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2．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，…，xi，…， xn，X 取每一个值 xi(i＝1,2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，则表 X P x1 p1 x2 … xi … p2 … pi … xn pn
则下列各式正确的是( 2 A．P(ξ＜3)＝ 5 2 C．P(2＜ξ＜4)＝ 5 答案 C
基础知识过关
)
4 B．P(ξ＞1)＝ 5 D．P(ξ＜0.5)＝0
经典题型冲关
课后作业
答案
解析
由离散型随机变量 ξ 的概率分布列得，
1 1 1 1 3 P(ξ＜3)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ， 故 10 5 10 5 5 1 2 3 A 错误；P(ξ＞1)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝ ＋ ＝ ，故 B 错误；P(2＜ξ＜4)＝P(ξ 5 5 5 2 1 1 3 ＝3)＝ ， 故 C 正确； P(ξ＜0.5)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＝ ＋ ＝ ， 故 D 错误． 5 10 5 10
[考纲解读]
1.理解取有限个值的离散
型随机变量及其分布列的概念，了解分 布列对于刻画随机现象的重要性． 2.能确定随机变量，求出随机变量发生 的概率， 正确列出分布列． (重点、 难点) 3.理解超几何分布，并能进行简单的应 用．
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[考向预测 ]
从近三年高考情况来看， 预测
基础知识过关
经典题型冲关
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解析
(3)设随机变量 X 的分布列如下：
则 p 为( 1 A. 6
答案 C
) 1 B. 3 1 C. 4 1 D. 12
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答案
解析
1 1 1 1 由分布列的性质得， ＋ ＋ ＋ ＋p＝1， 12 6 3 6
1 解得 p＝ . 4
基础知识过关
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解析
2．设 X 是一个离散型随机变量，其分布列为：
则 q 的值为( A．1 3 33 C. － 2 6
答案 C
基础知识过关
) 3 33 B. ± 2 6 3 33 D. ＋ 2 6
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解析
2－3q≥0， q2≥0， 由分布列的性质知 1 2 ＋ 2 － 3 q ＋ q ＝1， 3
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解 由已知分布列为：
1 (1)由 a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得 a＝ . 15
3 3 4 3 4 5 4 (2)Pξ≥5＝Pξ＝5＋Pξ＝5＋P(ξ＝1)＝ ＋ ＋ ＝ . 15 15 15 5 1 3 2 2 4 ξ ≥ ξ ≤ ＋ 或 P ＝ 1 － P ＝ 1 － ＝ . 5 5 15 15 5
基础知过关
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答案
解析
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题型 一 离散型随机变量分布列的性质
k Pξ＝5 ＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
设随机变量 ξ 的分布列 (1)求常数 a 的值； (2)求 (3)求
3 P ξ≥ ； 5 1 7 < ξ < P . 10 10
基础知识过关 经典题型冲关 课后作业
答案
(2)随机变量 X 服从超几何分布，X 的可能取值为 0,1,2. ∵在 20 名学生中，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有 8 名，
1 1 C2 33 C 48 12 8C12 ∴P(X＝0)＝ 2 ＝ ，P(X＝1)＝ 2 ＝ ， C20 95 C20 95
01 概率分布列 ，简称为 X 的□ 02 分布列 ，有 称为离散型随机变量 X 的 □ 03 P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n 表示 X 的分 时为了表达简单，也用等式 □
布列．
基础知识过关 经典题型冲关 课后作业
(2)离散型随机变量的分布列的性质 04 pi≥0(i＝1,2，…，n) ； ①□ ②
1 2 3 2 ＝ ＋ ＋ ＝ . 15 15 15 5
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答案
条件探究 求
a 若将举例说明条件变为“P(ξ＝n)＝ (n＝1,2,3,4)．” nn＋1
1 5 < ξ < P 的值． 2 2
a 解 ∵P(ξ＝n)＝ . nn＋1 a a a a 5 ∴ ＋ ＋ ＋ ＝1，∴a＝ . 2 6 12 20 4
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解 (1)用 A 表示“从这 20 名参加测试的学生中随机抽取一人， 抽到语言 表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”， ∵语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有(6＋n)名， 6＋n 2 ∴P(A)＝ ＝ ，解得 n＝2， 20 5 ∴m＝4， 用 B 表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取 2 名，其 中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生”， C2 7 6 ∴P(B)＝1－ 2＝ . C9 12
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答案
2 C1 C 12 4 3 P(X＝2)＝ 3 ＝ ， C7 35
C3 1 3 P(X＝3)＝ 3＝ ， C7 35 ∴X 的分布列为
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答案
1．超几何分布的两个特点 (1)超几何分布是不放回抽样问题． (2)随机变量为抽到的某类个体的个数． 2．超几何分布的应用条件 (1)考察对象分两类． (2)已知各类对象的个数． (3)从中抽取若干个个体，考察某类个体个数 ξ 的概率分布．
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3．求超几何分布的分布列的步骤
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某高校一专业在一次自主招生中，对 20 名已经选拔入围的学生进行语 言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：
基础知识过关
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由于部分数据丢失， 只知道从这 20 名参加测试的学生中随机抽取一人， 2 抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为 . 5 (1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取 2 名，求其中至 少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率； (2)从参加测试的 20 名学生中任意抽取 2 名，设语言表达能力优秀或逻 辑思维能力优秀的学生人数为 X，求随机变量 X 的分布列．
C2 14 8 P(X＝2)＝ 2 ＝ ，∴X 的分布列为 C20 95 X 0 33 P 95
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1 2 48 14 95 95
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答案
题型 三 求离散型随机变量的分布列 角度 1 与互斥事件有关的分布列问题
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答案
1 7 1 2 3 (3)因为 <ξ< 只有 ξ＝ ， ， 满足， 10 10 5 5 5 故
1 7 < ξ < P 10 10
1 2 3 ξ ＝ ξ ＝ ξ ＝ ＝P ＋ P ＋ P 5 5 5
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解 (1)设事件 A：选派的 3 人中恰有 2 人会法语，
2 1 C5 C2 4 则 P(A)＝ 3 ＝ . C7 7
(2)依题意知，X 服从超几何分布，X 的可能取值为 0,1,2,3， C3 4 4 P(X＝0)＝ 3＝ ， C7 35
1 C2 C 18 4 3 P(X＝1)＝ 3 ＝ ， C7 35
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解析
(4)从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，则所选 3 人中女 生人数不超过 1 人的概率是________．
4 答案 5
解析 设所选女生人数为 x，则 x 服从超几何分布，
其中 N＝6，M＝2，n＝3，则
0 3 1 2 C2 C4 C2 C4 4 P(x≤1)＝P(x＝0)＋P(x＝1)＝ 3 ＋ 3 ＝ . C6 C6 5
，k＝0,1,2，…，m，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，
M≤N，n，M，N∈N*.
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如果随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几 何分布．
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1．概念辨析 (1)随机试验的结果与随机变量是一种映射关系， 即每一个试验结果都有 唯一的随机变量的值与之对应. ( √ ) (2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( √ )
答案 C
解析 由于只有 2 件次品，所以 ξ 的可能取值为 0,1,2.
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答案
解析
(2)抛掷两枚质地均匀的硬币，则正面向上的个数 X 的分布列为(
)
答案 C
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答案
1 解析 因为 P(X＝1)＝ ，所以 A，B 不正确；又因为 2 P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝1.所以 D 不正确，故选 C.
05 pi＝1 □ i 1
＝
n
.
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3．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量 X 服从两点分布，即其分布列为
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(2)超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中， 任取 n 件， 其中恰有 X 件次品， 则 P(X
n－k Ck C M N－M 02 □ n C N ＝k)＝
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(3)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个 值的概率之和．( √ ) (4)若随机变量 X 的分布列由下表给出， X P 则它服从两点分布．( × ) 2 0.3 5 0.7
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2．小题热身 (1)已知 8 件产品中有 2 件次品，从中任取 3 件，取到次品的件数为随 机变量 ξ，那么 ξ 的可能取值为( A．0,1 C．0,1,2 B．1,2 D．0,1,2,3 )
3 33 解得 q＝ － . 2 6
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解析
题型 二 超几何分布 (2018· 济南模拟)某外语学校的一个社团中有 7 名同学， 其中 2 人只会法 语，2 人只会英语，3 人既会法语又会英语，现选派 3 人到法国的学校交流 访问．求： (1)在选派的 3 人中恰有 2 人会法语的概率； (2)在选派的 3 人中既会法语又会英语的人数 X 的分布列．
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课后作业
2．随机变量 X 的线性组合的概率及分布列问题 (1)随机变量 X 的线性组合 η＝aX＋b(a，b∈R)是随机变量． (2)求 η＝aX＋b 的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概 率写出分布列.
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课后作业
1．设离散型随机变量 ξ 的分布列如下表所示：