2018年高考考点完全题数学理专题突破练习题_6 圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题 含答案 精品
圆锥曲线—定点、定值专项训练题
圆锥曲线—定点、定值专项训练题1．过抛物线y =ax 2(a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于 （ ）A ．2aB ． a 21C ．4aD ． a4 【答案】C 【解析】试题分析：y =ax 2化为标准形式即21x y a =，其焦点为（0，14a）。
解答此题可利用极限（端）思想，假定PQ 垂直于抛物线的轴，将14y a =代入方程得12x a =±，即12p q a==，故qp 11+=4a 。
若直接解答，方法多种，均较为复杂。
故选C 。
考点：本题主要考查抛物线的标准方程、几何性质，考查直线与抛物线的位置关系。
点评：解答此题利用极限（端）思想，从而达到了化难为易，化繁为简的目的。
20．已知椭圆2221(5)25x y a a +=>的两焦点分别是1F ，2F ，且∣12F F ∣=8,弦AB 过1F ，则2ABF ∆的周长是（ ）A.10B.20C.D.【答案】D 【解析】试题分析：设半焦距是c ，则有2c=|12F F |=8，c=4，222a b c =+=41，AB 2F 的周长，只需把AB 分成1AF ，1F B1AF +A 2F ＝2a ，B 1F +B 2F ＝2a所以2ABF ∆的周长是D 。
考点：主要考查椭圆的定义。
点评：注意分析图形特征，正确运用椭圆定义。
此类题为常考题目。
48．P 是双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，左支上的一点，12F F ，为其左、右焦点，且焦距为2c ，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标为 ．【答案】a - 【解析】试题分析：由已知，双曲线两焦点为12(,0)F F c (-c,0)， 。
设12PF F △的内切圆圆心为'(,)O x y ，过'O 分别作1PF ，212,PF F F 的垂线，垂足分别为E,F,G ，由双曲线定义平面几何知识得21212||||||||a PF PF F G FG =-=-=()()c x c x --+=2x -，所以x a =-，即12PF F △的内切圆圆心的横坐标为a -。
2018年高考数学(理)总复习达标检测(四十三)圆锥曲线的综合问题——定点、定值、探索性问题含答案
高考达标检测（四十三）圆锥曲线的综合问题——定点、定值、探索性问题1．(2017·汕头期末联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点， A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点．解：(1)因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为(1,0)， 所以p2＝1，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，－t . 因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以t t 24·－t t 24＝－12，化简得t 2＝32.所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8. ②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋b消去x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0.根据根与系数的关系得y A y B ＝4bk，因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以y A x A ·y B x B ＝－12，即x A x B ＋2y A y B ＝0. 即y 2A 4·y 2B4＋2y A y B ＝0， 解得y A y B ＝0(舍去)或y A y B ＝－32. 所以y A y B ＝4bk＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，即y ＝k (x －8)．综上所述，直线AB 过定点(8,0)．2．(2017·甘肃张掖一诊)已知椭圆x 2a ＋y 2b＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝25，点P 为椭圆短轴的端点，且△PF 1F 2的面积为2 5.(1)求椭圆的方程；(2)点Q 是椭圆上任意一点，A (45，6)，求|QA |－|QF 1|的最小值； (3)点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，423是椭圆上的一定点，B 1，B 2是椭圆上的两动点，且直线BB 1，BB 2关于直线x ＝1对称，试证明直线B 1B 2的斜率为定值．解：(1)由题意可知c ＝5，S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|×b ＝25，所以b ＝2，求得a ＝3，故椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)由(1)得|QF 1|＋|QF 2|＝6，F 1(－5，0)，F 2(5，0)． 那么|QA |－|QF 1|＝|QA |－(6－|QF 2|) ＝|QA |＋|QF 2|－6， 而|QA |＋|QF 2|≥|AF 2|＝5－52＋－2＝9，所以|QA |－|QF 1|的最小值为3.(3)设直线BB 1的斜率为k ，因为直线BB 1与直线BB 2关于直线x ＝1对称， 所以直线BB 2的斜率为－k ，所以直线BB 1的方程为y －423＝k (x －1)，设B 1(x 1，y 1)，B 2(x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y －423＝k x －，x 29＋y 24＝1，可得(4＋9k 2)x 2＋6k (42－3k )x ＋9k 2－242k －4＝0， 因为该方程有一个根为x ＝1，所以x 1＝9k 2－242k －44＋9k 2， 同理得x 2＝9k 2＋242k －44＋9k 2， 所以kB 1B 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k x 1－＋423－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－k x 2－＋423x 1－x 2＝k x 1＋x 2－2kx 1－x 2＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫9k 2－242k －44＋9k 2＋9k 2＋242k －44＋9k 2－2k 9k 2－242k －44＋9k 2－9k 2＋242k －44＋9k2＝26， 故直线B 1B 2的斜率为定值26. 3．(2016·合肥质检)设A ，B 为抛物线y 2＝x 上相异两点，其纵坐标分别为1，－2， 分别以A ，B 为切点作抛物线的切线l 1，l 2，设l 1，l 2相交于点P .(1)求点P 的坐标；(2)M 为A ，B 间抛物线段上任意一点，设PM ―→＝λPA ―→＋μPB ―→，试判断λ＋μ是否为定值？如果为定值，求出该定值，如果不是定值，请说明理由．解：(1)由题知A (1,1)，B (4，－2)， 设点P 的坐标为(x p ，y p )，切线l 1：y －1＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝kx －，y 2＝x ，由抛物线与直线l 1相切，解得k ＝12，即l 1：y ＝12x ＋12，同理，l 2：y ＝－14x －1.联立l 1，l 2的方程，可解得⎩⎪⎨⎪⎧x p ＝－2，y p ＝－12，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12. (2)设M (y 20，y 0)，且－2≤y 0≤1. 由PM ―→＝λPA ―→＋μPB ―→得⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20＋2，y 0＋12＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32＋μ⎝⎛⎭⎪⎫6，－32， 即⎩⎪⎨⎪⎧y 20＋2＝3λ＋6μ，y 0＋12＝32λ－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝y 0＋29，μ＝y 0－29，则λ＋μ＝y 0＋23＋1－y 03＝1，即λ＋μ为定值1.4．(2017·河北质量检测)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点为F (c,0)，且a ＞b ＞c ＞0，设短轴的一个端点为D ，原点O 到直线DF 的距离为32，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于C ，G 两点，且|GF ―→|＋|CF ―→|＝4.(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点A ，B 且使得OP ―→2＝4PA ―→·PB ―→成立？若存在，试求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由椭圆的对称性知|GF ―→|＋|CF ―→|＝2a ＝4， ∴a ＝2.又原点O 到直线DF 的距离为32， ∴bc a ＝32，∴bc ＝3， 又a 2＝b 2＋c 2＝4，a ＞b ＞c ＞0， ∴b ＝3，c ＝1.故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 与x 轴垂直时不满足条件． 故可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1，代入椭圆方程得 (3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0， ∴Δ＝32(6k ＋3)＞0， ∴k ＞－12.x 1＋x 2＝8kk －3＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k2， ∵OP ―→2＝4PA ―→·PB ―→，即4[(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)]＝5， ∴4(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝5， 即4[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝5， ∴4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k k －3＋4k 2＋4(1＋k 2)＝4×4＋4k23＋4k2＝5，解得k ＝±12，k ＝－12不符合题意，舍去．∴存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝12x .。
专题4.2 圆锥曲线中的定点、定值问题通关-备战2018高考数学“棘手”问题大归纳与大通透(原卷版)
第一类 圆锥曲线的定点问题1．对于椭圆，有如下性质：若点是椭圆上的点，则椭圆在该点处的切线方程为．利用此结论解答下列问题．点是椭圆上的点，并且椭圆在点处的切线斜率为．（1）求椭圆的标准方程； （2）若动点在直线上，经过点的直线，与椭圆相切，切点分别为，．求证：直线必经过一定点．2．已知()2,0A -， ()2,0B ，点C 是动点，且直线AC 和直线BC 的斜率之积为34-． （1）求动点C 的轨迹方程；（2）设直线l 与（1）中轨迹相切于点P ，与直线4x =相交于点Q ，判断以PQ 为直径的圆是否过x 轴上一定点？3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点31,⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，离心率为3． （Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）直线()()10y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点，直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于,P Q 两点，试问在x 轴上是否存在一个定点N 使得NP NQ ⊥?若是，求出定点N 的坐标;若不是，说明理由． 4．已知椭圆 C ：离心率，短轴长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论． 5．已知定点()3,0A -、()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19-，记动点M 的轨迹为曲线C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点()1,0T 的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点(),0S s ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在求出S 坐标；若不存在请说明理由．6．在平面直角坐标系xOy 中，点()11,0F -， ()21,0F ，动点M 满足124OF OM OF OM -+-=． （1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）若直线y kx m =+与轨迹E 有且仅有一个公共点Q ，且与直线4x =-相交于点R ，求证：以QR 为直径的圆过定点1F ．7．已知圆22O :4x y +=，点()1,0,F P 为平面内一动点，以线段FP 为直径的圆内切于圆O ，设动点P 的轨迹为曲线C ． (Ⅰ)求曲线C 的方程；(Ⅱ) ,M N 是曲线C 上的动点，且直线MN 经过定点102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，问在y 轴上是否存在定点Q ，使得MQO NQO ∠=∠，若存在，请求出定点Q ，若不存在，请说明理由．8．已知长度为的线段的两个端点、分别在轴和轴上运动，动点满足，设动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程； （2）过点且斜率不为零的直线与曲线交于两点、，在轴上是否存在定点，使得直线与的斜率之积为常数．若存在，求出定点的坐标以及此常数；若不存在，请说明理由．9．椭圆E ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，左右顶点分别为1A ，2A ，P 为椭圆E 上的动点（不与1A ，2A 重合），且直线1PA 与2PA 的斜率的乘积为34-．（1）求椭圆E 的方程；（2）过2F 作两条互相垂直的直线1l 与2l （均不与x 轴重合）分别与椭圆E 交于A ， B ， C ， D 四点，线段AB 、CD 的中点分别为M 、N ，求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．10．已知直线:1l x my =+过椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点F ，抛物线243x y =的焦点为椭圆C 的上顶点，且l 交椭圆C 于A B 、两点，点A F B 、、在直线:4g x =上的射影依次为D K E 、、． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 交y 轴于点M ，且12,MA AF MB BF λλ==，当m 变化时，证明： 12λλ+为定值； （3）当m 变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．11．椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，若椭圆过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）若,A B 为椭圆的左、右顶点， ()00,P x y （00y ≠）为椭圆上一动点，设直线,AP BP 分别交直线l ：6x =于点,M N ，判断线段MN 为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由．12．已知两点A(20)，2，0)，动点P 在y 轴上的投影是Q ，且22PA PB PQ ⋅=．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过F(1，0)作互相垂直的两条直线交轨迹C 于点G ，H ，M ，N ，且E 1，E 2分别是GH ，MN 的中点．求证：直线E 1E 2恒过定点．13．设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，离心率为2， 12,F F 是椭圆的两个焦点， A 为椭圆上一点且123F AF π∠=， 12F AF ∆ （1）求椭圆的方程；（2）已知点()0,1P ，直线l 不经过点P 且与椭圆交于,B C 两点，若直线PB 与直线PC 的斜率之和为1，证明直线l 过定点，并求出该定点．14．在平面直角坐标系xOy 中，点()1F ，圆222:130F x y +--=，点Q 是圆上一动点，线段1F Q 的中垂线与线段2F Q 交于点P ． （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）若直线l 与曲线E 相交于,A B 两点，且存在点()4,0D （其中,,A B D 不共线），使得ADB ∠被x 轴平分，证明：直线l 过定点．15．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率2e =，且椭圆C 与圆224:3O x y +=的4个交点恰为一个正方形的4个顶点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点A 为椭圆C 的下顶点，,D E 为椭圆C 上与A 不重合的两点，若直线AD 与直线AE 的斜率之和为2a ，试判断是否存在定点G ，使得直线DE 恒过点G ，若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．16．已知长度为AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上运动，动点P 满足2BP PA =，设动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点()4,0且斜率不为零的直线l 与曲线C 交于两点M 、N ，在x 轴上是否存在定点T ，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数．若存在，求出定点T 的坐标以及此常数；若不存在，请说明理由．17．已知椭圆C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆C 与直线24x y +=相切于点3,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：y kx t =+与椭圆相交于A 、B 两点（A ，B 不是长轴端点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 在y 轴正半轴上的顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．18．双曲线()222:103x y C a a +=>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作x 轴垂直的直线交双曲线C 于A B、两点，1F AB ∆的面积为12,抛物线()2:20E y px p =>以双曲线C 的右顶点为焦点．（Ⅰ）求抛物线E 的方程； （Ⅱ）如图，点(),02P P t t ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭为抛物线E 的准线上一点，过点P 作y 轴的垂线交抛物线于点M ，连接PO 并延长交抛物线于点N ，求证：直线MN 过定点．19．直线l 与抛物线22y x =相交于,A B （异于坐标原点）两点． （1）若直线l 的方程为2y x =-，求证： OA OB ⊥；（2）若OA OB ⊥，则直线l 是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；如不是，请说明理由．20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点曲线22:1243x y Γ-=的一个焦点， O 为坐标原点，点M 为抛物线C 上任意一点，过点M 作x 轴的平行线交抛物线的准线于P ，直线OP 交抛物线于点N ． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）求证：直线MN 过定点G ，并求出此定点的坐标． 21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>上一点P 到其焦点F 的距离为32，以P 为圆心且与抛物线准线l 相切的圆恰好过原点O ．点A 是l 与x 轴的交点， ,M N 两点在抛物线上且直线MN 过A 点，过M 点及()1,1B -的直线交抛物线于Q 点．（1）求抛物线C 的方程；（2）求证：直线QN 过一定点，并求出该点坐标．22．如图，已知()11,0F -， ()21,0F 是椭圆C 的左右焦点， B 为椭圆C 的上顶点，点P 在椭圆C 上，直线1PF 与y 轴的交点为M ， O 为坐标原点，且2PM F M =， 34OM =．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点B 作两条互相垂直的直线分别与椭圆C 交于S ， T 两点（异于点B ），证明：直线ST 过定点，并求该定点的坐标．23．已知抛物线C ： 22(01)y px p =<<上的点(),1P m 到其焦点F 的距离为54． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）已知直线l 不过点P 且与C 相交于A ， B 两点，且直线PA 与直线PB 的斜率之积为1，证明： l 过定点．第二类 圆锥曲线的定值问题1．已知动点P 是圆G ： (22632x y ++=上的任意一点，点P 与点)6,0A的连线段的垂直平分线和GP 相交于点Q ． （I ）求点Q 的轨迹C 方程；（II ）过坐标原点O 的直线l 交轨迹C 于点E ， F 两点，直线EF 与坐标轴不重合． M 是轨迹C 上的一点，若EFM ∆的面积是4，试问直线EF ， OM 的斜率之积是否为定值，若是，求出此定值，否则，说明理由．2．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为)3,0F，点()2,0A -在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C的方程与离心率；（Ⅱ）设椭圆C上不与A点重合的两点D，E关于原点O对称，直线AD，AE分别交y轴于M，N 两点．求证：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长是定值．3．已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的长轴长为4，焦距为22．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过动点M（0，m）（m>0）的直线交x轴与点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN 的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B．（i）设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明kk'为定值．（ii）求直线AB的斜率的最小值．4．如图，已知椭圆O：2214xy+=的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点(与y轴交点除外)，直线PC交椭圆于另一点M．(1)当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；(2)记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值．5．在直角坐标系中，曲线与轴交于，两点，点的坐标为，当变化时，解答下列问题： （）能否出现的情况?说明理由．（）证明过，，三点的圆在轴上截得的弦长为定值． 6．在平面直角坐标系中，动点（）到点的距离与到轴的距离之差为1．（1）求点的轨迹的方程； （2）若，过点作任意一条直线交曲线于，两点，试证明是一个定值．7．已知椭圆的离心率为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆的方程; （Ⅱ）经过点与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点，点，直线分别与轴交于两点，记和的面积分别为；那么是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．8．已知椭圆系方程n C ： 2222x y n a b+= (0a b >>，*n N ∈)， 12,F F 是椭圆6C 的焦点， ()63A，是椭圆6C 上一点，且2120AF F F ⋅=．（1）求n C 的离心率并求出1C 的方程；（2）P 为椭圆3C 上任意一点，过P 且与椭圆3C 相切的直线l 与椭圆6C 交于M ， N 两点，点P 关于原点的对称点为Q ，求证： QMN ∆的面积为定值，并求出这个定值．9．已知直线l ：2y x =与圆225x y +=相交的弦长等于椭圆C ：22219x y b+=（03b <<）的焦距长．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 为原点，椭圆C 与抛物线22y px =（0p >）交于M 、N 两点，点P 为椭圆C 上一动点，若直线PM 、PN 与x 轴分别交于G 、H 两点，求证： OG OH ⋅为定值． 10．如图，已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A(1，2)作抛物线C 的弦AP ，AQ ．(1)若AP ⊥AQ ，证明：直线PQ 过定点，并求出定点的坐标；(2)假设直线PQ 过点T(5，－2)，请问是否存在以PQ 为底边的等腰三角形APQ ？若存在，求出△APQ 的个数，若不存在，请说明理由．11．已知抛物线()220x py p =>的焦点到直线:20l x y --=32． (1)求抛物线的标准方程；(2)设点C 是抛物线上的动点，若以点C 为圆心的圆在x 轴上截得的弦长均为4，求证：圆C 恒过定点．12．从椭圆222:1(0)2x y C b b +=>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰好为椭圆的左焦点1F ，M 是椭圆的右顶点，N 是椭圆的上顶点，且(0)MN OP λλ=>． （1）求该椭圆C 的方程；（2）不过原点的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，已知OA ，直线l ， OB 的斜率1k ， 2,k k 成等比数列，记以OA ， OB 为直径的圆的面积分别为12,S S ，求证； 12S S +为定值，并求出定值．13．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点114,24⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，且离心率为22．过点2,2-的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若点P 为椭圆C 的右顶点，探究：PM PN k k +是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．（其中，PM k ，PN k 分别是直线PM 、PN 的斜率）14．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22194x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =．（Ⅰ）求点P 的轨迹方程E ；（Ⅱ）过()1,0F 的直线1l 与点P 的轨迹交于A B 、两点，过()1,0F 作与1l 垂直的直线2l 与点P 的轨迹交于C D 、两点，求证：11AB CD+为定值． 15．已知双曲线2212x y -=的左、右顶点分别为12,A A ，直线:l x p =与双曲线交于,M N ，直线2A M 交直线1A N 于点Q ． （1）求点Q 的轨迹方程；（2）若点Q 的轨迹与矩形ABCD 的四条边都相切，探究矩形ABCD 对角线长是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由．16．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ： 2y kx =+与椭圆C 相交于A ， B 两点，点D 的坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，问直线AD 与BD 的斜率之和AD BD k k +是否为定值？若是，求出该定值，若不是，试说明理由．17．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的离心率为33，点62,3⎫⎪⎪⎭在椭圆上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设AB 是椭圆的一条弦，斜率为()0k k ≠， (),0N t 是x 轴上的一点， ABN ∆的重心为M ，若直线MN 的斜率存在，记为k '，问： t 为何值时，k k ⋅'为定值？18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，三点12331331,,,,1,2222P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中恰有二点在椭圆C 上，且离心率为12e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆C 上任一点，12,A A 为椭圆C 的左右顶点，M 为2PA 中点，求证：直线2PA 与直线OM 它们的斜率之积为定值；（3）若椭圆C 的右焦点为F ，过()4,0B 的直线l 与椭圆C 交于,D E ，求证：直线FD 与直线FE 斜率之和为定值．19．已知椭圆22:14x C y +=，如图所示点112233(,),(,),(,)A x y B x y P x y 为椭圆上任意三点．（Ⅰ）若0OA OB OP ++=，是否存在实数λ，使得代数式1212x x y y λ+为定值．若存在，求出实数λ和1212x x y y λ+的值；若不存在，说明理由．（Ⅱ）若0OA OB ⋅=，求三角形OAB 面积的最大值；（Ⅲ）满足（Ⅱ），且在三角形OAB 面积取得最大值的前提下，若线段,PA PB 与椭圆长轴和短轴交于点,E F （,E F 不是椭圆的顶点）．判断四边形ABFE 的面积是否为定值．若是，求出定值；若不是，说明理由．20．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆短轴的两个端点与点构成正三角形．(1)求椭圆的方程；(2)若过点的直线与椭圆交于不同的两点，试问在轴上是否存在定点，使恒为定值？若存在，求出的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由．21．已知动点与，两点连线的斜率之积为，点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于，两点．（1）求曲线的方程；（2）若直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由．22．已知椭圆C：22221x ya b+=（0a b）的离心率为32，且点()2,1T在椭圆C上，设与OT平行的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，直线TP，TQ分别与x轴正半轴交于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）判断OM ON+的值是否为定值，并证明你的结论．23．已知点31,2P⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>上，()1,0F是椭圆的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）椭圆C上不与P点重合的两点D，E关于原点O对称，直线PD，PE分别交y轴于M，N两点．求证：以MN为直径的圆被直线32y=截得的弦长是定值．24．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>，离心率22e=，点G2（，）在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点P 是椭圆C 上一点，左顶点为A ，上顶点为B ，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证： AM BM ⋅为定值．25．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ， 2F ，且离心率为22， M 为椭圆上任意一点，当1290F MF ∠=时， 12F MF ∆的面积为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点A 是椭圆C 上异于椭圆顶点的一点，延长直线1AF ，2AF 分别与椭圆交于点B ，D ，设直线BD 的斜率为1k ，直线OA 的斜率为2k ，求证：12k k ⋅为定值．26．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>． （1）若椭圆的离心率为12，且过右焦点垂直于长轴的弦长为3，求椭圆C 的标准方程； （2）点(),0P m 为椭圆长轴上的一个动点，过点P 作斜率为b a 的直线l 交椭圆C 于A ， B 两点，试判断22PA PB +是为定值，若为定值，则求出该定值；若不为定值，说明原因． 27．已知椭圆C ： 2212x y +=的右焦点为F ，不垂直x 轴且不过F 点的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点． （1）若直线l 经过点()2,0P ，则直线FA 、FB 的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；（2）如果FA FB ⊥，原点到直线l 的距离为d ，求d 的取值范围．28．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线23:12E x y =的焦点相同，A 为椭圆C 的右顶点，以A 为圆心的圆与直线b y x a=相交于P ， Q 两点，且0,3.AP AQ OP OQ ⋅==（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程和圆A 的方程；（Ⅱ）不过原点的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，已知OM ，直线l ，ON 的斜率12,,k k k 成等比数列，记以OM 、ON 为直径的圆的面积分别为S 1、S 2，试探究12S S +的值是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由．29．如下图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -， ()2,0F c ，已知点()1,e 和3,e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A ， B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行， 2AF 与1BF 交于点P ， （i ）若1262AF BF -=，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证： 12PF PF +是定值．30．已知点()1,0A 和动点B ，以线段AB 为直径的圆内切于圆22:4O x y +=． （1）求动点B 的轨迹方程；（2）已知点()2,0P ， ()2,1Q -，经过点Q 的直线l 与动点B 的轨迹交于M ， N 两点，求证：直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值．31．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为，右焦点，双曲线的实轴为，为双曲线上一点（不同于，），直线，分别与直线交于，两点． （）求双曲线的方程． （）证明为定值． 32．已知双曲线22:14x C y -=， P 是C 上的任意点． （1）求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A 的坐标为()5,0，求PA 的最小值．33．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ．已知点A 在抛物线C 上，点B 在l 上， ABF ∆是边长为4的等边三角形．（1）求p 的值；（2）在x 轴上是否存在一点N ，当过点N 的直线l '与抛物线C 交于Q 、R 两点时，2211||||NQ NR +为定值？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．。
2018届广东省高三理科数学专题突破训练：圆锥曲线 精
广东省2018届高三数学理专题突破训练--圆锥曲线一、选择、填空题 1、（2014广东高考）实数k满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等2、（2013广东高考）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 ( )A . 2214x = B．22145x y -= C ．22125x y -= D ．2212x =3、（2010广东高考）若圆心在x O 位于y轴左侧，且与直线x y +=相切，则圆O的方程是 ．4、（2009广东高考）巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 ．5、（广州市第六中学2018届高三上学期第一次质量检测）直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）A.B. 12C. D. 236、（广州市海珠区2018届高三摸底考试）．已知抛物线24y x=与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>有相同的焦点F，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为A2 B ．1 C ．1 D7、（广州市执信中学2018届高三上学期期中考试）如图，在平面直角坐标系xoy 中，点A 为椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点，B 、C 在椭圆上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝30°，则椭圆E 的离心率等于 ．8、（惠州市2018届高三第二次调研考试）双曲线2228x y -=的实轴长是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 29、（惠州市2018届高三第一次调研考试）以抛物线x y 42=的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是 .10、（江门市普通高中2018届高三调研测试）在同一直角坐标系中，直线=1与圆x 2+y 2+2x ﹣4y ﹣4=0的位置关系是（ ）A ．直线经过圆心B ． 相交但不经过圆心C ．相切D ． 相离11、（韶关市十校2018届高三10月联考）已知椭圆1822=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ,点P 在椭圆上,则21PF PF ⋅的最大值是（ ）A. 8；B ．22；C.10；D. 2412、（湛江市2018届高中毕业班调研测试）抛物线y 2=16x 的焦点到双曲线﹣=1的一条渐近线的距离为（ ） A ． 2B ．4 C ．D ． 213、（广东省阳东一中、广雅中学2018届高三第一次联考）已知点P 是抛物线24x y =上的一个动点，则点P 到点(2,0)M 的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )AB C ． D ．92二、解答题 1、（2014广东高考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，离心率为3， （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2、（2013广东高考）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF⋅的最小值.3、（2012广东高考）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率e =C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在椭圆C 上，是否存在点(),M m n ，使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由.4、（2011广东高考）设圆C 与两圆22(4x y +=，22(4x y +=中的一个内切，另一个外切．（1）求C 的圆心轨迹L 的方程；（2）已知点M ，F ，且P 为L 上动点，求MP FP - 的最大值及此时点P 的坐标．5、（广州市第六中学2018届高三上学期第一次质量检测）已知点F 是椭圆)0(11222>=++a y ax 的右焦点，点(,0)M m 、(0,)N n 分别是x 轴、y轴上的动点，且满足=⋅NF MN ．若点P满足PO ON OM +=2．(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线a x -=分别交于点S 、T（O 为坐标原点），试判断FS FT ⋅ 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．6、（广州市海珠区2018届高三摸底考试）在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两点(0)，0)的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C ，直线l 过点(1,0)E -且与曲线C 交于A ，B 两点． （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）是否存在△AOB 面积的最大值，若存在，求出△AOB 的面积；若不存在，说明理由.7、（广州市执信中学2018届高三上学期期中考试）已知椭圆1:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为e =1C 的左焦点1F 的直线:20l x y -+=被圆2222:(3)(3)(0)C x y r r -+-=>截得的弦长为（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设1C 的右焦点为2F ，在圆2C 上是否存在点P ，满足2122a PF PF b=,若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.8、（惠州市2018届高三第二次调研考试）如图，已知椭圆C ：22221x y a b+=，其左右焦点为()11,0F -及()21,0F ，过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点，且1AF 、12F F 、2AF 构成等差数列.（1）求椭圆C 的方程；（2）记△1GF D 的面积为1S ，△OED （O 为原点）的面积为2S ．试问：是否存在直线AB ，使得12S S =？说明理由．9、（惠州市2018届高三第一次调研考试）椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的离心率为12，其左焦点到点(2,1)P 的距离为(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A B 、两点(A B 、不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．10、（江门市普通高中2018届高三调研测试）在平面直角坐标系xoy 中，点A ，B 的坐标分别是（0，﹣3），（0，3）直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是﹣． （1）求点M 的轨迹L 的方程；（2）若直线L 经过点P （4，1），与轨迹L 有且仅有一个公共点，求直线L 的方程．11、（韶关市十校2018届高三10月联考）如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N在CM上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E .（I ）求曲线E 的方程；（II ）若过定点)2,0(F 的直线交曲线E 于不同的两点,G H （点G 在点,F H 之间），且满足λ=，求λ的取值范围.12、（湛江市2018届高中毕业班调研测试）如图，点F 是椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左焦点，定点P 的坐标为（﹣8，0），线段MN 为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且该椭圆的离心率为． （1）求椭圆的标准方程；（2）过点P 的直线与椭圆相交于两点A 、B ，求证：∠AFM=∠BFN； （3）记△ABF 的面积为S ，求S 的最大值．13、（广东省阳东一中、广雅中学2018届高三第一次联考）如图，已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>的上顶点为A ,离心率为不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：直线l 过定点，并求出该定点N参考答案一、选择、填空题1、【解析】D.考查双曲线，注意到两条双曲线的22234c a b k=+=-相等，故而选D.2、B3、22(2)2x y++=4、221 369x y+=5、【答案】C解析：因为直线220x y-+=与两坐标轴的交点分别为()()2,0,0,1，所以c=2，b=1，a==则离心率为ca=，所以选C .6、【答案解析】D 解析：根据题意得：()1,0,F从而()1,2A±所以22221141a ba b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得23a=±22a c<，所以23a=-1a=，所以1cea===.故选：D．7、【答案】【解析】322解析：∵AO是与X轴重合的，且四边形OABC为平行四边形，∴BC∥OA，B、C两点的纵坐标相等，B、C的横坐标互为相反数，∴B、C两点是关于Y轴对称的．由题知：OA=a，四边形OABC为平行四边形，所以BC=OA=a可设a aB yC y22-（，）（，）代入椭圆方程解得：y b，设D 为椭圆的右顶点，因为∠OAB=30°，四边形OABC 为平行四边形，所以∠COD=30° 对C点：2tan30a 2?=a=3b ，根据：222a c b =+得：222a a c 9=+，28e ,e 93==，故答案为：3．8、C 【解析】本题考查双曲线方程及其简单几何性质。
2018届高三高考数学复习练习：高考专题突破五高考中的
高考专题突破五1．如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.【解析】 (1)由题设知c a ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)证明 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1， 得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k （k －1）1＋2k 2，x 1x 2＝2k （k －2）1＋2k 2， 从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－k x 2＝2k ＋(2－k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k （k －1）2k （k －2）＝2k －2(k －1)＝2. 2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为32，其中一条渐近线的方程为x －2y ＝0.以双曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ，过原点O 的动直线与椭圆E 交于A ，B 两点．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点P 为椭圆E 的左顶点，PG →＝2GO →，求|GA →|2＋|GB →|2的取值范围．【解析】 (1)由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为32，得c ＝322，∴a 2＋b 2＝92.① 由题意知b a ＝22，② 由①②解得a 2＝3，b 2＝32， ∴椭圆E 的方程为x 23＋23y 2＝1. (2)由(1)知P (－3，0)．设G (x 0，y 0)，由PG →＝2GO →， 得(x 0＋3，y 0)＝2(－x 0，－y 0)．即⎩⎨⎧x 0＋3＝－2x 0，y 0＝－2y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－33，y 0＝0，∴G ⎝⎛⎭⎫－33，0. 设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，|GA →|2＋|GB →|2＝⎝⎛⎭⎫x 1＋332＋y 21＋⎝⎛⎭⎫x 1－332＋y 21 ＝2x 21＋2y 21＋23＝2x 21＋3－x 21＋23＝x 21＋113. 又∵x 1∈[－3，3]，∴x 21∈[0，3]，∴113≤x 21＋113≤203， ∴|GA →|2＋|GB →|2的取值范围是⎣⎡⎦⎤113，203. 3．(2018·顺义尖子生素质展示)已知椭圆x 24＋y 23＝1的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于B ，C 两点．(1)求该椭圆的离心率；(2)设直线AB 和AC 分别与直线x ＝4交于点M ，N ，问：x 轴上是否存在定点P 使得MP ⊥NP ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】 (1)由椭圆方程可得a ＝2，b ＝3，从而椭圆的半焦距c ＝a 2－b 2＝1. 所以椭圆的离心率为e ＝c a ＝12. (2)依题意，直线BC 的斜率不为0，设其方程为x ＝ty ＋1.将其代入x 24＋y 23＝1，整理得(4＋3t 2)y 2＋6ty －9＝0. 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝－6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2. 易知直线AB 的方程是y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)， 从而可得M ⎝⎛⎭⎫4，6y 1x 1＋2，同理可得N ⎝⎛⎭⎫4，6y 2x 2＋2.假设x 轴上存在定点P (p ，0)使得MP ⊥NP ，则有PM →·PN →＝0.所以(p －4)2＋36y 1y 2（x 1＋2）（x 2＋2）＝0. 将x 1＝ty 1＋1，x 2＝ty 2＋1代入上式，整理得(p －4)2＋36y 1y 2t 2y 1y 2＋3t （y 1＋y 2）＋9＝0， 所以(p －4)2＋36×（－9）t 2（－9）＋3t （－6t ）＋9（4＋3t 2）＝0， 即(p －4)2－9＝0，解得p ＝1或p ＝7.所以x 轴上存在定点P (1，0)或P (7，0)，使得MP ⊥NP .4．如图，已知M (x 1，y 1)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点，F 为椭圆的右焦点．(1)若椭圆的离心率为e ，试用e ，a ，x 1表示|MF |，并求|MF |的最值；(2)已知直线m 与圆x 2＋y 2＝b 2相切，并与椭圆交于A ，B 两点，且直线m 与圆的切点Q 在y 轴右侧，若a ＝2，求△ABF 的周长．【解析】 (1)设F (c ，0)，则|MF |＝（x 1－c ）2＋y 21，又x 21a 2＋y 21b 2＝1，则y 21＝⎝⎛⎭⎫1－x 21a 2b 2， 所以|MF |＝ ⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2x 21－2cx 1＋a 2 ＝ c 2a2x 21－2cx 1＋a 2＝（ex 1－a ）2， 又－a ≤x 1≤a 且0<e <1，所以|MF |＝a －ex 1，且|MF |max ＝a ＋ae ，|MF |min ＝a －ae .(2)设A (x 0，y 0)，B (x 2，y 2)(x 0，x 2>0)，连接OQ ，OA ， 在Rt △OQA 中，|AQ |2＝x 20＋y 20－b 2，又y 20＝⎝⎛⎭⎫1－x 20a 2b 2， 所以|AQ |2＝c 2x 20a 2， 则|AQ |＝cx 0a ，同理|BQ |＝cx 2a ， 所以|AB |＋|AF |＋|BF |＝2a －⎝⎛⎭⎫c a x 0＋c a x 2＋c a x 0＋c ax 2＝2a ， 又a ＝2，所以所求周长为4.。
高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全)完整版.doc
专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。
设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。
解得。
∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）证明：由题意设直线的方程为，由消去y整理得，设，，要使其为定值，需满足，解得.故定点的坐标为.点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2:2C y px =（0,p p >为常数）交于不同的两点,M N ，当12k =时，弦MN 的长为15. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ，且直线MQ 经过点()1,1B -，判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）24y x =;（2）直线NQ 过定点()1,4-【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案； （2）由（1）可设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则12MN k t t =+， 则()11:220MN x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11t t ⇒=（1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，即可得出直线NQ 过定点．（2）设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则12211222=MN t t k t t t t -=-+， 则()212:2MN y t x t t t -=-+即()11220x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=；()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11tt ⇒=，即11t t =（1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，易得直线NQ 过定点()1,4-3．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线()2:0C y mx m =>过点()1,2-， P 是C 上一点，斜率为1-的直线l 交C 于不同两点,A B （l 不过P 点），且PAB ∆的重心的纵坐标为23-. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值.【答案】（1）方程为24y x =;其焦点坐标为()1,0（2）120k k +=【解析】试题分析;（1）将()1,2-代入2y mx =，得4m =，可得抛物线C 的方程及其焦点坐标；（2）设直线l 的方程为y x b =-+，将它代入24y x =得22220x b x b -++=（），利用韦达定理，结合斜率公式以及PAB ∆的重心的纵坐标23-，化简可12k k + 的值；因为PAB ∆的重心的纵坐标为23-， 所以122p y y y ++=-，所以2p y =，所以1p x =，所以()()()()()()1221121212122121221111y x y x y y k k x x x x ------+=+=----， 又()()()()12212121y x y x --+--()()()()12212121x b x x b x ⎡⎤⎡⎤=-+--+-+--⎣⎦⎣⎦()()()12122122x x b x x b =-+-+--()()()22212220b b b b =-+-+--=.所以120k k +=.4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴端点到右焦点()10F ，的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交椭圆C 于A B ，两点，交直线4l x =：于点P ，若1PA AF λ=，2PB BF λ=，求证： 12λλ-为定值．【答案】(1) 22143x y +=;(2)详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.（Ⅱ）由题意直线AB 过点()1,0F ，且斜率存在，设方程为()1y k x =-, 将4x =代人得P 点坐标为()4,3k ，由()221{ 143y k x x y =-+=，消元得()22223484120k x k x k +-+-=，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则0∆>且21222122834{ 41234k x x k k x x k +=+-⋅=+， 方法一：因为1PA AF λ=，所以11141PA x AF x λ-==-. 同理22241PB x BFx λ-==-，且1141x x --与2241x x --异号，所以12121212443321111x x x x x x λλ⎛⎫---=+=--+ ⎪----⎝⎭()()1212123221x x x x x x +-=-+-++()2222238682412834k k k k k --=-+--++0=. 所以， 12λλ-为定值0.当121x x <<时，同理可得120λλ-=. 所以， 12λλ-为定值0.同理2223PB my BFmy λ-==，且113my my -与223my my -异号，所以()12121212123332y y my my my my my y λλ+---=+=- ()()36209m m ⨯-=-=⨯-.又当直线AB 与x 轴重合时， 120λλ-=， 所以， 12λλ-为定值0.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线AB 过点()1,0F ，在设方程时，往往设为1x my =+()0m ≠，可减少讨论该直线是否存在斜率.5．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线C ： 24y x =， F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点. （1）设l 的斜率为1，求AB ；（2）求证： OA OB ⋅u u u v u u u v是一个定值. 【答案】(1) 8AB =（2）见解析【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；（2）证明：设直线l 的方程为1x ky =+，由21{4x ky y x=+-得2440y ky --= ∴124y y k +=， 124y y =- ()()1122,,,OA x y OB x y ==u u u v u u u v， ∵()()1212121211OA OB x x y y kx ky y y ⋅=+=+++u u u v u u u v，()212121222144143k y y k y y y y k k =++++=-++-=-， ∴OA OB ⋅u u u v u u u v是一个定值.点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成1x ky =+也给解题带来了方便.6．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C : 22221(0,0)x y a b a b+=>>的离心率为6,右焦点为(2,0).(1)求椭圆C 的方程; (2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A ,B 两点,求证:点O 到直线AB 的距离为定值.【答案】(1) 2213x y += ,(2) O 到直线AB 3【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出a ，b ，c ；（2）对于AB 有无斜率进行讨论，设出A ，B 坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；有OA ⊥OB 知x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(k x 1+m ) (k x 2+m )=(1+k 2) x 1x 2+k m (x 1+x 2)=0 代入,得4 m 2=3 k 2+3原点到直线AB 的距离231m d k ==+ ， 当AB 的斜率不存在时, 11x y = ,可得, 13x d == 依然成立.所以点O 到直线的距离为定值32. 点睛： 本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法．设而不求，套用公式解决．7．【四川省成都市石室中学2017-2018学年高二10月月考】已知双曲线()222210x y b a a b-=>>渐近线方程为3y x =， O 为坐标原点，点(3,3M 在双曲线上．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知,P Q 为双曲线上不同两点，点O 在以PQ 为直径的圆上，求2211OPOQ+的值．【答案】（Ⅰ）22126x y -=；（Ⅱ） 221113OP OQ+=. 【解析】试题分析：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M 的坐标求得参数即可；（2）由条件可得OP OQ ⊥，可设出直线,OP OQ 的方程，代入双曲线方程求得点,P Q 的坐标可求得221113OPOQ+=。
最新-2018高考数学最后冲刺 圆锥曲线 精品
最后冲刺【高考预测】1.对椭圆相关知识的考查2.对双曲线相关知识的考查3.对抛物线相关知识的考查4.对直线与圆锥曲线相关知识的考查5.对轨迹问题的考查6.考察圆锥曲线中的定值与最值问题7.椭圆8.双曲线9.抛物线 10.直线与圆锥曲线 11.轨迹问题 12.圆锥曲线中的定值与最值问题 易错点1对椭圆相关知识的考查1．(典型例题Ⅰ)设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F l PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( )12.22.212.22.---D C B A【错误解答】 A【错解分析】 没有很好地理解椭圆的定义，错误地把||||21PF PF 当作离心率．【错误解答】 D 由题意得a=5，b=3，则c=4而双曲线以椭圆92522y x +=1长轴的两个端点为焦点，则a=c =4，b=3 ∴k=43±=±a b【错解分析】 没有很好理解a 、b 、c 的实际意义．【正确解答】 C 设双曲线方程为2222b y a x -=1，则由题意知c=5，c a 2=4 则a 2=20 b 2=5，而a=25 b=5∴双曲线渐近线斜率为±a b =21±4．(2018精选模拟题)设直线l 与椭圆162522y x +=1相交于A 、B 两点，l 又与双曲线x 2-y 2=1相交于C 、D 两点，C 、D 三等分线段AB ，求直线l 的方程 ( )【错误解答】 设直线l 的方程为y=kx+b如图所示，l 与椭圆，双曲线的交点为A(x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C(x 3，y 3)、D(x 4，y 4)，依题意有AB DB AC ,==3CD由)1(0)40025(50)2516(1162522222=-+++⎪⎩⎪⎨⎧=++=b bkx x k y x bkx y 得所以x 1+x 2=-.2516502k bk+由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=122y x bkx y 得(1-k 2)x 2-2bkx-(b 2+1)=0(2)若k=±1，则l 与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k ≠±1所以x 3+x 4=212k bk-、由⇒=BD AC x 3-x 1=x 2-x 4⇒x 1+x 2=x 3+x 4⇒-⇒-=+2212251650k bk k bkbk=0或b =0①当k=0时，由(1)得x 1、2=±21645b - 由(2)得x 3、4=±12+b 由123x x -⇒==3(x 4-x 1)即1316161641022±=⇒+=-b b b 故l 的方程为y=±1316 ②当b=0时，由(1)得x 1、2=±2251620k +，由(2)得x 3、4=211k -±由123x x CD AB -⇒==3(x 4-x 3)即.2516,25161625164022x y l k k k±=±=⇒-=+的方程为故综上所述：直线l 的方程为：y=xy 2516,1316=±【错解分析】 用斜截式设直线方程时没有注意斜率是否存在，致使造成思维片面，漏解．k=0时，由(1)得.164522,1b x -±=由(2)得x 3、4=±12+±b 由3312=-⇒=x x CD AB (x 4-x 3)．即.131611641022±=⇒+=-b b b 故l 的方程为 y=±1316②当b=0时，由(1)得x 1、2=2251620k +±自(2)得x 3、4=33,11122=-⇒=-±x x CD AB k 由(x4-x3)．即.25161625164022±=⇒-=+k k k故l 的方程为y=x2516±．再讨论l 与x 轴垂直时的情况．设直线l 的方程为x=c ，分别代入椭圆和双曲线方程可解得y l 、2=.25542c -±y 3、4=.||3||||3||.134122y y y y CD AB c -=-⇒=-±由即.24125,2412516255822=±=⇒-=-x l c c c 的方程为故综上所述，直线l 的方程是：y=2516±x 、y=±1316和x=24125±解法二：设l 与椭圆、双曲线的交点为：A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、C(x 3，y 3)、D(x 4，y 4)，则有⎪⎩⎪⎨⎧==-==+.4,3.12,1,116252222j y x i y x j ji i由i 的两个式子相减及j 的两个式子相减，得：⎩⎨⎧=-+--+=-++-+.0))(())((,0))((25))((163434343412121212y y y y x x x x y y y y x x x x因C 、D 是AB 的三等分点，故CD 的中点(x 0，y 0)与AB 的中点重合，且.3CD AB =于是x 0=,221342x x x x +=+y 0=,223412y y y y +=+x 2-x 1=3 (x 4-x 3)．因此⎩⎨⎧-=-=--=-)2().()()1(),(25)(16340340340340y y y x x x y y y x x x若x 0y 0≠0，则x 2=x 1⇔x 4=x 3⇔y 4=y 3⇔y 2=y 1．故l 的方程为：24125±=x③当x 0=0，y 0=0时，这时l 通过坐标原点且不与x 轴垂直．设l 的方程为y=kx ，分别代入椭圆、双曲线方程得：x 1、2=.11,25162024,32kx k-±=+±.2516)(33412±=⇒-=-k x x x x 故l 的方程为y=.2516x y ±= 综上所述，直线l 的方程是：y=x 2516±、y=1316±和x=.24125± 5．(2018精选模拟题)设A 、B 是椭圆3x 2+y 2=λ上的两点，点N(1，3)是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点．(1)确定A 的取值范围，并求直线AB 的方程；(Ⅱ)试判断是否存在这样的A ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上?并说明理由．(此题不要求在答题卡上画图)【错解分析】①用“差比法”求斜率时k AB =2)(3121y y x x ++-这地方很容易出错．②N(1，3)在椭圆内，λ>3×12+32=12应用结论时也易混淆．【正确解答】 (1)解法1：依题意，可设直线AB 的方程为y=A(x-1)+3，代入3x 2+y 2=λ，整理得(k 2+3)x 2-2k(k-3)x+(k-3)2-λ=0．①设A(x 1，y 1)、B(x 2、y 2)，则x 1，x 2是方程①的两个不同的根， ∴△=4[λ(k 2+3)-3(k-3)2]>0，②且x 1+x 2=3)3(2+-k k k ，由N(1，3)是线段AB 的中点，得1221=+x x ，∴A(k-3)=k 2+3．解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是(12，+∞)．于是，直线AB 的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0． 解法2：设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则有⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+λλ2222212133y x y x (x 1-x 2)(x 1+x 2)+(y 1-y 2)(y 1+y 2)=0依题意，x 1≠x 2，∴k AB =-2121)(3y y x x ++∵N(1，3)是AB 的中点，∴x 1+x 2=2，y l +y 2=6，从而k AB =-1． 又由N(1，3)在椭圆内，∴λ>3×12+32=12， ∴λ的取值范围是(12，∞)．直线AB 的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0．(Ⅱ)解法1：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y-3 =x-1，即x-y+2=0，代入椭圆方程，整理得4x 2+4x+4又设C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)，CD 的中点为M(x 0，y 0)，则x 3， x 4是方程③的两根，∴x 3+x 4=-1，且x 0=21(x 3+x 4)=-21，y 0=x 0+2=23，即M(-21，23)．于是由弦长公式可得|CD|=.)3(2||)1(1432-=-∙-+λx x k ④将直线AB 的方程x+y-4=0，代入椭圆方程得4x 2-8x+ 16-λ=0 ⑤同理可得|AB|=.)12(2||.1212-=-+λx x k ⑥∵当λ>12时，)3(2-λ>)12(2-λ,∴|AB|<|CD|∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆解法2：由(Ⅰ)解法1及λ>12，∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 方程为y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得4x2+4x+4-λ=0．③ 将直线AB 的方程x+y-4=0，代入椭圆方程，整理得 4x 2-8x+16-λ=0．⑤解③和⑤式可得 x l ，2=.231,21224,3-±-=-±λλx不妨设A(1+)233,231(),233,231(,12213,1221-+-+---------λλλλλλD C)21233,23123()21233,23123(-------+=---+-+-+=∴λλλλλλλλCA CA计算可得0=∙CA CA ,∴A 在以CD 为直径的圆上．又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆．(注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD) 【特别提醒】1．重点掌握椭圆的定义和性质，加强直线与椭圆位置关系问题的研究．2.注重思维的全面性，例如求椭圆方程时只考虑到焦点在，轴上的情形；研究直线与椭圆位置关系时忽略了斜率不存在的情形……3．注重思想方法的训练，在分析直线与椭圆位置关系时要利用数形结合和设而不求法与弦长公式韦达定理联系去解决；关于参数范围问题常用思路有：判别式法，自身范围法等．求椭圆的方程常用方法有：定义法，直接法，待定系数法，相关点法，参数法等．考场思维调练1 已知椭圆的中心O 是坐标原点，A 是它的左顶点，F 是它的左焦点，l 1，l 2分别为左右准线，l 1与x 轴交于O ，P 、Q 两点在椭圆上，且PM ⊥l 1于M,PN ⊥l 2于N ，QF ⊥AO ，则下列比值中等于椭圆离心率的有( )||||)5(;||||)4(;||||)3(;||||)2(;||||)1(BF QF BA AF BO AO PN PF PM PFA.1个 B ．2个 C.4个 D ．5个答案： C 解析：对(1)，(4)的正确性容易判断；对(3)，由于c aaBO AO ||||==e ，故(3)正确；对(5)，可求得|QF|=,2a b|BF|=c b c c a 22=-,e BF QF =||||故,故(5)正确；(2)显然不对，所选C ．2 椭圆有这样的光学性质：从随圆的一个焦点出发的光线，经椭圆壁反射后，反射光线经过随圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为20，焦距为2c ，静放在点A 的小球 (小球的半径不计)，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 ( )A ．4aB ．2(a-c)C.2(a+c) D ．以上答案均有可能答案： D 解析：(1)静放在点A 的小球(小球的半径不计)从点A 沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(d-c)，则选B ；(2)静放在点A 的小球(小球的半径不计)从点A 沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a+c)，则选C ；(3)静放在点A 的小球(小球的半径不计)从点A 沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是4a ，则选A.于是三种情况均有可能，故选D.令V=t 4+a 2t ，V ′=-24t +a 2由V ′=Oa t 2=⇒ 当时t>a 2时，V ′>0；当0<t<a 2时，V ′<0．．．10分若1≤a ≤2，则，故a 2∈[1，2]当t=a 2时，S max =a 若a>2，则0<a 2<1，∵V=t 4+ a 2t 在[1，2]上递增，进而S(t)为减函数．∴当t=1时，S max =2244a a +综上可得S max ⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤)2(44)21(22a a a a a易错点2 对双曲线相关知识的考查1．已知双曲线x 2-22y =1的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且021=∙MF MF，则点M 到x 轴的距离为 ( )3.332.35.34.D C B A【错误解答】 B【错解分析】 没有理解M 到x 轴的距离的意义．【正确解答】 C 由题意得a=1，b=2，c=3可设M (x 0，y 0)|MF 1|=|ex 0+a|=|3x 0+1|，|MF 2|= |ex 0-a|=|3x 0-1|由|MF 1|2+|MF 2|2=|F 1F 2|2得 x 02=.332||,3435020==y y 则即点M 到x 轴的距离为.3322．(2018精选模拟题)已知双曲线2222b y ax -=1(a>0，b>0)的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a (O 为原点)，则两条渐近线的夹角为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 【错误解答】 B【错解分析】 把两条渐近线的夹角看成渐近线的倾斜角．即4e 4-25e 2+25≤0解不等式得45≤e 2≤5，所以e 的取值范围是].5,25[]25,5[⋃--【错解分析】 没有理解双曲线离心率的意义及自身存在的范围e>1．【正确解答】 解法：直线J 的方程为b ya x +=1，即 bx+ay-ab=0． 由点到直线的距离公式，且a>1，得到点(1，0)到直线l 的距离d 1=.)1(22ba ab +-同理得到点（-1，0）到直线l 的距离d 2=.)1(22ba ab ++s=d 1+d 2=.2222cabba ab=+由025254.215.25,542,542222222≤+-≥-≥-≥≥e e e e c a c a c c ab c s 即于是得即得解不等式，得.525,01.5452≤≤>>≤≤e e e e 的取值范围是所以由于【特别提醒】1．注意双曲线两个定义的理解及应用，在第二定义中，要强调e>1，必须明确焦点与准线的对应性2．由给定条件求出双曲线的方程，常用待定系数法，当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏．3．掌握参数a 、b 、c 、e 的关系，渐近线及其几何意义，并注意灵活运用． 【变式训练】答案：由−−→−=−−→−PMDF 1知四边形PF 1OM 为平行四边形，又由|||||||11−−→−−−→−−−→−∙−−→−=−−→−−−→−−−→−∙−−→−OPOMOPOMOF OPOF OP知OP 平分∠F 1OM, ∴PF 1OM 菱形，设半焦距为c ，由||1−−→−OF =c知ea c a c cPMPF PF PF PMPF =−−→−−−→−+=+−−→−=−−→−=−−→−=−−→−||||,22||||,||||1121又，即c+e c a=1e 2-e-2=0, ∴e=2(e=-1舍去)(2)若此双曲线过点N(2，3)，求双曲线方程：答案：∵e=2=,a c∴c=2a, ∴双曲线方程为)3,2(,1322将点==a y a x 代入，有3a ,14342=∴=-a a 即所求双曲线方程为9322y x -=1. (3)设(2)中双曲线的虚轴端点为B 1，B 2(B 1在y 轴正半轴上)，求B 2作直线AB 与双曲线交于A 、B 两点，求B B 11⊥时，直线AB 的方程．答案：依题意得B1（0，3），B2（0，-3）,设直线AB 的方程为y=kx-3,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)则由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-+-⇒-=193.0186)3(32222y x kx x k kx y∵双曲线的渐近线为y=±x 3,∴当k=±3时，AB 与双曲线只有一个交点，即k ≠±3.∵x 1+x 2=.318,362212k x x kk--=∙-y 1+y 2=k(x 1+x 2)-6=2318k --,y 1y 2=k 2x 1x 2-k(x 1+x 2)+9=9 又=−−→−AB 1（x 1，y 1-3）,−−→−BB 1=(x 2,y 2 -3),−−→−AB 1⊥−−→−B B 1,09)(3212121=++++⇒y y y y x x93183931822=+--∙-+--k k ,即k 2=5, ∴k=±5.故所求直线AB 的方程为y=5x-3或y=-5x-3.3 设双曲线42x -y 2=1的右顶点为A 、P 是双曲线上异于顶点的一个动点，从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP(O 为坐标原点)分别交于Q 和R 两点．(1)证明：无论P 点在什么位置，总有||||2∙=；答案：设OP ：y=kx 与AR ：y=联立)2(21-x解得),212,212(k kk OR--=−−→−同理可得),212,212(k k k OQ ++=−−→−所以|−−→−OQ ·−−→−OR |,|41|442k k -+设|−−→−OP|2=（m,n ）,则由双曲线方程与OP 方程联立解得m 2=,414,4142222k k n k-=-所以|−−→−OP|2=m 2+n 2=||414422−−→−∙−−→−=-+OROQkk (点在双曲线上，1-4k 2>0);(2)设动点C 满足条件：)(21AR AQ AC +=，求点C 的轨迹方程．答案：∵),(21−−→−+−−→−=−−→−AR AQ AC点C 为QR 的中心，设C （x,y ）,则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=22412412k k y k x ，消去k,可得所求轨迹方程为x 2-x 2-4y 2=0(x ≠0).易错点3 对抛物线相关知识的考查。
2018年理数真题分类训练专题13 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题【原卷版】
第三章解析几何专题13 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题【压轴综述】纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解定点、定值、定直线问题.一、定点问题1.求解(或证明)直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x，y视作常数，把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．2.常用方法：一是引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点；二是特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.二、定值问题1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．常见定值问题的处理方法：（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.2. 定值问题的处理技巧：（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算三、定直线问题定直线问题是证明动点在 定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为 求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等．【压轴典例】例1.（2017·全国高考真题（理））已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，，P 4（1C 上. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.例2.（2019·全国高考真题（文））已知曲线2:,2x C y D =，为直线12y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为,A B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以50,2E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程. 例3．（2019·全国高考真题（文））已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径．（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │－│MP │为定值？并说明理由．例4.（2017新课标全国Ⅱ文理）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u ru u u r.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .例5.（2018·北京高考真题（理））已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r，求证：11λμ+为定值．例6. （2019·全国高考真题（理））已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 例7.（2019·北京高考真题（文））已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.例8. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点1F 与抛物线24y x =的焦点重合，原点到过点()(),0,0,A a B b -的直线距离是7（1）求椭圆C 的方程（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，过1F 作1PF 的垂线与直线l 交于点Q ，求证：点Q 在定直线上，并求出定直线的方程【压轴训练】1．（2019·北京高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．2．（2016·北京高考真题（理））已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：||||AN BM ⋅为定值.3．（2017·全国高考真题（文））在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.4．（2018·湖南宁乡一中高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为12F F 、，该椭圆的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线2y x =+相切.（I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，若斜率为()0k k ≠的直线l 与x 轴，椭圆C 顺次交于,,(P Q R P 点在椭圆左顶点的左侧）且121RF F PFQ ∠=∠，求证：直线l 过定点；并求出斜率k 的取值范围. 5．（2019·湖北高考模拟（理））已知动点P 到直线:2l x =-的距离比到定点(1,0)F 的距离多1. （1）求动点P 的轨迹E 的方程（2）若A 为（1）中曲线E 上一点，过点A 作直线l 的垂线，垂足为C ，过坐标原点O 的直线OC 交曲线E 于另外一点B ，证明直线AB 过定点，并求出定点坐标.6．（2019·贵州高三开学考试（文））已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为1(3,0)F -，且C 经过点1(3,)2P .（1）求C 的方程；（2）设C 与y 轴的正半轴交于点D ，直线l ：y kx m =+与C 交于A 、B 两点（l 不经过D 点），且AD BD ⊥.证明：直线l 经过定点，并求出该定点的坐标.7．（2019·江西高三月考（文））在平面直角坐标系xOy 中，已知()()1,2,1,0Q F -，动点P 满足PQ OF PF •=u u u r u u u r u u u r（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）过点F 的直线与E 交于,A B 两点，记直线,QA QB 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k +为定值.8．（2019·河北高三月考（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为22，焦距为2，抛物线()2:20M y px p =>的准线经过C 的左焦点F .（1）求C 与M 的方程；（2）直线l 经过C 的上顶点且l 与M 交于P ，Q 两点，直线FP ，FQ 与M 分别交于点D （异于点P ），E （异于点Q ），证明：直线DE 的斜率为定值. 9．（2020·浙江高三月考）已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的焦距为23，且过点(2,0)A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点(0,1)B ，设P 为椭圆C 上位于第三象限内一动点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值，并求出该定值．10．（2019·安徽高三开学考试（理））如图，已知()1,0A -、()10B ,，Q 、G 分别为ABC △的外心，重心，//QG AB .（1）求点C 的轨迹E 的方程；（2）是否存在过()0,1P 的直线L 交曲线E 于M ，N 两点且满足2MP PN =u u u r u u u r，若存在求出L 的方程，若不存在请说明理由.11．（2019·河南高三月考（文））已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，M 为l 上一动点，过点M 作抛物线C 的切线，切点分别为,A B .（I ）求证：MAB ∆是直角三角形；（II ）x 轴上是否存在一定点P ，使,,A P B 三点共线.12．（2019·湖南雅礼中学高三月考（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，上顶点为B ，过F 的直线l 交椭圆C 于P 、Q .当P 与B 重合时，APF ∆与AQF ∆的面积分别为332、93.（1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上找一点M ，当l 变化时，MP MQ ⋅u u u r u u u u r为定值.13．（2019·广东广雅中学高三开学考试（文））在平面直角坐标系xOy 中，过定点()0,C p 作直线与抛物线()220x py p =>相交于A 、B 两点．（1）已知1p =，若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB ∆面积的最小值；（2）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．14．（2019·浙江高三学业考试）如图，直线10l x ty -+=:和抛物线2:4C y x =相交于不同两点A ，B .（I ）求实数t 的取值范围；（Ⅱ）设AB 的中点为M ，抛物线C 的焦点为F ．以MF 为直径的圆与直线l 相交于另一点N ，且满足||22||MN MF =，求直线l 的方程． 15．（2019·四川高三月考（理））已知抛物线28x y =，过点04M （，）的直线与抛物线交于,A B 两点，又过,A B 两点分别作抛物线的切线，两条切线交于P 点. （1）证明：直线,PA PB 的斜率之积为定值； （2）求PAB △面积的最小值16．（2019·江苏高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，己知椭圆C ：22221(0)43x y t t t-=>的左、右顶点为A ，B ，右焦点为F .过点A 且斜率为k （0k >）的直线交椭圆C 于另一点P .（1）求椭圆C 的离心率；（2）若12k =，求22PA PB的值； （3）设直线l :2x t =，延长AP 交直线l 于点Q ，线段BO 的中点为E ，求证：点B 关于直线EF 的对称点在直线PF 上.。
精编2018年高考数学理科专题突破练习题(6)圆锥曲线定点定值最值范围探索性问题和答案
专题突破练(6) 圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题一、选择题1．设AB 为过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，则|AB |的最小值为( ) A.p2 B ．p C ．2p D ．无法确定 答案 C解析 当弦AB 垂直于对称轴时|AB |最短，这时x ＝p2，∴y ＝±p ，|AB |min＝2p .2．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为( )A ．4B ．6C ．8D ．9 答案 D解析 注意到P 点在双曲线的右支上，且双曲线右焦点为F ′(4,0)，于是由双曲线定义得|PF |－|PF ′|＝2a ＝4，故|PF |＋|PA |＝2a ＋|PF ′|＋|PA |≥4＋|AF ′|＝9，当且仅当A 、P 、F ′三点共线时等号成立．3．直线l 与抛物线C ：y 2＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的斜率k 1，k 2满足k 1k 2＝2，则l 一定过点( )A ．(－3,0)B ．(3,0)C ．(－1,3)D ．(－2,0) 答案 A解析 设直线l 的方程为x ＝my ＋b ，联立直线和抛物线的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋b ，y 2＝2x ，整理得y 2－2my －2b ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得y 1y 2＝－2b ，y 1＋y 2＝2m ，故x 1x 2＝(my 1＋b )·(my 2＋b )＝m 2y 1y 2＋mb (y 1＋y 2)＋b 2＝－2bm 2＋2bm 2＋b 2＝b 2.因为k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－2b b 2＝23，解得b ＝－3，故l 的横截距为定值－3，即l 一定过点(－3,0)．4．设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，即P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2 C ．6 2 D ．7＋ 2 答案 C解析 解法一：设Q (x ，y )，－1≤y ≤1.因为圆x 2＋(y －6)2＝2的圆心为T (0,6)，半径r ＝2， 则|QT |＝x 2＋y －2＝－y2＋y －2＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋232＋50≤52，当y ＝－23时取等号，所以|PQ |max ＝52＋2＝6 2.故选C.解法二：设Q (10cos θ，sin θ)，圆心为M ，由已知得M (0,6)， 则|MQ |＝10cos θ－2＋θ－2＝10cos 2θ＋sin 2θ－12sin θ＋36 ＝－9sin 2θ－12sin θ＋46 ＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋232＋50⎝ ⎛⎭⎪⎫当sin θ＝－23时取等号，故|PQ |max ＝52＋2＝6 2.5．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2的斜率的取值范围是，那么直线PA 1的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 答案 B解析 解法一：设P (x ，y )，直线PA 1，PA 2的斜率分别为k 1，k 2，易知A 1(－2,0)，A 2(2,0)，则有k 1k 2＝y x ＋2·y x －2＝y 2x 2－4＝3⎝⎛⎭⎪⎫1－x 24x 2－4＝－34，因为－2≤k 2≤－1，所以k 1>0且－2≤－34k 1≤－1，即1≤34k 1≤2，解得38≤k 1≤34.故选B.解法二：设直线PA 2的斜率为k 2，令k 2＝－1，则直线PA 2的方程为y ＝－(x －2)，代入椭圆方程并整理得7x 2－16x ＋4＝0，解得x 1＝2，x 2＝27，从而可得点P的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫27，127，于是直线PA 1的斜率k 1＝127－027＋2＝34.同理，令k 2＝－2，可得k 1＝38.结合选项知，选项B 正确． 6．已知A ，B 为抛物线y 2＝2px (p >0)上的两动点，F 为其焦点，且满足∠AFB ＝60°，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线，垂足为N ，|MN |＝λ|AB |，则λ的最大值为( )A ．1 B.233 C.33D ．2解析 过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别为D ，C ，因为M 为线段AB 的中点，BC ∥AD ，所以|MN |＝12(|BC |＋|AD |)，又因为|AF |＝|AD |，|BF |＝|BC |，所以|MN |＝12(|BF |＋|AF |)，又|MN |＝λ|AB |，所以2λ|AB |＝|AF |＋|BF |，两边平方得4λ2|AB |2＝|AF |2＋|BF |2＋2|AF ||BF |，即4λ2＝|AF |2＋|BF |2＋2|AF ||BF ||AB |2.在△ABF 中，由余弦定理得|AB |2＝|AF |2＋|BF |2－2|AF ||BF |·cos60°，即|AB |2＝|AF |2＋|BF |2－|AF ||BF |，所以4λ2＝|AB |2＋3|AF ||BF ||AB |2，由|AB |2＝|AF |2＋|BF |2－|AF ||BF |≥2|AF ||BF |－|AF ||BF |＝|AF ||BF |，故|AB |2≥|AF ||BF |，所以4λ2＝|AB |2＋3|AF ||BF ||AB |2≤|AB |2＋3|AB |2|AB |2＝4，因为λ>0，所以0<λ≤1，故λ的最大值为1.故选A.二、填空题7．已知双曲线的中心在原点，右顶点为A (1,0)，点P 在双曲线的右支上，点M (m,0)到直线AP 的距离为1，若AP 的斜率为k 且|k |∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，1－233∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤233＋1，3解析 直线AP 的方程为y ＝k (x －1)，k ≠0，即kx －y －k ＝0，由|mk －k |1＋k 2＝1，得|m －1|＝1＋1k 2.∵|k |∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3， ∴233≤|m －1|≤2， 解得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，1－233∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤233＋1，3.8．过抛物线y 2＝8x 上的任意一点为圆心作与直线x ＋2＝0相切的圆，这些圆必过一定点，则定点的坐标是________．答案 (2,0)解析 抛物线的焦点为F (2,0)，准线l 的方程为x ＝－2，即x ＋2＝0，又抛物线上任意一点到F 与到准线l 的距离相等，所以这些圆一定过焦点F (2,0)．9．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．答案 6解析 由题意，得F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，解得y 20＝3⎝⎛⎭⎪⎫1－x 204.因为FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 0(x 0＋1)＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝x 204＋x 0＋3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0＝－2，因为－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值224＋2＋3＝6.三、解答题10．已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点M (2,2)，C 在点M 处的切线交x 轴于点N ，直线l 1经过点N 且垂直于x 轴．(1)求线段ON 的长；(2)设不经过点M 和N 的动直线l 2：x ＝my ＋b 交C 于点A 和B ，交l 1于点E ，若直线MA ，ME ，MB 的斜率依次成等差数列，试问：l 2是否过定点？请说明理由．解 (1)由抛物线C ：y 2＝2px 经过点M (2,2)，得22＝4p ，故p ＝1，抛物线C 的方程为y 2＝2x .C 在第一象限的图象对应的函数解析式为y ＝2x ，则y ′＝12x，故C 在点M 处的切线斜率为1，切线的方程为y －2＝1(x －2)．令y ＝0，得x ＝－2，所以点N 的坐标为(－2,0)，故线段ON 的长为2. (2)l 2恒过定点(2,0)，理由如下： 由题意可知直线l 1的方程为x ＝－2. 因为l 2与l 1相交，所以m ≠0.由l 2：x ＝my ＋b ，令x ＝－2，得y ＝－b ＋2m ，故E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－b ＋2m .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋b ，y 2＝2x 消去x ，得y 2－2my －2b ＝0，则y 1＋y 2＝2m ，y 1·y 2＝－2b .直线MA 的斜率为y 1－2x 1－2＝y 1－2y 212－2＝2y 1＋2，同理，直线MB 的斜率为2y 2＋2，直线ME 的斜率为2＋b ＋2m 4.因为直线MA ，ME ，MB 的斜率依次成等差数列， 所以2y 1＋2＋2y 2＋2＝2×2＋b ＋2m 4＝1＋b ＋22m，即y 1＋y 2＋y 1＋y 2＋y 1y 2＋4＝1＋4－y 1y 2y 1＋y 2＋y 1y 2＋4＝1＋b ＋22m，整理得b ＋22m －b ＋2＝b ＋22m.因为l 2不经过点N ，所以b ≠－2，所以2m －b ＋2＝2m ，即b ＝2， 故l 2的方程为x ＝my ＋2，即l 2恒过定点(2,0)．11． 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其离心率e ＝12，过椭圆E 内一点P (1,1)的两条直线分别与椭圆交于点A ，C 和B ，D ，且满足AP →＝λPC →，BP →＝λPD →，其中λ为实数．当点C 恰为椭圆的右顶点时，对应的λ＝57.(1)求椭圆E 的方程；(2)当λ变化时，k AB 是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．解 (1)因为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，即14a 2＝c 2，所以b 2＝34a 2.因为C (a,0)，λ＝57成立，所以由AP →＝λPC →，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5a 7，127， 将其代入椭圆方程中，得－5a2a ＋12249×4a2＝1，解得a ＝2，所以a ＝2，b ＝3，所求椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，由AP →＝λPC →，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋λx 3＝1＋λ，y 1＋λy 3＝1＋λ.同理⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋λx 4＝1＋λ，y 2＋λy 4＝1＋λ.将A ，B 的坐标代入椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧3x 21＋4y 21＝12，3x 22＋4y 22＝12，两式相减得，3(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即3(x 1＋x 2)＋4(y 1＋y 2)k AB ＝0. 同理，3(x 3＋x 4)＋4(y 3＋y 4)k CD ＝0.因为AP →＝λPC →，BP →＝λPD →，所以AB ∥CD ，所以k AB ＝k CD ，所以3(x 3＋x 4)＋4(y 3＋y 4)k AB ＝0，所以3λ(x 3＋x 4)＋4λ(y 3＋y 4)k AB ＝0，所以3(x 1＋λx 3＋x 2＋λx 4)＋4(y 1＋λy 3＋y 2＋λy 4)k AB ＝0，即6(1＋λ)＋8(1＋λ)k AB ＝0，所以k AB ＝－34为定值．12．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，O 为坐标原点，F 为抛物线的焦点，已知点N (2，m )为抛物线C 上一点，且|NF |＝4.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 过点F 交抛物线于不同的两点A ，B ，交y 轴于点M ，且MA →＝aAF →，MB →＝bBF →，a ，b ∈R ，对任意的直线l ，a ＋b 是否为定值？若是，求出a ＋b 的值；否则，说明理由．解 (1)因为|NF |＝4，由抛物线的定义知x N ＋p2＝4，即2＋p2＝4，所以p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)显然直线l 的斜率存在且一定不等于零，设其方程为x ＝ty ＋2(t ≠0)，则直线l 与y 轴交点为M ⎝⎛⎭⎪⎫0，－2t .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋2，y 2＝8x消去x 得y 2－8ty －16＝0， 所以Δ＝(－8t )2－(－64)＝64(t 2＋1)>0，y 1＋y 2＝8t ，y 1y 2＝－16. 由MA →＝aAF →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 1＋2t ＝a (2－x 1，－y 1)，所以a ＝x 12－x 1＝－ty 1＋2ty 1＝－1－2ty 1，同理可得b ＝－1－2ty 2，a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2ty 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2ty 2＝－2－y 1＋y 2ty 1y 2＝－2＋16t16t＝－1.所以a ＋b 为定值－1.13．在空间中，取直线l为轴，直线l与l′相交于O点，夹角为30°，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．已知直线l∥平面α，l与α的距离为2，平面α与圆锥面相交得到双曲线Γ.在平面α内，以双曲线Γ的中心为原点，以双曲线的两个焦点所在直线为y轴，建立直角坐标系．(1)求双曲线Γ的方程；(2)在平面α内，以双曲线Γ的中心为圆心，半径为22的圆记为曲线Γ′，在Γ′上任取一点P，过点P作双曲线Γ的两条切线交曲线Γ′于两点M，N，试证明线段MN的长为定值，并求出这个定值．解(1)如图，设O′为双曲线的中心，则轴l与平面α的距离为|OO′|＝2，A为双曲线的一个顶点，∠AOO′＝60°，所以|O′A|＝2 3.在轴l 上取点C ，使得|OC |＝43，过C 作与轴l 垂直的平面，交圆锥面得到圆C ，圆C 与双曲线相交于D ，E 两点．设DE 的中点为B ，易知|CB |＝2，|CD |＝4，可得|BD |＝23，从而可知双曲线的实半轴长为23，且过点(23，43)．设双曲线的标准方程为y 212－x 2b 2＝1，将点(23，43)代入方程得b 2＝4， 所以双曲线的标准方程为y 212－x 24＝1.(2)证明：在条件(1)下，显然双曲线Γ的两切线PM ，PN 都不垂直x 轴． 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，令过点P 的切线的斜率为k ，则切线方程为y ＝k (x －x 0)＋y 0，由⎩⎨⎧y ＝k x －x 0＋y 0，y 212－x24＝1消去y ，得(k 2－3)x 2－2k (kx 0－y 0)x ＋(kx 0－y 0)2－12＝0，由Δ＝0，化简得(x 20＋4)k 2－2x 0y 0k ＋(y 20－12)＝0.令PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝y 20－12x 20＋4，由点P (x 0，y 0)在圆Γ′上，得x 20＋y 20＝8，得y 20－12x 20＋4＝－1，∴k 1k 2＝－1.所以PM ⊥PN ，线段MN 是圆Γ′的直径，为定值，|MN |＝4 2.14. 如图，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，O 是坐标原点，|OF |＝5，过F 作OF 的垂线交椭圆于P 0，Q 0两点，△OP 0Q 0的面积为453.(1)求该椭圆的标准方程；(2)若直线l 与上、下半椭圆分别交于点P ，Q ，与x 轴交于点M ，且|PM |＝2|MQ |，求△OPQ 的面积取得最大值时直线l 的方程．解 (1)由已知条件，|P 0F |＝S △OP 0Q 0|OF |＝4535＝43， 易知|P 0F |＝b 2a ，从而b 2a ＝43.又c ＝|OF |＝5，即a 2－b 2＝5，因此a 2－43a －5＝0，解得a ＝3或a ＝－53，又因为a >0，故a ＝3，从而b ＝2. 故所求椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (m,0)，由题意知y 1>0，y 2<0，并可设直线l ：x ＝ty ＋m (t ≠0)，代入椭圆方程得ty ＋m 29＋y 24＝1，即(4t 2＋9)y 2＋8tmy ＋4(m 2－9)＝0.由题意可知|m |<3，Δ>0，从而y 1＋y 2＝－8tm4t 2＋9，y 1y 2＝m 2－4t 2＋9.由|PM |＝2|MQ |，得y 1－y 2＝|PM ||MQ |＝2，即y 1＝－2y 2，因此y2＝－(y1＋y2)＝8tm4t2＋9，y1y2＝－2y22，故m2－4t2＋9＝－2⎝⎛⎭⎪⎫8tm4t2＋92，从而m2＝4t2＋94t2＋1，所以S△OPQ＝12|OM||y1－y2|＝12|m||－3y2|＝12|t|m24t2＋9＝12|t|4t2＋1＝124|t|＋1|t|≤3，当且仅当4|t|＝1|t|，即t＝±12时，等式成立，此时m2＝4×14＋94×14＋1＝5，所以m＝± 5.因为y2＝8tm4t2＋9，且y2<0，所以tm<0，故满足题意的直线l的方程为x＝12y－5或x＝－12y＋ 5.。
2018年高考数学(理科)专题突破——解析几何 圆锥曲线中的热点问题 Word版 含答案
圆锥曲线中的热点问题【考点梳理】1.圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解.2.定点、定值问题(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m ).(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.3.存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在.(3)得出结论.【题型突破】题型一、圆锥曲线中的最值、范围【例1】如图所示，设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围.【解析】(1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义得p 2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1，0)，可设A (t 2，2t )，t ≠0，t ≠±1.∵AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x 得y 2－4sy －4＝0. 故y A y B ＝－4，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t . 又直线AB 的斜率为2t t 2－1， 故直线FN 的斜率为－t 2－12t ，从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t .∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2t . 设M (m ，0)，由A ，M ，N 三点共线得2t t 2－m ＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1， 于是m ＝2t 2t 2－1＝2＋2t 2－1，∴m ＜0或m ＞2. 经检验知，m ＜0或m ＞2满足题意.综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞).【类题通法】求圆锥曲线中范围、最值的主要方法：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围.【对点训练】已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点.(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.【解析】(1)设F(c，0)，由条件知，2c＝233，得c＝ 3.又ca＝32，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为x24＋y2＝1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).将y＝kx－2代入x24＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0. 当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>34时，x1，2＝8k±24k2－34k2＋1.从而|PQ|＝k2＋1|x1－x2|＝4k2＋1·4k2－34k2＋1.又点O到直线PQ的距离d＝2k2＋1.所以△OPQ的面积S△OPQ ＝12d·|PQ|＝44k2－34k2＋1.设4k2－3＝t，则t>0，S△OPQ ＝4tt2＋4＝4t＋4t.因为t＋4t≥4，当且仅当t＝2，即k＝±72时等号成立，且满足Δ>0.所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝72x－2或y＝－72x－2.题型二、圆锥曲线中的定值问题【例2】已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值.【解析】(1)解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，12ab ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 由(1)知A (2，0)，B (0，1).设P (x 0，y 0)，则x 20＋4y 20＝4.当x 0≠0时，直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2). 令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2， 从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2. 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1， 从而|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1. 所以|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4. 当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2， 所以|AN |·|BM |＝4.综上，|AN |·|BM |为定值.【类题通法】1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.。
【精品】2018年高考数学(理)总复习达标检测(四十二)圆锥曲线的综合问题——最值、范围、证明含答案
高考达标检测（四十二）圆锥曲线的综合问题——最值、范围、证明1．设F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，直线l 为其左准线，直线l 与x 轴交于点P ，线段MN 为椭圆的长轴，已知|MN |＝8，且|PM |＝2|MF |.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P 的直线与椭圆相交于不同两点A ，B ，求证：∠AFM ＝∠BFN . 解：(1)∵|MN |＝8， ∴a ＝4，又∵|PM |＝2|MF |，得a 2c－a ＝2(a －c )，整理得2e 2－3e ＋1＝0⇒e ＝12或e ＝1(舍去)．∴c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝12， ∴椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1.(2)证明：当AB 的斜率为0时， 显然∠AFM ＝∠BFN ＝0.满足题意．当AB 的斜率不为0时，点P (－8,0)，F (－2,0)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my －8， 代入椭圆方程整理得： (3m 2＋4)y 2－48my ＋144＝0， 则Δ＝(48m )2－4×144(3m 2＋4)，y 1＋y 2＝48m 3m 2＋4，y 1·y 2＝1443m 2＋4. ∴k AF ＋k BF ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝y 1my 1－6＋y 2my 2－6＝2my 1y 2－6y 1＋y 2my1－6my 2－6＝2m ×1443m 2＋4－6×48m 3m 2＋4my 1－6my 2－6＝0，∴k AF ＋k BF ＝0，从而∠AFM ＝∠BFN . 综上可知：恒有∠AFM ＝∠BFN .2．(2017·大庆模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B两点．(1)若AF ―→＝2FB ―→，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．解：(1)依题意知F (1,0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1.将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.① 因为AF ―→＝2FB ―→， 所以y 1＝－2y 2. ②联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝± 24. 所以直线AB 的斜率是± 2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB .因为2S △AOB ＝2·12·|OF |·|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.3．(2017·贵阳适应性考试)已知椭圆C 1：x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)的长轴长、短轴长、焦距分别为|A 1A 2|，|B 1B 2|，|F 1F 2|，且|F 1F 2|2是|A 1A 2|2与|B 1B 2|2的等差中项．(1)求椭圆C 1的方程；(2)若曲线C 2的方程为(x －t )2＋y 2＝(t 2＋3t )2⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜t ≤22，过椭圆C 1左顶点的直线l 与曲线C 2相切，求直线l 被椭圆C 1截得的线段长的最小值．解：(1)由题意得|B 1B 2|＝2b ＝2，|A 1A 2|＝2a ， |F 1F 2|＝2c ，a 2－b 2＝c 2，又2×(2c )2＝(2a )2＋22，解得a 2＝3，c 2＝2， 故椭圆C 1的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由(1)知，可取椭圆C 1的左顶点为A 1(－3，0)， 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)．由直线l 与曲线C 2相切得|kt ＋3k 2＋1＝(t ＋3)t ，整理得|k |k 2＋1＝t .又0＜t ≤22，所以0＜|k |k 2＋1≤22，解得0＜k 2≤1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1，y＝k x ＋3消去y ，整理得(3k 2＋1)x 2＋63k 2x ＋9k 2－3＝0. 直线l 被椭圆C 1截得的线段一端点为A 1(－3，0)， 设另一端点为B ，解方程可得点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33k 2＋33k 2＋1，23k 3k 2＋1， 所以|A 1B |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33k 2＋33k 2＋1＋32＋12k2k 2＋2＝23k 2＋13k 2＋1. 令m ＝k 2＋1(1＜m ≤2)， 则|A 1B |＝23m m 2－＋1＝233m －2m. 由函数y ＝3m －2m 的性质知y ＝3m －2m在区间(1，2]上是增函数，所以当m ＝2时，y ＝3m －2m 取得最大值22，从而|A 1B |min ＝62.4．(2017·沈阳质量监测)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝6，直线y ＝kx 与椭圆交于A ，B 两点．(1)若△AF 1F 2的周长为16，求椭圆的标准方程； (2)若k ＝24，且A ，B ，F 1，F 2四点共圆，求椭圆离心率e 的值； (3)在(2)的条件下，设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，且直线PA 的斜率k 1∈(－2，－1)，试求直线PB 的斜率k 2的取值范围．解：(1)由题意得c ＝3， 根据2a ＋2c ＝16，得a ＝5.结合a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝25，b 2＝16. 所以椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.(2)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝24x ，得⎝⎛⎭⎪⎫b 2＋18a 2x 2－a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b2b 2＋18a2，由AB ，F 1F 2互相平分且共圆， 易知，AF 2⊥BF 2，因为F 2A ―→＝(x 1－3，y 1)， F 2B ―→＝(x 2－3，y 2)， 所以F 2A ―→·F 2B ―→＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋18x 1x 2＋9＝0. 即x 1x 2＝－8， 所以有－a 2b2b 2＋18a2＝－8，结合b 2＋9＝a 2，解得a 2＝12(a 2＝6舍去)， 所以离心率e ＝32. (若设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)相应给分) 法二：设A (x 1，y 1)，又AB ，F 1F 2互相平分且共圆， 所以AB ，F 1F 2是圆的直径， 所以x 21＋y 21＝9，又由椭圆及直线方程综合可得：⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝9，y 1＝24x 1，x 21a 2＋y 21b 2＝1.由前两个方程解得x 21＝8，y 21＝1，将其代入第三个方程并结合b 2＝a 2－c 2＝a 2－9，解得a 2＝12，故e ＝32. (3)由(2)的结论知，椭圆方程为x 212＋y 23＝1，由题可设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，k 1＝y 0－y 1x 0－x 1，k 2＝y 0＋y 1x 0＋x 1， 所以k 1k 2＝y 20－y 21x 20－x 21，又y 20－y 21x 20－x 21＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2012－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2112x 20－x21＝－14，即k 2＝－14k 1， 由－2＜k 1＜－1可知，18＜k 2＜14.即直线PB 的斜率k 2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14.。
2018届高考数学 高考大题专项突破五 直线与圆锥曲线压轴大题 5.3 圆锥曲线中的定点、定值与
5.3 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.(2017河南郑州二模,文20)已知动圆M恒过点(0,1),且与直线y=-1相切.(1)求圆心M的轨迹方程;(2)动直线l过点P(0,-2),且与点M的轨迹交于A,B两点,点C与点B关于y轴对称,求证:直线AC恒过定点.2.(2017福建厦门一模,文21)已知椭圆Γ:+y2=1(a>1)与圆E:x2+=4相交于A,B两点,且|AB|=2,圆E交y轴负半轴于点D.(1)求椭圆Γ的离心率;(2)过点D的直线交椭圆Γ于M,N两点,点N与点N'关于y轴对称,求证:直线MN'过定点,并求该定点坐标.3.已知椭圆C:=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,F1,F2为椭圆的左、右焦点.M 为椭圆上任意一点,△MF1F2面积的最大值为4.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆C上的任意一点N(x0,y0),从原点O向圆N:(x-x0)2+(y-y0)2=3作两条切线,分别交椭圆于A,B两点.试探究|OA|2+|OB|2是否为定值,若是,求出其值;若不是,请说明理由.4.(2017吉林东北师大附中三模,文20)设点M是x轴上的一个定点,其横坐标为a(a∈R),已知当a=1时,动圆N过点M且与直线x=-1相切,记动圆N的圆心N的轨迹为C.(1)求曲线C的方程;(2)当a>2时,若直线l与曲线C相切于点P(x0,y0)(y0>0),且l与以定点M为圆心的动圆M也相切,当动圆M的面积最小时,证明:M,P两点的横坐标之差为定值.5.(2017福建龙岩一模,文20)已知椭圆M:=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为.(1)求椭圆M的方程;(2)若圆N:x2+y2=r2的斜率为k的切线l与椭圆M相交于P,Q两点,OP与OQ能否垂直?若能垂直,请求出相应的r的值,若不能垂直,请说明理由.〚导学号24190967〛6.(2017宁夏中卫一模,文20)已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|OF|,且△AOB的面积为.(1)求椭圆的方程;(2)直线y=2上是否存在点M,使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直?若存在,求点M的坐标,若不存在,说明理由.〚导学号24190968〛5.3圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.(1)解∵动点M到直线y=-1的距离等于到定点C(0,1)的距离,∴动点M的轨迹为抛物线,且=1,解得p=2.∴动点M的轨迹方程为x2=4y.(2)证明由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2),则C(-x2,y2).联立化为x2-4kx+8=0,Δ=16k2-32>0,解得k>或k<-.∴x1+x2=4k,x1x2=8,直线AC的方程为y-y2=-(x+x2).∵y1=kx1-2,y2=kx2-2,∴4ky-4k(kx2-2)=(kx1-kx2)x+kx1x2-k,化为4y=(x1-x2)x+x2(4k-x2).∵x1=4k-x2,∴4y=(x1-x2)x+8.令x=0,则y=2,∴直线AC恒过一定点(0,2).2.(1)解由题意得A,B两点关于y轴对称,∴x B=,圆心E到AB的距离为1,∴y B=,∴B,代入椭圆方程得=1,解得a2=4,∴e=.(2)证明设M(x1,y1),N(x2,y2),N'(-x2,y2).圆E交y轴负半轴于点D,当直线MN斜率存在时,设其方程为y=kx-,联立方程消去y得(1+4k2)x2-4kx-3=0.Δ=16k2+4×3(1+4k2)=12+64k2>0,∴x1+x2=,x1x2=,直线MN'的方程y-y1=(x-x1),依据椭圆的对称性,若直线MN'过定点,定点一定在y轴上,令x=0,y=y1-===-2.当直线MN斜率不存在时,直线MN'的方程为x=0,显然过点(0,-2).故直线MN'过定点(0,-2).3.解 (1)抛物线y2=8x的焦点为(2,0),由题意可得c=2,△MF1F2面积的最大值为4,可得当M位于椭圆短轴端点处取得最大值.即有b·2c=4,解得b=2,a2=b2+c2=4+8=12,则椭圆方程为=1.(2)设直线OA:y=k1x,OB:y=k2x,A(x1,y1),B(x2,y2),设圆(x-x0)2+(y-y0)2=3过原点的切线方程为y=kx,则有,整理得(-3)k2-2x0y0k+-3=0,k1+k2=,k1k2=.又因为=1,所以可求得k1k2==-,将y=k1x代入椭圆方程x2+3y2=12,得,则,同理可得,所以|OA|2+|OB|2====16.所以|OA|2+|OB|2的值为定值16.4.(1)解因为圆N与直线x=-1相切,所以点N到直线x=-1的距离等于圆N的半径.所以点N到点M(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等.所以点N的轨迹为以点M(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线.所以圆心N的轨迹方程,即曲线C的方程为y2=4x.(2)证明由题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-y0=k(x-x0),由得y2-y-kx0+y0=0.又=4x0,所以y2-y-+y0=0.因为直线l与曲线C相切,所以Δ=1-k=0,解得k=.所以直线l的方程为4x-2y0y+=0.动圆M的半径即为点M(a,0)到直线l的距离d=.当动圆M的面积最小时,即d最小,而当a>2时,d===≥2.当且仅当=4a-8,即x0=a-2时取等号,所以当动圆M的面积最小时,a-x0=2.即当动圆M的面积最小时,M,P两点的横坐标之差为定值.5.解 (1)依题意椭圆M:=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为,得c=,e=,可得a=2,则b=1,∴椭圆的方程为+y2=1.(2)设直线l的方程为y=kx+m.∵直线l与圆:x2+y2=1相切,∴=r,即m2=r2(k2+1).①由可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)=64k2-16m2+16>0,所以m2<4k2+1,可得r2<4.令P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.若OP与OQ能垂直,则=x1x2+y1y2=0,∴(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,即(1+k2)+m2=0,整理得5m2-4(k2+1)=0,把①代入得(k2+1)(5r2-4)=0,∴r=,满足r2<4,∴OP与OQ能垂直.6.解 (1)∵椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|OF|,且△AOB的面积为,∴c,ab=.又a2=b2+c2,∴a=2,b=.∴椭圆方程为=1.(2)假设直线y=2上存在点M满足题意,设M(m,2),当m=±2时,从点M所引的两条切线不垂直.当m≠±2时,设过点M向椭圆所引的切线的斜率为k, 则切线l的方程为y=k(x-m)+2,代入椭圆方程,消去y,整理得(1+2k2)x2-4k(mk-2)x+2(mk-2)2-4=0.∵Δ=16k2(mk-2)2-4(1+2k2)·[2(mk-2)2-4]=0,∴(m2-4)k2-4mk+2=0.(*)设两条切线的斜率分别为k1,k2,则k1,k2是方程(m2-4)k2-4mk+2=0的两个根,∴k1k2==-1,解得m=±,∴点M坐标为(,2),或(-,2).∴直线y=2上两点(,2),(-,2)满足题意.。
2018届高考数学 高考大题专项突破五 直线与圆锥曲线压轴大题 5.2 圆锥曲线中的最值、范围、
5.2 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2017北京,文19)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN 于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.2.(2017湖北武汉五月调考,文20)已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,直线x=4与x轴的交点为P,与抛物线的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(1)求抛物线的方程;(2)如图所示,过F的直线l与抛物线相交于A,D两点,与圆x2+(y-1)2=1相交于B,C两点(A,B 两点相邻),过A,D两点分别作抛物线的切线,两条切线相交于点M,求△ABM与△CDM的面积之积的最小值.3.已知点A(0,-2),椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求椭圆E的方程;(2)设过点A的动直线l与椭圆E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.4.(2017宁夏银川一中二模,文21)已知圆O:x2+y2=r2,直线x+2y+2=0与圆O相切,且直线l:y=kx+m与椭圆C:+y2=1相交于P,Q两点,O为原点.(1)若直线l过椭圆C的左焦点,且与圆O交于A,B两点,且∠AOB=60°,求直线l的方程;(2)如图,若△POQ的重心恰好在圆上,求m的取值范围.5.(2017山东临沂一模,文20)已知抛物线y2=4x的焦点为椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点F,点B为此抛物线与椭圆C在第一象限的交点,且|BF|=.(1)求椭圆C的方程;(2)过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与椭圆C交于P,Q两点,直线l2与直线x=4交于点T,求的取值范围.〚导学号24190964〛6.(2017北京东城一模,文19)已知椭圆W:=1(a>b>0)的左右两个焦点为F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆上一动点P满足|PF1|+|PF2|=2.(1)求椭圆W的标准方程及离心率;(2)如图,过点F1作直线l1与椭圆W交于点A,C,过点F2作直线l2⊥l1,且l2与椭圆W交于点B,D,l1与l2交于点E,试求四边形ABCD面积的最大值.〚导学号24190965〛5.2圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(1)解设椭圆C的方程为=1(a>b>0).由题意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m≠±2,且n≠0.直线AM的斜率k AM=,故直线DE的斜率k DE=-.所以直线DE的方程为y=-·(x-m),直线BN的方程为y=·(x-2).联立解得点E的纵坐标y E=-.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以y E=-n.又S△BDE=|BD|·|y E|=|BD|·|n|,S△BDN=|BD|·|n|,所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.2.解 (1)由题意可知P(4,0),Q,|QF|=,由|QF|=|PQ|,则,解得p=2,∴抛物线x2=4y.(2)设l:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立整理得x2-4kx-4=0,则x1x2=-4,由y=x2,求导得y'=,直线MA:y-(x-x1),即y=x-,同理求得MD:y=x-,由解得则M(2k,-1),∴点M到l的距离d==2.∴△ABM与△CDM的面积之积S△ABM·S△CDM=|AB||CD|·d2=(|AF|-1)(|DF|-1)·d2=y1y2d2=·d2=1+k2≥1.当且仅当k=0时取等号,故当k=0时,△ABM与△CDM的面积之积的最小值为1.3.解 (1)设F(c,0),由条件知,,得c=.又,所以a=2,b2=a2-c2=1.故椭圆E的方程为+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2),将y=kx-2代入+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1+x2=,x1x2=.从而|PQ|=|x1-x2|=.又点O到直线l的距离d=,所以△OPQ的面积S△OPQ=d|PQ|=.设=t,则t>0,S△OPQ=.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,且满足Δ>0,此时S△OPQ≤1.所以当△OPQ的面积最大时l的方程为y=x-2或y=-x-2.4.解 (1)∵直线x+2y+2=0与圆O:x2+y2=r2相切,∴r=.∴x2+y2=.∵椭圆左焦点坐标为F(-1,0),设直线l的方程为y=k(x+1),由∠AOB=60°得,圆心O到直线l的距离d=.又d=,∴,解得k=±,∴直线l的方程为y=±(x+1).(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,由Δ>0,得2k2+1>m2,(*),且x1+x2=-.由△POQ重心恰好在圆x2+y2=上,得(x1+x2)2+(y1+y2)2=4,即(x1+x2)2+[k(x1+x2)+2m]2=4,即(1+k2)(x1+x2)2+4km(x1+x2)+4m2=4.∴+4m2=4.化简得m2=,代入(*)得k≠0,又m2==1+=1+,由k≠0,得>0,∴>0.∴m2>1,得m的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞).5.解 (1)由y2=4x得其焦点坐标是F(1,0).设B(x0,y0)(x0>0,y0>0),则|BF|=x0+1=,解得x0=,∴=4×.由点B在椭圆C上,得=1,即=1.又a2=b2+1,解得a2=4,b2=3.∴椭圆C的方程是=1.(2)设直线PQ的方程为x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),由得(3m2+4)y2+6my-9=0,则Δ=36m2+36(3m2+4)>0,y1+y2=,y1y2=,∴|PQ|=|y1-y2|==.当m≠0时,直线FT的方程为y=-m(x-1),由得x=4,y=-3m,即T(4,-3m),∴|TF|=3.∴=.设t=,则t>1,则t+.∵y=t+在(1,+∞)内为增函数,∴y>3+1=4,则×4=1.当m=0时,PQ的中点是F,T(4,0),则|TF|=3,|PQ|==3,∴=1.综上,≥1,故的取值范围是[1,+∞).6.解 (1)由题意可知,|F1F2|=2c=2,c=1,2a=|PF1|+|PF2|=2,a=,b2=a2-c2=2,离心率e=,∴椭圆的标准方程为=1.(2)当直线l1或l2斜率不存在时,点E与F1或F2重合,此时|EO|=|F1F2|=1,将x=-1或x=1代入椭圆方程,求得y=±,此时|BD|=,|AC|=2,∴四边形ABCD面积S=S△ABC+S△ADC=|AC|·|BE|+|AC|·|DE|=|AC|·|BD|=4.当直线l2,l1的斜率都存在时,设直线l1:x=my-1(m≠0),设A(x1,y1),B(x2,y2),由整理得 (2m2+3)y2-4my-4=0,则y1+y2=,y1y2=-,则|AC|=,同理直线l2:x=-x+1,求得|BD|=,∴四边形ABCD面积S=|AC|·|BD|===4×=4<4.综上可知四边形ABCD面积的最大值为4,此时直线l2,l1一条为椭圆的长轴,一条与x轴垂直.。
圆锥曲线高考真题专练(含答案)
2018年数学全国1卷设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1.由已知可得，点A 的坐标为或(1,.所以AM 的方程为2y x =-+2y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--.将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=.所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++.则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+.从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 解：（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点. 又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P1，所以点P2在C 上. 因此222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 故C 的方程为2214x y +=.（2）设直线P2A 与直线P2B 的斜率分别为k1，k2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x=t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t，），（t，）.则121k k +-=-，得2t =，不符合题设.从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>. 设A （x1，y1），B （x2，y2），则x1+x2=2841kmk -+，x1x2=224441m k -+.而12121211y y k k x x --+=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--，所以l 过定点（2，1-） 2016年数学全国1卷设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.【答案】（I ）13422=+y x （0≠y ）；（II ）)38,12[ 【解析】试题分析：（I ）利用椭圆定义求方程；（II ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。
2018年高考数学 命题角度5.5 圆锥曲线的定值、定点问题大题狂练 理
命题角度5.5：圆锥曲线的定值、定点问题1．动点P 在圆E ： ()22116x y ++=上运动，定点()1,0F ，线段PF 的垂直平分线与直线PE 的交点为Q ．（Ⅰ）求Q 的轨迹T 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线1l ， 2l 分别交轨迹E 于A ， B 两点和C ， D 两点，且12l l ⊥．证明：过AB 和CD 中点的直线过定点．【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）4,07⎛⎫ ⎪⎝⎭（Ⅱ）分别设直线AB 和CD 的中点为M 、N ，当直线AB 斜率不存在或为0时，分析可知直线MN 与x 轴重合，当直线AB 的斜率为1时，此时43,77M ⎛⎫⎪⎝⎭， 43,77N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线MN 的方程为47x =，联立解得直线MN 经过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭． 下面证明一般性：当直线AB 的斜率存在且不为0,1时，设直线AB 的方程为()1y k x =-， 则直线CD 的方程为()11y x k=--，设()11,A x y ， ()22,B x y ， 联立()221,{431,x y y k x +==-消去y 得()22224384120k x k x k +-+-=， 则2122843k x x k -+=-+，所以122643ky y k +=-+，即22243,4343k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理： 2243,3434k N k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 于是直线MN 的斜率为()222222337344344413443MNk k k k k k k kk k +++==--++， 故直线MN 的方程为()222374343441k k y x k k k ⎛⎫-=- ⎪++-⎝⎭，显然47x =时， 0y =，故直线经过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭． 点睛：在处理直线和圆锥曲线的位置关系时，往往先根据题意合理设出直线方程，再联立直线和圆锥曲线方程，但要注意“直线不存在斜率”的特殊情况，如本题中利用直线不存在斜率时探究其定点，给一般情形找到了目标.2. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,离心率为2,点A 是椭圆上任意一点, 12AF F ∆的周长为4+.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过点Q (-4,0)任作一动直线l 交椭圆C 于,M N 两点,记MQ QN λ=,若在线段MN 上取一点R ,使得MR RN λ=-,则当直线l 转动时,点R 在某一定直线上运动,求该定直线的方程．【来源】青海省西宁市2017届高三下学期复习检测二（二模）数学（理）试题【答案】(Ⅰ) 2214x y += ；(Ⅱ) 点R 在定直线1x =-上. 【解析】试题分析: (1)由已知条件求出,a c 的值, 根据222b a c =- ,求出椭圆的方程; (2)设直线()()()()001122:4,,,,l y k x R x y M x y N xy =+，， 联立直线与椭圆方程, 求出1212,x x x x + 的表达式,将λ 由12,x x 表示出来，由MR RN =-,求出0x 的表达式,化简,求出为定值.(Ⅱ)由题意可知,直线l 的斜率必存在.故可设直线l 的方程为()()()11224,,,,y k x M x y N x y =+,由()221{44x y y k x +==+,消去y 得()2222143264-40k x k x k +++=,由根与系数的关系得2212122232644=,4141k k x x x x k k --+=++, 由MQ QN λ=,得()()11224,4,x y x y λ---=+- 所以()1244x x λ--=+. 所以1244x x λ+=-+, 设点R 的坐标为()00,x y ,由MR RN λ=-,得()()01012020,,x x y y x x y y λ--=---, 所以()0120x x x x λ-=--,解得()()112121212201122424441814x x x x x x x x x x x x x x x λλ++++-+===+-++++.而()22121222264432824=24414141k k x x x x k k k --++⨯+⨯=-+++, ()21222328884141k x x k k -++=+=++,所以01x =-.故点R 在定直线1x =-上.点睛: 本题主要考查了以椭圆为载体,求椭圆标准方程以及椭圆与直线的关系 ,属于中档题. 考点有: 椭圆的标准方程,椭圆的简单几何性质,韦达定理,向量坐标运算等等. 考查学生的逻辑思维能力,运算求解能力. 3.已知点,A B的坐标分别为()),，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是12-，点M 的轨迹为曲线E . （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）过点()1,0F 作直线l 交曲线E 于,P Q 两点，交y 轴于R 点，若1RP PF λ=，2RQ QF λ=，证明： 12λλ+为定值.【答案】（Ⅰ）(2212x y x +=≠; （Ⅱ）124λλ+=-. 试题解析：（Ⅰ）设点(),M x y(12x =-≠，化简得点M 的轨迹E 的方程: (2212x y x +=≠. （Ⅱ）设点,,P Q R 的坐标分别为()()()11220,,,,0,P x y Q x y R y . 由1RP PF λ=，所以()()110111,1,x y y x y λ-=--， 所以 011111,11y x y λλλ==++ 因为点P 在曲线E 上，所以 22011111211y λλλ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得221104220y λλ++-= ①，同理，由2RQ QF λ=可得： 022222,11y x y λλλ==++， 代入曲线E 的方程得 222204220y λλ++-= ②，由①②得12,λλ是方程2204220x x y ++-=的两个实数根(△>0)，所以124λλ+=-.点睛：解析几何中的定值问题，一般先要求出此量戒代数表达式，本题就是12λλ+的表达式，为此设点,,P Q R 的坐标分别为()()()11220,,,,0,P x y Q x y R y .由1RP PF λ=，求得011111,11y x y λλλ==++，目的是利用P 点在曲线E ，坐标代入方程得1λ的式子221104220y λλ++-= ，同理得2λ的式子222204220y λλ++-=，两式比较知12,λλ是方程2204220x x y ++-=的两根，由韦达定理可得结论．4. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F 、，椭圆C 过点1,2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，直线1PF 交y 轴于Q ，且， O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M 是椭圆C 的上顶点，过点M 分别作直线,MA MB 交椭圆C 于,A B 两点，设这两条直线的斜率分别为12,k k ，且122k k +=，证明：直线AB 过定点．【答案】（1）2212x y +=（2）详见解析【解析】试题分析：（1）将点P ⎛⎝⎭代入椭圆方程得221112a b+=，由22PF QO =得212PF F F ⊥，则1c =，联立方程得解；（2）分为直线AB 斜率存在和斜率不存在两种情况，当斜率不存在时，直接代入得解；当斜率存在时，联立直线和椭圆的方程得，结合韦达定理，运用整体代换的思想化简得，可得其恒过定点.试题解析：（1）∵椭圆C 过点P ⎛ ⎝⎭，∴221112a b +=① ， ∵22PF QO =，∴212PF F F ⊥，则1c =，∴221a b -=②，由①②得222,1a b ==，∴椭圆C 的方程为2212x y +=得2121222422,?1212km m x x x x k k--+==++， ()()2112121212211111222kx m x kx m x y y k k x x x x +-++---+=⇒+=⇒=， 即()()()()()()()22121221222214k x x m x x k m m km -=-+⇒--=--， 由()()1,111m k m km k m ≠-+=-⇒=+， 即()()11y kx m m x m m x y x =+=++⇒+=-． 故直线AB 过定点()1,1--．5.如图已知椭圆：的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆：，设圆与椭圆交于点与点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点是椭圆上异于、的任意一点，且直线、分别与轴交于点、，为坐标原点，求证：为定值． 【来源】【全国市级联考】2017届陕西省西安市高三模拟（一）数学（理）试卷（带解析）【答案】（1）；（2）详见解析.（2）设点则直线的方程为，令，得，同理，故.又因为点与点在椭圆上，故，，代入可得.所以为定值.点睛：本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查圆的方程和椭圆的方程.第一问是待定系数法求椭圆的标准方程，需要两个条件，第一个条件很明显，是椭圆的离心率.第二个条件隐藏在圆的方程中.第二问由于是直线与轴的交点，我们只需将直线设出，然后令即可求出两点的坐标.6.已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>右顶点()2,0A ，离心率2e =（1）求椭圆C 的方程；（2）设B 为椭圆上顶点， P 是椭圆C 在第一象限上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，问PMN ∆与PAB ∆面积之差是否为定值？说明理由．【答案】（1）2214x y +=（2）2 【解析】试题分析：（1）本问主要考查求椭圆的标准方程，可以根据待定系数法求方程，右顶点()2,0A ，即2a =，又离心率2c e a ==，则可以求出c ，根据222a b c =+，求出2b 后即得到椭圆方程；（2）本问主要考查直线与椭圆位置关系中的定点、定值问题，设()0000,(0,0)P x y x y >>，根据()00:22y PA y x x =--，求出BM 1-y M =，根据001:1y PB y x x -=+，求出A N 2-xN =，问P M N ∆与PAB ∆面积之差等于()1122AN OM OB AN BM ⋅⋅-=⋅⋅，用坐标表示后整理、化简后可以判断是否为定值.试题解析：⑴依题意得2222,{,a c a abc ==-=解得2{1a b == ，则椭圆C 的方程为2214x y +=. ⑵设()0000,(0,0)P x y x y >>，则220044x y +=，()00:22y PA y x x =--，令0x =得0022M y y x -=-，则002BM 1-y y 112M M y x ==-=---, 001:1y PB y x x -=+，令0y =得00x 1N x y -=-，则00AN 2-x x 121N N x y ==-=---,∴()1122PMN PAB S S AN OM OB AN BM ∆∆-=⋅⋅-=⋅⋅ 2200000000000000000000002444844488111212212222222x y x y x y x y x y x y y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++--+--+=----=⋅=⋅= ⎪⎪----+--+⎝⎭⎝⎭.考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系.方法点睛：圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.7.在直角坐标系xOy 中， 动圆M 与圆221:20O x x y ++=外切，同时与圆222:2240O x y x +--=内切.（1）求动圆圆心M 的轨迹方程；（2）设动圆圆心M 的轨迹为曲线C ，设,A P 是曲线C 上两点，点A 关于x 轴的对称点为B (异于点P )，若直线,AP BP 分别交x 轴于点,S T ，证明为定值.【答案】（1（2）详见解析. 【解析】试题分析：(2)设()()()()0011,,,,,0,,0S T P x y A x y S x T x ，则()11,B x y -，由题意知01x x ≠±.则，直线AP 方程为()11AP y y k x x -=-，令0y =，得，于是又()00,P x y 和()11,A x y 在椭圆8. 已知A 、F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点、右焦点，点P 为椭圆C 上一动点，当PF x ⊥轴时， 2AF PF =. （1）求椭圆C 的离心率；（2）若椭圆C 存在点Q ，使得四边形AOPQ 是平行四边形（点P 在第一象限），求直线AP 与OQ 的斜率之积；（3）记圆2222:abO x y a b +=+为椭圆C 的“关联圆”.若b =P 作椭圆C 的“关联圆”的两条切线，切点为M 、N ，直线MN 的横、纵截距分别为m 、n ，求证： 2234m n+为定值. 【答案】（1）12e =；（2）34-；（3）见解析． 【解析】试题分析：(1)利用题意得到关于,a c 的齐次方程，求解方程组可得椭圆的离心率12e =； (2) 由题意， 2P ax =，P y =±，则()222222AP OQ bk k a a a a =⋅=----，结合(1)的结论可得34AP OQ k k =-. (3) 由（1）知椭圆C 方程为22143x y +=，圆O的方程为22x y +=四边形OMPN 的外接圆方程为()222200001224x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以220022344943x y m n ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，因为点P 在椭圆C 上，则223449m n +=. 试题解析：解：（1）由PF x ⊥轴，知P x c =，代入椭圆C 的方程，得22221P y c a b +=，解得2P b y a=±. 又2AF PF =，所以22b a c a +=，解得12e =.（3）由（1）知12c e a ==，又b =2a =，所以椭圆C 方程为22143x y +=， 圆O的方程为227x y +=①. 连接,OM ON ，由题意可知， OM PM ⊥， ON PN ⊥， 所以四边形OMPN 的外接圆是以OP 为直径的圆，设()00,P x y ，则四边形OMPN 的外接圆方程为()222200001224x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22000x xx y yy -+-= ②. ①－②，得直线MN的方程为00xx yy +=令0y =，则0m =；令0x =，则0n =所以220022344943x y m n ⎛⎫+=+⎪⎝⎭， 因为点P 在椭圆C 上，所以2200143x y +=，所以223449m n+=. 9.在平面直角坐标系xOy 内，动点(),M x y 与两定点()2,0-， ()2,0连线的斜率之积为14-. （1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设点()11,A x y ， ()22,B x y 是轨迹C 上相异的两点.（Ⅰ）过点A ， B分别作抛物线2y =的切线1l ， 2l ， 1l 与2l两条切线相交于点()N t ，证明： 0NA NB ⋅=；（Ⅱ）若直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-，证明： AOBS 为定值，并求出这个定值.【答案】（1）()22124x y x +=≠±（2）（Ⅰ）0（Ⅱ）1 试题解析：（1）依题意： 1224y y x x ⋅=-+- ()22124x y x ⇒+=≠±（2）（Ⅰ）设直线NA 的斜率为1k ，设直线NB 的斜率为2k ，设切线为：(y t k x -=(2{y t k x y -==2120kyk ⇒-++=，0∆=⇒2330k -=， 121k k =-， 0NA NB ∴⋅=.点睛：求轨迹方程，一般是问谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如0NA NB ⋅=，可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细. 10.在平面直角坐标系xOy 中，已知动点M 到定点()1,0F 的距离与到定直线3x =的距离之（1）求动点M 的轨迹C 的方程； （2）已知P 为定直线3x =上一点.①过点F 作FP 的垂线交轨迹C 于点G （G 不在y 轴上），求证：直线PG 与OG 的斜率之积是定值；②若点P 的坐标为()3,3，过点P 作动直线l 交轨迹C 于不同两点R T 、，线段RT 上的点H 满足PR RHPT HT=，求证：点H 恒在一条定直线上. 【答案】（1）22132x y +=（2）①直线PG 与OG 的斜率之积为定值23-． ②点H 在定直线2320x y +-=上．【解析】试题分析：（1）设动点坐标(,x y ），直接利用轨迹方程定义计算即可；（2）()3,P t 令，①令()00,G x y ，由FG FP ⊥，得·0FG FP =，即()()001,?2,0x y t -=，即0022ty x =-，又因为点()00,G x y 在椭圆22132x y +=上，所以2200223x y =-，而PG OG 、的斜率分别为00003PG OG y t yk k x x -==-、，于是()()()2202000000022200000000222223233·33333PG OGx x x x y t y y ty k k x x x x x x x x --+----=====-----，即直线PG 与OG 的斜率之积为定值23-； ②令(0)PR RHPT HTλλ==>，则,PR PT RH HT λλ==，代入椭圆，消元即可证明点H 在定直线2320x y +-=上．（2）因为P 为直线3x =上一点，所以令()3,P t ，①令()00,G x y ，由FG FP ⊥，得·0FG FP =，即()()001,?2,0x y t -=，即0022ty x =-，又因为点()00,G x y 在椭圆22132x y +=上，所以2200223x y =-， 而PG OG 、的斜率分别为00003PG OG y t yk k x x -==-、， 于是()()()2202000000022200000000222223233·33333PG OGx x x x y t y y ty k k x x x x x x x x --+----=====-----， 即直线PG 与OG 的斜率之积为定值23- ． ②令(0)PR RHPT HTλλ==>，则,PR PT RH HT λλ==， 令点()()()1122,,,,,H x y R x y T x y ，则()()()()112211223,33,3{,,x y x y x x y y x x y y λλ--=----=--，即121212123333{x x y y x x x xy y y yλλλλλλλλ-=--=--=--=-，即212121213131{11x x y yx x x y y y λλλλλλλλ-=--=-+=++=+①②③④由①×③，②×④，得22221222221231{31x x x y y y λλλλ-=--=-⑤⑥， 因为()()1122,,,R x y T x y 在椭圆22132x y +=上，所以22112222236{236x y x y +=+=， ⑤×2+⑥×3，得()()222222222222211212122232322336911x y x y x x y y x y λλλλλ+-+-+-+==-- ()22226166611λλλλ--===--，即2320x y +-=， 所以点H 在定直线2320x y +-=上．本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立,,a b c 的方程，求出22,a b 即可，注意222,ca b c e a=+=的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出1212,x x x x +⋅，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．。
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专题突破练(6) 圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题一、选择题1．设AB 为过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，则|AB |的最小值为( ) A.p2 B ．p C ．2p D ．无法确定 答案 C解析 当弦AB 垂直于对称轴时|AB |最短，这时x ＝p2，∴y ＝±p ，|AB |min ＝2p .2．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为( )A ．4B ．6C ．8D ．9 答案 D解析 注意到P 点在双曲线的右支上，且双曲线右焦点为F ′(4,0)，于是由双曲线定义得|PF |－|PF ′|＝2a ＝4，故|PF |＋|PA |＝2a ＋|PF ′|＋|PA |≥4＋|AF ′|＝9，当且仅当A 、P 、F ′三点共线时等号成立．3．直线l 与抛物线C ：y 2＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的斜率k 1，k 2满足k 1k 2＝23，则l 一定过点( )A ．(－3,0)B ．(3,0)C ．(－1,3)D ．(－2,0) 答案 A 解析 设直线l的方程为x ＝my ＋b ，联立直线和抛物线的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋b ，y 2＝2x ，整理得y 2－2my －2b ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得y 1y 2＝－2b ，y 1＋y 2＝2m ，故x 1x 2＝(my 1＋b )²(my 2＋b )＝m 2y 1y 2＋mb (y 1＋y 2)＋b 2＝－2bm 2＋2bm 2＋b 2＝b 2.因为k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－2b b 2＝23，解得b ＝－3，故l 的横截距为定值－3，即l 一定过点(－3,0)．4．设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，即P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2 C ．6 2 D ．7＋ 2 答案 C解析 解法一：设Q (x ，y )，－1≤y ≤1.因为圆x 2＋(y －6)2＝2的圆心为T (0,6)，半径r ＝2，则|QT |＝x 2＋ y －6 2＝10 1－y 2 ＋ y －6 2＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋232＋50≤52，当y ＝－23时取等号，所以|PQ |max ＝52＋2＝6 2.故选C.解法二：设Q (10cos θ，sin θ)，圆心为M ，由已知得M (0,6)， 则|MQ |＝ 10cos θ－0 2＋ sin θ－6 2＝10cos 2θ＋sin 2θ－12sin θ＋36 ＝－9sin 2θ－12sin θ＋46 ＝－9⎝⎛⎭⎪⎫sin θ＋232＋50 ≤5 2⎝ ⎛⎭⎪⎫当sin θ＝－23时取等号，故|PQ |max ＝52＋2＝6 2.5．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2的斜率的取值范围是，那么直线PA 1的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 答案 B解析 解法一：设P (x ，y )，直线PA 1，PA 2的斜率分别为k 1，k 2，易知A 1(－2,0)，A 2(2,0)，则有k 1k 2＝y x ＋2²y x －2＝y 2x 2－4＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24x 2－4＝－34，因为－2≤k 2≤－1，所以k 1>0且－2≤－34k 1≤－1，即1≤34k 1≤2，解得38≤k 1≤34.故选B.解法二：设直线PA 2的斜率为k 2，令k 2＝－1，则直线PA 2的方程为y ＝－(x －2)，代入椭圆方程并整理得7x 2－16x ＋4＝0，解得x 1＝2，x 2＝27，从而可得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫27，127，于是直线PA 1的斜率k 1＝127－027＋2＝34.同理，令k 2＝－2，可得k 1＝38.结合选项知，选项B 正确．6．已知A ，B 为抛物线y 2＝2px (p >0)上的两动点，F 为其焦点，且满足∠AFB ＝60°，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线，垂足为N ，|MN |＝λ|AB |，则λ的最大值为( )A ．1 B.233 C.33 D ．2答案 A解析 过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别为D ，C ，因为M 为线段AB 的中点，BC ∥AD ，所以|MN |＝12(|BC |＋|AD |)，又因为|AF |＝|AD |，|BF |＝|BC |，所以|MN |＝12(|BF |＋|AF |)，又|MN |＝λ|AB |，所以2λ|AB |＝|AF |＋|BF |，两边平方得4λ2|AB |2＝|AF |2＋|BF |2＋2|AF ||BF |，即4λ2＝|AF |2＋|BF |2＋2|AF ||BF ||AB |2.在△ABF 中，由余弦定理得|AB |2＝|AF |2＋|BF |2－2|AF ||BF |²cos60°，即|AB |2＝|AF |2＋|BF |2－|AF ||BF |，所以4λ2＝|AB |2＋3|AF ||BF ||AB |2，由|AB |2＝|AF |2＋|BF |2－|AF ||BF |≥2|AF ||BF |－|AF ||BF |＝|AF ||BF |，故|AB |2≥|AF ||BF |，所以4λ2＝|AB |2＋3|AF ||BF ||AB |2≤|AB |2＋3|AB |2|AB |2＝4，因为λ>0，所以0<λ≤1，故λ的最大值为1.故选A.二、填空题7．已知双曲线的中心在原点，右顶点为A (1,0)，点P 在双曲线的右支上，点M (m,0)到直线AP 的距离为1，若AP 的斜率为k 且|k |∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，1－233∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤233＋1，3解析 直线AP 的方程为y ＝k (x －1)，k ≠0，即kx －y －k ＝0，由|mk －k |1＋k 2＝1，得|m －1|＝1＋1k 2.∵|k |∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3， ∴233≤|m －1|≤2， 解得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，1－233∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤233＋1，3.8．过抛物线y 2＝8x 上的任意一点为圆心作与直线x ＋2＝0相切的圆，这些圆必过一定点，则定点的坐标是________．答案 (2,0)解析 抛物线的焦点为F (2,0)，准线l 的方程为x ＝－2，即x ＋2＝0，又抛物线上任意一点到F 与到准线l 的距离相等，所以这些圆一定过焦点F (2,0)．9．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →²FP →的最大值为________．答案 6解析 由题意，得F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，解得y 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204.因为FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →²FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 0(x 0＋1)＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝x 24＋x 0＋3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0＝－2，因为－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，OP →²FP →取得最大值224＋2＋3＝6.三、解答题10．已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点M (2,2)，C 在点M 处的切线交x 轴于点N ，直线l 1经过点N 且垂直于x 轴．(1)求线段ON 的长；(2)设不经过点M 和N 的动直线l 2：x ＝my ＋b 交C 于点A 和B ，交l 1于点E ，若直线MA ，ME ，MB 的斜率依次成等差数列，试问：l 2是否过定点？请说明理由．解 (1)由抛物线C ：y 2＝2px 经过点M (2,2)，得22＝4p ，故p ＝1，抛物线C 的方程为y 2＝2x .C 在第一象限的图象对应的函数解析式为y ＝2x ，则y ′＝12x，故C 在点M 处的切线斜率为12，切线的方程为y －2＝12(x －2)．令y ＝0，得x ＝－2，所以点N 的坐标为(－2,0)，故线段ON 的长为2. (2)l 2恒过定点(2,0)，理由如下： 由题意可知直线l 1的方程为x ＝－2. 因为l 2与l 1相交，所以m ≠0. 由l 2：x ＝my ＋b ，令x ＝－2，得y ＝－b ＋2m， 故E ⎝⎛⎭⎪⎫－2，－b ＋2m . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋b ，y 2＝2x 消去x ，得y 2－2my －2b ＝0，则y 1＋y 2＝2m ，y 1²y 2＝－2b . 直线MA 的斜率为y 1－2x 1－2＝y 1－2y 212－2＝2y 1＋2， 同理，直线MB 的斜率为2y 2＋2， 直线ME 的斜率为2＋b ＋2m4.因为直线MA ，ME ，MB 的斜率依次成等差数列，所以2y 1＋2＋2y 2＋2＝2³2＋b ＋2m 4＝1＋b ＋22m，即2 y 1＋y 2＋4 2 y 1＋y 2 ＋y 1y 2＋4＝1＋4－y 1y 22 y 1＋y 2 ＋y 1y 2＋4＝1＋b ＋22m，整理得b ＋22m －b ＋2＝b ＋22m.因为l 2不经过点N ，所以b ≠－2，所以2m －b ＋2＝2m ，即b ＝2， 故l 2的方程为x ＝my ＋2，即l 2恒过定点(2,0)．11． 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其离心率e ＝12，过椭圆E 内一点P (1,1)的两条直线分别与椭圆交于点A ，C 和B ，D ，且满足AP →＝λPC →，BP →＝λPD →，其中λ为实数．当点C恰为椭圆的右顶点时，对应的λ＝57.(1)求椭圆E 的方程；(2)当λ变化时，k AB 是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．解 (1)因为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，即14a 2＝c 2，所以b 2＝34a 2.因为C (a,0)，λ＝57成立，所以由AP →＝λPC →，得A ⎝⎛⎭⎪⎫12－5a 7，127，将其代入椭圆方程中，得 12－5a 249a 2＋12249³34a2＝1，解得a ＝2，所以a ＝2，b ＝3， 所求椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，由AP →＝λPC →，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋λx 3＝1＋λ，y 1＋λy 3＝1＋λ.同理⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋λx 4＝1＋λ，y 2＋λy 4＝1＋λ.将A ，B 的坐标代入椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧3x 21＋4y 21＝12，3x 22＋4y 22＝12，两式相减得，3(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即3(x 1＋x 2)＋4(y 1＋y 2)k AB ＝0. 同理，3(x 3＋x 4)＋4(y 3＋y 4)k CD ＝0.因为AP →＝λPC →，BP →＝λPD →，所以AB ∥CD ，所以k AB ＝k CD ，所以3(x 3＋x 4)＋4(y 3＋y 4)k AB＝0，所以3λ(x 3＋x 4)＋4λ(y 3＋y 4)k AB ＝0，所以3(x 1＋λx 3＋x 2＋λx 4)＋4(y 1＋λy 3＋y 2＋λy 4)k AB ＝0，即6(1＋λ)＋8(1＋λ)k AB＝0，所以k AB ＝－34为定值．12．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，O 为坐标原点，F 为抛物线的焦点，已知点N (2，m )为抛物线C 上一点，且|NF |＝4.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 过点F 交抛物线于不同的两点A ，B ，交y 轴于点M ，且MA →＝aAF →，MB →＝bBF →，a ，b ∈R ，对任意的直线l ，a ＋b 是否为定值？若是，求出a ＋b 的值；否则，说明理由．解 (1)因为|NF |＝4，由抛物线的定义知x N ＋p2＝4，即2＋p2＝4，所以p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)显然直线l 的斜率存在且一定不等于零，设其方程为x ＝ty ＋2(t ≠0)，则直线l 与y 轴交点为M ⎝⎛⎭⎪⎫0，－2t .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋2，y 2＝8x消去x 得y 2－8ty －16＝0，所以Δ＝(－8t )2－(－64)＝64(t 2＋1)>0，y 1＋y 2＝8t ，y 1y 2＝－16. 由MA →＝aAF →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 1＋2t ＝a (2－x 1，－y 1)， 所以a ＝x 12－x 1＝－ty 1＋2ty 1＝－1－2ty 1，同理可得b ＝－1－2ty 2，a ＋b ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－2ty 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2ty 2＝－2－2 y 1＋y 2 ty 1y 2＝－2＋16t16t ＝－1.所以a ＋b 为定值－1.13． 在空间中，取直线l 为轴，直线l 与l ′相交于O 点，夹角为30°，l ′围绕l 旋转得到以O 为顶点，l ′为母线的圆锥面．已知直线l ∥平面α，l 与α的距离为2，平面α与圆锥面相交得到双曲线Γ.在平面α内，以双曲线Γ的中心为原点，以双曲线的两个焦点所在直线为y 轴，建立直角坐标系．(1)求双曲线Γ的方程；(2)在平面α内，以双曲线Γ的中心为圆心，半径为22的圆记为曲线Γ′，在Γ′上任取一点P ，过点P 作双曲线Γ的两条切线交曲线Γ′于两点M ，N ，试证明线段MN 的长为定值，并求出这个定值．解 (1)如图，设O ′为双曲线的中心，则轴l 与平面α的距离为|OO ′|＝2，A 为双曲线的一个顶点，∠AOO ′＝60°，所以|O ′A |＝2 3.在轴l 上取点C ，使得|OC |＝43，过C 作与轴l 垂直的平面，交圆锥面得到圆C ，圆C 与双曲线相交于D ，E 两点．设DE 的中点为B ，易知|CB |＝2，|CD |＝4，可得|BD |＝23，从而可知双曲线的实半轴长为23，且过点(23，43)．设双曲线的标准方程为y 212－x 2b2＝1，将点(23，43)代入方程得b 2＝4，124(2)证明：在条件(1)下，显然双曲线Γ的两切线PM ，PN 都不垂直x 轴．设点P 的坐标为(x 0，y 0)，令过点P 的切线的斜率为k ，则切线方程为y ＝k (x －x 0)＋y 0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －x 0 ＋y 0，y 212－x24＝1消去y ，得(k 2－3)x 2－2k (kx 0－y 0)x ＋(kx 0－y 0)2－12＝0， 由Δ＝0，化简得(x 20＋4)k 2－2x 0y 0k ＋(y 20－12)＝0.令PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝y 20－12x 0＋4，由点P (x 0，y 0)在圆Γ′上，得x 20＋y 20＝8，得y 20－12x 20＋4＝－1，∴k 1k 2＝－1.所以PM ⊥PN ，线段MN 是圆Γ′的直径，为定值，|MN |＝4 2.14. 如图，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，O 是坐标原点，|OF |＝5，过F 作OF的垂线交椭圆于P 0，Q 0两点，△OP 0Q 0的面积为453.(1)求该椭圆的标准方程；(2)若直线l 与上、下半椭圆分别交于点P ，Q ，与x 轴交于点M ，且|PM |＝2|MQ |，求△OPQ 的面积取得最大值时直线l 的方程．解 (1)由已知条件，|P 0F |＝S △OP 0Q 0|OF |＝4535＝43，易知|P 0F |＝b 2a ，从而b 2a ＝43.又c ＝|OF |＝5，即a 2－b 2＝5，因此a 2－43a －5＝0，解得a ＝3或a ＝－53，又因为a >0，故a ＝3，从而b ＝2.94(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (m,0)，由题意知y 1>0，y 2<0，并可设直线l ：x ＝ty ＋m (t ≠0)，代入椭圆方程得 ty ＋m 29＋y 24＝1，即(4t 2＋9)y 2＋8tmy ＋4(m 2－9)＝0.由题意可知|m |<3，Δ>0，从而y 1＋y 2＝－8tm4t 2＋9，y 1y 2＝4 m 2－9 4t 2＋9. 由|PM |＝2|MQ |，得y 1－y 2＝|PM ||MQ |＝2，即y 1＝－2y 2， 因此y 2＝－(y 1＋y 2)＝8tm 4t 2＋9，y 1y 2＝－2y 22，故4 m 2－9 4t 2＋9＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫8tm 4t 2＋92，从而m 2＝4t 2＋94t 2＋1， 所以S △OPQ ＝12|OM ||y 1－y 2|＝12|m ||－3y 2|＝12|t |m 24t 2＋9＝12|t |4t 2＋1＝124|t |＋1|t |≤3， 当且仅当4|t |＝1|t |，即t ＝±12时，等式成立，此时m 2＝4³14＋94³14＋1＝5，所以m ＝± 5.因为y 2＝8tm 4t 2＋9，且y 2<0，所以tm <0，故满足题意的直线l 的方程为x ＝12y －5或x＝－12y ＋ 5.。