函数单调性、奇偶性、周期性与对称性

函数单调性、奇偶性、周期性与对称性
一．主要内容：
函数单调性、奇偶性、周期性与对称性
二．重点难点：
1. 在定义域内讨论函数单调性，并会求单调区间。

2. 运用函数奇偶性定义判断并证明函数具有的奇偶性质。

3. 求周期函数周期，利用函数周期性、对称性，求某一点处函数值，求函数解析式或讨论函数其它性质。

三．具体知识：
(一).单调性：
1.在定义域范围内，单调区间可开可闭。

2.单调区间是定义域的子区间。

3.一个函数的两个区间都是增区间（或都是减区间），不能将它们写成并集，要画图考
虑。

4.证明一个函数的单调性，在大题中，只能用定义法和倒数法。

（但在小题中可以用“增+增=增；减+减=减”）
5.只有取倒数和求负数两种情况会改变函数的单调性。

（开根号等不影响其单调性）
6.复合函数：内外层函数：同增异减
函数相加：增+增=增；减+减=减
“同增异减法则”：
对于复合函数y=f[g(x)]，若t=g(x)在区间（a,b）上是单调增（减）函数，且y=f(t)在区间(g(a),g(b))（或者g(b)，g(a)）上是单调函数，那么函数y=f[g(x)]在区间（a,b）上的单调性由以下表格所示，实施该法则时首先应考虑函数的定义域。

例：
7.利用奇偶性求单调性：奇函数在对称区间上，单调性相同。

偶函数在对称区间上，单调性相反。

例：
【典型例题】
例1.已知是偶函数，而且在，上是减函数，判断在，上是
f x f x
()()()()
00
+∞-∞
增函数还是减函数，并加以证明。

例2.
（）指出的单调区间，并说明在每一区间上的增减性1232
f x x x ()=--
()
（）讨论的单调性
225312
2y x x =--log
例3. ()()讨论函数在，上的单调性。

f x ax
x a x ()=
->∈-2
1011
(二)奇偶性：
奇*奇=偶奇+奇=奇
偶*偶=偶偶+偶=偶
奇*偶=奇奇+偶=非奇非偶
奇函数：
偶函数：
【典型例题】
例1. 判断下列函数的奇偶性：
（）
111
f x x x
()=+--
（）·211 1
f x x x x
()()
=-+ -
（）
31
22
2
f x
x x
()=
-+-
（）41010f x x x x x x x ()()()
()()=-<+>⎧⎨
⎩
()
（）51
2f x x x ()lg =++
（）·（其中为奇函数，且）
61
101f x x a a x a a x x ()()()=-+>≠ϕϕ
(三) 周期性：
关于函数的周期性，下面结论是成立的：
（1）若T 为函数f(x)的一个周期，则kT 也是f(x)的周期（k 为非零整数），这就是说，一个函数如果有周期，就有无数多个。

在所有的周期中，如果存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做函数的最小正周期。

（）若为的最小正周期，则
为的最小正周
2T y f x T
y Af x b ==++()()ω
ωϕ
期，其中ω≠0。

据此，我们经常通过一些基本初等函数的周期，求出相应的复合型函数的周期。

（）若满足恒成立，其中，均为常数，且，3f x f x a f x b a b a b ()()()+=+≠ 则是函数的一个周期。

这是因为T a b f x f x f x b b f x b a =-=-+=-+=()()()() f x a b [()]+-的缘故。

例1 偶函数的定义域为，若对任意实数都成立，又当f x R f x f x x ()()()-=+11
0121≤≤=-x f x x 时，()
（1）求证：f(x)是周期函数，并确定其周期。

（2）求当1≤x ≤2，求f(x)的解析式。

(四) 对称性：
关于对称性，这里只讨论一类函数图象的轴对称问题：设a ，b 均为常数，若函数f(x)
满足恒成立，则的图象关于直线对称。

f(a -b)=f(b +x)f(x)x a b
=
+2
这是因为：由
及可知，函数图象上纵
a x
b x a b
f a x f b x -++=+-=+22()()
()()坐标相等的两个点，，，连线的中点都在直线
a x f a x
b x f b x --++()()
x a b f x x a b
=
+=+22上，所以的图象关于直线对称。

()
特殊的，当a=b时，函数f(x)的图象关于直线x=a对称，这是比较常见的情形。

更特殊的，当a=b=0时，f(x)满足f(-x)=f(x)恒成立，其图象关于直线x=0（即纵轴）对称，这正是偶函数的重要性质。

【模拟试题】
1. 在区间()
0，+∞
上不是增函数的是（）
A. y x
=+
21 B. y x
=+
31
2
C. y
x
=
2
D.
y x x
=++
21
2
2. 若
()
f x x
a
()log
=-
2
是x的增函数，则a的取值范围是（）
A. （0，2）
B. （0，1）
C. （1，2）
D. （2，+∞）
3. 已知函数f x()在区间[]
a b
，
上是具有单调性，且
f a f b
()()<0，则方程f x()=0在区间
[]
a b
，
上（）
A. 至少有一个实根
B. 至多有一个实根
C. 没有实根
D. 必有惟一的实根
4. 设f x()是定义在R上的任意一个增函数，F x f x f x
()()()
=--，那么F x()必为（）
A. 增函数且是奇函数
B. 增函数且是偶函数
C. 减函数且是奇函数
D. 减函数且是偶函数
5. 函数
()
y x x
a
=+-
log223
当x=2时y>0，则此函数的单调区间是（）
A. ()
-∞-
，3
B.
()
1，+∞
C. ()
-∞-
，1
D.
()
-+∞
1，
6. 如果奇函数f x()在区间［3，7］上是增函数且最小值为5，那么f x()在区间[]
--
73
，
上
是（）
A. 增函数且最小值为-5
B. 增函数且最大值为-5
C. 减函数且最小值为-5
D. 减函数且最大值为-5
7. 设f x()是R上的奇函数，且当x∈+∞
[)
0，时，()
f x x x
()=+
13
，那么当
x∈-∞
(]
，0
时，
f x()=（）
A.
()
-+
x x
13
B.
()
x x
13+
C.
()
--
x x
13
D.
()
x x
13-
8. 若f x()在[]
-55
，
上是奇函数，且
f f
()()
31
<，则（）
A. f f
()()
-<-
13 B. f f
()()
01
>
C. f f
()()
-<
11 D. f f
()()
->-
35
9. 设f x()是()
-∞+∞
，
上的奇函数，即：
f x f x
()()
+=-
2，当01
≤≤
x时，f x x
()=，
则f(.)
75等于（）
A. 0.5
B. -05.
C. 1.5
D. -15.
10. 设函数f x()在（0，2）上是增函数，函数f x()
+2是偶函数，则
f f
()1
5
2
、
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
、
f
7
2
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
的
大小关系是_____________。

11. 已知奇函数f x()在()
0，+∞
上单调递增，且
f()30
=，则不等式x f x
·()<0的解集
是_____________。

12. 设f x ()是定义在R 上的偶函数，它的图象关于直线x =2对称，已知
[]
x ∈-22，时，
f x x ()=-+21，则[]
x ∈--62，时，f x ()=_____________。

13. 已知偶函数f x ()在［0，2］内单调递减，若
a f
b f =-=⎛
⎝ ⎫⎭⎪
()log .11405，，c f =(lg .)05，则a 、b 、c 之间的大小关系是_____________。

14. 设a b >>00，，试讨论
f x a
x bx ()=
+的增减性。

15. 已知单调函数f x ()满足f x y f x f y ()()()+=+且f()log 332=，定义域为R 。

（1）求证：f x ()为奇函数；
（2）若f x ()满足对任意实数x ，f k f x x x ()()·33920+--<恒成立，求k 取值范围。