2016年四川省达州市中考数学试卷-答案

四川省达州市2016年高中阶段教育学校招生统一考试
数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1．【答案】B
【解析】因为在A 、B 、C 、D 四个选项中只有B 、C 为负数，故应从B 、C
中选择；又因为3|||-＞，
所以3-＜B ．
【提示】根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小即可解答．
【考点】实数大小比较
2．【答案】A
【解析】111351135100000000 1.35110==⨯亿，故选A ．
【提示】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中11||0a ≤＜，n 为整数．确定n 的值是易错点，由于1351亿有12位，所以可以确定12111n =-=．
【考点】科学记数法—表示较大的数
3．【答案】D
【解析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“遇”与“的”是相对面，“见”与“未”是相对面，“你”与“来”是相对面．故选D ．
【提示】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【考点】几何体的展开图
4．【答案】A 【解析】301(2)13x x x -⎧⎪⎨-+⎪⎩
≤①＜②由①得，3x ≤；由②得，52x ＞-；所以，不等式组的解集为532x -＜≤故选A ． 【提示】本题考查了解一元一次不等式组的方法：分别解几个不等式，它们解的公共部分即为不等式组的解；按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于小的小于大的为空集”得到公共部分．
【考点】解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集
5．【答案】D
【解析】A 、函数2y x =的图像经过原点，正确，不合题意；B 、函数1y x
=
的图像位于第一、三象限，正确，不合题意；C 、函数31y x =-的图像不经过第二象限，正确，不合题意；D 、函数3y x =-的值，在每个象限内，y 随x 的值的增大而增大，故错误，符合题意．故选D ．
【提示】此题主要考查了正比例函数以及反比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
【考点】正比例函数的性质，一次函数的性质，反比例函数的性质
6．【答案】D 【解析】从点A ，B ，C ，D 中任取三点能组成三角形的一共有4种可能，其中ABD △，ADC △，ABC
△是直角三角形，∴所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为34
．故选D ． 【提示】此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系和勾股定理的逆定理运用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，属于中考常考题型．
【考点】勾股定理的应用
7．【答案】C
【解析】作直径CD ，在Rt OCD △中，6CD =，2OC =，则OD =，
tan 4
OC CDO OD ∠==，由圆周角定理得，OBC CDO ∠=∠，则tan 4OBC ∠=，故选C ．
【提示】本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
【考点】圆周角定理，锐角三角函数的定义
8．【答案】B 【解析】第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有437+=个；第三次操作后，三角形共有43310++=个；…∴第n 次操作后，三角形共有43(1)31n n +-=+个；当31100n +=时，解得：33n =，故选B ．
【提示】此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出第n 次操作后，三角形的个数为31n +是解题关键．
【考点】规律型：图形的变化类
9．【答案】B
【解析】AF BF ⊥，90AFB ∴∠=︒，10AB =，D 为AB 中点，152
DF AB AD BD ∴====，ABF BFD ∴∠=∠，又BF 平分ABC ∠，ABF CBF ∴∠=∠，CBF DFB ∴∠=∠，DE BC ∴∥，
ADE ABC ∴△∽△，DE AD BC AB ∴=，即51610
DE =，解得：8DE =，3EF DE DF ∴=-=，故选B ． 【提示】本题主要考查直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练运用其判定与性质是解题的关键．
【考点】相似三角形的判定与性质，平行线的判定，直角三角形斜边上的中线
10．【答案】D
【解析】①：函数开口方向向上，0a ∴＞；对称轴在原点左侧，ab ∴异号，抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴，0c ∴＜，0abc ∴＞，故①正确；②：图像与x 轴交于点(1,0)A -，对称轴为直线1x =-，∴图象与x 轴的另一个交点为()3,0，∴当2x =时，0y ＜，420a b c ∴++＜，故②错误；③：图像与x 轴交于点(1,0)A -，∴当1x =-时，2(1)(1)0y a b c =-+⨯-+=，0a b c ∴-+=，即a b c c b a =-=-，，对称轴为直线1x =，12b a
∴-=，即2b a =-，(2)3c b a a a a ∴=-=--=-，22
44(3)(2)ac b a a a ∴-=---2160a =-＜，80a >248ac b a ∴-＜，故③正确；④：图像与y 轴的交点B 在(0,2)-和(0,1)-之间，
21c ∴﹣＜＜-231a ∴﹣＜-＜-，2133
a ∴＞＞；故④正确；⑤：0a ＞，0
b
c ∴-＞，即b c ＞；故⑤正确；故选D ．
【提示】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
【考点】二次函数的性质
第Ⅱ卷
二、填空题
11．【答案】(2)(2)a a a +-
【解析】原式2((4(2))2)a a a a a +=-=-．故答案为：(2)(2)a a a +-．
【提示】原式提取a ，再利用平方差公式分解即可．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
12．【答案】48︒
【解析】AB CD ∥，42ECD A ∴∠=∠=︒，又
DE AE ⊥，∴直角ECD △中，90D ECD ∠=︒-∠=
904248︒-︒=︒
．故答案为48︒． 【提示】首先根据平行线的性质求得ECD ∠的度数，然后在直角ECD △中，利用三角形内角和定理求解．
【考点】平行线的性质
13．【答案】53
【解析】数据0，1，2，2，x ，3的平均数是2，(01223)62x ∴+++++÷=，4x ∴=，∴这组数据的方差2222221=[(20)(21)(225)(22)(24)(23)]63
-+-+-+-+-=-+． 【提示】本题考查方差的定义：一般地设n 个数据，12,,n x x x ⋯的平均数为x ，则方差
2222121[()()...()]n S x x x x x x n
=-+-++-，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【考点】方差，算术平均数
14．【答案】2016 【解析】m 为一元二次方程2220180x x +-=的实数根，2220180m m ∴+-=，即222018m m =-+，232201832018m m n m m n m n ∴++=-+++=++，m n ，分别为一元二次方程2220180x x +-=的两个实数根，2m n ∴+=-，23201822016m m n ∴++=-=．
【提示】本题考查了根与系数的关系：若12,x x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，12b x x a
+=-，12c x x a
=．也考查了一元二次方程根的定义． 【考点】根与系数的关系
15．
【答案】【解析】连结PQ ，如图，ABC △为等边三角形，60BAC ∴∠=︒，AB AC =，线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到线段AQ ，6AP PQ ∴==，60PAQ ∠=︒，APQ ∴△为等边三角形，6PQ AP ∴==，60CAP BAP ∠+∠=︒，60BAP BAQ ∠+∠=︒，CAP BAQ ∴∠=∠，在APC △和ABQ △中，A C A B C A P
B A Q A P A Q =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AP
C ABQ ∴△≌△，10PC QB ∴==，在BPQ △中，22864PB ==，226PQ =，
2210BQ =，而6436100+=，222PB PQ BQ ∴+=，PBQ ∴△为直角三角形，90BPQ ∠=︒
，
21686242BPQ APQ APBQ S S S ∴=+=⨯⨯++=+△△四边形
【提示】连结PQ ，如图，根据等边三角形的性质得60BAC ∠=︒，AB AC =，再根据旋转的性质得
6AP PQ ==，
60PAQ ∠=︒，则可判断APQ △为等边三角形，所以6PQ AP ==，接着证明APC ABQ △≌△得到 10PC QB ==，然后利用勾股定理的逆定理证明PBQ △为直角三角形，再根据三角形面积公式，利用BPQ APQ APBQ S S S =+△△四边形进行计算．
【考点】旋转的性质，等边三角形的性质
16．【答案】(2,7)
【解析】过点D 作DF x ⊥轴于点F ，则90AOB DFA ∠=∠=︒，90OAB ABO ∴∠+∠=︒，四边形ABCD 是矩形，90BAD ∴∠=︒，AD BC =，90OAB DAF ∴∠+∠=︒，ABO DAF ∴∠=∠，AOB DFA ∴△∽△，
:::OA DF OB AF AB AD ∴==，:3:2AB BC =，点(3,0)A ，(0,6)B ，:3:2AB AD ∴=，3OA =，
6OB =，2DF ∴=，4AF =，7OF OA AF ∴=+=，
∴点D 的坐标为：(7,2)，∴反比例函数的解析式为：14y x =①，点C 的坐标为：(4,8)，设直线BC 的解析式为：y kx b =+，则648b k b =⎧⎨+=⎩，解得：126
k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为：162y x =+②，联立①②得：27x y =⎧⎨=⎩
或141x y =-⎧⎨=-⎩（舍去），∴点E 的坐标为：(2,7)．故答案为：(2,7)．
【提示】首先过点D 作DF x ⊥轴于点F ，易证得AOB DFA △∽△，然后由相似三角形的对应边成比例，求得点D 的坐标，即可求得反比例函数的解析式，再利用平移的性质求得点C 的坐标，继而求得直线BC 的解析式，则可求得点E 的坐标
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
三、解答题
17．【答案】2
【解析】原式13422
=-+-⨯= 【提示】原式利用二次根式性质，零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【考点】平方根，绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值
18．【答案】35
【解析】原式=222222425x xy y x y xy y ++=-+--，
52251x y x y -=-⎧⎨+=-⎩
①②， +①②得：33x =-，即1x =-，
把1x =-代入①得：15y =
， 则原式213555
=+=． 【提示】求出方程组的解得到x 与y 的值，原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并后代入计算即可求出值．
【考点】代数式求值，解二元一次方程组
19．【答案】（1）16，20
（2）57.6︒
（3）221
【解析】（1）该班学生总数为：1224%50÷=（人），则5081210416a =----=，101002050b =
⨯=； （2）扇形统计图中“0次”的扇形所占圆心角的度数为：836057.650
︒⨯=︒； （3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取1人，有50种等可能结果，
其中恰好抽中去过“4次及以上”的同学有4种结果，
故恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率为424221
=． 【提示】（1）根据去图书馆“1次”的学生数÷其占全班人数的百分比可得总人数，将总人数减去其余各次数的人数可得“2次”的人数，即a 的值，将“3次”的人数除以总人数可得b 的值；
（2）将360︒乘以“0次”人数占总人数比例可得；
（3）直接根据概率公式可得．
【考点】扇形统计图
20．【答案】（1）尺规作图如图所示．
（2）四边形ABEF 是菱形．理由如下： AE 平分BAD ∠，BAE EAD ∴∠=∠．
AD BC ∥，EAD AEB ∴∠=∠，
BAE AEB ∴∠=∠，BE AB ∴=．
AF AB =，BE AF ∴=．
BE AF ∥，∴四边形ABEF 是平行四边形，
AB BE =，∴四边形ABEF 是菱形．
【解析】（1）如图所示：
（2）四边形ABEF 是菱形．理由如下： AE 平分BAD ∠，BAE EAD ∴∠=∠．
AD BC ∥，EAD AEB ∴∠=∠，
BAE AEB ∴∠=∠，BE AB ∴=．
AF AB =，BE AF ∴=．
BE AF ∥，∴四边形ABEF 是平行四边形，
AB BE =，∴四边形ABEF 是菱形．
【提示】（1）由角平分线的作法容易得出结果，在AD 上截取AF AB =，连接EF ；画出图形即可；
（2）由平行四边形的性质和角平分线得出BAE AEB ∠=∠，证出BE AB =，由（1）得：AF AB =，得出BE AF =，即可得出结论．
【考点】平行四边形的性质，作图—基本作图
21．【答案】（1）轮船照此速度与航向航向，上午11:00到达海岸线
（2）能．理由如下：
BD BC =，BE CD ⊥，
DE EC ∴=，
在Rt BEC △中，12BC =，30BCE ∠=︒，
6BE ∴=，10.2EC =≈，
20.4CD ∴=，
2020.421.5＜＜，
∴轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头．
【解析】（1）延长AB 交海岸线l 于点D ，过点B 作BE ⊥海岸线l 于点E ，过点A 作AF l ⊥于F ，如图所示．
90BEC AFC ∠=∠=︒，60EBC ∠=︒，30CAF ∠=︒，
30ECB ∴∠=︒，60ACF ∠=︒，
90BCA ∴∠=︒，
12BC =，40362460
AB =⨯
=， 2AB BC ∴=，
30BAC ∴∠=︒，60ABC ∠=︒，
60ABC BDC BCD ∠=∠+∠=︒，
30BDC BCD ∴∠=∠=︒，
12BD BC ∴==，
∴时间121363
t ==小时20=分钟， ∴轮船照此速度与航向航向，上午11:00到达海岸线．
（2）能．理由如下：
BD BC =，BE CD ⊥，
DE EC ∴=，
在Rt BEC △中，12BC =，30BCE ∠=︒，
6BE ∴=，10.2EC =≈，
20.4CD ∴=，
2020.421.5＜＜，
∴轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头．
【提示】本题考查方向角、解直角三角形等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，由数量关系推出30BAC ∠=︒，属于中考常考题型．
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题
22．【答案】（1）证明：AB 为半圆O 的直径，
90C ∴∠=︒，
OD AC ⊥，
90CAB AOE ∴∠+∠=︒，90ADE C ∠=∠=︒，
AE 是切线，
OA AE ∴⊥，
90E AOE ∴∠+∠=︒，
E CAB ∴∠=∠，
EAD ABC ∴△∽△，
::AE AB AD BC ∴=，
••AE BC AD AB ∴=．
（2）60
17AF =
【解析】（1）证明：AB 为半圆O 的直径，
90C ∴∠=︒，
OD AC ⊥，
90CAB AOE ∴∠+∠=︒，90ADE C ∠=∠=︒，
AE 是切线，
OA AE ∴⊥，
90E AOE ∴∠+∠=︒，
E CAB ∴∠=∠，
EAD ABC ∴△∽△，
::AE AB AD BC ∴=，
••AE BC AD AB ∴=．
（2）解：作DM AB ⊥于M ，
半圆O 的直径为10，3sin 5
BAC ∠=， •sin 6BC AB BAC ∴=∠=，
8AC ∴=，
OE AC ⊥，
142
AD AC ∴==，132OD BC ==， 3sin 5
DM MAD AD ∠==， 125DM ∴=
，165AM ===，345
BM AB AM =-=， DM AE ∥，
DM BM AF BA
∴=， 1210=3456017
5
BA AF DM BM ∴==⨯．
【提示】本题考查切线的性质、勾股定理、三角函数、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
【考点】相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的性质，锐角三角函数的定义
23．【答案】（1）150a =
（2）购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是7950元
（3）20
【解析】（1）由题意得600160110
a a =-，解得150a =，经检验，150a =是原分式方程的解； （2）设购进餐桌x 张，则购进餐椅(520)x +张，销售利润为W 元．
由题意得：520200x x
++≤，
解得：30x ≤．
150a =，
∴餐桌的进价为150元/张，餐椅的进价为40元/张．
依题意可知：
()111(500150440)270150(5204)(7040)245600222
W x x x x x =--⨯+-++--=+， 2450k =＞，
W ∴关于x 的函数单调递增，
∴当30x =时，W 取最大值，最大值为7950．
故购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是7950元．
（3）涨价后每张餐桌的进价为160元，每张餐椅的进价为50元，
设本次成套销售量为m 套．
依题意得：(500160450)(30)(270160)(1704)(7050)79502250m m m --⨯+-⨯-+-⨯-=-， 即6700505700m -=，解得：20m =．
答：本次成套的销售量为20套．
【提示】（1）根据餐桌和餐椅数量相等列出方程求解即可；
（2）设购进餐桌x 张，餐椅(520)x +张，销售利润为W 元．根据购进总数量不超过200张，得出关于x 的一元一次不等式，解不等式即可得出x 的取值范围，再根据“=+总利润成套销售的利润零售餐桌的利润+零售餐椅的利润”即可得出W 关于x 的一次函数，根据一次函数的性质即可解决最值问题；
（3
）设本次成套销售量为m 套，先算出涨价后每张餐桌及餐椅的进价，再根据利润间的关系找出关于m 的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【考点】一次函数的应用，一元一次不等式组的应用
24．【答案】（1）①垂直
②BC CD CF =+
（2）成立，理由见解析
（3）GE
【解析】（1）①正方形ADEF 中，AD AF =，
90BAC DAF ∠=∠=︒，
BAD CAF ∴∠=∠，
在DAB △与FAC △中，AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
DAB FAC ∴△≌△，
B ACF ∴∠=∠，
90ACB ACF ∴∠+∠=︒，即CF BD ⊥；
故答案为：垂直；
②DAB FAC △≌△，
CF BD ∴=，
BC BD CD =+，
BC CF CD ∴=+；
故答案为：BC CF CD =+；
（2）成立，
正方形ADEF 中，AD AF =，
90BAC DAF ∠=∠=︒，
BAD CAF ∴∠=∠，
在DAB △与FAC △中，AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
DAB FAC ∴△≌△，
B ACF ∴∠=∠，CF BD =，
90ACB ACF ∴∠+∠=︒，即CF BD ⊥；
BC BD CD =+，
BC CF CD ∴=+；
（3）解：过A 作AH BC ⊥于H ，过E 作EM BD ⊥于M ，EN CF ⊥于N ，
90BAC ∠=︒，AB AC =，
4BC ∴=，122
AH BC ==， 111242
CD BC CH BC ∴====，， 3DH ∴=，
由（2）证得5BC CF CF BD ⊥==，，
四边形ADEF 是正方形，
90AD DE ADE ∴=∠=︒，，
BC CF ⊥，EM BD ⊥，EN CF ⊥，
∴四边形CMEN 是矩形，
NE CM EM CN ∴==，，
90AHD ADC EMD ∠=∠=∠=︒，
90ADH EDM EDM DEM ∴∠+∠=∠+∠=︒，
ADH DEM ∴∠=∠，
在ADH △与DEM △中，ADH DEM AHD DME AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
ADH DEM ∴△≌△，
3EM DH ∴==，2DM AH ==，
3CN EM ∴==，3EN CM ==
45ABC ∠=︒，
45BGC ∴∠=︒，
BCG ∴△是等腰直角三角形，
4CG BC ∴==，
1GN ∴=，
EG ∴=．
【提示】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，余角的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【考点】四边形综合题
25．【答案】（1）21262
y x x =-++ （2）在直线AC 上方的抛物线上存在一点P ，使得ACP △的面积最大，面积的最大值为
272，此时点P 的坐标为15(1,)2
（3）t
为4
或4
【解析】（1）11•2622
C CEF S EF y m ==⨯=△， 6m ∴=，即点C 的坐标为(4,6)，
将点(4,6)C 代入抛物线2260y ax x a =++≠（）中，
得：61686a =++，解得：12
a =-， ∴该抛物线的解析式为21262
y x x =-++． （2）假设存在．过点P 作y 轴的平行线，交x 轴与点M ，交直线AC 于点N ，如下图所示．
令抛物线21262
y x x =-++中0y =，则有212602x x -++=， 解得：1226x x ==﹣，
， ∴点A 的坐标为(2,0)-，点B 的坐标为(6,0)．
设直线AC 的解析式为y kx b =+，点P 的坐标为21(,26)(24)2
n n n n -++-＜＜， 直线AC 过点(2,0)A -、(4,6)C ，
∴0264k b k b =-+⎧⎨++⎩，解得：12k b =⎧⎨=⎩
， ∴直线AC 的解析式为2y x =+．
点P 的坐标为21(,26)2
n n n -++， ∴点N 的坐标为(,2)n n +．
22111327•()(262)[4(2)](1)22222
C A ACP S PN x x n n n n =
=⨯++--⨯--=-+-△--， ∴当1n =时，ACP S △取最大值，最大值为272
， 此时点P 的坐标为15(1,)2
． ∴在直线AC 上方的抛物线上存在一点P ，使得ACP △的面积最大，面积的最大值为272
，此时点P 的坐标为15(1,)2． （3）直尺WXYZ 与x 轴负方向成45︒放置，
∴设直线CD 的解析式为y x c =-+，
点(4,6)C 在直线CD 上，
64c ∴=-+，解得：10c =，
∴直线CD 的解析式为10y x =-+．
联立直线CD 与抛物线解析式成方程组：2101262y x y x x =-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩
， 解得：28x y =⎧⎨=⎩，或46x y =⎧⎨=⎩
， ∴点D 的坐标为(2,8)．
令直线CD 的解析式10y x =-+中0y =，则010x =-+，
解得：10x =，即点E 的坐标为(10,0)，
2EF =，且点E 在点F 的左边，
∴点F 的坐标为(12,0)．
设点M 的坐标为(122,0)t -，则点N 的坐标为(1222,02)t --+，即(102,2)N t -．
图2 图3 点(102,2)N t -在抛物线21262
y x x =-++的图象上， 21(102)2(102)622
t t ∴--+-+=，整理得：28130t t +=-，
解得：14t =
，24t =+
∴当t
为4
或4+秒时，可使得以C D M N 、、、为顶点的四边形是平行四边形．
【提示】本题考查了三角形的面积公式、待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、解二元二次方程组、平行四边形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：
（1）求出点C 的坐标；
（2）利用二次函数的性质解决最值问题；
（3）用时间t 表示出来点N 的坐标．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，联立函数解析式成方程组，解方程组求出交点坐标是关键．
【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，平行四边形的性质。