南通市某名校2020-2021学年高二期中考试数学试卷

高二数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为（）C A ． 8B ．16 C ．18

D ．27

2.设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（）A A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

3.不等式

1

021

x x +≤-的解集为（）A A ．1

[1,)2

-

B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

C ．1

(,1](,)2

-∞-+∞

D ．1

(,1)[,)2-∞-+∞

4.已知椭圆的准线方程为4x =-，离心率为

1

2

，则椭圆的标准方程为（）C A ．2

212x y +=

B ．2

212

y x +=

C ．22

143x y +=

D ．22

134

x y +=

5.数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，则10a 的值为（）B A ．511

B ．513

C ．1025

D ．1024

6.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的1

7

是较小的两份之和，则最小的一份为（）A A ．5

3

B ．

103

C ．

56

D ．

116

7.椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F 和2F ，P 为椭圆C 上的动点，若a =，

满足1290F PF ∠=︒的点P 有（）个A A ．2个B ．4个C.0个D ．1个

8.已知实数0,0a b >>且9a b ab +=，若不等式2218a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立,则实数m 的取值范围为()A A ．[)3,+∞

B ．(],3-∞

C ．(],6-∞

D ．[)6,+∞

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9.若实数0,0,1a b a b >>⋅=，则下列选项的不等式中，正确的是（）ABC A

．2a b +≥ B 2≥ C ．222a b +≥

D ．

112a b

+≤ 10.对任意实数a ，b ，c ，给出下列结论，其中结论正确的是（）CD A ．“a b =”是“ac bc =”的充要条件 B ．“a b >”是“22a b >”的充分条件 C ．“5a <”是“3a <”的必要条件

D ．“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件

11.设椭圆22

193

x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于,A B 两点，则下述

结论正确的是（）AD

A ．AF BF +为定值

B ．ABF ∆的周长的取值范围是[]6,12

C ．当m =ABF ∆为直角三角形

D ．当1m =时，ABF ∆

12.已知数列{}n a ，{}n b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 的前n 项和为n T .且满足12n n a a n ++=，*12()n n n b b n +⋅=∈N ，则下列结论正确的是()ABC

A ．101a <<

B ．11b <<

C ．22n n S T <

D ．22n n S T ≥

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.命题“x ∀∈R ，0ax b +≤”的否定是__________________. 【答案】x ∃∈R ，0ax b +>

14.不等式210x kx -+>对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是_______． 【答案】(2,2)-

15.若椭圆2215x y m +=，则m 的值为_______.

【答案】25

33

或

16.对于数列{}n a ，定义11

222n n

n a a a A n

-++

+=为数列{}n a 的“好数”，已知某数列{}n a 的

“好数”12n n A +=，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若7n S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】916,47⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17（本小题满分10分）求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）与椭圆

2

21

2

x

y

+=有相同的焦点，且经过点

3

(1,)

2

；

（2

）经过(2,(

A B两点.

【解析】（1）椭圆

2

21

2

x

y

+=的焦点坐标为(1,0)

±，

∵椭圆过点

3 (1,)

2

，

∴24 a==，

∴2,

a b

==，

∴椭圆的标准方程为

22

1 43

x y

+=.

（2）设所求的椭圆方程为

22

1(0,0,)

x y

m n m n

m n

+=>>≠．

把(2,(

A B两点代入，得：

1

42

1

3

24

1

m n

m n

⎧

⎪

+=

⎪⎪

⎨

⎪

⎪+=

⎪⎩

，解得81

m n

==

，，

∴椭圆方程为

2

21

8

x

y

+=．

18（本小题满分12分）已知在等比数列{}n a中，11

a=，且

2

a是

1

a和

3

1

a-的等差中项．（1）求数列{}n a的通项公式；

（2）若数列{}n b满足*

()

2

n n

b n a n

=+∈N，求数列{}n b的前n项和n S．

【答案】（1）1

2n

n

a-

=；（2）221

n

n

S n n

=++-．

【解析】（1）设等比数列{}n a的公比为q，则0

q≠，则

21

a a q q

==，22

31

a a q q

==，

由于

2

a是

1

a和

3

1

a-的等差中项，即

213

21

a a a

=+-，即2

2q q

=，解得2

q=．

因此，数列{}n a的通项公式为111

1

122

n n n

n

a a q---

==⨯=；

（2）1

222n

n n

b n a n-

=+=+，

()()()()

0121

123

22426222n

n n

S b b b b n-

∴=++++=++++++++

()

212

(22)12

(2462)122221

212

n

n n

n n

n n n

-

+-

=+++++++++=+=++-

-

．

19（本小题满分12分）已知函数()22

f x ax bx a

+-+

＝.