高二物理人教版必修2 6.4万有引力理论的成就教案

万有引力理论的成就

重/难点

重点：地球质量的计算、太阳等中心天体质量的计算。

难点：根据已有条件求中心天体的质量，密度。理解并运用万有引力定律处理天体问题的思路和方法。

重/难点分析

重点分析：一是引导和启发学生通过“称量地球的质量”，“计算天体的质量”的学习，明晰万有引力定律运用的思路和方法。这是学生需要掌握的最基本的知识与技能。二是通过“发现未知天体”等史实材料的展示，提供给学生丰富的感性认识，让他们感觉到科学的美妙与科学定律发现的意义和价值，培养学生对科学的热爱。

难点分析：使学生认清黄金代换的理论依据和使用条件。深刻理解每一个字母的本质含义。如果死记硬背，做题时就会忽对忽错。在此基础上能够熟练根据已有条件求中心天体的质量，密度。理解并运用万有引力定律处理天体问题的思路和方法。

突破策略

一、万有引力与重力

地球对物体的引力是物体受到重力的根本原因，但重力又不完全等于引力。

这是因为地球在不停地自转，地球上的一切物体都随着地球的自转而绕地轴做匀速圆周运动，这就需要向心力．这个向心力的方向是垂直指向地轴的，它的大小是2F mr 向ω=，式中的r 是物体与地轴的距离，ω是地球自转的角速度。这个向心

力来自哪里?只能来自地球对物体的引力F ，它是引力F 的一个分力，如图所示，引力F 的另一个分力才是物体的重力mg 。

在不同纬度的地方，物体做匀速圆周运动的角速度ω相同，而圆周的半径r 不同，这个半径在赤道处最大，在两极最小(等于零)。纬度为α处的物体随地球自转所需的向心力2cos F mR 向ωα= (R 为地球半径)。由公式可见，随着纬度的升

高，向心力将减小，作为引力的另一个分量，重力则随纬度的升高而增大，在两极处r ＝R cos90°＝0，0F 向=，所以在两极，引力等于重力。在赤道上，物体的

重力、引力和向心力在一条直线上，方向相同，此时重力等于引力与向心力之差，即2Mm mg G F R

向=-。此时重力最小。从图中还可以看出重力mg 一般并不指向地心，只有在南北两极和赤道上重力mg 才指向地心。

(1)重力是由万有引力产生的，重力实际上是万有引力的一个分力，物体的重力随其纬度的增大而增大，并且除两极和赤道上外，重力并不指向地心。

(2)物体随地球自转所需的向心力一般很小，物体的重力随纬度的变化很小，因此在一般粗略计算中，可以认为物体所受的重力等于物体所受地球的万有引力，即2Mm mg G R

= 。 二、天体质量计算的几种方法

万有引力定律从动力学角度解决了天体运动问题。天体运动遵循与地面上物

体相同的动力学规律。行星(或卫星)的运动可视为匀速圆周运动，由恒星对其行星(或行星对其卫星)的万有引力提供向心力。

运用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量。下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法。

(1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，根据万有引力

等于向心力，即

2

2

2

GM m

m r

r T

月

地

月

π

⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

，可求得地球的质量

(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运行的线速度v，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，得

可得地球的质量为2/

M rv G

地

=。

(3)若已知月球运行的线速度v和运行周期T，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，得

以上两式消去r，解得

(4)若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得

解得地球的质量为

2

R g

M

G

地

=。

三、天体密度的计算

(1)利用天体表面的重力加速度来求天体的自身密度。

由2GMm mg R = 和343

M R ρπ=， 得34g GR

ρπ= 。 其中g 为天体表面的重力加速度，R 为天体半径．

(2)利用天体的卫星来求天体的密度。

设卫星绕天体运动的轨道半径为r ，周期为T ，天体半径为R ，则可列出方程：

得 2323

2333

4/34433M

r GT r GT R R R ππρππ=== 。 当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度为2

3GT πρ= 。 四、发现未知天体

天王星的“出轨”现象，激发了法国青年天文学家勒维耶和英国剑桥大学学生亚当斯的浓厚兴趣．勒维耶经常到巴黎天文台去查阅天王星观察资料，并把这些资料跟自己理论计算的结果对比。亚当斯也不断到剑桥大学天文台去，他还得到一份英国皇家格林尼治天文台的资料，这使他的理论计算能及时跟观察资料比较。他们两人根据自己的计算结果，各自独立地得出结论：在天王星的附近，还有一颗新的行星！

1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”。这就是海王星。

凭借着万有引力定律，通过计算，在笔尖下发现了新的天体，这充分地显示了科学理论的威力。

五、解决天体运动问题的基本思路

(1)将行星绕恒星的运动、卫星绕行星的运动均视为匀速圆周运动，所需向心力是由万有引力提供的。根据圆周运动的知识和牛顿第二定律列式求解有关天体运动的一些物理量，有如下关系：

若已知环绕中心天体运动的行星(或卫星)绕恒星(或行星)做匀速圆周运动的

周期为T ，半径为r ，根据万有引力提供向心力可知：2

224Mm G mr r T

π=，得恒星或行星的质量23

24r M GT

π=。 此种方法只能求解中心天体的质量，而不能求出做圆周运动的行星或卫星的质量。

(2)若已知星球表面的重力加速度g ′和星球的半径，忽略星球自转的影响，则星球对物体的万有引力等于物体的重力，有2Mm G mg R

'=，所以2g R M G '=。 其中2GM g R '=是在有关计算中常用到的一个替换关系，被称为“黄金代换”． 例1、宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t 小球落