2021年七年级下期末数学备考之新定义(教师版)

2021年七年级下期末数学备考之新定义

一．解答题（共19小题）

1．如图，数轴上两点A、B对应的数分别是﹣1，1，点P是线段AB上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足PQ＝2，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．

（1）﹣3，0，2.5是连动数的是﹣3，2.5；

（2）关于x的方程2x﹣m＝x+1的解满足是连动数，求m的取值范围﹣4≤m≤﹣2或0≤m≤2；

（3）当不等式组的解集中恰好有4个解是连动整数时，求a的取值范围．【分析】（1）根据连动数的定义即可确定；

（2）求得方程的解，根据新定义得出或，解得即可；

（3）求得不等式的解，根据连动整数的概念得到关于a的不等式，解不等式即可求得．【解答】解：（1）﹣3，0，2.5是连动数的是﹣3，2.5，

故答案为﹣3，2.5；

（2）解关于x的方程2x﹣m＝x+1得，x＝m+1，

∵关于x的方程2x﹣m＝x+1的解满足是连动数，

∴或，

解得﹣4≤m≤﹣2或0≤m≤2；

故答案为﹣4≤m≤﹣2或0≤m≤2；

（3）

由①得，x＞﹣3；

由②得，x≤a+1，

∵不等式组的解集中恰好有4个解是连动整数时，

∴四个连动整数解为﹣2，﹣1，1，2，

∴2≤a+1＜3，

∴1≤a＜2

∴a的取值范围是1≤a＜2．

【点评】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，根据新定义得到不等式组是解题的关键，

2．阅读材料：

平面直角坐标系中点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的折线距离，记为[P]，即[P]＝|x|+|y|，其中的“+”是四则运算中的加法，例如点P（1，2）的折线距离[P]＝|1|+|2|＝3．

【解决问题】

（1）已知点A（﹣2，4），B（+，﹣），直接写出A、B的折线距离[A]，[B]；

（2）若点M满足[M]＝2，

①当点M在x轴的上方时，且横坐标为整数，求点M的坐标；

②正方形EFGH的两个顶点坐标分别为E（t，0），F（t﹣1，0），当正方形EFGH上存

在点M时，直接写出t的取值范围．

【分析】（1）根据题意可以求得[A]，[B]的折线距离；

（2）①根据题意可知y＞0，然后根据[M]＝2，即可求得点M的坐标；

②由题意可得EF＝1，由正方形的性质可列不等式，即可求解．

【解答】解：（1）∵点A（﹣2，4），B（+，﹣），

∴[A]＝|﹣2|+|4|＝2+4＝6，[B]＝|+|+|﹣|＝++﹣＝2；

（2）①∵点M在x轴的上方，其横坐标为整数，且[M]＝2，

∴x＝±1时，y＝1或x＝0时，y＝2，

∴点M的坐标为（﹣1，1）或（1，1）或（0，2）；

②∵正方形EFGH的两个顶点坐标分别为E（t，0），F（t﹣1，0），

∴EF＝1，

若M（﹣1，1）在正方形EFGH上时，

∴t﹣1≤﹣1≤t，

∴﹣1≤t≤0，

若M（1，1）在正方形EFGH上时，

∴t﹣1≤1≤t，

∴1≤t≤2，

若M（2，0）在正方形EFGH上时，

∴t﹣1≤2≤t，

∴2≤t≤3，

若M（﹣2，0）在正方形EFGH上时，

∴t﹣1≤﹣2≤t，

∴﹣2≤t≤﹣1，

综上所述：t的取值范围为﹣2≤t≤0或1≤t≤3．

【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，解答本题的关键是明确题意，求出相应的点的坐标．

3．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．

例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解集为2＜x＜5，因为2＜3＜5，所以，称方程2x﹣6＝0为不等式组的关联方程．

（1）在方程①5x﹣10＝0，②x+1＝0，③2x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组

的关联方程是①；（填序号）

（2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是x+2＝0；（写出一个即可）

（3）若方程5x﹣2＝x+2，3+x＝2（x+）都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围．

【分析】（1）分别解不等式组和各一元一次方程，再根据“关联方程”的定义即可判断；（2）解不等式组得出其整数解，再写出以此整数解为解得一元一次方程即可得；

（3）解不等式组得出m≤x＜m+2，再解一元一次方程得出方程的解，根据不等式组整数解的确定可得答案．

【解答】解：（1）解不等式组得＜x＜3，

解①得：x＝2，＜2＜3，故①是不等式组的关联方程；

解②得：x＝﹣，不在＜x＜3，故②不是不等式组的关联方程；

解③得：x＝6，不在＜x＜3，故③是不不等式组的关联方程；

故答案为：①；

（2）解不等式组得：x＜﹣

因此不等式组的整数解可以为x＝﹣2，

则该不等式的关联方程为x+2＝0．

故答案为：x+2＝0．

（3）解不等式组，得：m≤x＜m+2．

方程5x﹣2＝x+2的解为x＝1，方程3+x＝2（x+）的解为x＝2，

∴，

解得0＜m≤1，

∴m的取值范围为0＜m≤1．

【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练一元一次不等式的步骤是解答此题的关键．4．在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．给出如下定义：对于任意两个整点M（x1，y1），N（x2，y2），M与N的“直角距离”记为d MN，d MN＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．

例如，点M（1，5）与N（7，2）的“直角距离”d MN＝|1﹣7|+|5﹣2|＝9．

（1）已知点A（4，﹣1）．

①点A与点B（1，3）的“直角距离”d AB＝7；

②若点A与整点C（﹣2，m）的“直角距离”d AC＝8，则m的值为﹣3或1；

（2）小明有一项设计某社区规划图的实践作业，这个社区的道路都是正南正北，正东正西方向，并且平行的相邻两条路之间的距离都是相等的，可近似看作正方形的网格．小明建立平面直角坐标系画出了此社区的示意图（如图所示）．为了做好社区消防，需要在某个整点处建一个消防站P，要求是：消防站与各个火警高危点的“直角距离”之和最小．目前该社区内有两个火警高危点，分别是D（﹣2，﹣1）和E（2，2）．

①若对于火警高危点D和E，消防站P不仅要满足上述条件，还需要消防站P到D，E

两个点的“直角距离”之差的绝对值最小，则满足条件的消防站P的坐标可以是（﹣1，1）（写出一个即可），所有满足条件的消防站P的位置共有8个；

②在设计过程中，如果社区还有一个火警高危点F（4，﹣2），那么满足与这三个火警高

危点的“直角距离”之和最小的消防站P的坐标为（2，﹣1）．

【分析】（1）①根据直角距离的定义直接解答即可；

②根据直角距离的定义直接解答即可；

（2）①先根据直角距离的定义求出直角距离DE，PD和PE的长，根据它们之差的绝对值最小求出点P的坐标，确定点P的个数；